系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)與誤差分析

第四章系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)與誤差分析一、典型輸入信號二、一階系統(tǒng)的時間響應(yīng)三、二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)※四、高階系統(tǒng)的時間響應(yīng)五、誤差分析和計算六、穩(wěn)定性分析

本章主要內(nèi)容重點：二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)及其性能指標(biāo)。難點：二階系統(tǒng)時域響應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式。教學(xué)目的：1.掌握一階、二階系統(tǒng)在典型輸入信號作用下的時域響應(yīng)和時域性能指標(biāo)。2.了解高階系統(tǒng)時域響應(yīng)的特點。3.掌握系統(tǒng)誤差的概念和計算穩(wěn)態(tài)誤差的方法。4.掌握系統(tǒng)穩(wěn)定的概念和分析、判別系統(tǒng)穩(wěn)定的方法。時間響應(yīng)

任一系統(tǒng)的時間響應(yīng)都是由瞬態(tài)響應(yīng)或穩(wěn)態(tài)響應(yīng)兩部分組成。

瞬態(tài)響應(yīng)：系統(tǒng)受到外加作用力激勵后，從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應(yīng)過程。

穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：時間趨于無窮大時，系統(tǒng)的輸出狀態(tài)。

瞬態(tài)響應(yīng)反映了系統(tǒng)動態(tài)性能，而穩(wěn)態(tài)響應(yīng)偏離系統(tǒng)希望值的程度可用來衡量系統(tǒng)的精確程度?！?.1

典型輸入信號

在時間域進(jìn)行分析時，為了比較不同系統(tǒng)的控制性能，需要規(guī)定一些具有典型意義的輸入信號建立分析比較的基礎(chǔ)。這些信號稱為控制系統(tǒng)的典型輸入信號。

時域分析的目的

在時間域，研究在一定的輸入信號作用下，系統(tǒng)輸出隨時間變化的情況，以分析和研究系統(tǒng)的控制性能。優(yōu)點：直觀、簡便

一、典型輸入信號二、對典型輸入信號的要求能夠反映系統(tǒng)工作在最不利的情形；形式簡單，便于解析分析；實際中可以實現(xiàn)或近似實現(xiàn)。

常用的典型輸入信號的數(shù)學(xué)表達(dá)Asint

正弦信號

1(t)，t=0單位脈沖信號

單位加速度信號

t，

t0單位速度(斜坡)信號

1(t)，t0單位階躍信號

復(fù)數(shù)域表達(dá)式

時域表達(dá)式

名

稱

保證典型輸入信號與實際輸入信號有著良好的對應(yīng)關(guān)系，且代表最惡劣的輸入情況，因此，當(dāng)系統(tǒng)的設(shè)計基于典型信號來進(jìn)行時，那么在實際輸入的情況下，系統(tǒng)響應(yīng)特性一般是能夠滿足要求的。

注意：對于同一系統(tǒng)，無論采用哪種輸入信號，由時域分析法所表示的系統(tǒng)本身的性能不會改變。三、典型輸入信號的選擇原則脈沖信號：模擬系統(tǒng)突遭脈動電壓、機械碰撞、敲打沖擊等；階躍信號：實際系統(tǒng)的輸入具有突變性質(zhì)，例：模擬電源突然接通、負(fù)荷突然變化、指令突然轉(zhuǎn)換等；速度信號：實際系統(tǒng)的輸入隨時間逐漸變化（勻速變化）?！?.2

一階系統(tǒng)的時間響應(yīng)一階系統(tǒng)：一、一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)極點（特征根）：-1/T凡是能夠用一階微分方程描述的系統(tǒng)。典型形式：1斜率=1/T0xo(t)t1T0.632A63.2%B2T86.5%3T95%4T98.2%5T99.3%99.8%6T一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的特點

響應(yīng)分為兩部分

表示系統(tǒng)輸出量從初態(tài)到終態(tài)的變化過程（動態(tài)/過渡過程）

表示t時，系統(tǒng)的輸出狀態(tài)。

xo(0)=0，xo()=1無穩(wěn)態(tài)誤差；隨時間的推移，xo(t)

