數(shù)值計(jì)算方法期末考試題

..

一、單項(xiàng)選擇題〔每小題3分,共15分1.3.142和3.141分別作為的近似數(shù)具有〔和〔位有效數(shù)字.

A．4和3

B．3和2

C．3和4

D．4和42.已知求積公式,則＝〔A．

B．

C．

D．3.通過點(diǎn)的拉格朗日插值基函數(shù)滿足〔

A．＝0,

B．＝0,

C．＝1,

D．＝1,4.設(shè)求方程的根的牛頓法收斂,則它具有〔

斂速。

A．超線性

B．平方

C．線性

D．三次5.用列主元消元法解線性方程組

作第一次消元后得到的第3個(gè)方程〔

.

A．

B．

C．

D．單項(xiàng)選擇題答案1.A2.D3.D4.C5.B二、填空題〔每小題3分,共15分

1.設(shè),則

,

.

2.一階均差

3.已知時(shí),科茨系數(shù),那么

4.因?yàn)榉匠淘趨^(qū)間上滿足

,所以在區(qū)間內(nèi)有根。5.取步長,用歐拉法解初值問題的計(jì)算公式

.填空題答案1.

9和2.

3.

4.

5.

三、計(jì)算題〔每題15分,共60分1.已知函數(shù)的一組數(shù)據(jù)：求分段線性插值函數(shù),并計(jì)算的近似值.tm"計(jì)算題1.答案1.

解,

,所以分段線性插值函數(shù)為

2.已知線性方程組〔1

寫出雅可比迭代公式、高斯－塞德爾迭代公式；〔2

對于初始值,應(yīng)用雅可比迭代公式、高斯－塞德爾迭代公式分別計(jì)算〔保留小數(shù)點(diǎn)后五位數(shù)字.計(jì)算題2.答案

1.解原方程組同解變形為

雅可比迭代公式為

高斯－塞德爾迭代法公式

用雅可比迭代公式得

用高斯－塞德爾迭代公式得3.用牛頓法求方程在之間的近似根〔1請指出為什么初值應(yīng)取2？〔2請用牛頓法求出近似根,精確到0.0001.計(jì)算題3.答案

3.解,,,,,故取作初始值迭代公式為,,,,

方程的根4.寫出梯形公式和辛卜生公式,并用來分別計(jì)算積分.計(jì)算題4.答案4解

梯形公式

應(yīng)用梯形公式得

辛卜生公式為

應(yīng)用辛卜生公式得

四、證明題〔本題10分確定下列求積公式中的待定系數(shù),并證明確定后的求積公式具有3次代數(shù)精確度證明題答案證明：求積公式中含有三個(gè)待定系數(shù),即,將分別代入求積公式,并令其左右相等,得

得,。所求公式至少有兩次代數(shù)精確度。

又由于

故具有三次代數(shù)精確度。

一、

填空〔共20分,每題2分1.設(shè),取5位有效數(shù)字,則所得的近似值x=

.2.設(shè)一階差商,

則二階差商3.設(shè),則

,

。4．求方程

的近似根,用迭代公式,取初始值,那么

5．解初始值問題近似解的梯形公式是

6、,則A的譜半徑＝

。7、設(shè)

,則

和

。

8、若線性代數(shù)方程組AX=b的系數(shù)矩陣A為嚴(yán)格對角占優(yōu)陣,則雅可比迭代和高斯-塞德爾迭代都

。9、解常微分方程初值問題的歐拉〔Euler方法的局部截?cái)嗾`差為

。

10、為了使計(jì)算的乘除法運(yùn)算次數(shù)盡量的少,應(yīng)將表達(dá)式改寫成

。填空題答案1、2.3150

2、3、6和4、1.5

5、6、7、8、收斂9、

10、二、計(jì)算題

〔共75分,每題15分1．設(shè)

〔1試求在上的三次Hermite插值多項(xiàng)式使?jié)M足以升冪形式給出。

〔2寫出余項(xiàng)的表達(dá)式計(jì)算.zjnu/szfx/material/mnst/t2.htm"題1.答案1、〔1

〔22．已知的滿足,試問如何利用構(gòu)造一個(gè)收斂的簡單迭代函數(shù),使0,1…收斂？計(jì)算e.zjnu/szfx/material/mnst/t2.htm"題2.答案2、由,可得,

3．試確定常數(shù)A,B,C和a,使得數(shù)值積分公式

有盡可能高的代數(shù)精度。試問所得的數(shù)值積分公式代數(shù)精度是多少？它是否為Gauss型的？計(jì)算題3.答案3、,該數(shù)值求積公式具有5次代數(shù)精確度,它是Gauss型的4．推導(dǎo)常微分方程的初值問題的數(shù)值解公式：

〔提示：利用Simpson求積公式。計(jì)算題4.答案4、數(shù)值積分方法構(gòu)造該數(shù)值解公式：對方程在區(qū)間上積分,得,記步長為h,對積分用Simpson求積公式得

