誤差理論與數(shù)據(jù)處理第二章誤差的基本性質(zhì)與處理

第二章

誤差的基本性質(zhì)與處理

本章分別詳細闡述隨機誤差、系統(tǒng)誤差、粗大誤差三類誤差的來源、性質(zhì)、數(shù)據(jù)處理的方法以及消除或減小的措施。特別是在隨機誤差的數(shù)據(jù)處理中，分別掌握等精度測量和不等精度測量的不同數(shù)據(jù)處理方法。通過學(xué)習(xí)本章內(nèi)容，使讀者能夠根據(jù)不同性質(zhì)的誤差選取正確的數(shù)據(jù)處理方法并進行合理的數(shù)據(jù)處理。教學(xué)目標三大類誤差的特征、性質(zhì)以及減小各類誤差對測量精度影響的措施掌握等精度測量的數(shù)據(jù)處理方法掌握不等精度測量的數(shù)據(jù)處理方法重點與難點第一節(jié)隨機誤差一、隨機誤差產(chǎn)生的原因

在相同條件下，對同一測量值進行重復(fù)多次測量時，得到一系列不同的測量值（常稱為測量列），每個測量值都含有誤差，這些誤差的出現(xiàn)沒有確定的規(guī)律，即前一個數(shù)據(jù)出現(xiàn)后，不能預(yù)測下一個數(shù)據(jù)的大小和方向。但就誤差整體而言，卻明顯具有某種統(tǒng)計規(guī)律。隨機誤差是由很多暫時未能掌握或不便掌握的微小因素構(gòu)成，主要有以下幾方面：

①測量裝置方面的因素

②環(huán)境方面的因素

③

人為方面的因素零部件變形及其不穩(wěn)定性，信號處理電路的隨機噪聲等。溫度、濕度、氣壓的變化，光照強度、電磁場變化等。瞄準、讀數(shù)不穩(wěn)定，人為操作不當(dāng)?shù)?。第一?jié)隨機誤差一、隨機誤差產(chǎn)生的原因第一節(jié)隨機誤差正態(tài)分布的特性正態(tài)分布誤差概率密度曲線和直方圖０δ對稱性抵償性單峰性有界性第一節(jié)隨機誤差①對稱性

②單峰性

δ=0時,

③有界性隨機誤差δ出現(xiàn)在一個有限的區(qū)間內(nèi)，即

[-kσ,+kσ]的可能性較大。④抵償性隨著測量次數(shù)的增加，。

正態(tài)分布的特性第一節(jié)隨機誤差令為隨機誤差，滿足正態(tài)分布，則標準差（或均方根誤差）：σ數(shù)學(xué)期望：方差：平均誤差：或然誤差：反映隨機誤差分布的中心位置反映隨機誤差相對于中心的分散程度二、正態(tài)分布

圖2-1為正態(tài)分布曲線以及各精度參數(shù)在圖中的坐標。σ值為曲線上拐點A的橫坐標，θ值為曲線右半部面積重心B的橫坐標，ρ值的縱坐標線則平分曲線右半部面積。

第一節(jié)隨機誤差第一節(jié)隨機誤差三、算術(shù)平均值(一)定義(二)算術(shù)平均值的意義由得即算術(shù)平均值可以作為被測量真值的估計值若測量次數(shù)有限，由參數(shù)估計知，算術(shù)平均值是該測量總體期望的一個最佳的估計量，即滿足無偏性、有效性、一致性，并滿足最小二乘法原理；在正態(tài)分布條件下滿足最大似然原理。第一節(jié)隨機誤差(三)殘差(四)算術(shù)平均值的簡便求法選一個接近所有測得值的數(shù)作為參考值第一節(jié)隨機誤差例2-1測量某物理量10次，得到結(jié)果見表，求。序號123456789101879.641879.691879.601879.691879.571879.621879.641879.651879.641879.65-0.01+0.04-0.05+0.04-0.08-0.03-0.010-0.0100+0.05-0.04+0.05-0.07-0.020+0.010+0.01

選參考值=1879.65，第一節(jié)隨機誤差

（五）算術(shù)平均值的計算校核規(guī)則1:殘差代數(shù)和校核

為非湊整的準確數(shù)，為湊整的非準確數(shù)，規(guī)則２:殘差代數(shù)和絕對值校核

n為偶數(shù)，

n為奇數(shù)，A為實際求得的算術(shù)平均值末位數(shù)的一個單位。常用第一節(jié)隨機誤差例2-3

測量某直徑11次，得到結(jié)果如表2-2所示，求算術(shù)平均值并進行校核。

序號

(mm)

