理第7講正弦定理與余弦定理

第7講 正弦定理與余弦定理1．正弦定理和余弦定理定理 正弦定理a b csin A＝sin B＝sin C＝2R內(nèi)容(R為△ABC外接圓半徑)a＝2Rsin__A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；absinA＝2R，sinB＝2R，變形形式csinC＝2R；a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；＋＋caab＝sin＋sin＋sinsinAABC2.三角形解的判斷A為銳角圖形

余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos__A；b2＝c2＋a2－2cacos__B；c2＝a2＋b2－2abcos__CcosA＝b2＋c2－a2；2bccosB＝c2＋a2－b22ca；a2＋b2－c2cosC＝2abA為鈍角或直角關(guān)系式 a＝bsinA bsinA<a<b a≥b a>b解的個(gè)數(shù) 一解 兩解 一解 一解3.三角形中常用的面積公式1S＝ah(h表示邊a上的高)；21 1 1(2)S＝2bcsinA＝2acsin__B＝2absinC；1S＝p（p－a）（p－b）（p－c），其中p＝2(a＋b＋c)．判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)在△ABC中，已知a，b和角B，能用正弦定理求角A；已知a，b和角C，能用余弦定理求邊c.()(2)在三角形中，已知兩角和一邊或已知兩邊和一角都能解三角形．()(3)在△ABC中，sinA>sinB的充分不必要條件是A>B.()(4)在△ABC中，a2＋b2<c2是△ABC為鈍角三角形的充分不必要條件．()(5)在△ABC的角A，B，C，邊長(zhǎng)a，b，c中，已知任意三個(gè)可求其他三個(gè)．()答案：(1)√(2)√(3)×(4)√(5)×(教材習(xí)題改編 )在△ABC中，已知 a＝5，b＝7，c＝8，則A＋C＝( )A．90°B．120°C．135°D．150°解析：選B.cosB＝a2＋c2－b225＋64－491＝＝.2ac2×5×82所以B＝60°，所以 A＋C＝120°.在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，則此三角形 ( )A．無(wú)解 B．有兩解C．有一解 D．解的個(gè)數(shù)不確定ab解析：選B.因?yàn)閟inA＝sinB，b2422所以sinB＝·sinA＝×sin45°＝.a183又因?yàn)閍<b，所以B有兩解．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，cos2A＝sinA，bc＝2，則△ABC的面積為________．解析：由cos2A＝sinA，得1－2sin2A＝sinA，解得sin1A＝(負(fù)值舍去)，由bc＝2，可得21111△ABC的面積S＝bcsinA＝×2×＝.22221答案：2(2017·高考全國(guó)卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若2bcosB＝acosC＋ccosA，則B＝________．2＋2－2a2＋2－2b2＋2－2，即a2＋c2－b2＝ac，解析：依題意得2b×2ac＝a×2ab＋c×2bc1π所以2accosB＝ac>0，cosB＝.又0<B<π，所以B＝.23π答案：3利用正弦、余弦定理解三角形[典例引領(lǐng)

]π

1(1)(2016

高·考全國(guó)卷Ⅲ)在△ABC

中，B＝

4，BC

邊上的高等于

3BC，則

cos

A＝( )31010A.10B.1010310C．－D．－1010(2)(2017高·考全國(guó)卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝2＝()，則CA.πB.π126C.πD.π43(1)設(shè)△ABC中角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，由題意可得1π2【解析】a＝csin＝342322222922252，則bc，則a＝2c.在△ABC中，由余弦定理可得b＝a＋c－ac＝c＋c－3c＝c2259b2＋2－2c2＋c2－c2102210＝＝－c.由余弦定理，可得cosA＝2bc＝10，故選C.22××c10c2因?yàn)閟inB＋sinA(sinC－cosC)＝0，所以sin(A＋C)＋sinA·sinC－sinA·cosC＝0，所以sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC＝0，整理得sinC(sinA＋cosA)＝0，因?yàn)閟inC≠0，所以sinA＋cosA＝0，所以tanA＝－1，因?yàn)锳∈(0，π)，所以A＝3π4，由正22c·sin×1ππA2弦定理得sinC＝a＝2＝2，又0<C<4，所以C＝6.故選B.【答案】(1)C(2)B正、余弦定理的選用解三角形時(shí)，如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時(shí)，要考慮用余弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到．三角形解的個(gè)數(shù)的判斷已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對(duì)角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對(duì)大角定理進(jìn)行判斷．[通關(guān)練習(xí)]1．(2018張·掖市第一次診斷考試)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若c1＝2a，bsinB－asinA＝asinC，則cosB為()273A.4B.471C.3D.31a2＋－b2解析：選B.由bsinB－asinA＝asinC，且c＝2a，得b＝22a，所以cosB＝2＝ac＋－a24a22a23.4a242．已知△

ABC

中，a，b，c分別是角

A，B，C

所對(duì)的邊，若

(2a＋c)cosB＋bcosC＝0，則角B的大小為

(

)π

πA.

