第8章 假設(shè)檢驗(yàn)(修改)

第8章假設(shè)檢驗(yàn)了解假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想掌握假設(shè)檢驗(yàn)的步驟對(duì)實(shí)際問(wèn)題作假設(shè)檢驗(yàn)學(xué)習(xí)目標(biāo)：8.1假設(shè)檢驗(yàn)的基本問(wèn)題8.1.1假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題的提出8.1.2假設(shè)的表達(dá)式8.1.3兩類錯(cuò)誤8.1.4假設(shè)檢驗(yàn)的流程假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題的提出現(xiàn)實(shí)生活中，我們經(jīng)常作出的論斷：上海2006年畢業(yè)生首月平均工資2317元我們學(xué)校去年的cet-4合格率為98%上月參與購(gòu)買彩票的彩民中，80%以上的中獎(jiǎng)?lì)~在100元以下？上述內(nèi)容都是關(guān)于總體參數(shù)的一種陳述；如果根據(jù)樣本資料得到的樣本指標(biāo)與它不符，是否能夠說(shuō)明假設(shè)是錯(cuò)誤的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題的提出假設(shè)假設(shè)檢驗(yàn)的例子[例8.1]可口可樂(lè)公司生產(chǎn)的雪碧飲料標(biāo)簽說(shuō)明其容量為250ml，標(biāo)準(zhǔn)差4ml?，F(xiàn)在從市場(chǎng)上隨機(jī)抽取50瓶，發(fā)現(xiàn)飲料平均容量為248ml。能否據(jù)此判定可口可樂(lè)公司的產(chǎn)品有欺詐行為？問(wèn)題8.1的分析產(chǎn)品的標(biāo)簽意味著產(chǎn)品總體的平均數(shù)為μ=250ml，總體的標(biāo)準(zhǔn)差σ=4ml。調(diào)查的樣本平均數(shù)為=248ml2ml的差距原因可能源于抽樣誤差廠商不誠(chéng)信那么，如何區(qū)別這兩種原因呢？統(tǒng)計(jì)上就可以對(duì)其進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)—假定來(lái)源于第一種原因因?yàn)槌闃诱`差是我們能夠計(jì)算和控制的，因此假設(shè)樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)的差距完全是由于抽樣誤差引起的；根據(jù)抽樣推斷的理論，給定概率保證度，可以確定z的大小，使得下面的式子可以接受：例如，當(dāng)概率保證度為99%時(shí)，zα/2=2.58。小概率事件：在一次試驗(yàn)中，幾乎不可能發(fā)生的事件。例題的檢驗(yàn)與結(jié)論由已知，說(shuō)明，經(jīng)過(guò)一次抽樣(試驗(yàn))，小概率事件發(fā)生了，這違背了小概率事件的原理。問(wèn)題出現(xiàn)在哪里？假設(shè)不成立，即2ml的差距不僅僅是由于抽樣誤差引起的，很有可能(99%)是廠商的缺斤少兩。假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想事先對(duì)總體參數(shù)或分布形式作出某種假設(shè)，然后利用樣本信息來(lái)判斷原假設(shè)是否成立采用邏輯上的反證法，依據(jù)統(tǒng)計(jì)上的小概率原理小概率原理：如果對(duì)總體的某種假設(shè)是真實(shí)的，那么不利于或不能支持這一假設(shè)的事件A（小概率事件）在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生的；如果在一次試驗(yàn)中A竟然發(fā)生了，就有理由懷疑該假設(shè)的真實(shí)性，拒絕這一假設(shè)。假設(shè)的表達(dá)形式原假設(shè)什么是原假設(shè)？(nullhypothesis)待檢驗(yàn)的假設(shè)，又稱“0假設(shè)”研究者想收集證據(jù)予以反對(duì)的假設(shè)3. 總是有等號(hào),或4. 表示為H0，如：H0：

