2023年浙江省中考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)卷：9三角形（含解析）

2023年浙江省中考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)卷：9三角形一．選擇題（共14小題）1．（2022?金華）如圖，AC與BD相交于點(diǎn)O，OA＝OD，OB＝OC，不添加輔助線，判定△ABO≌△DCO的依據(jù)是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL2．（2022?衢州）線段a，b，c首尾順次相接組成三角形，若a＝1，b＝3，則c的長(zhǎng)度可以是（）A．3 B．4 C．5 D．63．（2022?杭州）如圖，CD⊥AB于點(diǎn)D，已知∠ABC是鈍角，則（）A．線段CD是△ABC的AC邊上的高線 B．線段CD是△ABC的AB邊上的高線 C．線段AD是△ABC的BC邊上的高線 D．線段AD是△ABC的AC邊上的高線4．（2022?湖州）在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格圖形中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格圖形ABCD中，M，N分別是AB，BC上的格點(diǎn)，BM＝4，BN＝2．若點(diǎn)P是這個(gè)網(wǎng)格圖形中的格點(diǎn)，連結(jié)PM，PN，則所有滿足∠MPN＝45°的△PMN中，邊PM的長(zhǎng)的最大值是（）A．42 B．6 C．210 D．355．（2022?鹿城區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠BAC＝2∠CAD，已知BC＝4，AD＝7，則△ACD的面積為（）A．7 B．14 C．21 D．286．（2022?湖州）如圖，已知在銳角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，E是AD上一點(diǎn)，連結(jié)EB，EC．若∠EBC＝45°，BC＝6，則△EBC的面積是（）A．12 B．9 C．6 D．327．（2022?浦江縣模擬）如圖，已知△AHB是等腰直角三角形．∠AHB＝90°，△AHG，△BHC，△ABE是等邊三角形，GH交AE于點(diǎn)F．CH交BE于點(diǎn)D．記四邊形EFHD的面積為S1，△BCD的面積S2，則S1A．3-33 B．23-25 C8．（2022?金華）如圖是城市某區(qū)域的示意圖，建立平面直角坐標(biāo)系后，學(xué)校和體育場(chǎng)的坐標(biāo)分別是（3，1），（4，﹣2），下列各地點(diǎn)中，離原點(diǎn)最近的是（）A．超市 B．醫(yī)院 C．體育場(chǎng) D．學(xué)校9．（2022?龍灣區(qū)模擬）勾股定理是人類最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，在我國(guó)古算書《周髀算經(jīng)》中早有記載．如圖1，在△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的各邊為邊分別向外作正方形，再將較小的兩個(gè)正方形按圖2所示放置，連結(jié)MG，DG．若MG⊥DG，且BQ﹣AF=32，則A．43 B．52 C．152 10．（2022?瑞安市校級(jí)三模）如圖（1）是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽用來證明勾股定理的弦圖示意圖，圖（2）中，在線段AE和CG上分別取點(diǎn)P和點(diǎn)Q，使AP＝CQ，連接PD、PB、QD和QB，則構(gòu)成了一個(gè)“壓扁”的弦圖．“壓扁”的弦圖（四邊形PBQD）中，4個(gè)直角三角形的面積（如圖（2）中的陰影部分）依次記作S1，S2，S3，S4，連接PQ并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)M．若AE＝3EF＝3，S1＝S3＝S2+S4，則CM的長(zhǎng)為（）A．2 B．31314 C．1411 11．（2022?奉化區(qū)二模）如圖，等邊△ABC和等邊△DEF的邊長(zhǎng)相等，點(diǎn)A、D分別在邊EF，BC上，AB與DF交于G，AC與DE交于H．