B.6

32π

5πC.

3

D.

6解析：選C.法一：因?yàn)?2a＋c)cosB＋bcosC＝0，所以(2sinA＋sinC)cosB＋sinBcosC＝2sinAcosB＋sin(B＋C)＝2sinAcosB＋sinA＝0，1，又B為△ABC的內(nèi)角，所以B＝2π因?yàn)閟inA≠0，所以cosB＝－.故選C.23法二：因?yàn)?2a＋c)cosB＋bcosC＝0，a2＋c2－b2a2＋b2－c2所以(2a＋c)·2ac＋b·＝0，2ab所以b2＝a2＋c2＋ac，2＋2－21所以cosB＝2ac＝－，22π所以B＝ .33．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a＝3，∠B＝2∠A，cosA＝6，則b＝________．3解析：在△ABC中，由cosA＝63，∠B＝2∠A，可得sinA＝，33622sinB＝sin2A＝2sinAcosA＝2×3×3＝3.ab，可得3b再由正弦定理＝＝，sinAsinB322336求得b＝2.答案：26利用正弦、余弦定理判定三角形的形狀[典例引領(lǐng)

](1)設(shè)△ABC

的內(nèi)角

A，B，C所對(duì)的邊分別為

a，b，c，若

bcosC＋ccosB＝asinA，則△ABC

的形狀為

(

)A．直角三角形

B．銳角三角形C．鈍角三角形

D．不確定(2)(2018

山·西懷仁月考

)若a2＋b2－c2＝ab，且2cos

Asin

B＝sin

C，那么△

ABC一定是( )A．直角三角形

B．等腰三角形C．等腰直角三角形

D．等邊三角形【解析】

(1)由正弦定理得

sinBcosC＋cosBsin

C＝sin2A，則

sin(B＋C)＝sin2A，由三角形內(nèi)角和，得sin(B＋C)＝sinA＝sin2A，即sinA＝1，所以∠A＝π.即△ABC為直角三角2形．法一：利用邊的關(guān)系來(lái)判斷：sinCcsinCc由正弦定理得sinB＝b，由2cosAsinB＝sinC，有cosA＝2sinB＝2b.cosA＝b2＋c2－a2又由余弦定理得，2bcb2＋c2－a2所以 ＝ ，2b 2bc即c2＝b2＋c2－a2，所以a2＝b2，所以a＝b.又因?yàn)閍2＋b2－c2＝ab.所以2b2－c2＝b2，所以b2＝c2，所以b＝c，所以a＝b＝c.所以△ABC為等邊三角形．法二：利用角的關(guān)系來(lái)判斷：因?yàn)锳＋B＋C＝180°，所以sinC＝sin(A＋B)，又因?yàn)?cosAsinB＝sinC，所以2cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，所以sin(A－B)＝0.又因?yàn)锳與B均為△ABC的內(nèi)角，所以 A＝B，又由a2＋b2－c2＝ab，a2＋b2－c2ab1由余弦定理，得cosC＝2ab＝2ab＝2，又0°<C<180°，所以C＝60°，所以△ABC為等邊三角形．【答案】 (1)A (2)D若將本例(1)條件改為“2sinAcosB＝sinC”，試判斷△ABC的形狀．解：法一：由已知得 2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，即sin(A－B)0，因?yàn)椋校糀－B＜π，所以A＝B，故△ABC為等腰三角形．法二：由正弦定理得2acosB＝c，再由余弦定理得2a·a2＋c2－b22ac＝c?a2＝b2?a＝b，故△ABC為等腰三角形．判定三角形形狀的兩種常用途徑[提醒] “角化邊”后要注意用因式分解、配方等方法得出邊的相應(yīng)關(guān)系； “邊化角”后要注意用三角恒等變換公式、三角形內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式推出角的關(guān)系．[通關(guān)練習(xí)]c1．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若b＜cosA，則△ABC為()A．鈍角三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．等邊三角形csinC解析：選A.已知＜cosA，由正弦定理，得sin＜cosA，即sinC＜sinBcosA，所以sin(AbBB)＜sinBcosA，即sinB·cosA＋cosBsinA－sinBcosA＜0，所以cosBsinA＜0.又sinA＞0，于是有 cosB＜0，B為鈍角，所以△ABC是鈍角三角形．2．在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角 A，B，C的對(duì)邊，且 2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sinC.求角A的大小；若sinB＋sinC＝1，試判斷△ABC的形狀．解：(1)由題意知，根據(jù)正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.①由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccosA，1故cosA＝－，2A＝120°.(2)由①得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC.1又sinB＋sinC＝1，故sinB＝sinC＝.2因?yàn)?°<B<90°，0°<C<90°，故B＝C.所以△ABC是等腰鈍角三角形．