指數(shù)增大，且無振蕩。

xo(T)=1-e-1=0.632，即經(jīng)過時間T，系統(tǒng)響應(yīng)達(dá)到其穩(wěn)態(tài)輸出值的63.2%，從而可以通過實驗測量慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)T；

時間常數(shù)T反映了系統(tǒng)響應(yīng)的快慢。通常工程中當(dāng)響應(yīng)曲線達(dá)到并保持在穩(wěn)態(tài)值的95%～98%時，認(rèn)為系統(tǒng)響應(yīng)過程基本結(jié)束。從而慣性環(huán)節(jié)的過渡過程時間為3T~4T。tln[1-xo(t)]0將一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)式改寫為：即ln[1-xo(t)]與時間t成線性關(guān)系。

該性質(zhì)可用于判別系統(tǒng)是否為慣性環(huán)節(jié)，以及測量慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)。二、一階系統(tǒng)的單位速度響應(yīng)一階系統(tǒng)單位速度響應(yīng)的特點

經(jīng)過足夠長的時間(穩(wěn)態(tài)時，如：t4T)，輸出增長速率近似與輸入相同，此時輸出為：t–T，即輸出相對于輸入滯后時間T；

系統(tǒng)響應(yīng)誤差為：三、一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)0一階系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的特點

瞬態(tài)響應(yīng)：(1/T)e–t/T；穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：0；

xo(0)=1/T,隨時間的推移，xo(t)指數(shù)衰減；對于實際系統(tǒng)，通常應(yīng)用具有較小脈沖寬

度（脈沖寬度小于0.1T）和有限幅值的脈

沖代替理想脈沖信號。

一階系統(tǒng)的時間響應(yīng)1.單位階躍響應(yīng)2.單位速度響應(yīng)3.單位脈沖響應(yīng)時間響應(yīng)：系統(tǒng)在典型輸入信號的作用下之輸出。四、線性定常系統(tǒng)時間響應(yīng)的性質(zhì)

系統(tǒng)時域響應(yīng)通常由穩(wěn)態(tài)分量和瞬態(tài)分量共同組成，前者反映系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性，后者反映系統(tǒng)的動態(tài)特性。

注意到：即：系統(tǒng)對輸入信號導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)等于系統(tǒng)對該輸入信號響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)。系統(tǒng)對輸入信號積分的響應(yīng)等于系統(tǒng)對該輸入信號響應(yīng)的積分，其積分常數(shù)由初始條件確定。這種輸入－輸出間的積分微分性質(zhì)對任何線性定常系統(tǒng)均成立。§4.3

二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)二階系統(tǒng)：其中：T為時間常數(shù)，也稱為無阻尼自由振蕩周期。

稱為阻尼比；n＝1/T

為系統(tǒng)的無阻尼固有頻率。一、二階系統(tǒng)的特征方程：極點（特征根）：（凡是能夠用二階微分方程描述的系統(tǒng)）1.欠阻尼二階系統(tǒng)（振蕩環(huán)節(jié)）：

0<<1具有一對共軛復(fù)數(shù)極點：2.臨界阻尼二階系統(tǒng)：

＝1具有兩個相等的負(fù)實數(shù)極點：3.過阻尼二階系統(tǒng)：

>1具有兩個不相等的負(fù)實數(shù)極點：4.零阻尼二階系統(tǒng)：＝0具有一對共軛虛極點：5.負(fù)阻尼二階系統(tǒng)：<0極點實部大于零，響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定。1.欠阻尼（0<<1）狀態(tài)

輸入信號：單位階躍1(t),其拉氏變換為：由傳遞函數(shù)的定義可得到二階系統(tǒng)的輸出為：二、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