要求出△ABC的面積，只需已知（）A．△BDG與△CDH的面積之和 B．△BDG與△AGF的面積之和 C．△BDG與△CDH的周長(zhǎng)之和 D．△BDG與△AGF的周長(zhǎng)之和12．（2022?永嘉縣三模）如圖是我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周辭算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形EFGH拼成的一個(gè)大正方形ABCD．連結(jié)CE，若CE＝AD，則tan∠BCE的值為（）A．12 B．23 C．34 13．（2022?溫州）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三邊為邊向外作正方形，連結(jié)CF，作GM⊥CF于點(diǎn)M，BJ⊥GM于點(diǎn)J，AK⊥BJ于點(diǎn)K，交CF于點(diǎn)L．若正方形ABGF與正方形JKLM的面積之比為5，CE=10+2A．5 B．3+52 C．22 D14．（2022?江北區(qū)模擬）如圖，在銳角三角形△ABC中，分別以三邊AB，BC，CA為直徑作圓．記三角形外的陰影面積為S1，三角形內(nèi)的陰影面積為S2，在以下四個(gè)選項(xiàng)的條件中，不一定能求出S1﹣S2的是（）A．已知△ABC的三條中位線的長(zhǎng)度 B．已知△ABC的面積 C．已知BC的長(zhǎng)度，以及AB，AC的長(zhǎng)度和 D．已知AB，AC的長(zhǎng)度及∠ACB的度數(shù)二．填空題（共8小題）15．（2022?嘉興）小曹同學(xué)復(fù)習(xí)時(shí)將幾種三角形的關(guān)系整理如圖，請(qǐng)幫他在括號(hào)內(nèi)填上一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件．16．（2022?麗水模擬）如圖，已知∠B＝∠D，請(qǐng)?jiān)偬砩弦粋€(gè)條件，使△ABC≌△ADC（寫出一個(gè)即可）．17．（2022?婺城區(qū)校級(jí)模擬）勾股定理是初中數(shù)學(xué)最重要的定理之一，如圖1，以直角三角形的各邊為邊分別向外作正方形，再把較小的兩個(gè)正方形按圖2的方式放置在最大正方形內(nèi)．記四邊形ABCD的面積為S1，△CDE的面積為S2，四邊形DEFG的面積為S3，四邊形FGHI的面積為S4，若知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出．18．（2022?嘉興二模）一副含45°和30°角的直角三角形紙板ABC和DEF按圖1擺放，BC＝DE＝12，∠ABC＝∠DEF＝90°．現(xiàn)將點(diǎn)D從B點(diǎn)向A點(diǎn)滑動(dòng)，邊DE始終經(jīng)過BC上一點(diǎn)G，BG＝2．H是DF邊上一點(diǎn)，滿足DH＝DG（如圖2），當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)G點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)停止．當(dāng)E到達(dá)G點(diǎn)時(shí)BD的長(zhǎng)為；運(yùn)動(dòng)過程中AH的最小值是．19．（2022?龍港市模擬）如圖，在正六邊形ABCDEF中，AB＝2，點(diǎn)P在邊CD上，M，N分別是AP，EF的中點(diǎn)，連結(jié)AC，MN，且MN＝AM，MN⊥AM，則AC的長(zhǎng)為，△ACP的面積為．20．（2022?樂清市三模）研究任務(wù)畫出平分直角三角形面積的一條直線研究成果中線法分割法等積法BD是AC邊上的中線若AEBE=DE∥BF成果應(yīng)用如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，直線EF平分△ABC的面積．①若EF⊥AC，AFCF=2，則AC的值為②若BE＝CF，AE＝EF，則AC的值為．21．（2022?