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文檔簡介
積分變換
第一章Fourier變換
§
1.1Fourier積分
但全直線上的非周期函數(shù)沒有Fourier級數(shù)表示;
引進類似于Fourier級數(shù)的Fourier積分(周期趨于無窮時的極限形式)復習:
周期函數(shù)在一定條件下可以展開為Fourier級數(shù);最常用的一種周期函數(shù)是三角函數(shù)
fT(t)=Asin(wt+j),其中w=2p/T研究周期函數(shù)
fT(t),如果在區(qū)間[-T/2,T/2]上滿足狄利克雷(Dirichlet)條件:1.連續(xù)或只有有限個第一類間斷點;2.只有有限個極值點.那么在區(qū)間[-T/2,T/2]上就可以展成Fourier級數(shù).t由高數(shù)可知,任何滿足狄氏條件的周期函數(shù)fT(t),可表示為三角級數(shù)的形式如下:§1.2Fourier變換1.Fourier變換的概念我們知道,若函數(shù)f(t)滿足傅氏積分定理的條件,則在
f(t)的連續(xù)點處,有(1.8)式叫做f(t)的Fourier變換式,(1.9)式為F(w)的Fourier逆變換式,f(t)與F(w)可相互轉換,可記為
F(w)=?[f(t)]和
f(t)=?
-1[F(w)]還可以將f(t)放在左端,
F(w)放在右端,中間用雙向箭頭連接:
f(t) F(w)
(1.8)式右端的積分運算,叫做f(t)的Fourier變換,同樣,(1.9)式右端的積分運算,叫做F(w)的Fourier逆變換.
F(w)稱作f(t)的象函數(shù),
f(t)稱作F(w)的象原函數(shù).
可以說象函數(shù)F(w)和象原函數(shù)f(t)構成了一個Fourier變換對.傅氏積分定理
若f(t)在(-,+)上滿足條件:
1.f(t)在任一有限區(qū)間上滿足狄氏條件;
2.f(t)在無限區(qū)間(-,+)上絕對可積,則有
為連續(xù)點
為間斷點tf(t)根據(jù)(1.8)式,有這就是指數(shù)衰減函數(shù)的Fourier變換.=?
[]根據(jù)(1.9)式,有=?問題的提出Fourier變換的兩個限制:
對于任意一個函數(shù)使其進行Fourier變換時克服上述兩個缺點?能否經(jīng)過適當?shù)馗脑?/p>
因此,幾乎所有的實用函數(shù)j(t)乘上u(t)再乘上e-bt后得到的j(t)u(t)e-bt傅氏變換都存在.
首先將j(t)
乘上u(t),這樣t小于零的部分的函數(shù)值就都等于0了.
而大家知道在各種函數(shù)中,指數(shù)函數(shù)ebt
(b>0)的上升速度是很快的了,因而e-bt下降的速度也是很快的.tf(t)Otf(t)u(t)e-btO對函數(shù)j(t)u(t)e-bt(b>0)取傅氏變換,可得定義
設函數(shù)f(t)當t0時有定義,而且積分在s的某一域內(nèi)收斂,則由此積分所確定的函數(shù)可寫為稱此式為函數(shù)f(t)的Laplace變換式(簡稱拉氏變換式),記為
F(s)=?[f(t)]F(s)稱為f(t)的Laplace變換(或稱為象函數(shù)).而f(t)稱為F(s)的Laplace逆變換(或象原函數(shù))記為
f(t)=?
-1[F(s)]例1
求單位階躍函數(shù)解:根據(jù)拉氏變換的定義,有這個積分在Re(s)>0時收斂,而且有??所以例2
求指數(shù)函數(shù)f(t)=ekt的拉氏變換(k為實數(shù)).
根據(jù)(2.1)式,有其實k為復數(shù)時上式也成立,只是收斂區(qū)間為
Re(s)>Re(k).?例3
求
f(t)=sinkt
(k為實數(shù))的拉氏變換.解:?
在今后的實際工作中,我們并不要求用廣義
積分的方法來求函數(shù)的拉氏和Fourier變換,有現(xiàn)成的拉氏和傅氏變換表可查,就如同使用三角函數(shù)表,對數(shù)表及積分表一樣.本書已將工程實際中常遇到的一些函數(shù)及其傅氏、拉氏變換列于附錄中,以備查詢.
在物理學和工程技術中,有許多重要函數(shù)不滿足
傅氏積分定理中的絕對可積條件,即不滿足條件一種改進思路是轉換為Laplace求,但例如常數(shù),符號函數(shù),以及正,余弦函數(shù)等,我們希望其能正確地反應出頻率的特性,因此引入了單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換就可以求出它們的傅氏變換.§1.2Fourier變換
2.單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換
在物理和工程技術中,常常會碰到單位脈沖函
數(shù).因為有許多物理現(xiàn)象具有脈沖性質,如在電學中,要研究線性電路受具有脈沖性質的電勢作用后產(chǎn)生的電流;在力學中,要研究機械系統(tǒng)受沖擊力作用后的運動情況等.研究此類問題就會產(chǎn)生我們要介紹的單位脈沖函數(shù).
工程上將d-函數(shù)稱為單位脈沖函數(shù),可將d-函數(shù)用一個長度等于1的有向線段表示,這個線段的長度表示d-函數(shù)的積分值,稱為d-函數(shù)的強度.tOd(t)1稱de(t)的弱極限為d-函數(shù),記為d(t).即de(t)1/eeOd-函數(shù)有性質:(1)篩選性質事實上f(t)是連續(xù)函數(shù),按積分中值定理知:=(2)函數(shù)為偶函數(shù),即(3)其中,稱為單位階躍函數(shù).反之,有
一般地,有d-函數(shù)的Fourier變換為:于是常數(shù)1
與d
(t)構成了一Fourier變換對.證法2:若F(w)=2pd(w),
由Fourier逆變換可得.例1
證明:2pd(w)和1構成Fourier變換對證法1:=?
[]=??[1]tOd(t)1wOF(w)1常數(shù)1單位脈沖函數(shù)d
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