所以得數(shù)值解公式：5．

利用矩陣的LU分解法解方程組計(jì)算題5.答案5、解：三、證明題〔5分1．設(shè)

,證明解的Newton迭代公式是線性收斂的。證明題答案1、

一、填空題〔20分<1>.設(shè)是真值的近似值,則有

位有效數(shù)字。<2>.對,差商<

>。<3>.設(shè),則

。<4>.牛頓—柯特斯求積公式的系數(shù)和

。填空題答案〔13

〔21

〔37

〔41二、計(jì)算題1>.〔15分用二次拉格朗日插值多項(xiàng)式的值。

插值節(jié)點(diǎn)和相應(yīng)的函數(shù)值是〔0,0,〔0.30,0.2955,〔0.40,0.3894。計(jì)算3.htm"題1.答案12>.〔15分用二分法求方程區(qū)間內(nèi)的一個(gè)根,誤差限。計(jì)算題2.答案2>

3>.〔15分用高斯-塞德爾方法解方程組,取,迭代三次<要求按五位有效數(shù)字計(jì)算>.。計(jì)算題3.答案

3迭代公式

4>.〔15分求系數(shù)。計(jì)算題4.答案45>.<10分>對方程組

試建立一種收斂的Seidel迭代公式,說明理由計(jì)算題5.答案

5>解：調(diào)整方程組的位置,使系數(shù)矩陣嚴(yán)格對角占優(yōu)故對應(yīng)的高斯—塞德爾迭代法收斂.迭代格式為

取,經(jīng)7步迭代可得：.

三、簡答題1>〔5分在你學(xué)過的線性方程組的解法中,你最喜歡那一種方法,為什么?2>〔5分先敘述Gauss求積公式,再闡述為什么要引入它。簡答題答案1憑你的理解去敘述。2參看書本99頁。一、填空題〔20分1.若a=2.42315是2.42247的近似值,則a有<

>位有效數(shù)字.2.

是以為插值節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù),則

<

>.3.

設(shè)f<x>可微,則求方程的牛頓迭代格式是<

>.4.

迭代公式收斂的充要條件是

。5.解線性方程組Ax=b<其中A非奇異,b不為0>的迭代格式中的B稱為<

>.給定方程組,解此方程組的雅可比迭代格式為<

>。填空題答案1．32.

3.4.

5.迭代矩陣,

二、判斷題〔共10分1.

若,則在內(nèi)一定有根。

<

>2.

區(qū)間[a,b]上的三次樣條函數(shù)是一個(gè)次數(shù)不超過三次的多項(xiàng)式。

<

>3.

若方陣A的譜半徑,則解方程組Ax=b的Jacobi迭代法收斂。

<

>4.

若f<x>與g<x>都是n次多項(xiàng)式,且在n+1個(gè)互異點(diǎn)上,則。

<

>5.

用近似表示產(chǎn)生舍入誤差。

<

>判斷題答案1.×

2.×

3.×

4.√

5.×三、計(jì)算題〔70分1.

〔10分已知f<0>＝1,f<3>＝2.4,f<4>＝5.2,求過這三點(diǎn)的二次插值基函數(shù)l1<x>=<

>,=<

>,插值多項(xiàng)式P2<x>=<

>,用三點(diǎn)式求得<

>.計(jì)算"題1.答案1．2.〔15分已知一元方程。1求方程的一個(gè)含正根的區(qū)間；2給出在有根區(qū)間收斂的簡單迭代法公式<判斷收斂性>；3給出在有根區(qū)間的Newton迭代法公式。計(jì)算題2.答案2.〔1〔2〔33.〔15分確定求積公式

的待定參數(shù),使其代數(shù)精度盡量高,并確定其代數(shù)精度.計(jì)算題3.答案4.〔15分設(shè)初值問題

.

<1>

寫出用Euler方法、步長h=0.1解上述初值問題數(shù)值解的公式；<2>

寫出用改進(jìn)的Euler法〔梯形法、步長h=0.2解上述初值問題數(shù)值解的公式,并求解,保留兩位小數(shù)。/material/mnst/t4.htm"計(jì)算題4.答案4.5.〔15分取節(jié)點(diǎn),求函數(shù)在區(qū)間上的二次插值多項(xiàng)式,并估計(jì)誤差。計(jì)算題5.答案5．

=1+2<

,一、填空題<每題4分,共20分>1、數(shù)值計(jì)算中主要研究的誤差有

和

。2、設(shè)是n次拉格朗日插值多項(xiàng)式的插值基函數(shù),則

；

。3、設(shè)是區(qū)間上的一組n次插值基函數(shù)。則插值型求積公式的代數(shù)精度為

；插值型求積公式中求積系數(shù)

；且

。4、辛普生求積公式具有

次代數(shù)精度,其余項(xiàng)表達(dá)式為

。5、則。填空題答案1.相對誤差

絕對誤差2.