與三角形面積有關(guān)的問(wèn)題 (高頻考點(diǎn))求解與三角形面積有關(guān)的問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，三種題型在高考中時(shí)有出現(xiàn)，其試題為中檔題．高考對(duì)正、余弦定理應(yīng)用的考查有以下三個(gè)命題角度：求三角形的面積；已知三角形的面積解三角形；(3)求有關(guān)三角形面積或周長(zhǎng)的最值 (范圍)問(wèn)題．[典例引領(lǐng)]角度一 求三角形的面積(2017高·考全國(guó)卷Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為 a，b，c，已知sinA＋3cosA＝0，a＝27，b＝2.求c；設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且AD⊥AC，求△ABD的面積．2π【解】(1)由已知可得tanA＝－332π在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccos3，即c2＋2c－24＝0.解得c＝－6(舍去)，c＝4.π π由題設(shè)可得∠CAD＝2，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝6.故△ABD面積與△ACD面積的比值為1 π2AB·AD·sin 61.1AC·AD2又△ABC的面積為13，所以△ABD的面積為3.×4×2sin∠BAC＝22角度二已知三角形的面積解三角形(2018江·西南昌十校模擬)在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且sinA5c757B為銳角，若sinB＝2b，sinB＝△ABC＝，則b的值為________．4，S4【解析】sinA5ca5c5由＝?＝?a＝c，①sinB2bb2b215771由S△ABC＝acsinB＝4且sinB＝得ac＝5，②242聯(lián)立①②解得a＝5，c＝2，由sinB＝73b2＝25＋4且B為銳角知cosB＝，由余弦定理知4432×5×2×＝14，b＝14.4【答案】 14角度三 求有關(guān)三角形面積或周長(zhǎng)的最值 (范圍)問(wèn)題(2018

沈·陽(yáng)市教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)

(一))已知△

ABC

的三個(gè)內(nèi)角

A，B，C的對(duì)邊分別為

a，b，c，面積為

S，且滿足

4S＝a2－(b－c)2，b＋c＝8，則

S的最大值為

________．1【解析】

由題意得：

4×

bcsinA＝a2－b2－c2＋2bc，2又a2＝b2＋c2－2bccosA，代入上式得：2bcsinA＝－2bccosA＋2bc，即sinA＋cosA＝1，＋πππ5ππ3ππ14)＝1，又0<A<π，所以4<A＋4<4，所以A＋4＝4，所以A＝2，S＝22sin(A1bcsinA＝2bc，又b＋c＝8≥2bc，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)取“＝”，所以bc≤16，所以S的最大值為8.【答案】 8與三角形面積有關(guān)問(wèn)題的解題策略1 1 1求三角形的面積．對(duì)于面積公式S＝2absinC＝2acsinB＝2bcsinA，一般是已知哪一個(gè)角就使用含哪個(gè)角的公式．已知三角形的面積解三角形．與面積有關(guān)的問(wèn)題，一般要利用正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的互化．求有關(guān)三角形面積或周長(zhǎng)的最值(范圍)問(wèn)題．一般轉(zhuǎn)化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的有界性求解，或利用余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，再應(yīng)用基本不等式求解．[通關(guān)練習(xí)]1．(2018云·南省第一次統(tǒng)一檢測(cè))已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若a＝bcosC＋csinB，且△ABC的面積為2的最小值為()1＋，則bA．2B．3C.2D.3解析：選A.由a＝bcosC＋csinB及正弦定理，得 sinA＝sinBcosC＋sinCsinB，即sin(B＋C)＝sinBcosC＋sinCsinB，得sinCcosB＝sinCsinB，又sinC≠0，所以tanB＝1.π122因?yàn)锽∈(0，π)，所以B＝.由S△ABC＝acsinB＝1＋222－422accosB≥2ac－22＋22b≥2，b的ac＝(2－)(4)＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)等號(hào)成立，所以最小值為2，故選A.2．(2017高·考全國(guó)卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為 a，b，c，已知sin(A＋C)＝B8sin22.求cosB；若a＋c＝6，△ABC的面積為2，求b.B解：(1)由題設(shè)及 A＋B＋C＝π得sinB＝8sin2，故2sinB＝4(1－cosB)．上式兩邊平方，整理得17cos2B－32cosB＋15＝0，15解得cosB＝1(舍去)，cosB＝ .1715 8(2)由cosB＝17得sinB＝17，故

