2020年高考文科數(shù)學(xué)《概率與統(tǒng)計(jì)》題型歸納與訓(xùn)練

..2020年高考文科數(shù)學(xué)《概率與統(tǒng)計(jì)》題型歸納與訓(xùn)練[題型歸納]題型一古典概型例1從甲、乙等名學(xué)生中隨機(jī)選出人,則甲被選中的概率為〔.A.B.C. D.[答案][解析]可設(shè)這5名學(xué)生分別是甲、乙、丙、丁、戊,從中隨機(jī)選出2人的方法有：〔甲,乙,〔甲,丙,〔甲,丁,〔甲,戊,〔乙,丙,〔乙,丁,〔乙,戊,〔丙,丁,〔丙,戊,〔丁,戊,共有種選法,其中只有前4種是甲被選中,所以所求概率為.故選B.例2將2本不同的數(shù)學(xué)書(shū)和1本語(yǔ)文書(shū)在書(shū)架上隨機(jī)排成一行,則2本數(shù)學(xué)書(shū)相鄰的概率為_(kāi)_______.[答案][解析]根據(jù)題意顯然這是一個(gè)古典概型,其基本事件有：數(shù)1,數(shù)2,語(yǔ);數(shù)1,語(yǔ),數(shù)2;數(shù)2,數(shù)1,語(yǔ);數(shù)2,語(yǔ),數(shù)1;語(yǔ),數(shù)2,數(shù)1;語(yǔ),數(shù)1,數(shù)2共有6種,其中2本數(shù)學(xué)書(shū)相鄰的有4種,則其概率為：．[易錯(cuò)點(diǎn)]列舉不全面或重復(fù),就是不準(zhǔn)確[思維點(diǎn)撥]直接列舉,找出符合要求的事件個(gè)數(shù).題型二幾何概型例1如圖所示,正方形內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖,正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱(chēng).在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是〔.A.B.C.D.[答案][解析]不妨設(shè)正方形邊長(zhǎng)為,由圖形的對(duì)稱(chēng)性可知,太極圖中黑白部分面積相等,即各占圓面積的一半.由幾何概型概率的計(jì)算公式得,所求概率為.故選B.例2在區(qū)間上隨機(jī)地選擇一個(gè)數(shù),則方程有兩個(gè)負(fù)根的概率為_(kāi)_______.[答案][解析]方程有兩個(gè)負(fù)根的充要條件是即或,又因?yàn)?所以使方程有兩個(gè)負(fù)根的p的取值范圍為,故所求的概率,故填：.[易錯(cuò)點(diǎn)]"有兩個(gè)負(fù)根"這個(gè)條件不會(huì)轉(zhuǎn)化.[思維點(diǎn)撥]"有兩個(gè)負(fù)根"轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像與x軸負(fù)半軸有兩個(gè)交點(diǎn).從而得到參數(shù)p的范圍.在利用幾何概型的計(jì)算公式計(jì)算即可.題型三抽樣與樣本數(shù)據(jù)特征例1某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號(hào)的產(chǎn)品,產(chǎn)量分別為,,,件．為檢驗(yàn)產(chǎn)品的質(zhì)量,現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取件進(jìn)行檢驗(yàn),則應(yīng)從丙種型號(hào)的產(chǎn)品中抽取________件．[答案][解析]按照分層抽樣的概念應(yīng)從丙種型號(hào)的產(chǎn)品中抽取<件>．例2已知樣本數(shù)據(jù),,,的均值,則樣本數(shù)據(jù),,,的均值為．[答案][解析]因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù),,,的均值,又樣本數(shù)據(jù),,,的和為,所以樣本數(shù)據(jù)的均值為＝11.例3某電子商務(wù)公司對(duì)名網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物者2018年度的消費(fèi)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì),發(fā)現(xiàn)消費(fèi)金額〔單位：萬(wàn)元都在區(qū)間內(nèi),其頻率分布直方圖如圖所示.〔1直方圖中的=.〔2在這些購(gòu)物者中,消費(fèi)金額在區(qū)間內(nèi)的購(gòu)物者的人數(shù)為.[答案]人數(shù)為[解析]由頻率分布直方圖及頻率和等于,可得,解之得.于是消費(fèi)金額在區(qū)間內(nèi)頻率為,所以消費(fèi)金額在區(qū)間內(nèi)的購(gòu)物者的人數(shù)為.例4某城市戶居民的月平均用電量〔單位：度,以,,,,,,分組的頻率分布直方圖如圖所示．〔1求直方圖中的值；〔2求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)；〔3在月平均用電量為,,,的四組用戶中,用分層抽樣的方法抽取戶居民,則從月平均用電量在的用戶中應(yīng)抽取多少戶？[答案]見(jiàn)解析[解析]〔1由,得．〔2由圖可知,月平均用電量的眾數(shù)是.因?yàn)?又,所以月平均用電量的中位數(shù)在內(nèi).設(shè)中位數(shù)為,由,得,所以月平均用電量的中位數(shù)是.〔3月平均用電量為的用戶有〔戶；月平均用電量為的用戶有〔戶；月平均用電量為的用戶有〔戶；月平均用電量為的用戶有〔戶.