線性代數(shù)典型例題

一、計(jì)算排列的逆序數(shù)二、計(jì)算（證明）行列式三、克拉默法則典型例題1.行列式的定義二、行列式的計(jì)算（證明）2.行列式的性質(zhì)性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等．性質(zhì)3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)k，等于用數(shù)k乘此行列式．性質(zhì)4

行列式中如果有兩行（列）元素對(duì)應(yīng)成比例，則此行列式為零．性質(zhì)5

若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和，則D等于兩個(gè)行列式之和．性質(zhì)6

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列（行）對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變．性質(zhì)2

互換行列式的兩行（列），行列式變號(hào)．3.代數(shù)余子式的性質(zhì)4.典型的行列式1）上三角行列式

2）下三角行列式3）4）5）范德蒙德(Vandermonde)行列式常用方法1.定義法

利用定義計(jì)算（證明）．

2.化三角形法

利用行列式的性質(zhì)將行列式化為三角形行列式．5.降階法

利用按行（列）展開法則，化行列式為較低階行列式．6.遞推法

利用行列式的性質(zhì)，把一個(gè)行列式表示為具有相同結(jié)構(gòu)的較低階行列式的線性關(guān)系，再根據(jù)此關(guān)系式遞推求得行列式的值．7.數(shù)學(xué)歸納法．4.目標(biāo)法

利用已知行列式進(jìn)行計(jì)算．其中最重要的行列式是范德蒙德行列式．3.化簡(jiǎn)法

利用行列式性質(zhì)化簡(jiǎn)．

注意:一個(gè)行列式的計(jì)算方法往往不是唯一的，有時(shí)甚至需多種方法綜合使用．

由于行列式的計(jì)算方法很多，但具體到一個(gè)題目用什么方法求解往往不是一件容易決定的事情．應(yīng)注意行列式的特征，掌握了行列式的特征，也就自然找到了求解方法．解題提示1.定義法

用定義計(jì)算（證明）例1計(jì)算特征行列式中零元素比較多.解評(píng)注

從一般項(xiàng)入手，首先確定所有的非零項(xiàng)，然后確定每一項(xiàng)的符號(hào)，最后給出代數(shù)和.

這是用定義計(jì)算行列式的一般步驟.展開式中項(xiàng)的一般形式是例2設(shè)證明由行列式的定義，有評(píng)注本題證明兩個(gè)行列式相等，即證明兩點(diǎn):

一、兩個(gè)行列式有完全相同的項(xiàng)；

二、每一項(xiàng)所帶的符號(hào)相同.2.化三角形法特征1

行列式各行（列）元素的和都相同．例3計(jì)算分析行列式的特點(diǎn)是各行元素的和都相等，遇到這種情況，常常把各列都加到第一列，提取公因子后再化簡(jiǎn)．解提取第一列的公因子，得提取第一列的公因子，得提取第一列的公因子，得練習(xí)計(jì)算特征2

第一行、第一列及對(duì)角線元素除外，其余元素全為零的行列式．求第一行各元素的代數(shù)余子式之和例4解第一行各元素的代數(shù)余子式之和可以表示為目標(biāo):把第一列化為“箭”型行列式一般地可化為“箭”型行列式6(1)計(jì)算行列式解3.化簡(jiǎn)法例5計(jì)算解4.目標(biāo)行列式法例6計(jì)算

(1)利用范德蒙行列式計(jì)算行列式.

根據(jù)范德蒙行列式的特點(diǎn)，將所給行列式化為范德蒙行列式，然后根據(jù)范德蒙行列式計(jì)算出結(jié)果.解計(jì)算行列式解將D的第1行加到第3行，得例7計(jì)算解(2)利用典型行列式.5．降階法利用行列式的性質(zhì)將所給行列式的某行(列)化成只含有一個(gè)非零元素，然后按此行(列)展開，每展開一次，行列式的階數(shù)可降低1階，如此繼續(xù)進(jìn)行，直到行列式能直接計(jì)算出來為止(一般展開成二階行列式）.這種方法對(duì)階數(shù)不高的數(shù)字行列式比較適用.6．遞推法行列式某一行（列）至多有兩個(gè)非零元素．一般按此行（列）展開．例1-17計(jì)算行列式解按第1行展開，得即6(5)計(jì)算解按第1列展開以此作遞推公式，可得評(píng)注7．用數(shù)學(xué)歸納法例8證明證對(duì)階數(shù)n用數(shù)學(xué)歸納法評(píng)注計(jì)算行列式的方法比較靈活，同