1417△ABC＝acsinB＝ac.又S△ABC＝2，則ac＝.1722由余弦定理及 a＋c＝6得b2＝a2＋c2－2accosB(a＋c)2－2ac(1＋cosB)36－2×17×(1＋15)1724.所以b＝2.應(yīng)用正、余弦定理的解題技巧技巧解讀適合題型典例指引將表達(dá)式中的邊利用邊化角公式a＝2RsinA，b＝等式兩邊是邊的齊次例2(1)2RsinB，c＝2RsinC形式化為角的關(guān)系將表達(dá)式中的角利用公式轉(zhuǎn)化為邊，出現(xiàn)等式兩邊是角的齊次角化邊角的正弦值用正弦定形式、a2＋b2－c2＝例2(2)理轉(zhuǎn)化，出現(xiàn)角的余λab形式弦值由余弦定理轉(zhuǎn)化a2＝b2＋c2－2bccosA(b＋c)2－2bc(1＋出現(xiàn)b＋c，bc等結(jié)構(gòu)和積互化 cosA)．可聯(lián)系已知形式條件，利用方程思想進(jìn)行求解三角形的邊與重要不等式相聯(lián)系，由 b2＋c22bc，得a2＝b2＋c2－2bccosA方積互化 求邊、角、面積等范圍問(wèn)題 例3-32bc－2bccosA＝2bc(1－cosA)，可探求邊或角的范圍問(wèn)題易錯(cuò)防范在利用正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而求出其他的邊和角時(shí)，有時(shí)可能出現(xiàn)一解、兩解或無(wú)解，所以要注意分類討論．在判斷三角形形狀時(shí)，等式兩邊一般不要約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，以免漏解．1．(2018蘭·州市實(shí)戰(zhàn)考試)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若b2＝ac，c＝2a，則cosC＝()22A.4B．－433C.D．－44解析：選B.由題意得，b2＝ac＝2a2，b＝2a，所以cosa2＋b2－c2a2＋2a2－4a2C＝＝2a×＝2ab2a2－，故選B.42．(2018廣·東廣雅中學(xué)、江西南昌二中聯(lián)考)已知a，b，c為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，若3bcosC＝c(1－3cosB)，則sinC∶sinA＝()A．2∶3B．4∶3C．3∶1D．3∶2解析：選C.由正弦定理得3sinBcosC＝sinC－3sinCcosB，3sin(B＋C)＝sinC，因?yàn)锳＋B＋C＝π，所以B＋C＝π－A，所以3sinA＝sinC，所以sinC∶sinA＝3∶1，選C.223．在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若sinA＝3，a＝3，S△ABC2＝2，則b的值為()A．6B．3C．2D．2或3△21解析：選D.因?yàn)镾ABC＝2＝bcsinA，2所以bc＝6，又因?yàn)閟inA＝2219＝b2＋c2－3，所以cosA＝，又a＝3，由余弦定理得32bccosA＝b2＋c2－4，b2＋c2＝13，可得b＝2或b＝3.224．(2018安·徽合肥模擬)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cosC＝3，bcosA＋acosB＝2，則△ABC的外接圓面積為()A．4πB．8πC．9πD．36π解析：選C.已知bcosA＋acosB＝2，由正弦定理可得2RsinBcosA＋2RsinAcosB＝2(R為△ABC的外接圓半徑)．利用兩角和的正弦公式得2Rsin(A＋B)＝2，則2RsinC＝2，因?yàn)?21cosC＝3，所以sinC＝3，所以R＝3.故△ABC的外接圓面積為9π.故選C.5．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，若bsinA－3acosB＝0，且a＋cb2＝ac，則的值為()b2B.2A.2C．2D．4解析：選C.在△ABC中，由bsinA－3acosB＝0，利用正弦定理得 sinBsinA－3sinAcosB＝0，π所以tanB＝3，故B＝ .3由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2ac·cosB＝a2＋c2－ac，即b2＝(a＋c)2－3ac，a＋c又b2＝ac，所以4b2＝(a＋c)2，求得＝2.bπ2sinB，則△ABC的面積為________．6．在△ABC中，A＝4，b2sinC＝4解析：因?yàn)閎2sinC＝42sinB，所以b2c＝42b，所以bc＝42，1122＝2.SABC＝bcsinA＝×4×222答案：2sin2A7．