某一數(shù)值例如,H0：

250ml什么是備擇假設(shè)？(alternativehypothesis)與原假設(shè)對(duì)立的假設(shè)，也稱“研究假設(shè)”研究者想收集證據(jù)予以支持的假設(shè)總是有不等號(hào):

,

或表示為H1H1：

<某一數(shù)值，或某一數(shù)值例如,H1：

<250ml，或250ml備擇假設(shè)假設(shè)檢驗(yàn)的流程提出假設(shè)確定適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量規(guī)定顯著性水平計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值；作出統(tǒng)計(jì)決策假設(shè)檢驗(yàn)的流程11提出有關(guān)總體參數(shù)的假設(shè)：一般包含兩部分：原假設(shè)H0和備擇假設(shè)H1根據(jù)問(wèn)題的不同，假設(shè)提出的形式有所不同：對(duì)前面的例題分別提出不同的假設(shè):目的不同

雙側(cè)檢驗(yàn)：H0：μ=μ0

，H1：μ≠μ0單側(cè)檢驗(yàn)：H0：μ≥μ0

，H1：μ＜μ0

H0：μ≤μ0

，H1：μ＞μ0雙側(cè)檢驗(yàn)與單側(cè)檢驗(yàn)

(假設(shè)的形式)假設(shè)研究的問(wèn)題雙側(cè)檢驗(yàn)左側(cè)檢驗(yàn)右側(cè)檢驗(yàn)H0m=m0m

m0m

m0H1m≠m0m<m0m>m0雙側(cè)檢驗(yàn)

(原假設(shè)與備擇假設(shè)的確定)概念：屬于決策中的假設(shè)檢驗(yàn)，不論是拒絕H0還是不拒絕H0，都必需采取相應(yīng)的行動(dòng)措施例如，某種零件的尺寸，要求其平均長(zhǎng)度為10cm，大于或小于10cm均屬于不合格我們想要證明(檢驗(yàn))大于或小于這兩種可能性中的任何一種是否成立因此，建立的原假設(shè)與備擇假設(shè)應(yīng)為

H0:

=10H1:

10雙側(cè)檢驗(yàn)

(顯著性水平與拒絕域)抽樣分布H0值臨界值臨界值a/2a/2

樣本統(tǒng)計(jì)量拒絕域拒絕域1-置信水平單側(cè)檢驗(yàn)：左側(cè)檢驗(yàn)

(顯著性水平與拒絕域)H0值臨界值a樣本統(tǒng)計(jì)量拒絕域抽樣分布1-置信水平H0：μ≥μ0

，H1：μ＜μ0假設(shè)檢驗(yàn)的流程22設(shè)計(jì)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量設(shè)計(jì)要求：所設(shè)計(jì)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量應(yīng)該與總體參數(shù)有關(guān)當(dāng)H0為真時(shí)，該統(tǒng)計(jì)量的真實(shí)分布已知假設(shè)檢驗(yàn)的流程3，43給定顯著性水平和相應(yīng)的臨界值顯著性水平α的含義：

H0為真時(shí)，拒絕H0的概率α通常的取值α所確定的H0的接收域和拒絕域C

相同的α對(duì)于單尾檢驗(yàn)和雙尾檢驗(yàn)確定的區(qū)域不同4根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算統(tǒng)計(jì)量，并做出決策假設(shè)檢驗(yàn)中的兩類錯(cuò)誤假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤和檢驗(yàn)規(guī)則檢驗(yàn)決策H0為真H0非真