式中，欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線=0.2=0.4=0.6=0.85101500.20.40.60.811.21.41.61.82xo(t)t欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的特點

xo()=1，無穩(wěn)態(tài)誤差；

瞬態(tài)分量為振幅等于的正弦振蕩。

振蕩幅值隨

減小而加大。其振幅衰減的快慢由和n決定。阻尼振蕩頻率為：10txo(t)

特點●單調(diào)上升，無振蕩、無超調(diào)；

●

xo()=1，無穩(wěn)態(tài)誤差。2.臨界阻尼（

=1）狀態(tài)具有兩個相等的負(fù)實數(shù)極點：3.過阻尼（>1）狀態(tài)3.過阻尼（>1）狀態(tài)

特點單調(diào)上升，無振蕩，過渡過程時間長。

xo()=1，無穩(wěn)態(tài)誤差。該分量影響大當(dāng)大于

1.25時，可忽略。4.無阻尼（=0）狀態(tài)210txo(t)特點頻率為n的等幅振蕩。幾點結(jié)論1.二階系統(tǒng)的阻尼比

決定了其振蕩特性：▲

<0時，階躍響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定；▲

1時，無振蕩、無超調(diào)，過渡過程長；▲

0<<1時，有振蕩，

愈小，振蕩愈嚴(yán)重，但響應(yīng)愈快?！?/p>

=0時，出現(xiàn)等幅振蕩。

工程應(yīng)用中，除了有些場合不允許產(chǎn)生振蕩（如指示和記錄儀表系統(tǒng)等）外，通常采用欠阻尼系統(tǒng)，且阻尼比通常選擇0.4～0.8之間，以保證系統(tǒng)的快速性同時又不至于產(chǎn)生過大的振蕩。

一定時，n越大，瞬態(tài)響應(yīng)分量衰減越迅速，即系統(tǒng)能夠更快達(dá)到穩(wěn)態(tài)值，響應(yīng)的快速性越好。三、二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)

>1：

=1：

0<<1：

=0：四、二階系統(tǒng)的單位速度響應(yīng)

>1：

=1：

0<<1：

=0：高階系統(tǒng)的時間響應(yīng)

高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

考慮系統(tǒng)：參考內(nèi)容假設(shè)系統(tǒng)極點互不相同。其中，a,aj為Xo(s)在極點s=0和s=-pj處的留數(shù)；

bk、ck是與Xo(s)在極點處的留數(shù)有關(guān)的常數(shù)。通過拉氏反變換，其輸出為：

高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由一階和二階系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)疊加而成。§3.4

二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)

一、控制系統(tǒng)的時域性能指標(biāo)

控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)是評價系統(tǒng)動態(tài)品質(zhì)的定量指標(biāo)，是定量分析的基礎(chǔ)。

系統(tǒng)的時域性能指標(biāo)通常通過系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)進(jìn)行定義。常見的性能指標(biāo)有：〇上升時間tr〇峰值時間tp〇調(diào)整時間ts〇最大超調(diào)量Mp〇振蕩次數(shù)N

1.上升時間tr

響應(yīng)曲線從零時刻出發(fā)首次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值所需時間。對無超調(diào)系統(tǒng)，上升時間一般定義為響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%所需的時間。二、欠阻尼二階系統(tǒng)的時域性能指標(biāo)的計算

根據(jù)上升時間的定義有：欠阻尼二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為：顯然，一定時，n越大，tr越?。?/p>

n一定時，

越大，tr

越大。tx0(t)tr12.

峰值時間tp響應(yīng)曲線從零上升到第一個峰值所需時間。

2.峰值時間tp可見，峰值時間等于有阻尼振蕩周期的一半。一定，n越大，tp越??；n一定，越大，tp

越大。3.最大超調(diào)量

Mp定義：響應(yīng)曲線的最大峰值與穩(wěn)態(tài)值之差。3.