在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，則sinC＝________．解析：由余弦定理：cosA＝b2＋c2－a225＋36－1632bc＝＝，2×5×647＋b2－c216＋－361所以sinA＝4，cosC＝2ab＝＝，2×4×582×3737sin2A×44所以sinC＝8，所以sinC＝37＝1.8答案：118．已知△ABC的周長(zhǎng)為 2＋1，面積為 6sinC，且sinA＋sinB＝2sinC，則角C的值為________．解析：將sinA＋sinB＝2sinC利用正弦定理化簡(jiǎn)得：a＋b＝2c，因?yàn)閍＋b＋c＝2＋1，所以2c＋c＝2＋1，即c＝1，所以a＋b＝2，111因?yàn)镾△ABC＝absinC＝sinC，所以ab＝.263因?yàn)閏osC＝a2＋b2－c2a2＋b2－12ab＝2ab2（＋）2－2ab－12－－1π＝2ab＝2＝，則C＝.233π答案：339．(2017高·考北京卷)在△ABC中，∠A＝60°，c＝7a.求sinC的值；若a＝7，求△ABC的面積．3解：(1)在△ABC中，因?yàn)椤螦＝60°，c＝a，7所以由正弦定理得csinA3333sinC＝＝×2＝.a7143(2)因?yàn)閍＝7，所以c＝×7＝3.71由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA得72＝b2＋32－2b×3×，2解得b＝8或b＝－5(舍)．113所以△ABC的面積S＝bcsinA＝×8×3×＝63.22210．(2018·州省適應(yīng)性考試貴)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且acosB＝4，bsinA＝3.求tanB及邊長(zhǎng)a的值；若△ABC的面積S＝9，求△ABC的周長(zhǎng)．解：(1)在△ABC中，acosB＝4，bsinA＝3，bsinAsinBsinA3兩式相除，有＝sin＝tanB＝，acosBAcosB44又acosB＝4，所以cosB>0，則cosB＝，故a＝5.53 1(2)由(1)知，sinB＝5，由S＝2acsinB＝9，得c＝6.由b2＝a2＋c2－2accosB＝13，得b＝13.故△ABC的周長(zhǎng)為 11＋13.2π1．(2018長(zhǎng)·沙市統(tǒng)一模擬考試)△ABC中，C＝3，AB＝3，則△ABC的周長(zhǎng)為()ππA．6sin(A＋3)＋3B．6sin(A＋6)＋3C．23sin(A＋πD．23sin(A＋π3)＋36)＋3解析：選C.設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，則2R＝33BC＝2RsinA＝232πsin3ππ－A)]＋3＝2A，AC＝2RsinB＝23sin(3－A)，于是△ABC的周長(zhǎng)為23[sinA＋sin(33sinπ(A＋3)＋3.選C.2．(2018安·徽江南十校聯(lián)考1，它的外接圓面積為S2，若△ABC的三)設(shè)△ABC的面積為S1個(gè)內(nèi)角大小滿足)A∶B∶C＝3∶4∶5，則的值為(S22525A.12πB.24π3＋33＋3C.D.4π2π解析：選D.在△ABC中，A＋B＋C＝π，ππ，C＝5又A∶B∶C＝3∶4∶5，所以A＝，B＝π.4312ab＝c＝2R(a、b、c為△ABC中角A、B、C的對(duì)邊，R為由正弦定理＝sinsinAsinBCsinAsinBcC.△ABC的外接圓半徑)可得，a＝sinC·c，b＝sinC·c，R＝2sin11sinAsinB所以S1＝absinC＝·sin·sin·c2·sinC22CC1c2＝sinA·sinB·sinC·，2sin2Cπc2S2＝πR2＝·，4sin2C23622×××3＋3S12sinA·sinB·sinC224，故選D.所以＝＝＝S2ππ4π3．如圖，在四邊形 ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD135°，則BC的長(zhǎng)為________．解析：在△ABD中，設(shè)BD＝x，則BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，即142＝x2＋102－2·10x·cos60°，整理得x2－10x－96＝0，解得x1＝16，x2＝－6(舍去)．BC＝BD162在△BCD中，由正弦定理：，所以BC＝sin135·sin30°＝8.sin∠CDBsin∠BCD°答案：82asin＋－C234．在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，sinsinC＝3a，aB2