(mm)12345678910112000.072000.052000.092000.062000.082000.072000.062000.052000.082000.062000.07+0.003-0.017+0.023-0.007+0.013+0.003-0.007-0.017+0.013-0.007+0.003

第一節(jié)隨機誤差①計算算術(shù)平均值②校核規(guī)則１：規(guī)則２：計算正確第一節(jié)隨機誤差四、測量的標準差（一）單次測量標準差σ

精度評定指標之一１.σ的意義:反映了隨機誤差分布的分散性σ值愈小，高而陡，誤差分布范圍小，測量精度高。σ值愈大，低而平坦，誤差分布范圍大，測量精度低。測量結(jié)果＝被測量估計值（或）＋估計值的精度評定第一節(jié)隨機誤差２.σ的計算根據(jù)隨機變量標準差的定義，得δi未知時Bessel公式更準確條件：n>5四、測量的標準差第一節(jié)隨機誤差德國天文學(xué)家，數(shù)學(xué)家，天體測量學(xué)的奠基人之一。1784年7月22日生于明登，1846年3月17日卒于柯尼斯堡。15歲輟學(xué)到不來梅一家出口公司當(dāng)學(xué)徒，在學(xué)習(xí)航海術(shù)的同時學(xué)習(xí)天文、地理和數(shù)學(xué)。20歲時發(fā)表了有關(guān)彗星軌道測量的論文。1806年成為天文學(xué)家施特勒爾的助手。1810年，奉普魯士國王之命，任新建的柯尼斯堡天文臺臺長，直至逝世。1812年當(dāng)選為柏林科學(xué)院院士。貝塞爾（Bessel，F(xiàn)riedrichWilhelm，1784～1846）第一節(jié)隨機誤差令，則當(dāng)n適當(dāng)大時，可以認為趨近于零推導(dǎo)過程：第一節(jié)隨機誤差序號1234567891075.0175.0475.0775.0075.0375.0975.0675.0275.0575.08－0.035－0.005＋0.025－0.045－0.015+0.045+0.015-0.025+0.005+0.0350.0012250.0000250.0006250.0020250.0002250.0020250.0002250.0006250.0000250.001225

例2-4

用貝塞爾法求得表2-3的標準差。第一節(jié)隨機誤差3.σ的其他計算公式別捷爾斯法（Peters公式)由殘差絕對值之和求σ第一節(jié)隨機誤差序號1234567891075.0175.0475.0775.0075.0375.0975.0675.0275.0575.08－0.035－0.005＋0.025－0.045－0.015+0.045+0.015-0.025+0.005+0.0350.0012250.0000250.0006250.0020250.0002250.0020250.0002250.0006250.0000250.001225

例2-4

用別捷爾斯法求得表2-3的標準差。n2345678910111213141516171819201.131.692.062.332.532.702.852.973.083.173.263.343.413.473.533.593.643.693.74第一節(jié)隨機誤差極差法1）極差ωn2）σ的計算若等精度多次測量測得值服從正態(tài)分布，則第一節(jié)隨機誤差

例2-5仍用表2-3的測量數(shù)據(jù)，用極差法求得標準差。解：n1234567891011121314151.250.880.750.680.640.610.580.560.550.530.520.510.500.500.49n1617181920212223242526272829300.480.480.470.470.460.460.450.45

0.450.440.44

0.44

0.440.430.43n2345678910152025301.771.020.830.740.680.640.610.590.570.510.480.460.44第一節(jié)隨機誤差最大誤差法：當(dāng)各個獨立測量值服從正態(tài)分布時，已知真值：未知真值：第一節(jié)隨機誤差例2-6仍用表2-3的測量數(shù)據(jù)，按最大誤差法求標準差.解：而故標準差為第一節(jié)隨機誤差例2-7某激光管發(fā)出的激光波長經(jīng)檢定為，由于某些原因未對次檢定波長作誤差分析，但后來又用更精確的方法測得激光波長，試求原檢定波長的標準差。解：后測得的波長是用更精確的方法，故認為其測得值為實際波長(或約定真值)，則原檢定波長的隨機誤差為：