抽取比例為,所以從月平均用電量在的用戶中應(yīng)抽取〔戶．[易錯(cuò)點(diǎn)]沒(méi)有讀懂題意,計(jì)算錯(cuò)誤.不會(huì)用函數(shù)思想處理問(wèn)題[思維點(diǎn)撥]根據(jù)題意分情況寫(xiě)出函數(shù)解析式；2牽涉到策略問(wèn)題,一般可以轉(zhuǎn)化為比較兩個(gè)指標(biāo)的大小.題型四回歸與分析例1下圖是我國(guó)20XX至20XX生活垃圾無(wú)害化處理量〔單位：億噸的折線圖〔1由折線圖看出,可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系,請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明〔2建立關(guān)于的回歸方程〔系數(shù)精確到,預(yù)測(cè)年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量.參考數(shù)據(jù)：,,,.參考公式：相關(guān)系數(shù)回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：[答案]見(jiàn)解析[解析]〔1由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得,,,,.因?yàn)榕c的相關(guān)系數(shù)近似為,說(shuō)明與的線性相關(guān)程度相當(dāng)高,從而可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系.〔1變量與的相關(guān)系數(shù),又,,,,,所以,故可用線性回歸模型擬合變量與的關(guān)系.〔2,,所以,,所以線性回歸方程為.當(dāng)時(shí),.因此,我們可以預(yù)測(cè)2016年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理億噸.[易錯(cuò)點(diǎn)]沒(méi)有讀懂題意,計(jì)算錯(cuò)誤.[思維點(diǎn)撥]將題目的已知條件分析透徹,利用好題目中給的公式與數(shù)據(jù).題型五獨(dú)立性檢驗(yàn)例1甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對(duì)A、B兩變量的線性相關(guān)性作試驗(yàn),并用回歸分析方法分別求得相關(guān)系數(shù)r與殘差平方和m如下表：甲乙丙丁r0.820.780.690.85m115106124103則哪位同學(xué)的試驗(yàn)結(jié)果體現(xiàn)A、B兩變量更強(qiáng)的線性相關(guān)性？<>A．甲 B．乙 C．丙 D．丁[答案]D[解析]D因?yàn)閞>0且丁最接近1,殘差平方和最小,所以丁相關(guān)性最高[易錯(cuò)點(diǎn)]不理解相關(guān)系數(shù)和殘差平方和與相關(guān)性的關(guān)系[思維點(diǎn)撥]相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越趨向于1,相關(guān)性越強(qiáng).殘差平方和m越小相關(guān)性越強(qiáng)[鞏固訓(xùn)練]題型一古典概型1.將一顆質(zhì)地均勻的骰子〔一種各個(gè)面上分別標(biāo)有個(gè)點(diǎn)的正方體玩具先后拋擲次,則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和小于的概率是．[答案][解析]將先后兩次點(diǎn)數(shù)記為,則基本事件共有〔個(gè),其中點(diǎn)數(shù)之和大于等于有,共種,則點(diǎn)數(shù)之和小于共有種,所以概率為．2.我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是"每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和",如．在不超過(guò)30的素?cái)?shù)中,隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù),其和等于30的概率是〔.A． B． C． D．[答案][解析]不超過(guò)30的素?cái)?shù)有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29,共10個(gè),隨機(jī)選取兩數(shù)有〔種情況,其中兩數(shù)相加和為30的有7和23,11和19,13和17,共3種情況,根據(jù)古典概型得.故選.3.袋中有形狀、大小都相同的只球,其中只白球,只紅球,只黃球,從中一次隨機(jī)摸出只球,則這只球顏色不同的概率為．[答案][解析]只白球設(shè)為,只紅球設(shè)為,只黃球設(shè)為,,則摸球的所有情況為,,,,,,共件,滿足題意的事件為,,,,,共件,故概率為．題型二幾何概型1.某公司的班車(chē)在7:00,8:00,8:30發(fā)車(chē),學(xué).小明在7:50至8:30之間到達(dá)發(fā)車(chē)站乘坐班車(chē),且到達(dá)發(fā)車(chē)站的時(shí)刻是隨機(jī)的,則他等車(chē)時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率是〔.A.EQ\F<1,3>B.EQ\F<1,2>C.EQ\F<2,3>D.