拒絕H0

第I類錯(cuò)誤（α）正確 接受H0正確第II類錯(cuò)誤（β） I類錯(cuò)誤——棄真錯(cuò)誤，發(fā)生的概率為αII類錯(cuò)誤——取偽錯(cuò)誤，發(fā)生的概率為β審判被告原假設(shè)：被告無(wú)罪，備擇假設(shè)：被告有罪。法庭可能犯的第Ⅰ類錯(cuò)誤是：被告無(wú)罪但判他有罪，即冤枉了好人；法庭可能犯的第Ⅱ類錯(cuò)誤是：被告有罪但判他無(wú)罪，即放過(guò)了壞人。為了減少冤枉好人的概率，應(yīng)盡可能接受原假設(shè)，判被告無(wú)罪，這可能增大了放過(guò)壞人的概率。US法庭采用無(wú)罪推定的審判準(zhǔn)則真實(shí)情況:樣本來(lái)自μ=μ0的總體真實(shí)情況:樣本來(lái)自μ=μ1的總體接受H0:μ=μ0拒絕H0判斷正確判斷錯(cuò)誤(II)判斷錯(cuò)誤(I)判斷正確8.2一個(gè)總體參數(shù)的檢驗(yàn)8.2.1檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的確定8.2.2總體均值的檢驗(yàn)8.2.3總體比例的檢驗(yàn)8.2.4總體方差的檢驗(yàn)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的確定假設(shè)檢驗(yàn)最關(guān)鍵的步驟：設(shè)計(jì)合適的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，其一般形式：檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的設(shè)計(jì)，主要考慮下面的因素：1樣本容量2總體標(biāo)準(zhǔn)差是否已知一個(gè)總體參數(shù)的檢驗(yàn)Z檢驗(yàn)（單尾和雙尾）t檢驗(yàn)（單尾和雙尾）Z檢驗(yàn)（單尾和雙尾）

2檢驗(yàn)（單尾和雙尾）均值一個(gè)總體比例方差總體均值檢驗(yàn)總體均值的檢驗(yàn)

(檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量)總體是否已知？用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S代替t檢驗(yàn)小樣本量n否是z檢驗(yàn)

z檢驗(yàn)大總體均值的檢驗(yàn)

(2

已知或2未知大樣本)1. 假定條件總體服從正態(tài)分布若不服從正態(tài)分布,可用正態(tài)分布來(lái)近似(n30)使用Z-統(tǒng)計(jì)量2

已知：2

未知：2

已知均值的檢驗(yàn)

(例題分析)【例】某機(jī)床廠加工一種零件，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道，該廠加工零件的橢圓度近似服從正態(tài)分布，其總體均值為0=0.081mm，總體標(biāo)準(zhǔn)差為=0.025

。今換一種新機(jī)床進(jìn)行加工，抽取n=200個(gè)零件進(jìn)行檢驗(yàn)，得到的橢圓度為0.076mm。試問(wèn)新機(jī)床加工零件的橢圓度的均值與以前有無(wú)顯著差異？（＝0.05）2

已知均值的檢驗(yàn)

(例題分析)H0:

=0.081H1:

0.081

=

0.05n

=

200臨界值:檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:Z01.96-1.96.025拒絕H0拒絕H0.025決策:結(jié)論:

在

=0.05的水平上拒絕H0有證據(jù)表明新機(jī)床加工的零件的橢圓度與以前有顯著差異2

已知均值的檢驗(yàn)

(小樣本例題分析)【例】根據(jù)過(guò)去大量資料，某廠生產(chǎn)的燈泡的使用壽命服從正態(tài)分布N~(1020，1002)?，F(xiàn)從最近生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取16只，測(cè)得樣本平均壽命為1080小時(shí)。試在0.05的顯著性水平下判斷這批產(chǎn)品的使用壽命是否有顯著提高？(＝0.05)2

已知均值的檢驗(yàn)

(小樣本例題分析)H0:

1020H1:>1020

=

0.05n

=

16臨界值(s):檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:在

=0.05的水平上拒絕H0有證據(jù)表明這批燈泡的使用壽命有顯著提高決策:結(jié)論:Z0拒絕域0.051.6452

未知大樣本均值的檢驗(yàn)