西湖區(qū)模擬）如圖，Rt△ABC≌Rt△EFD，∠BAC＝∠FED＝90°，tanB=43，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，連結(jié)AD，在Rt△EFD繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)點(diǎn)E落在直線AB上時(shí)，AEAB的值為22．（2022?溫州模擬）如圖1，是一種鋰電池自動(dòng)液壓搬運(yùn)物體叉車，圖2是叉車側(cè)面近似示意圖．車身為四邊形ABCD，AB∥DC，BC⊥AB，底座AB上裝著兩個(gè)半徑為30cm的輪胎切于水平地面，AB＝169cm，BC＝120cm．擋貨架AE上有一固定點(diǎn)T與AD的中點(diǎn)N之間由液壓伸縮桿TN連接．當(dāng)TN⊥AD時(shí)，TN的延長(zhǎng)線恰好經(jīng)過B點(diǎn)，則AD的長(zhǎng)度是cm；一個(gè)長(zhǎng)方體物體準(zhǔn)備裝卸時(shí)，AE繞點(diǎn)A左右旋轉(zhuǎn)，托物體的貨叉PQ⊥AE（PQ沿著AE可上下滑動(dòng)），PQ＝65cm，AE＝AD．當(dāng)AE旋轉(zhuǎn)至AF時(shí)，PQ下降到P'Q'的位置，此時(shí)F，D，C三點(diǎn)共線，且FQ'＝52cm，則點(diǎn)P'到地面的距離是cm．三．解答題（共9小題）23．（2022?嘉興）小東在做九上課本123頁(yè)習(xí)題：“1：2也是一個(gè)很有趣的比．已知線段AB（如圖1），用直尺和圓規(guī)作AB上的一點(diǎn)P，使AP：AB＝1：2．”小東的作法是：如圖2，以AB為斜邊作等腰直角三角形ABC，再以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑作弧，交線段AB于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．小東稱點(diǎn)P為線段AB的“趣點(diǎn)”．（1）你贊同他的作法嗎？請(qǐng)說明理由．（2）小東在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了如下操作和探究：連結(jié)CP，點(diǎn)D為線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在AB的上方，構(gòu)造△DPE，使得△DPE∽△CPB．①如圖3，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，求∠CPE的度數(shù)．②如圖4，DE分別交CP，CB于點(diǎn)M，N，當(dāng)點(diǎn)D為線段AC的“趣點(diǎn)”時(shí)（CD＜AD），猜想：點(diǎn)N是否為線段ME的“趣點(diǎn)”？并說明理由．24．（2022?紹興）如圖，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于點(diǎn)E．P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），連結(jié)AP，將△APC沿AP翻折得△APD，連結(jié)DC，記∠BCD＝α．（1）如圖，當(dāng)P與E重合時(shí)，求α的度數(shù)．（2）當(dāng)P與E不重合時(shí)，記∠BAD＝β，探究α與β的數(shù)量關(guān)系．25．（2022?鹿城區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，過點(diǎn)B，C分別作BF⊥AD，CE⊥AD，垂足為E，F(xiàn)．（1）求證：BF＝CE．（2）若BF＝3，AE＝2，求AC的長(zhǎng)．26．（2022?溫州校級(jí)模擬）如圖，AD是△ABC的中線，CE⊥AD，BF⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求證：△CDE≌△BDF；（2）若AE＝3，BF＝2，求AC的長(zhǎng)．27．（2022?蕭山區(qū)校級(jí)二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F．（1）求證：DE＝DF．（2）若AB＝13，BC＝10，求DE的長(zhǎng)．28．（2022?