13.至少是n

b-a4.3

5.1

0二、計(jì)算題1、已知函數(shù)的相關(guān)數(shù)據(jù)

由牛頓插值公式求三次插值多項(xiàng)式,并計(jì)算的近似值。計(jì)算題1.答案解：差商表由牛頓插值公式：2、〔10分利用尤拉公式求解初值問題,其中步長,。計(jì)算題2.答案解：3、〔15分確定求積公式。中待定參數(shù)的值,使求積公式的代數(shù)精度盡量高；并指出此時(shí)求積公式的代數(shù)精度。計(jì)算題3.答案解：分別將,代入求積公式,可得。令時(shí)求積公式成立,而時(shí)公式不成立,從而精度為3。4、〔15分已知一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：求它的擬合曲線〔直線。計(jì)算題4.答案解：設(shè)則可得于是,即。5、〔15分用二分法求方程在區(qū)間內(nèi)的根時(shí),若要求精確到小數(shù)點(diǎn)后二位,<1>需要二分幾次；<2>給出滿足要求的近似根。計(jì)算題5.答案解：6次；。6、〔15分用列主元消去法解線性方程組計(jì)算題6.答案解：即一、填空題〔25分1>.設(shè)x*=1.234是真值x=1.23445的近似值,則x*有

位有效數(shù)字。2>.

,

。3>.求方程根的牛頓迭代格式是

。4>.已知,則

,

。5>.方程求根的二分法的局限性是

。填空題答案14；

21,0；

3；47,6；5收斂速度慢,不能求偶重根。二、計(jì)算題1>.〔15分已知<1>用拉格朗日插法求的三次插值多項(xiàng)式；<2>求,使。計(jì)算題1.答案解：2>.〔15分試求使求積公式的代數(shù)精度盡量高,并求其代數(shù)精度。計(jì)算題2.答案解：由等式對精確成立得：

,解此方程組得

又當(dāng)時(shí)

左邊右邊

此公式的代數(shù)精度為23>.〔15分取步長h=0.2,用梯形法解常微分方程初值問題

計(jì)算題3.答案3梯形法為即

迭代得

4>.〔15分用列主元消去法求解方程組并求出系數(shù)矩陣A的行列式detA的值.計(jì)算題4.答案解：先選列主元,2行與1行交換得消元；3行與2行交換；消元；回代得解；行列式得5>.〔15分用牛頓<切線>法求的近似值。取x0=1.7,計(jì)算三次,保留五位小數(shù)。計(jì)算題5.答案

5>.解：是的正根,,牛頓迭代公式為,

即

取x0=1.7,列表如下：一、填空題<每題4分,共20分>1、辛普生求積公式具有

次代數(shù)精度,其余項(xiàng)表達(dá)式為

。2、則。3、設(shè)是區(qū)間上的一組n次插值基函數(shù)。則插值型求積公式的代數(shù)精度為

；插值型求積公式中求積系數(shù)

；且

。4、設(shè)是n次拉格朗日插值多項(xiàng)式的插值基函數(shù),則

；

。5、按四舍五入原則數(shù)2.7182818與8.000033具有五位有效數(shù)字的近似值分別為

和

。填空題答案1、3

2、

3、

14、至少是n

5、

二、計(jì)算題1、〔10分已知數(shù)據(jù)如下：

求形如擬合函數(shù)。計(jì)算題1.答案解：2、〔15分用二次拉格朗日插值多項(xiàng)式計(jì)算。插值節(jié)點(diǎn)和相應(yīng)的函數(shù)值如下表。計(jì)算題2.答案解：過點(diǎn)的二次拉格朗日插值多項(xiàng)式為代值并計(jì)算得

。3、〔15分利用改進(jìn)的尤拉方法求解初值問題,其中步長。計(jì)算題3.答案

解：4、〔15分已知<1>推導(dǎo)以這三點(diǎn)為求積節(jié)點(diǎn)在上的插值型求積公式；<2>指明求積公式所具有的代數(shù)精度；<3>用所求公式計(jì)算。計(jì)算題4.〔1答案計(jì)算題4.〔2&〔3答案〔2所求的求積公式是插值型,故至少具有2次代數(shù)精度,再將代入上述公式,可得故代數(shù)精度是3次?！?由〔2可得：。<1>所求插值型的求積公式形如：。5、〔15分討論用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解方程組Ax=b的收斂性,如果收斂,比較哪種方法收斂快。其中.計(jì)算題5.答案解：

三、簡述題〔本題10分?jǐn)⑹鲈跀?shù)值運(yùn)算中,誤差分析的方法與原則是什么？簡述題答案解：數(shù)值運(yùn)算中常用的誤差分析的方法有：概率分析法、向后誤差分析法、區(qū)間分析法等。

誤差分析的原則有：1要避免除數(shù)絕對值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于被除數(shù)絕對值的除法；2要避免兩近數(shù)相減；3要防止大數(shù)吃掉小數(shù)：4注意簡化計(jì)算步驟,減少運(yùn)算次數(shù)。一、

填空〔共25分,每題5分1、,則A的譜半徑＝

2、設(shè)則

和

3、若x=1.345678,,則x*的近似數(shù)具有

位有效數(shù)字.

4、拋物線