(例題分析)【例】某電子元件批量生產(chǎn)的質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)為平均使用壽命1200小時(shí)。某廠宣稱他們采用一種新工藝生產(chǎn)的元件質(zhì)量大大超過(guò)規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)。為了進(jìn)行驗(yàn)證，隨機(jī)抽取了100件作為樣本，測(cè)得平均使用壽命1245小時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差300小時(shí)。能否說(shuō)該廠生產(chǎn)的電子元件質(zhì)量顯著地高于規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)？(＝0.05)單側(cè)檢驗(yàn)2

未知大樣本均值的檢驗(yàn)

(例題分析)H0:1200H1:>1200

=

0.05n=

100臨界值(s):檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:在

=0.05的水平上不拒絕H0不能認(rèn)為該廠生產(chǎn)的元件壽命顯著地高于1200小時(shí)決策:結(jié)論:Z0拒絕域0.051.645總體均值的檢驗(yàn)

(2未知小樣本)1. 假定條件總體為正態(tài)分布2未知，且小樣本2. 使用t

統(tǒng)計(jì)量2

未知小樣本均值的檢驗(yàn)

(例題分析)【例】某機(jī)器制造出的肥皂厚度為5cm，今欲了解機(jī)器性能是否良好，隨機(jī)抽取10塊肥皂為樣本，測(cè)得平均厚度為5.3cm，標(biāo)準(zhǔn)差為0.3cm，試以0.05的顯著性水平檢驗(yàn)機(jī)器性能良好的假設(shè)。2

未知小樣本均值的檢驗(yàn)

(例題分析)H0:=5H1:

5

=0.05df=10-1=9臨界值(s):檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:在

=0.05的水平上拒絕H0說(shuō)明該機(jī)器的性能不好

決策：結(jié)論：t02.262-2.262.025拒絕H0拒絕H0.0252

未知小樣本均值的檢驗(yàn)

(例題分析)

【例】一個(gè)汽車輪胎制造商聲稱，某一等級(jí)的輪胎的平均壽命在一定的汽車重量和正常行駛條件下大于40000公里，對(duì)一個(gè)由20個(gè)輪胎組成的隨機(jī)樣本作了試驗(yàn)，測(cè)得平均值為41000公里，標(biāo)準(zhǔn)差為5000公里。已知輪胎壽命的公里數(shù)服從正態(tài)分布，我們能否根據(jù)這些數(shù)據(jù)作出結(jié)論，該制造商的產(chǎn)品同他所說(shuō)的標(biāo)準(zhǔn)相符？(

=0.05)均值的單尾t檢驗(yàn)

(計(jì)算結(jié)果)H0:

40000H1:

<40000

=0.05df=20-1=19臨界值(s):檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:

在

=0.05的水平上不拒絕H0不能認(rèn)為制造商的產(chǎn)品同他所說(shuō)的標(biāo)準(zhǔn)不相符決策:

結(jié)論:

-1.7291t0拒絕域.05總體比例的檢驗(yàn)

(Z

檢驗(yàn))一個(gè)總體比例檢驗(yàn)假定條件有兩類結(jié)果總體服從二項(xiàng)分布可用正態(tài)分布來(lái)近似比例檢驗(yàn)的Z統(tǒng)計(jì)量0為假設(shè)的總體比例一個(gè)總體比例的檢驗(yàn)

(例題分析)【例】一項(xiàng)統(tǒng)計(jì)結(jié)果聲稱，某市老年人口（年齡在65歲以上）的比重為14.7%，該市老年人口研究會(huì)為了檢驗(yàn)該項(xiàng)統(tǒng)計(jì)是否可靠，隨機(jī)抽選了400名居民，發(fā)現(xiàn)其中有57人年齡在65歲以上。調(diào)查結(jié)果是否支持該市老年人口比重為14.7%的看法？(=0.05)一個(gè)總體比例的檢驗(yàn)

(例題分析)H0:

=14.7%H1:

14.7%

=0.05n

=400臨界值(s):檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:在

=0.05的水平上不拒絕H0該市老年人口比重為14.7%決策:結(jié)論:Z01.96-1.96.025拒絕H0拒絕H0.025總體方差的檢驗(yàn)

(2檢驗(yàn))方差的卡方(2)

檢驗(yàn)檢驗(yàn)一個(gè)總體的方差或標(biāo)準(zhǔn)差假設(shè)總體近似服從正態(tài)分布檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量樣本方差假設(shè)的總體方差方差的卡方(2)

檢驗(yàn)

(例題分析)【例】某廠商生產(chǎn)出一種新型的飲料裝瓶機(jī)器，按設(shè)計(jì)要求，該機(jī)器裝一瓶一升(1000cm3)的飲料誤差上下不超過(guò)1cm3。如果達(dá)到設(shè)計(jì)要求，表明機(jī)器的穩(wěn)定性非常好?，F(xiàn)從該機(jī)器裝完的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取25瓶，分別進(jìn)行測(cè)定(用樣本減1000cm3)，得到如下結(jié)果。檢驗(yàn)該機(jī)器的性能是否達(dá)到設(shè)計(jì)要求

(=0.05)0.3-0.4-0.71.4-0.6-0.3-1.50.6-0.91.3-1.30.71-0.50-0.60.7-1.5-0.2-1.9-0.51-0.2-0.61.1綠色健康飲品綠色健康飲品方差的卡方(2)

檢驗(yàn)

(例題分析)H0:

2=1H1:

2

1

=0.05df=

25-1=24臨界值(s):統(tǒng)計(jì)量:

在

=0.05的水平上不拒絕H0不能認(rèn)為該機(jī)器的性能未達(dá)到設(shè)計(jì)要求

2039.3612.40/2=.05決策:結(jié)論:8.3兩個(gè)總體參數(shù)的檢驗(yàn)8.3.1檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的確定8.3.2兩個(gè)總體均值之差的檢驗(yàn)兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn)兩個(gè)總體的檢驗(yàn)Z

檢驗(yàn)(大樣本)t

檢驗(yàn)(小樣本)t

檢驗(yàn)(小樣本)Z檢驗(yàn)F

檢驗(yàn)均值比例方差獨(dú)立樣本總體均值之差的檢驗(yàn)兩個(gè)總體均值之差的檢驗(yàn)

(12、22

已知)1. 假定條件兩個(gè)樣本是獨(dú)立的隨機(jī)樣本兩個(gè)總體都是正態(tài)分布若不是正態(tài)分布,可以用正態(tài)分布來(lái)近似(n130和n230)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為兩個(gè)總體均值之差的檢驗(yàn)

(假設(shè)的形式)假設(shè)研究的問(wèn)題沒(méi)有差異有差異均值1均值2均值1<均值2均值1均值2均值1>均值2H0

1–2=0

1–20

1–20H1

1–20

1–2<0

1–2>0兩個(gè)總體均值之差的檢驗(yàn)

(例題分析)

雙側(cè)檢驗(yàn)！【例】有兩種方法可用于制造某種以抗拉強(qiáng)度為重要特征的產(chǎn)品。根據(jù)以往的資料得知，第一種方法生產(chǎn)出的產(chǎn)品其抗拉強(qiáng)度的標(biāo)準(zhǔn)差為8公斤，第二種方法的標(biāo)準(zhǔn)差為10公斤。從兩種方法生產(chǎn)的產(chǎn)品中各抽取一個(gè)隨機(jī)樣本，樣本量分別為n1=32，n2=40，測(cè)得x1=50公斤，x2=44公斤。問(wèn)這兩種方法生產(chǎn)的產(chǎn)品平均抗拉強(qiáng)度是否有顯著差別？(=0.05)兩個(gè)總體均值之差的檢驗(yàn)

(例題分析)H0:

1-2=0H1:1-2

0

=

0.05n1