故標準差為：第一節(jié)隨機誤差σ的計算方法貝塞爾公式別捷爾斯法極差法最大誤差法第一節(jié)隨機誤差四種計算方法的優(yōu)缺點貝塞爾公式:最常用，適用于測量次數(shù)較多的情況，計算精度較高，但較麻煩。對重要的測量或多種結(jié)果矛盾時，以貝塞爾公式為準。②別捷爾斯公式：最早用于前蘇聯(lián)列寧格勒附近的普爾科夫天文臺，它的計算速度較快，但計算精度較低，計算誤差為貝氏公式的1.07倍。③極差法：簡單、迅速，當(dāng)n<10時可用來計算σ，此時計算精度高于貝氏公式。④最大誤差法：更為簡捷，n很小時，有一定精度。尤其適用于一次實驗。第一節(jié)隨機誤差（二）測量列算術(shù)平均值標準差算術(shù)平均值精度評定標準測量結(jié)果=1.的計算第一節(jié)隨機誤差2.的意義n愈大，越小，說明的精度越高；為提高測量精度，可以增大n；n的選取要適當(dāng)。σ一定時，當(dāng)n>10以后，的減小很慢。此外，由于增加測量次數(shù)難以保證測量條件的恒定，從而引入新的誤差，因此一般情況下取n=10左右較為適宜?？傊?，提高測量精度，應(yīng)采取適當(dāng)精度的儀器，選取適當(dāng)?shù)臏y量次數(shù)。第一節(jié)隨機誤差五、測量的極限誤差（容許誤差）（一）極限誤差定義指在一定的觀測條件下，測量誤差不應(yīng)超出的范圍極限值。若測量誤差落在范圍內(nèi)的概率為Ｐ，超出該范圍的概率為１－Ｐ，則為置信概率Ｐ的極限誤差。（二）單次測量的極限誤差以正態(tài)分布為例，隨機誤差落在（-δ,+δ）之間的概率：第一節(jié)隨機誤差將上式進行變量置換，設(shè)經(jīng)變換，上式成為：超出的概率為確定極限誤差的步驟：

Ｐt標準正態(tài)分布，其值可由標準正態(tài)分布表（附錄表１）查得置信概率第一節(jié)隨機誤差標準正態(tài)分布表:第一節(jié)隨機誤差現(xiàn)已查出t=1,2,3,4等幾個特殊值的積分值，并求出隨機誤差不超出相應(yīng)區(qū)間的概率p=2φ(t)和超出相應(yīng)區(qū)間的概率α=1-2φ(t)，如表2-6所示（圖2－4）。t不超出的概率超出的概率測量次數(shù)n超出的測量次數(shù)0.6712340.67σσ2σ3σ4σ0.49720.68260.95440.99730.99990.50280.31740.04560.00270.000123223701562611111第一節(jié)隨機誤差由于在一般測量中，測量次數(shù)很少超過幾十次，因此可以認為絕對值大于3σ的誤差是不可能出現(xiàn)的，通常把這個誤差稱為單次測量的極限誤差，即

（p＝99.73％）其它t值也可．一般情況下，測量列單次測量的極限誤差可用下式表示：若已知測量的標準差σ，選定置信系數(shù)t，則可由上式求得單次測量的極限誤差。（三）算術(shù)平均值的極限誤差算術(shù)平均值誤差：當(dāng)多個測量列的算術(shù)平均值誤差為正態(tài)分布時，根據(jù)概率論知識，可得t為置信系數(shù)，為算術(shù)平均值的標準差。當(dāng)測量列的測量次數(shù)較少時，應(yīng)按“學(xué)生氏”分布(“student”

distribution)或稱t分布來計算：第一節(jié)隨機誤差第一節(jié)隨機誤差式中的為置信系數(shù)，它由給定的置信概率和自由度來確定，具體數(shù)值見附錄3；為超出極限誤差的概率（稱顯著度或顯著水平），通常取=0.01或0.02,0.05；n為測量次數(shù)；為n次測量的算術(shù)平均值標準差。對于同一測量列，按正態(tài)分布和t分布分別計算時，即使置信概率的取值相同，但由于置信系數(shù)不同，因此求得的算術(shù)平均值極限誤差也不同。第一節(jié)隨機誤差隨機誤差計算實例例2-1測量某物理量10次，得到結(jié)果見表，求及其標準差、極限誤差（置信概率P=99.73%,P=95%）。序號123456789101879.641879.691879.601879.691879.571879.621879.641879.651879.641879.65-0.01+0.04-0.05+0.04-0.07-0.03-0.010-0.0100+0.05-0.04+0.05-0.07-0.020+0.010+0.01

隨機誤差計算實例例2-2

測量某直徑5次，得到結(jié)果：2000.072000.052000.092000.062000.08

，求測量結(jié)果(顯著度0.05)。

例2-3

對某量進行6次測量，測得數(shù)據(jù)如下：

802.40，802.50，802.38，802.48，802.42，802.46。求算術(shù)平均值及其極限誤差。第一節(jié)隨機誤差例2-3對某量進行6次測量，測得數(shù)據(jù)如下：802.40，802.50，802.38，802.48，802.42，802.46。求算術(shù)平均值及其極限誤差。解：算術(shù)平均值標準差