[答案]B[解析]如圖所示,畫(huà)出時(shí)間軸.小明到達(dá)的時(shí)間會(huì)隨機(jī)的落在圖中線段中,而當(dāng)他的到達(dá)時(shí)間落在線段或時(shí),才能保證他等車(chē)的時(shí)間不超過(guò)分鐘.根據(jù)幾何概型,所求概率.故選B.從區(qū)間隨機(jī)抽取2n個(gè)數(shù),,…,,,,…,,構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(duì),,…,,其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)共有m個(gè),則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率的近似值為〔.A.B.C.D.[答案]C[解析]由題意得：在如圖所示方格中,而平方和小于1的點(diǎn)均在如圖所示的陰影中,由幾何概型概率計(jì)算公式知,所以.故選C．3.下圖來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形,此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成,三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊,直角邊,,的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ,黑色部分記為Ⅱ,其余部分記為Ⅲ,在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn),此點(diǎn)取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分別記為,,,則A．B．C．D．[答案]A[解析]概率為幾何概型,總區(qū)域面積一定,只需比較Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ區(qū)域面積即可.設(shè)直角三角形的三個(gè)角,,所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為,,,則區(qū)域Ⅰ的面積為,區(qū)域Ⅱ的面積為,區(qū)域Ⅲ的面積為.顯然.故選A.題型三抽樣與樣本的數(shù)據(jù)特征1.已知一組數(shù)據(jù),,,,,,那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為．[答案]10[解析]平均數(shù)．2.某電子商務(wù)公司對(duì)10000名網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物者20XX度的消費(fèi)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì),發(fā)現(xiàn)消費(fèi)金額〔單位：萬(wàn)元都在區(qū)間內(nèi),其頻率分布直方圖如圖所示.〔Ⅰ直方圖中的_________；〔Ⅱ在這些購(gòu)物者中,消費(fèi)金額在區(qū)間內(nèi)的購(gòu)物者的人數(shù)為_(kāi)________.[答案]3；6000[解析]頻率和等于1可得,解之得.于是消費(fèi)金額在區(qū)間內(nèi)頻率為,所以消費(fèi)金額在區(qū)間內(nèi)的購(gòu)物者的人數(shù)為：,故應(yīng)填3；6000.3.我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家,某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水,計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案,擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)〔噸、一位居民的月用水量不超過(guò)的部分按平價(jià)收費(fèi),超出的部分按議價(jià)收費(fèi).為了了解居民用水情況,通過(guò)抽樣,獲得了某年位居民每人的月均用水量〔單位：噸,將數(shù)據(jù)按照,,,分成組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.〔1求直方圖中的值；〔2設(shè)該市有萬(wàn)居民,估計(jì)全市居民中月均用水量不低于噸的人數(shù),請(qǐng)說(shuō)明理由；〔3若該市政府希望使的居民每月的用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)〔噸,估計(jì)的值,并說(shuō)明理由.[答案]見(jiàn)解析[解析]〔1由頻率分布直方圖知,月均用水量在中的頻率為,同理,在,,,,,中的頻率分別為,,,,,.由,解得.〔2由〔1,位居民每人月均用水量不低于噸的頻率為.由以上樣本的頻率分布,可以估計(jì)全市萬(wàn)居民中月均用水量不低于噸的人數(shù)為.〔3因?yàn)榍敖M的頻率之和為,而前組的頻率之和為,所以由,解得.題型四回歸與分析1.為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系,隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭,得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表：收入〔萬(wàn)元8.28.610.011.311.9支出〔萬(wàn)元6.27.58.08.59.8根據(jù)上表可得回歸直線方程,其中,據(jù)此估計(jì),該社區(qū)一戶收入為15萬(wàn)元家庭年支出為〔A．