下城區(qū)校級(jí)二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AC邊上（不與點(diǎn)A，點(diǎn)C重合），連接BD，BD＝AB．（1）設(shè)∠C＝50°時(shí)，求∠ABD的度數(shù)；（2）若AB＝5，BC＝6，求AD的長(zhǎng)．29．（2022?柯城區(qū)校級(jí)三模）定義：若三角形的一條邊上的高線與這條邊相等，則稱這個(gè)三角形為“標(biāo)準(zhǔn)三角形”．如：在△ABC，CD⊥AB于點(diǎn)D，AB＝CD，則△ABC為標(biāo)準(zhǔn)三角形．【概念感知】判斷：對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”．（1）等腰直角三角形是標(biāo)準(zhǔn)三角形．（2）頂角為30°的等腰三角形是標(biāo)準(zhǔn)三角形．【概念理解】若一個(gè)等腰三角形為標(biāo)準(zhǔn)三角形，則此三角形的三邊長(zhǎng)之比為．【概念應(yīng)用】（1）如圖，若△ABC為標(biāo)準(zhǔn)三角形，CD⊥AB于點(diǎn)D，AB＝CD＝1，求CA+CB的最小值．（2）若一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)三角形的其中一邊是另一邊的5倍，求最小角的正弦值．30．（2022?婺城區(qū)模擬）如圖，BE是△ABC的角平分線，延長(zhǎng)BE至D，使得BC＝CD．（1）若∠ABD＝20°，求∠BCD的度數(shù)；（2）若AB＝2，BC＝4，AC＝3，求CE長(zhǎng)．31．（2022?衢江區(qū)二模）如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝6，過點(diǎn)C作CD∥AB，O是BC中點(diǎn)，E是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，射線EO交CD于點(diǎn)F．圓圓想探究在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，AE與EF的數(shù)量關(guān)系，她設(shè)AE＝x，EF＝y(tǒng)，利用幾何畫板繪圖、測(cè)量，得到如表所示的幾組對(duì)應(yīng)值，并在圖②中描出了以各組對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)．x012344.556y9.497.625.833.163.003.16（1）當(dāng)x＝3時(shí)，求EF的長(zhǎng)；（2）在圖②中描出y關(guān)于x的函數(shù)圖象，并根據(jù)圖象填空：當(dāng)y最小時(shí)，x≈（保留1位小數(shù)）；（3）當(dāng)EF﹣AE＝2時(shí)，利用函數(shù)圖象求AE的長(zhǎng)（保留1位小數(shù)）．

2023年浙江省中考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)卷：9三角形參考答案與試題解析一．選擇題（共14小題）1．（2022?金華）如圖，AC與BD相交于點(diǎn)O，OA＝OD，OB＝OC，不添加輔助線，判定△ABO≌△DCO的依據(jù)是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL【解答】解：在△AOB和△DOC中，OA=∴△AOB≌△DOC（SAS），故選：B．2．（2022?衢州）線段a，b，c首尾順次相接組成三角形，若a＝1，b＝3，則c的長(zhǎng)度可以是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵線段a＝1，b＝3，∴3﹣1＜c＜3+1，即2＜c＜4．觀察選項(xiàng)，只有選項(xiàng)A符合題意，故選：A．3．（2022?杭州）如圖，CD⊥AB于點(diǎn)D，已知∠ABC是鈍角，則（）A．線段CD是△ABC的AC邊上的高線 B．線段CD是△ABC的AB邊上的高線 C．線段AD是△ABC的BC邊上的高線 D．