最大超調(diào)量Mp顯然，Mp僅與阻尼比有關(guān)。最大超調(diào)量直接說明了系統(tǒng)的阻尼特性。越大，Mp

越小，系統(tǒng)的平穩(wěn)性越好，當(dāng)

=0.4~0.8時，可以求得相應(yīng)的Mp

=25.4%~1.5%。通常用百分?jǐn)?shù)表示:00.10.20.30.40.50.60.70.80.910102030405060708090100二階系統(tǒng)Mp—

圖4.調(diào)整時間ts對于欠阻尼二階系統(tǒng)，其單位階躍響應(yīng)的包絡(luò)線為一對對稱于響應(yīng)穩(wěn)態(tài)分量1的指數(shù)曲線：響應(yīng)曲線到達(dá)并保持在允許誤差范圍（穩(wěn)態(tài)值的2%或5%）內(nèi)所需的時間。單位階躍響應(yīng)：

當(dāng)包絡(luò)線進(jìn)入允許誤差范圍之內(nèi)時，階躍響應(yīng)曲線必然也處于允許誤差范圍內(nèi)。當(dāng)一定時，n越大，ts越小，系統(tǒng)響應(yīng)越快。當(dāng)0<<0.7時，可得：由上式求得的ts包通常偏保守。因此利用：t5.振蕩次數(shù)

N

N僅與有關(guān)。與Mp

一樣直接說明了系統(tǒng)的阻尼特性。越大，N越小，系統(tǒng)平穩(wěn)性越好。x0(t)ts±⊿%響應(yīng)曲線到達(dá)并保持在允許誤差范圍（穩(wěn)態(tài)值的2%或5%）內(nèi)所需的時間。實測時，可按響應(yīng)曲線穿越穩(wěn)態(tài)值次數(shù)的一半計數(shù)。

二階系統(tǒng)的動態(tài)性能由n和決定。結(jié)論

通常根據(jù)允許的最大超調(diào)量來確定。一般選擇在0.4~0.8之間，然后再調(diào)整n以獲得合適的瞬態(tài)響應(yīng)時間。

一定，n越大，系統(tǒng)響應(yīng)快速性越好，

tr、tp、ts越小。

增加可以降低振蕩，減小超調(diào)量Mp和振蕩次數(shù)N，但系統(tǒng)快速性降低，tr、tp、ts增加；

tr、tp、ts反映系統(tǒng)響應(yīng)快速性Mp

、N

反映系統(tǒng)響應(yīng)平穩(wěn)性一、控制系統(tǒng)的誤差考慮圖示反饋控制系統(tǒng)H(s)Xi(s)Xo(s)B(s)E

(s)G(s)

誤差信號E(s)E(s)=Xi(s)－B(s)＝Xi(s)－H(s)Xo(s)誤差信號E(s)定義為系統(tǒng)輸入Xi(s)與系統(tǒng)主反饋信號B(s)之差，即：§4.5

誤差分析和計算二、穩(wěn)態(tài)誤差及其計算穩(wěn)態(tài)誤差：系統(tǒng)的期望輸出與實際輸出在穩(wěn)定狀態(tài)（t）下的差值，即誤差信號e(t)

的穩(wěn)態(tài)分量：

當(dāng)sE(s)的極點均位于s平面左半平面（包括坐標(biāo)原點）時，根據(jù)拉氏變換的終值定理，有：

顯然，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差決定于輸入Xi(s)和開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)，即決定于輸入信號的性質(zhì)及系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)。G(s)H(s)—G(s)H(s)—107年考題例1某系統(tǒng)方框圖如圖所示，當(dāng)系統(tǒng)輸入的控制信號為：

求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

三、穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)1.穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)的概念（1）穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)單位階躍輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)系數(shù)稱為穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)。令：對于單位反饋系統(tǒng)，（2）穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)單位速度輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差稱為穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)。其中，對于單位反饋系統(tǒng)，易知：（3）穩(wěn)態(tài)加速度誤差系數(shù)單位加速度輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差稱為穩(wěn)態(tài)加速度誤差系數(shù)。其中，結(jié)論：當(dāng)輸入信號形式一定后，系統(tǒng)是否存在穩(wěn)態(tài)誤差取決于系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。

對于單位反饋系統(tǒng)，易知：2.系統(tǒng)類型將系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)寫成如下形式：

根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的多少來定義系統(tǒng)的類型，當(dāng)r=0,1,2,…時，系統(tǒng)分別稱為0型、I型、Ⅱ型、……系統(tǒng)。0型系統(tǒng)：I型系統(tǒng)：Ⅱ型系統(tǒng)：3.