因測量次數(shù)較少，應(yīng)按t分布計算算術(shù)平均值的極限誤差。已知，取，則由附錄表3查得，若按正態(tài)分布計算，取，置信概率，由附錄表1查得t＝2.60，則算術(shù)平均值的極限誤差為：由此可見，當(dāng)測量次數(shù)較少時，按兩種分布計算的結(jié)果有明顯的差別。則有：第一節(jié)隨機誤差第一節(jié)隨機誤差六、不等精度測量（一）不等精度測量列不同測量條件，如不同儀器，不同測量方法，不同測量次數(shù)，不同的測量者等第一節(jié)隨機誤差（二）權(quán)的概念權(quán):描述不等精度測量列中各個值的可信賴程度。Pi越大，說明該測量值越可信賴。等精度測量：P1=P2=…=Pn不等精度測量：P1≠P2≠…≠Pn（三）權(quán)的確定以第２種情況為例：Pi=ni一般情況：第一節(jié)隨機誤差（四）測量結(jié)果估計加權(quán)算術(shù)平均值仍以特例２說明：不等精度測量列，經(jīng)單位權(quán)化處理后，就可按等精度測量列來處理。第一節(jié)隨機誤差（五）單位權(quán)化－使不等精度測量列轉(zhuǎn)化為等精度測量列等精度：Pi=P=1σ－單位權(quán)標準差

不等精度：單位權(quán)化：任何一個量值乘以自身權(quán)數(shù)的平方根。第一節(jié)隨機誤差（六）加權(quán)算術(shù)平均值的標準差近似精確第一節(jié)隨機誤差例2-10對一級鋼卷尺的長度進行了三組不等精度測量，其結(jié)果為求測量結(jié)果。例2-11工作基準米尺在連續(xù)三天內(nèi)與國家基準器比較，得到工作基準米尺的平均長度為999.9425mm(三次測量的)，999.9416mm(兩次測量的)，999.9419mm(五次測量的)，求最后測量結(jié)果。第一節(jié)隨機誤差例2-11工作基準米尺在連續(xù)三天內(nèi)與國家基準器比較，得到工作基準米尺的平均長度為999.9425mm(三次測量的)，999.9416mm(兩次測量的)，999.9419mm(五次測量的)，求最后測量結(jié)果。解：按測量次數(shù)來確定權(quán)：，選則有第一節(jié)隨機誤差由加權(quán)算術(shù)平均值，可得各組測量結(jié)果的殘余誤差為：又已知

代入式(2-51)得

七、隨機誤差的其他分布

正態(tài)分布是隨機誤差最普遍的一種分布規(guī)律，但不是唯一分布規(guī)律。下面介紹幾種常見的非正態(tài)分布。(一)均勻分布

在測量實踐中，均勻分布是經(jīng)常遇到的一種分布，其主要特點是，誤差有一確定的范圍，在此范圍內(nèi)，誤差出現(xiàn)的概率各處相等，故又稱矩形分布或等概率分布。數(shù)學(xué)期望：標準差：第一節(jié)隨機誤差(二)反正弦分布反正弦分布實際上是一種隨機誤差的函數(shù)分布規(guī)律，其特點是該隨機誤差與某一角度成正弦關(guān)系。反正弦分布的分布密度（圖2-6）第一節(jié)隨機誤差數(shù)學(xué)期望：標準差：（三）三角形分布

當(dāng)兩個誤差限相同且服從均勻分布的隨機誤差求和時，其和的分布規(guī)律服從三角形分布，又稱辛普遜（Simpson）分布。。三角形分布的分布密度（圖2-7）：第一節(jié)隨機誤差數(shù)學(xué)期望：標準差：如果對兩個誤差限為不相等的均勻分布隨機誤差求和時，則其和的分布規(guī)律不再是三角形分布而是梯形分布。在測量工作中，除上述的非正態(tài)分布外，還有直角分布、截尾正態(tài)分布、雙峰正態(tài)分布及二點分布等，在此不做一一敘述。（四）分布令為個獨立隨機變量，每個隨機變量都服從標準化的正態(tài)分布。定義一個新的隨機變量

隨機變量稱為自由度為的卡埃平方變量。自由度表示上式中項數(shù)或獨立變量的個數(shù)。

第一節(jié)隨機誤差分布的分布密度

式中的函數(shù)。它的數(shù)學(xué)期望為：

它的方差和標準差分別為：

在本書最小二乘法中要用到分布，此外它也是t分布和F分布的基礎(chǔ)。

由圖2-8的兩條理論曲線看出，當(dāng)逐漸增大時，曲線逐漸接近對稱?？梢宰C明當(dāng)足夠大時，曲線趨近正態(tài)曲線。值得提出的是，在這里稱為自由度，它的改變將引起分布曲線的相應(yīng)改變。

