控制測(cè)量學(xué)課件第12講

第8章橢球面元素歸算到高斯平面-高斯投影第12講

第8章橢球面元素歸算到高斯平面-高斯投影對(duì)于采用傳統(tǒng)的測(cè)角、測(cè)邊方法建立大地控制網(wǎng)，在不可忽略地球曲率時(shí)，必須將觀測(cè)值歸算到參考橢球面上，在橢球面上進(jìn)行計(jì)算。橢球面上的計(jì)算是非常復(fù)雜的，另一方面大地坐標(biāo)系統(tǒng)對(duì)于工程應(yīng)用也十分不便，所以城市規(guī)劃與建設(shè)、交通、水利等土木工程項(xiàng)目中，由于建設(shè)范圍不大，實(shí)際工作中還是采用平面坐標(biāo)系統(tǒng)。高等級(jí)大地測(cè)量將觀測(cè)值歸算到橢球面，在橢球面上計(jì)算建立全國(guó)統(tǒng)一的控制網(wǎng)，然后通過(guò)高斯投影方法，將大地坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為高斯平面坐標(biāo)。通過(guò)這樣的步驟，高斯平面坐標(biāo)和大地坐標(biāo)即建立了一一對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)換關(guān)系，即高斯平面坐標(biāo)和大地坐標(biāo)可以相互轉(zhuǎn)換。第8章橢球面元素歸算到高斯平面-高斯投影高斯平面坐標(biāo)和將地面近似視為平面，所建立的獨(dú)立平面坐標(biāo)系統(tǒng)是有本質(zhì)區(qū)別的。從橢球面到平面，投影變形不可避免。為控制變形，高斯平面坐標(biāo)分投影帶。雖然各帶高斯坐標(biāo)原點(diǎn)不同，X軸的方向也不平行，但是各帶高斯平面坐標(biāo)可以反算為大地坐標(biāo)，這樣以大地坐標(biāo)為紐帶，高斯平面坐標(biāo)也是統(tǒng)一大地坐標(biāo)系統(tǒng)下的一部分，而獨(dú)立坐標(biāo)系統(tǒng)則是孤立的，各獨(dú)立坐標(biāo)系統(tǒng)之間和與大地坐標(biāo)系統(tǒng)之間沒(méi)有聯(lián)系，也不能換算?？刂品秶^小時(shí)，將地面視為平面，長(zhǎng)度觀測(cè)值不作歸算處理，這樣控制點(diǎn)坐標(biāo)反算的水平邊長(zhǎng)與實(shí)測(cè)水平邊長(zhǎng)基本上一致。高斯平面坐標(biāo)，經(jīng)過(guò)了歸算和投影，長(zhǎng)度觀測(cè)值存在變形，控制點(diǎn)坐標(biāo)反算的邊長(zhǎng)和實(shí)測(cè)水平邊長(zhǎng)，理論上也不相等。8.1.1、地圖數(shù)學(xué)投影變換的意義和投影方程地圖數(shù)學(xué)投影是指將橢球面上元素按數(shù)學(xué)法則投影到平面上。橢球面是不可展曲面,橢球面元素投影到平面,變形不可避免。地圖投影根據(jù)對(duì)變形的不同取舍,形成了不同的投影方法,研究投影問(wèn)題的學(xué)科就成為地圖投影學(xué)。投影數(shù)學(xué)法則可用兩個(gè)方程式概括：（8－4）只是一個(gè)定義公式，其中F1

和F2

稱(chēng)為投影函數(shù)，它們是由“一定的數(shù)學(xué)規(guī)則”所決定的。不同的投影方法對(duì)應(yīng)的F1

、F2

不同。如果F1

和F2

的形式已經(jīng)確定，即可由大地坐標(biāo)求得平面直角坐標(biāo)。8.1地圖數(shù)學(xué)投影的基本變換（8－4）8.1地圖數(shù)學(xué)投影的基本變換8.1.2、地圖投影的變形1.長(zhǎng)度比不同的點(diǎn)長(zhǎng)度比不同，同一點(diǎn)不同的方向，長(zhǎng)度比也不同。2.主方向和變形橢圓長(zhǎng)度比依方向不同而變化，其中最大及最小長(zhǎng)度比方向稱(chēng)為主方向。在橢球面上任意點(diǎn)，必有一對(duì)相互垂直的方向，在平面上的投影方向也是相互垂直的。這兩個(gè)方向就是長(zhǎng)度比的極值方向，也稱(chēng)為主方向。已知主方向上長(zhǎng)度比，可以計(jì)算任意方向上的長(zhǎng)度比，從而構(gòu)成以?xún)蓚€(gè)長(zhǎng)度比極值為長(zhǎng)短軸的橢圓，稱(chēng)為變形橢圓。8.1.2、地圖投影的變形2.主方向和變形橢圓