不同類型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)及穩(wěn)態(tài)誤差(1)0型系統(tǒng)單位負(fù)反饋0型系統(tǒng)只能跟蹤階躍信號，且有穩(wěn)態(tài)誤差。(2)I型系統(tǒng)單位負(fù)反饋

I型系統(tǒng)準(zhǔn)確地能跟蹤階躍信號，也能跟蹤速度信號，但有穩(wěn)態(tài)誤差。不能跟蹤加速度信號。(3)Ⅱ型系統(tǒng)單位負(fù)反饋

Ⅱ型系統(tǒng)準(zhǔn)確地能跟蹤階躍信號、速度信號，也能跟蹤加速度信號，但有穩(wěn)態(tài)誤差。表1、系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)及穩(wěn)態(tài)誤差00K2II型00K1I型00K00型單位加速度輸入單位速度輸入單位階躍輸入KaKvKp穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)系統(tǒng)類型注意k0、k1、k2為系統(tǒng)的開環(huán)增益。幾點結(jié)論不同類型的輸入信號作用于同一控制系統(tǒng)，其穩(wěn)態(tài)誤差不同；相同的輸入信號作用于不同類型的控制系統(tǒng)，其穩(wěn)態(tài)誤差也不同。

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與其開環(huán)增益有關(guān)，開環(huán)增益越大，穩(wěn)態(tài)誤差越小。在階躍輸入作用下，0型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為定值，常稱為有差系統(tǒng)；I型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0，常稱為一階無差系統(tǒng)；在速度輸入作用下，II型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0，常稱為二階無差系統(tǒng)。習(xí)慣上，稱輸出量為“位置”，輸出量的變化率為“速度”。在此位置和速度是廣義的概念。盡管將階躍輸入、速度輸入及加速度輸入下系統(tǒng)的誤差分別稱之為位置誤差、速度誤差和加速度誤差，但對速度誤差、加速度誤差而言并不是指輸出與輸入的速度、加速度不同，而是指輸出與輸入之間存在一確定的穩(wěn)態(tài)位置偏差。系統(tǒng)在多個信號共同作用下總的穩(wěn)態(tài)偏差（誤差）等于多個信號單獨作用下的穩(wěn)態(tài)偏差（誤差）之和。如果輸入量非單位量時，其穩(wěn)態(tài)偏差（誤差）按比例增加。如：總的穩(wěn)態(tài)偏差：(a)(b)

解：如果系統(tǒng)的輸入是階躍函數(shù)、速度函數(shù)、加速度函數(shù)三種輸入的組合，即：

可根據(jù)線性疊加原理，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為：(1)系統(tǒng)(a)的開環(huán)傳遞函數(shù)的時間常數(shù)表達(dá)式為：(2)系統(tǒng)(b)的開環(huán)傳遞函數(shù)的時間常數(shù)表達(dá)式為：表1、系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)及穩(wěn)態(tài)誤差00K2II型00K1I型00K00型單位加速度輸入單位速度輸入單位階躍輸入KaKvKp穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)系統(tǒng)類型注意k0、k1、k2為系統(tǒng)的開環(huán)增益。四、

擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差和系統(tǒng)總誤差擾動輸入作用下的偏差傳遞函數(shù)1.控制輸入作用下，系統(tǒng)的誤差：2.擾動輸入作用下，系統(tǒng)的誤差：3.系統(tǒng)的總誤差：時間響應(yīng)系統(tǒng)輸出隨時間變化的特性。時間響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)分量和瞬態(tài)分量組成。1.一階系統(tǒng)的時間響應(yīng)單位