第一節(jié)隨機誤差令和是獨立的隨機變量，具有自由度為的分布函數(shù)，具有標準化正態(tài)分布函數(shù)，則定義新的隨機變量為

隨機變量t稱自由度為的學(xué)生氏t變量。

t分布的分布密度為（圖2-9）：

它的數(shù)學(xué)期望為：

它的標準差為：

t分布和標準化正態(tài)分布密度曲線不同，如圖2-9所示。當(dāng)自由度較小時，t分布與正態(tài)分布有明顯區(qū)別，但當(dāng)自由度時，t分布曲線趨于正態(tài)分布曲線。t分布是一種重要分布，當(dāng)測量列的測量次數(shù)較少時，極限誤差的估計，或者在檢驗測量數(shù)據(jù)的系統(tǒng)誤差時經(jīng)常用到它。第一節(jié)隨機誤差（五）t分布（六）F分布若具有自由度為的卡埃平方分布函數(shù)，具有自由度為的卡埃平方分布函數(shù)，定義新的隨機變量為

隨機變量F稱為自由度為、的F變量。

F分布的分布密度如圖2-10所示。

它的數(shù)學(xué)期望為：

它的方差和標準差分別為：

F分布也是一種重要分布，在檢驗統(tǒng)計假設(shè)和方差分析中經(jīng)常應(yīng)用。第一節(jié)隨機誤差

第二節(jié)系統(tǒng)誤差

系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生原因系統(tǒng)誤差的特征與分類系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法系統(tǒng)誤差的減小和消除方法一、系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因

系統(tǒng)誤差是由固定不變的或按確定規(guī)律變化的因素造成，在條件充分的情況下這些因素是可以掌握的。主要來源于：

①測量裝置方面的因素

②環(huán)境方面的因素

③

測量方法的因素

④

測量人員的因素第二節(jié)系統(tǒng)誤差計量校準后發(fā)現(xiàn)的偏差、儀器設(shè)計原理缺陷、儀器制造和安裝的不正確等。測量時的實際溫度對標準溫度的偏差、測量過程中的溫度、濕度按一定規(guī)律變化的誤差。采用近似的測量方法或計算公式引起的誤差等。測量人員固有的測量習(xí)性引起的誤差等。第二節(jié)系統(tǒng)誤差二、系統(tǒng)誤差的分類和特征系統(tǒng)誤差的特征：在同一條件下，多次測量同一測量值時，誤差的絕對值和符號保持不變，或者在條件改變時，誤差按一定的規(guī)律變化，不具有抵償性。根據(jù)系統(tǒng)誤差在測量過程中所具有的不同變化特性，將系統(tǒng)誤差分為不變系統(tǒng)誤差和變化系統(tǒng)誤差兩大類。第二節(jié)系統(tǒng)誤差（一）不變系統(tǒng)誤差（固定系統(tǒng)誤差）

在整個測量過程中，誤差的大小和符號始終不變。

eg:千分尺或測長儀讀數(shù)裝置的調(diào)零誤差；量塊或其它標準件尺寸的偏差等．（二）變化系統(tǒng)誤差在整個測量過程中，誤差的大小和方向隨測試的某一個或某幾個因素按確定的函數(shù)規(guī)律而變化。eg:量塊中心長度隨溫度的變化①線性變化的系統(tǒng)誤差第二節(jié)系統(tǒng)誤差②周期變化的系統(tǒng)誤差③復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差例如:微安表的指針偏轉(zhuǎn)角與偏轉(zhuǎn)力距間不嚴格保持線性關(guān)系，而表盤仍采用均勻刻度所產(chǎn)生的誤差就屬于復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。

e90o0o180o270oeΔL0O90O180O360Oeg:指針在任一轉(zhuǎn)角處引起的讀數(shù)誤差。第二節(jié)系統(tǒng)誤差我們可針對不同性質(zhì)的系統(tǒng)誤差，可按照下述兩類方法加以識別：1、用于發(fā)現(xiàn)測量列組內(nèi)的系統(tǒng)誤差，包括實驗對比法、殘余誤差觀察法、殘余誤差校核法和不同公式計算標準差比較法；2、用于發(fā)現(xiàn)各組測量之間的系統(tǒng)誤差，包括計算數(shù)據(jù)比較法、秩和檢驗法、和t檢驗法。三、系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法第二節(jié)系統(tǒng)誤差

1、實驗對比法實驗對比法是改變產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的條件，進行不同條件的測量，以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。

這種方法適用于發(fā)現(xiàn)不變的系統(tǒng)誤差。

2、殘余誤差觀察法殘余誤差觀察法是根據(jù)測量列的各個殘余誤差大小和符號的變化規(guī)律，直接由誤差數(shù)據(jù)或誤差曲線圖形來判斷有無系統(tǒng)誤差。