線段AD是△ABC的AC邊上的高線【解答】解：A、線段CD是△ABC的AB邊上的高線，故本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；B、線段CD是△ABC的AB邊上的高線，本選項(xiàng)說法正確，符合題意；C、線段AD不是△ABC的BC邊上高線，故本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；D、線段AD不是△ABC的AC邊上高線，故本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；故選：B．4．（2022?湖州）在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格圖形中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格圖形ABCD中，M，N分別是AB，BC上的格點(diǎn)，BM＝4，BN＝2．若點(diǎn)P是這個(gè)網(wǎng)格圖形中的格點(diǎn)，連結(jié)PM，PN，則所有滿足∠MPN＝45°的△PMN中，邊PM的長(zhǎng)的最大值是（）A．42 B．6 C．210 D．35【解答】解：如圖所示：∵BM＝NC＝4，BN＝CP＝2，且∠B＝∠C＝90°，∴△BMN≌△CNP（SAS），∴MN＝NP，∠BMN＝∠CNP，∵∠BMN+∠BNM＝90°，∴∠BNM+∠CNP＝90°，∴∠MNP＝90°，∴△NMP為等腰直角三角形，此時(shí)PM最長(zhǎng)，在Rt△BMN和Rt△NCP中，根據(jù)勾股定理得：MN＝NP=22+則PM=MN2故選：C．5．（2022?鹿城區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠BAC＝2∠CAD，已知BC＝4，AD＝7，則△ACD的面積為（）A．7 B．14 C．21 D．28【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，因?yàn)锳B＝AC，BC＝4，所以∠BAE因?yàn)椤螧AC＝2∠CAD，所以∠BAE＝∠CAE＝∠CAD，過點(diǎn)C作CF⊥AD于點(diǎn)F，根據(jù)角的平分線的性質(zhì)，得到CF＝CE＝2，所以S△故選A．6．（2022?湖州）如圖，已知在銳角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，E是AD上一點(diǎn)，連結(jié)EB，EC．若∠EBC＝45°，BC＝6，則△EBC的面積是（）A．12 B．9 C．6 D．32【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，∴BD＝CD=12BC＝3，AD⊥在Rt△EBD中，∠EBC＝45°，∴ED＝BD＝3，∴S△EBC=12BC?ED=12×6故選：B．7．（2022?浦江縣模擬）如圖，已知△AHB是等腰直角三角形．∠AHB＝90°，△AHG，△BHC，△ABE是等邊三角形，GH交AE于點(diǎn)F．CH交BE于點(diǎn)D．記四邊形EFHD的面積為S1，△BCD的面積S2，則S1A．3-33 B．23-25 C【解答】解：連接DF，過點(diǎn)D作DH⊥BC于H，連接EH并延長(zhǎng)交AB于M，設(shè)CH＝a，∵△AHB是等腰直角三角形．∠AHB＝90°，△AHG，△BHC，△ABE是等邊三角形，∴∠ABH＝45°，∠ABD＝∠C＝∠BHC＝60°，∴∠HBD＝15°，∠CDH＝30°，∠CBD＝45°，∴DH＝BH=3a，CD＝2a∴BD=6a，BH＝CH＝BC＝（1+3）∴BE＝AB=2a+6∴DE＝BE﹣BD=2a∵AE＝BE，AH＝BH，∴EH垂直平分AB，∴∠BEM＝30°，∵∠CDB＝∠EDH＝∠HBD+∠BHC＝75°，∴∠EHD＝∠EDH＝75°，∴EH＝DE=2a同理可得∠HAF＝15°，∠AHF＝60°，在△HAF和△HBD中，∠HAF∴△HAF≌△HBD中（AAS），∴AF＝BD，∴DF∥AB，∴EH⊥DF，∴△EDF是等邊三角形，∴DF＝DE=2a∴四邊形EFHD的面積為S1=12DF?EH=12×2a△BCD的面積S2=12BC?DH=12×（1+3）a×3a=∴S1故選：A．8．（2022?金華）如圖是城市某區(qū)域的示意圖，建立平面直角坐標(biāo)系后，學(xué)校和體育場(chǎng)的坐標(biāo)分別是（3，1），（4，﹣2），下列各地點(diǎn)中，離原點(diǎn)最近的是（）A．超市 B．醫(yī)院 C．