11.4萬(wàn)元B．11.8萬(wàn)元C．12.0萬(wàn)元D．12.2萬(wàn)元[答案]B[解析]由已知得〔萬(wàn)元,〔萬(wàn)元,故,所以回歸直線方程為．當(dāng)社區(qū)一戶收入為15萬(wàn)元,家庭年支出為〔萬(wàn)元．故選B．2.為了研究某班學(xué)生的腳長(zhǎng)〔單位：厘米和身高〔單位：厘米的關(guān)系,從該班隨機(jī)抽取名學(xué)生,根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出與之間有線性相關(guān)關(guān)系,設(shè)其回歸直線方程為．已知,,．該班某學(xué)生的腳長(zhǎng)為24,據(jù)此估計(jì)其身高為〔.A.B.C.D.[答案]C[解析],,所以,時(shí),.故選C.3.某公司為確定下一年投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi),需了解年宣傳費(fèi)〔單位：千元對(duì)年銷(xiāo)售量〔單位：和年利潤(rùn)〔單位：千元的影響,對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)和年銷(xiāo)售量數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值．46.65636.8289.81.61469108.8表中,,〔1根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,與哪一個(gè)適宜作為年銷(xiāo)售量關(guān)于年宣傳費(fèi)的回歸方程類(lèi)型〔給出判斷即可,不必說(shuō)明理由？〔2根據(jù)〔1的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立關(guān)于的回歸方程；〔3已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)與,的關(guān)系式為,根據(jù)〔2的結(jié)果回答下列問(wèn)題：〔ⅰ年宣傳費(fèi)時(shí),年銷(xiāo)售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少？〔ⅱ年宣傳費(fèi)為何值時(shí),年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù),,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為,.[答案]見(jiàn)解析[解析]〔1由散點(diǎn)圖變化情況可知選擇較為適宜．〔2由題意知．又一定過(guò)點(diǎn),所以,所以與的回歸方程為．〔3〔ⅰ由〔2知,當(dāng)時(shí),,〔千元,所以當(dāng)年宣傳費(fèi)為時(shí),年銷(xiāo)售量為,利潤(rùn)預(yù)估為千元．〔ⅱ由〔2知,,所以當(dāng)時(shí),年利潤(rùn)的預(yù)估值最大,即〔千元．題型五獨(dú)立性檢驗(yàn)1.某醫(yī)療研究所為了檢驗(yàn)?zāi)撤N血清預(yù)防感冒的作用,把500名使用血清的人與另外500名未使用血清的人一年中的感冒記錄作比較,提出假設(shè)H："這種血清不能起到預(yù)防感冒的作用",利用2×2列聯(lián)表計(jì)算的K2≈3.918,則下列表述中正確的是〔A．有95℅的把握認(rèn)為"這種血清能起到預(yù)防感冒的作用"B．若有人未使用該血清,那么他一年中有95℅的可能性得感冒C．這種血清預(yù)防感冒的有效率為95℅D．這種血清預(yù)防感冒的有效率為5℅[答案]A[解析]由題可知,在假設(shè)成立情況下,的概率約為0.05,即在犯錯(cuò)的概率不錯(cuò)過(guò)0.05的前提下認(rèn)為"血清起預(yù)防感冒的作用",即有95℅的把握認(rèn)為"這種血清能起到預(yù)防感冒的作用".這里的95℅是我們判斷不成立的概率量度而非預(yù)測(cè)血清與感冒的幾率的量度,故B錯(cuò)誤.C,D也犯有B中的錯(cuò)誤.故選A2.觀察下面頻率等高條形圖,其中兩個(gè)分類(lèi)變量之間關(guān)系最強(qiáng)的是<>A．B．C．D．[答案]D[解析]在頻率等高條形圖中,與相差很大時(shí),我們認(rèn)為兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系,四個(gè)選項(xiàng)中,即等高的條形圖中所占比例相差越大,則分類(lèi)變量關(guān)系越強(qiáng),故選．3.淡水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比,收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了個(gè)網(wǎng)箱,測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量〔單位：的頻率分布直方圖如圖所示.〔1設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立,記表示事件：舊養(yǎng)殖法