這種方法適于發(fā)現(xiàn)有規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。（一）測量列組內(nèi)的系統(tǒng)誤差發(fā)現(xiàn)方法第二節(jié)系統(tǒng)誤差

3、殘余誤差校核法(有兩種方法)①用于發(fā)現(xiàn)線性系統(tǒng)誤差若上式的兩部分值Δ顯著不為O，則有理由認為測量列存在線性系統(tǒng)誤差。這種校核法又稱“馬列科夫準則”，它能有效地發(fā)現(xiàn)線性系統(tǒng)誤差。但要注意的是，有時按殘余誤差校核法求得差值Δ=0，仍有可能存在系統(tǒng)誤差。第二節(jié)系統(tǒng)誤差

②用于發(fā)現(xiàn)周期性系統(tǒng)誤差若則認為該測量列中含有周期性系統(tǒng)誤差。這種校核法又叫阿卑——赫梅特準則（Abbe-Helmert準則），它能有效地發(fā)現(xiàn)周期性系統(tǒng)誤差。

4、不同公式計算標準差比較法對等精度測量，可用不同分式計算標準差，通過比較以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。按貝塞爾公式：按別捷爾斯公式：令若則懷疑測量列中存在系統(tǒng)誤差。在判斷含有系統(tǒng)誤差時，違反“準則”時就可以直接判定，而在遵守“準則”時，不能得出“不含系統(tǒng)誤差”的結(jié)論，因為每個準則均有局限性，不具有“通用性”。

第二節(jié)系統(tǒng)誤差則任意兩組結(jié)果與間不存在系統(tǒng)誤差的標志是：若對同一量獨立測量得m組結(jié)果，并知它們的算術(shù)平均值和標準差為：(二)測量列組間的系統(tǒng)誤差發(fā)現(xiàn)方法第二節(jié)系統(tǒng)誤差而任意兩組結(jié)果之差為：其標準差為：1、計算數(shù)據(jù)比較法對同一量進行多組測量得到很多數(shù)據(jù)，通過多組數(shù)據(jù)計算比較，若不存在系統(tǒng)誤差，其比較結(jié)果應(yīng)滿足隨機誤差條件，否則可認為存在系統(tǒng)誤差。2、秩和檢驗法對某量進行兩組測量，這兩組間是否存在系統(tǒng)誤差，可用秩和檢驗法根據(jù)兩組分布是否相同來判斷。第二節(jié)系統(tǒng)誤差若獨立測得兩組的數(shù)據(jù)為：

將它們混和以后，從1開始，按從小到大的順序重新排列，觀察測量次數(shù)較少那一組數(shù)據(jù)的序號，它的測得值在混合后的次序編號（即秩），再將所有測得值的次序相加，得到的序號號即為秩和T。

1）兩組的測量次數(shù)，可根據(jù)測量次數(shù)較少的組的次數(shù)n1

和測量次數(shù)較多的組的次數(shù)n2，由秩和檢驗表2-10查得T-

和T+

（顯著度0.05），若

則無根據(jù)懷疑兩組間存在系統(tǒng)誤差。243112531326414274162841829420210521336153471735720368223792438927391029310113144122445132746143047153348163649173941018425519365620405722435823475925505102654662820673054683258693363610356777396678417179437671046808852848954908105795996610591069111101083127第二節(jié)系統(tǒng)誤差第二節(jié)系統(tǒng)誤差2）當(dāng)，秩和T近似服從正態(tài)分布

括號中第一項為數(shù)學(xué)期望，第二項為標準差，此時T-

和T+

可由正態(tài)分布算出。根據(jù)求得的數(shù)學(xué)期望值a和標準，則：選取概率，由正態(tài)分布分表（附錄表1）查得t，若則無根據(jù)懷疑兩組間存在系統(tǒng)誤差。解：將兩組數(shù)據(jù)混合排列成下表查表2-10得例2-16

對某量測得兩組數(shù)據(jù)如下，判斷兩組間有無系統(tǒng)誤差。

xi:14.7,14.8,15.2,15.6

;yi

：14.6,15.0,15.1i123456714.714.815.215.614.615.015.1第二節(jié)系統(tǒng)誤差

已知計算秩和T=1+4+5=10因故無根據(jù)懷疑兩組間存在系統(tǒng)誤差。注意：若兩組數(shù)據(jù)中有若干個相同的數(shù)值，則該數(shù)據(jù)的秩按它們所排列的次序的平均值計算。令變量

