數(shù)值分析(本科)函數(shù)逼近

第四章函數(shù)逼近一、函數(shù)逼近之范數(shù)問題：如何度量兩個函數(shù)之間的距離？

二、函數(shù)逼近之生成的線性空間

注：該線性空間上的加法和數(shù)乘運算，即為通常的函數(shù)加法和數(shù)乘運算！三、函數(shù)逼近之最佳逼近問題

范數(shù)（距離）最小三、函數(shù)逼近之最佳逼近問題

四、函數(shù)逼近之正交多項式

注：

3)同樣兩個函數(shù)在不同內(nèi)積下，通常取值不同。四、函數(shù)逼近之正交多項式

四、函數(shù)逼近之正交多項式

內(nèi)積的性質(zhì)：

四、函數(shù)逼近之正交多項式

注：正交與內(nèi)積的定義有關，例如

不正交正交四、函數(shù)逼近之正交多項式

四、函數(shù)逼近之正交多項式

常見的正交多項式：勒讓德正交多項式；切比雪夫正交多項式；拉蓋爾正交多項式；埃爾米特正交多項式。四、函數(shù)逼近之正交多項式勒讓德（Legendre）切比雪夫(Chebyshev)權1區(qū)間通項正交遞推奇偶其它四、函數(shù)逼近之正交多項式拉蓋爾（Laguerre）埃爾米特(Hermite)權區(qū)間通項正交遞推奇偶其它四、函數(shù)逼近之最佳一致逼近

四、函數(shù)逼近之最佳一致逼近

四、函數(shù)逼近之最佳一致逼近問題：如何求最佳一致逼近多項式？

偏差：

正偏差點：

負偏差點：

何謂切比雪夫交錯點？偏差點四、函數(shù)逼近之最佳一致逼近問題：如何求最佳一致逼近多項式？

交錯點：

切比雪夫交錯點：

四、函數(shù)逼近之最佳一致逼近問題：如何求最佳一致逼近多項式？

該定理給出最佳一致逼近多項式的充要條件，但一般情況下還是很難根據(jù)該定理求解最佳一致逼近多項式。

四、函數(shù)逼近之最佳一致逼近

由于該函數(shù)連續(xù)，故取極值的點只有兩種可能：該點的導數(shù)值為零，或是區(qū)間端點。四、函數(shù)逼近之最佳一致逼近

分析：

因此導函數(shù)取值為零的點最多只有一個。

四、函數(shù)逼近之最佳一致逼近

解之得

四、函數(shù)逼近之最佳一致逼近

分析：故

解之得四、函數(shù)逼近之最佳一致逼近

分析：故

四、函數(shù)逼近之最佳一致逼近

四、函數(shù)逼近之最佳一致逼近

四、函數(shù)逼近之最佳一致逼近

四、函數(shù)逼近之最佳一致逼近

計算中點；四、函數(shù)逼近之最佳一致逼近

解.

四、函數(shù)逼近之最佳一致逼近

解.

四、函數(shù)逼近之最佳平方逼近

四、函數(shù)逼近之最佳平方逼近

注：

等價于求

四、函數(shù)逼近之最佳平方逼近

則原問題就可歸結為計算多元函數(shù)的極小值

四、函數(shù)逼近之最佳平方逼近由多元函數(shù)取極值的必要條件：可得線性方程組

四、函數(shù)逼近之最佳平方逼近其矩陣形式為

注：該線性方程組稱為法方程。

四、函數(shù)逼近之最佳平方逼近

以法方程的解作為線性組合的系數(shù)，得

四、函數(shù)逼近之最佳平方逼近

則

這兩個積分比較復雜，在下一章將學習利用數(shù)值積分來近似計算！四、函數(shù)逼近之最佳平方逼近

解.法方程為

所以線性最佳平方逼近多項式為

解之得

四、函數(shù)逼近之最佳平方逼近

解.法方程為

所以線性最佳平方逼近多項式為

四、函數(shù)逼近之最小二乘法若已知連續(xù)函數(shù)的表達式，則利用最佳平方逼近構造簡單函數(shù)來逼近。

四、函數(shù)逼近之最小二乘法可以證明最小二乘逼近函數(shù)是存在且唯一的。

四、函數(shù)逼近之最小二乘法

0.240.650.951.241.732.012.232.522.772.990.23