8.1.2、地圖投影的變形OAPBO'A'P'B'xy

橢球面ξη投影平面設(shè)橢球面上有以o點(diǎn)為中心的單位微分圓,兩個(gè)主方向分別為ξ軸和η軸,微分圓上一點(diǎn)p，坐標(biāo)分別為ξ和η,則單位微分圓方程為：在投影面上，設(shè)o點(diǎn)的投影點(diǎn)為o′,主方向投影為x,y.p的投影點(diǎn)p′坐標(biāo)為x,y，已知主方向投影比分別為a,b,所以有：可見(jiàn)橢圓上的微分圓，投影后為微分橢圓(變形橢圓)，主方向投影后變?yōu)闄E圓長(zhǎng)軸和短軸。在變形橢圓上,某方向的向徑就是該方向的長(zhǎng)度比。主方向的長(zhǎng)度比分別為a和b,3.投影變形1)長(zhǎng)度變形

8.1.2、地圖投影的變形2)方向變形設(shè)原方位角為α,投影后方位角為就稱(chēng)為方向變形，并且有：OAPBO'A'P'B'xy

橢球面ξη投影平面稱(chēng)為相對(duì)長(zhǎng)度變形,簡(jiǎn)稱(chēng)長(zhǎng)度變形（8－11）3)角度變形：投影前角度與投影后角度之差：

8.1.2、地圖投影的變形

最大角度變形：（8－19）（8－24）4)面積變形：微分單位圓面積與投影后面積之比：,p和1的差稱(chēng)為面積變形相對(duì)變形，簡(jiǎn)稱(chēng)面積變形。8.1.3、地圖投影的分類(lèi)1.按投影面來(lái)分：平面投影、圓錐投影、圓柱投影等2.按變形性質(zhì)來(lái)分：等角、等面積、任意投影等

3.按創(chuàng)始人的姓名命名的，如蘭勃特、墨卡托、高斯投影等8.2.1控制測(cè)量對(duì)地圖投影的要求8.2高斯投影概述控制測(cè)量對(duì)投影方法的要求是：①.計(jì)算方便，②，變形能夠控制在可接受的范圍內(nèi)。高斯投影優(yōu)點(diǎn)是：1.高斯投影屬于正形投影，正形投影特點(diǎn)是投影后角度不變，傳統(tǒng)的大地測(cè)量方法是三角測(cè)量方法，采用正形投影給計(jì)算工作帶來(lái)很大方便。2.在微小范圍內(nèi)，等角投影能保持投影圖形和原圖形的相似性。3.投影長(zhǎng)度比僅與點(diǎn)位置有關(guān)，而和方向無(wú)關(guān)。高斯投影能夠滿(mǎn)足控制測(cè)量和地圖制圖的基本要求，因而世界上許多國(guó)家都采用高斯投影方法。高斯－克呂格投影又稱(chēng)為等角橫切橢圓柱投影。是高斯于十九世紀(jì)二十年代提出的，后經(jīng)德國(guó)大地測(cè)量學(xué)家克呂格于1912年補(bǔ)充和完善，因而稱(chēng)高斯－克呂格投影，簡(jiǎn)稱(chēng)高斯投影。1.高斯投影原理:設(shè)想有一橢圓柱面橫套在橢球體外，并與一子午線相切，橢園柱中心通過(guò)橢球中心。與橢園柱相切的子午線稱(chēng)為中央子午線，將中央子午線兩側(cè)一定范圍內(nèi)的元素投影（歸算）到橢球柱面上，由于橢球柱面是可展曲面，將其縱向拋開(kāi)，即展為投影平面上的元素。8.2.2高斯投影的基本概念由圖8-78-8可見(jiàn)：①.中央子午線與橢圓柱相切，因而投影后為一直線；②.中央子午線投影后長(zhǎng)度不變。圖8-78-88.2.2高斯投影的基本概念2.高斯投影分帶①.分帶目的:控制長(zhǎng)度變形②.分帶方法:以子午線為界,把橢球面劃分成若干個(gè)經(jīng)差相等的狹長(zhǎng)投影帶,以各投影帶中央的經(jīng)線為中央子午線,分別進(jìn)行高斯投影。3.我國(guó)采用的投影分帶方法①.六度帶：自零子午線起向東劃分，每隔60為一帶。②.三度帶：每3度為一帶，其中央子午線在奇數(shù)帶與六度帶中央子午線一致；偶數(shù)帶則與六度帶的分帶子午線重合。③.1.5°帶或任意帶:

工程測(cè)量控制網(wǎng)也可采用1.5°帶或任意帶，但為了測(cè)量成果的通用，需同國(guó)家6°或3°帶建立聯(lián)系。

8.2.2高斯投影的基本概念6度帶自格林尼治子午線起，自西向東起，每隔6度為一帶。3度帶是從東經(jīng)1.5度起，每個(gè)3度為1帶。設(shè)6度帶和3度帶帶號(hào)分別用n和（）表示，6度帶中央子午線經(jīng)度為，3度帶中央子午線經(jīng)度為。則：高斯投影面上中央子午線與赤道線是兩條正交的直線，將其分別作為直角坐標(biāo)系的縱橫坐標(biāo)軸，就構(gòu)成高斯平面坐標(biāo)系。我國(guó)位于北半球，x坐標(biāo)均為正，而y坐標(biāo)位于中央子午線西側(cè)時(shí)會(huì)為負(fù)，為使y坐標(biāo)不出現(xiàn)負(fù)值，我國(guó)規(guī)定高斯平面坐標(biāo)統(tǒng)一在y值上加500km，并在前面冠以帶號(hào)。由于當(dāng)圖形元素分別位于兩個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)時(shí)使用不便，所以規(guī)定每個(gè)投影帶要有一定的重疊度，以便邊緣地區(qū)控制點(diǎn)的位于同一坐標(biāo)系統(tǒng)，也方便地形圖的拼接、使用。Y坐標(biāo)加常數(shù)的高斯平面直角坐標(biāo)系

A

??

B

xyxyXY

A

??

B

8.2.2高斯投影的基本概念（a）自然坐標(biāo)（b）通用坐標(biāo)西移500km例：在六度帶第19帶中A、B兩點(diǎn)自然坐標(biāo)通用坐標(biāo)8.2.2高斯投影的基本概念高斯投影3度帶與6度帶中央子午線對(duì)應(yīng)情況

圖8－98.2.3橢球面三角系化算到高斯投影面圖8－19中，橢球面上有一頂點(diǎn)為P、K、Q、M、T的橢球面三角網(wǎng)被化算到高斯平面上，大地線化算（投影）到平面后，三角網(wǎng)邊長(zhǎng)變?yōu)榘枷蚩v軸，長(zhǎng)度變長(zhǎng)的曲線。圖8－198.2.3橢球面三角系化算到高斯投影面要化為平面三角形，需要用弦線來(lái)代替弧線，為此要加方向改正、距離改正。平面坐標(biāo)系統(tǒng)采用坐標(biāo)方位角，它與投影后沒(méi)有變化的大地方位角相差一個(gè)微小的角度，稱(chēng)為子午線收斂角，將大地方位角改化為坐標(biāo)方位角需要加子午線收斂角改正，曲線改為直線，需要對(duì)方向加方向改正。所以要將橢球三角網(wǎng)投影到平面上解算，其內(nèi)容有：8.2.3橢球面三角系化算到高斯投影面1、將起算點(diǎn)P的大地坐標(biāo)（L,B）歸算為高斯平面坐標(biāo)，這項(xiàng)工作稱(chēng)為高斯投影坐標(biāo)正算。反過(guò)來(lái)由(x,y)計(jì)算（L,B）的工作稱(chēng)為高斯投影坐標(biāo)反算。2、將橢球面上大地線方位角化算成高斯平面上相應(yīng)直線邊的坐標(biāo)方位角，為此需要加子午線收斂角、方向改化兩項(xiàng)改正。3、將橢球面上曲面三角形內(nèi)角改化為高斯平面上直線三角形內(nèi)角，為此各方向均要加方向改正數(shù)（曲率改正）。4、對(duì)于橢球面上的邊長(zhǎng)，歸算到高斯平面上后，除中央子午線上外，長(zhǎng)度均有不同程度的變長(zhǎng)，所以要加距離改正8.2.3橢球面三角系化算到高斯投影面由此可見(jiàn)，高斯投影包括的內(nèi)容為坐標(biāo)、方向（曲率）、邊長(zhǎng)、子午線收斂角等幾項(xiàng)改正計(jì)算工作。教材中同時(shí)使用“方向改正”和“曲率改正”。并且將其并列（67頁(yè)（3）），實(shí)際上兩者是同一個(gè)概念，這在對(duì)公式（8－３４）和前面（２）條款下的解釋也可以看出．8.3正形投影的一般條件正形投影是地圖投影的一種，而高斯投影又是正形投影的一種，即高斯投影是滿(mǎn)足正形投影一般條件和其特定條件下的一種地圖投影方法。正形投影區(qū)別于其他投影的特點(diǎn)是：“正形投影中長(zhǎng)度比與方向無(wú)關(guān)”，這是推導(dǎo)正形投影定義式的基本出發(fā)點(diǎn)。8.3正形投影的一般條件