由數(shù)理統(tǒng)計知，變量t是服從自由度為()的t分布變量。3、t檢驗法第二節(jié)系統(tǒng)誤差當(dāng)兩組測量數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，或偏離正態(tài)不大但樣本數(shù)不是太少（最好不少于20）時，可用t檢驗法判斷兩組間是否存在系統(tǒng)誤差。設(shè)獨立測得兩組數(shù)據(jù)為：其中注意:式中使用的和,不是方差的無偏估計，若將貝塞爾計算的和用于上式，則該式應(yīng)作相應(yīng)的變動。由及取，查t分布表(附錄表3)，得，又因，故無根據(jù)懷疑兩組間有系統(tǒng)誤差。則解：取顯著性水平α，由t分布表（附錄表3）查出中的。若，則無根據(jù)懷疑兩組間有系統(tǒng)誤差。

第二節(jié)系統(tǒng)誤差例2-17

對某量測得兩組數(shù)據(jù)為：

x：1.9，0.8，1.1，0.1，-0.1，4.4，5.5，1.6，4.6，3.4y：0.7，-1.6，-0.2，-1.2，-0.1，3.4，3.7，0.8，0.0，2.0四、系統(tǒng)誤差的減小和消除

第二節(jié)系統(tǒng)誤差（一）消誤差源法

用排除誤差源的方法消除系統(tǒng)誤差是最理想的方法。①基準件、標準件（如量塊、刻尺等）是否準確可靠；②量具儀器是否處于正常工作狀態(tài)，是否經(jīng)過檢定，并有有效周期的檢定證書；③儀器的調(diào)整、測件的安裝定位和支承裝夾是否正確合理；④所采用的測量方法和計算方法是否正確，有無理論誤差；⑤測量的環(huán)境條件是否符合規(guī)定要求；⑥注意避免測量人員帶入主觀誤差如視差、視力疲勞、注意力不集中等。第二節(jié)系統(tǒng)誤差（二）加修正值法預(yù)先將測量器具的系統(tǒng)誤差檢定出來或計算出來，取與誤差大小相同而符號相反的值作為修正值，將測得值加上相應(yīng)的修正值，即可得到不包含該系統(tǒng)誤差的測量結(jié)果。關(guān)鍵在確定修正值或修正函數(shù)的規(guī)律。

恒定系統(tǒng)誤差：采用檢定方法，對已知基準量重復(fù)測量取其均值，即兩者之差為其修正值。

可變系統(tǒng)誤差：按照某變化因素，依次取得已知基準量的一系列測值，再計算其差值，按最小二乘法確定它隨該因素變化的函數(shù)關(guān)系式，取其負值即為該可變系統(tǒng)誤差的修正函數(shù)。第二節(jié)系統(tǒng)誤差第二節(jié)系統(tǒng)誤差（三）改進測量方法

1、消除恒定系統(tǒng)誤差的方法①反向補償法（抵消法）：

測量螺距第二節(jié)系統(tǒng)誤差②代替法：在測量裝置上對被測量測量后不改變測量條件，立即用一個標準量代替被測量，再次進行測量，從而求出被測量與標準量的差值：被測量＝標準量＋差值③交換法：這種方法是根據(jù)誤差產(chǎn)生原因，將某些條件交換，以消除系統(tǒng)誤差。第二節(jié)系統(tǒng)誤差2、消除線性系統(tǒng)誤差的方法——對稱法

對稱法是消除線性系統(tǒng)誤差的有效方法。將測量對稱安排，取各對稱點兩次讀數(shù)的算術(shù)平均值作為測得值，即可消除線性系統(tǒng)誤差。

例如:測定量塊平面度時,先以標準量塊A的中心0點對零，然后按圖中所示被檢量塊B上的順序逐點檢定，再按相反順序進行檢定，取正反兩次讀數(shù)的平均值作為各點的測得值，就可消除因溫度變化而產(chǎn)生的線性系統(tǒng)誤差。第二節(jié)系統(tǒng)誤差3、消除周期性系統(tǒng)誤差的方法——半周期法對周期性誤差，可以相隔半個周期進行兩次測量，取兩次讀數(shù)平均值，即可有效地消除周期性系統(tǒng)誤差。設(shè)時，誤差為：當(dāng)時，即相差半周期的誤差為：取兩次讀數(shù)平均值則有

例如儀器度盤安裝偏心、測微表針回轉(zhuǎn)中心與刻度盤中心的偏心等引起的周期性誤差，皆可用半周期法予以剔除。

第三節(jié)粗大誤差對數(shù)據(jù)中異常值的正確判斷與處理，是獲得客觀的測量結(jié)果的一個重要方法。一、粗大誤差產(chǎn)生的原因①測量人員的主觀原因

②客觀外界條件的原因測量者工作責(zé)任感不強、工作過于疲勞、缺乏經(jīng)驗操作不當(dāng)，或在測量時不小心、不耐心、不仔細等，造成錯誤的讀書或記錄。測量條件意外地改變（如機械沖擊、外界振動、電磁干擾等）。第三節(jié)粗大誤差二、防止與消除粗大誤差的方法利用判別準則從測量結(jié)果中發(fā)現(xiàn)、鑒別、剔除；工作態(tài)度要嚴謹；保證測量條件穩(wěn)定；改變測量條件，比對測量。三、判別粗大誤差的準則第三節(jié)粗大誤差統(tǒng)計法的基本思想：構(gòu)造統(tǒng)計量,分析其分布,給定一個顯著性水平，確定一個臨界值，凡超過這個界限的誤差，就認為它不屬于偶然誤差的范圍，而是粗大誤差，該數(shù)據(jù)應(yīng)予以剔除。

（一）準則最常用、最簡單，要求n充分大對某個可疑數(shù)據(jù)，若其殘差滿足：則可認為該數(shù)據(jù)含有粗大誤差，應(yīng)予以剔除。第三節(jié)粗大誤差在n≤10的情形，用準則剔除粗誤差注定失敗。為此，在測量次數(shù)較少時，最好不要選用準則。下表是準則的“棄真”概率，從表中看出準則犯“棄真”錯誤的概率隨n的增大而減小，最后穩(wěn)定于0.3%。

n11 1661121333a0.0190.0110.0050.0040.003

準則“棄真”概率a第三節(jié)粗大誤差例2-18

對某量進行15次等精度測量，測得值如下表2-11所列，設(shè)這些測得值已消除了系統(tǒng)誤差，試判別該測量列中是否含有粗大誤差的測得值。序號12345678910111213141520.4220.4320.4020.4320.4220.4320.3920.3020.4020.4320.4220.4120.3920.3920.40+0.016+0.026-0.004+0.026+0.016+0.026-0.014-0.104-0.004+0.026+0.016+0.006-0.014-0.014-0.0040.0002560.0006760.0000160.0006760.0002560.0006760.0001960.0108160.0000160.0006760.0002560.0000360.0001960.0001960.000016+0.009+0.019-0.011+0.019+0.009+0.019-0.021——-0.011+0.019+0.009-0.001-0.021-0.021-0.0110.0000810.0003610.0001210.0003610.0000810.0003610.000441——0.0001210.0003610.0000810.0000010.0004410.0004410.000121表2-11第三節(jié)粗大誤差第八測得值的殘余誤差為：

即它含有粗大誤差,故將此測得值剔除。再根據(jù)剩下的14個測得值重新計算：

剩下的14個測得值的殘余誤差均滿足,故可以認為這些測得值不再含有粗大誤差。第三節(jié)粗大誤差（二）格羅布斯準則

1950年格羅布斯（Grubbs）根據(jù)順序統(tǒng)計量的某種分布規(guī)律提出一種判別粗大誤差的準則。應(yīng)用：

1974年我國有人用電子計算機做過統(tǒng)計模擬試驗，與其它幾個準則相比，對樣本中僅混入一個異常值的情況，用格羅布斯準則檢驗的效率最高。

第三節(jié)粗大誤差將按大小順序排列成順序統(tǒng)計量，

格羅布斯導(dǎo)出了及的分布，取定顯著度,查表2-13得臨界值

例2-19用例2-18測得值，試判別測量列中的測得值是否含有粗大誤差。解：由表2-11計算得：

有粗大誤差,剔除第三節(jié)粗大誤差第三節(jié)粗大誤差（三）狄克松準則

1950年狄克松（Dixon）提出另一種粗差判別方法，它是根據(jù)測量數(shù)據(jù)按大小排列后的順序差來判別是否存在粗大誤差。有人指出，用Dixon準則判斷樣本數(shù)據(jù)中混有一個以上異常值的情形效果較好。

第三節(jié)粗大誤差將按大小順序排列成順序統(tǒng)計量，

狄克松導(dǎo)出了的分布，取定顯著度,查表2-14得臨界值第三節(jié)粗大誤差例2-20同例2-18測量數(shù)據(jù),判別測量列中的測得值是否含有粗大誤差。剔除第三節(jié)粗大誤差剩余14個數(shù)無粗大誤差第三節(jié)粗大誤差（四）羅曼諾夫斯基準則

當(dāng)測量次數(shù)較少時，按t分布的實際誤差分布范圍來判別粗大誤差較為合理。羅曼諾夫斯基準則又稱t檢驗準則，其特點是首先剔除一個可疑的測得值，然后按t分布檢驗被剔除的值是否是含有粗大誤差。第三