圖（8－11）中橢球面上有一微分直角三角形

，其頂點(diǎn)大地坐標(biāo)已標(biāo)注在圖上。投影到高斯平面上后為，（圖8－12），高斯平面坐標(biāo)也已標(biāo)注在圖上了。（注意:標(biāo)注的頂點(diǎn)順序不對(duì)應(yīng),8-12中的p3′應(yīng)該是p4′.）圖8－11圖8－128.3正形投影的一般條件對(duì)應(yīng)圖8－11和8－12可得：（8－36）8.3正形投影的一般條件由此可得長(zhǎng)度比表達(dá)式：令：，則：（8－39），稱(chēng)q為等量緯度，因?yàn)閝只與緯度有關(guān)，所以可將dq和dl看作相互獨(dú)立變量的微分。由此長(zhǎng)度比公式表達(dá)式可寫(xiě)為：（8－37）8.3正形投影的一般條件（8－40）由于地圖投影就是要確定平面坐標(biāo)與大地坐標(biāo)間的關(guān)系式，等量緯度q與大地緯度B間有（8－39）式所確定的關(guān)系，所以投影問(wèn)題也可以看作建立(x,y)與(l,q)間的關(guān)系式。設(shè)有一般式：,求全微分得:（8－42）8.3正形投影的一般條件將（8－42）代入，并引入（8－43）式的符號(hào)，得到：由于正形投影的特性是長(zhǎng)度比與方向無(wú)關(guān)，所以要設(shè)法在（8－45）中引入方向元素。根據(jù)圖（8－11）,并顧及到:,

（8－44）（8－45）（8－46）就得到:

8.3正形投影的一般條件即:,將和代入（8－45）經(jīng)整理得：注意:(8-40)-(8-53)之間的公式,平行圈半徑r都寫(xiě)成了γ。根據(jù)上式可見(jiàn)，要使m與方向無(wú)關(guān)，必須有F=0,E=G。代入（8－43）式符號(hào)得到：（8－48）8.3正形投影的一般條件(8-50),由此整理（見(jiàn)70頁(yè)）可以得出：

（8－51）就是橢球面到平面的正形投影一般式，是正形投影必須遵循的一般法則。該公式在微分幾何中稱(chēng)為柯西－黎曼條件，也稱(chēng)為等角投影條件。

(8-51)8.3正形投影的一般條件由（8－51）式還可得出平面正形投影到橢球面的一般條件：

(8-52)相應(yīng)的長(zhǎng)度比公式又可寫(xiě)為：(8-53)8-51和8-52式是橢球面到平面及平面到橢球面正形投影的一般條件,是各類(lèi)正形投影都必須遵守的一般法則.8.3正形投影的一般條件柯西黎曼條件的幾何意義圖（8－13）中，A是橢球面上一點(diǎn)在平面上的投影，弧長(zhǎng)AB和AC分別是L=常數(shù)的子午微分弧段和B=常數(shù)的平行圈微分弧段在平面上的投影，γ是子午線收斂角。從相似三角形得到：圖（8－13）（8－54）(8-54)實(shí)際上應(yīng)用到等角投影的條件柯西黎曼條件的幾何意義據(jù)橢球上微分弧長(zhǎng)計(jì)算式，并顧及到投影長(zhǎng)度比m與方向無(wú)關(guān)（引入正形投影一般條件，并顧及到AB、AC長(zhǎng)度很短，投影長(zhǎng)度比m在此范圍視為常數(shù)），可得：，引用公式（8－42），并直接使用大地緯度B代替公式中等量緯度q