體育場(chǎng) D．學(xué)?！窘獯稹拷猓喝缬覉D所示，點(diǎn)O到超市的距離為：22點(diǎn)O到學(xué)校的距離為：32點(diǎn)O到體育場(chǎng)的距離為：42點(diǎn)O到醫(yī)院的距離為：12∵5＜∴點(diǎn)O到超市的距離最近，故選：A．9．（2022?龍灣區(qū)模擬）勾股定理是人類最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，在我國(guó)古算書《周髀算經(jīng)》中早有記載．如圖1，在△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的各邊為邊分別向外作正方形，再將較小的兩個(gè)正方形按圖2所示放置，連結(jié)MG，DG．若MG⊥DG，且BQ﹣AF=32，則A．43 B．52 C．152 【解答】解：延長(zhǎng)HG交AD于P，延長(zhǎng)FG交DE于I，則四邊形DIGP為正方形，∴∠GDM＝45°，設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c，則c2＝a2+b2①，BQ＝c﹣b，AF＝c﹣a，∵BQ﹣AF=3∴a﹣b=32∵M(jìn)G⊥DG，∴∠GMD＝45°，∴MP＝PD，∴c﹣a＝a﹣b③，聯(lián)立①②③得c2解得a=6則AB的長(zhǎng)為152故選：C．10．（2022?瑞安市校級(jí)三模）如圖（1）是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽用來證明勾股定理的弦圖示意圖，圖（2）中，在線段AE和CG上分別取點(diǎn)P和點(diǎn)Q，使AP＝CQ，連接PD、PB、QD和QB，則構(gòu)成了一個(gè)“壓扁”的弦圖．“壓扁”的弦圖（四邊形PBQD）中，4個(gè)直角三角形的面積（如圖（2）中的陰影部分）依次記作S1，S2，S3，S4，連接PQ并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)M．若AE＝3EF＝3，S1＝S3＝S2+S4，則CM的長(zhǎng)為（）A．2 B．31314 C．1411 【解答】解：如圖，過點(diǎn)M作MS⊥CG于點(diǎn)S，設(shè)PQ交BF、DG于點(diǎn)T、K，根據(jù)題意得：AE＝CG＝BF＝DH，BE＝DG，四邊形EFGH是正方形，∠AEB＝∠DGC＝90°，∵AE＝3EF＝3，∴CG＝AE＝DH＝3，EF＝FG＝EH＝1，EH∥FG，∵AP＝CQ，∴PE＝GQ，∴△BPE≌△DQG（SAS），∴S△BPE＝S△DQG，即S4＝S2，∵S1＝S3＝S2+S4，∴S1＝S3＝2S4，∴12DH∴PE=∴CQ=∵EH∥FG，∴∠PET＝∠GQK，∵∠PET＝∠KGQ＝90°，PE＝GQ，∴△PET≌△QGK，∴ET＝KG，設(shè)KG＝ET＝a，則FT＝1﹣a，∵HG∥EF，∴△KGQ∽△TFQ，∴KGFT=GQ解得：a=311∴tan∵∠SQM＝∠KQG，∴tan∠在Rt△BCF中，BF＝3，CF＝CG+FG＝4，∴tan∠∴可設(shè)SM＝3x，則CS＝4x，∴SQ=CQ-CS=12∴tan∠解得：x=∴CM=故選：D．11．（2022?奉化區(qū)二模）如圖，等邊△ABC和等邊△DEF的邊長(zhǎng)相等，點(diǎn)A、D分別在邊EF，BC上，AB與DF交于G，AC與DE交于H．要求出△ABC的面積，只需已知（）A．△BDG與△CDH的面積之和 B．△BDG與△AGF的面積之和 C．△BDG與△CDH的周長(zhǎng)之和 D．△BDG與△AGF的周長(zhǎng)之和【解答】解：如圖，連接AD，過點(diǎn)A作AM⊥BC于M，過點(diǎn)D作DN⊥EF于N，則∠BAM＝∠FDN＝30°，∵等邊△ABC和等邊△DEF的邊長(zhǎng)相等，∴AM＝DN，∵AD＝AD，∴Rt△ADM≌Rt△DNA（HL），∴∠DAM＝∠NDA，∴∠BAD＝∠FDA，∵等邊△ABC和等邊△DEF的邊長(zhǎng)相等，∴BC＝AC＝AB＝DF，∠B＝∠F＝60°，∵AD＝AD，∴△ABD≌△DFA（ASA），∴S△ABD＝S△DFA，∴S△BDG＝S△FAG，同理：△ACD≌△DEA（SAS），∴S△ACD＝S△DEA，∴S△CDH＝S△EAG，選項(xiàng)A：當(dāng)△BDG與△CDH的面積之和已知時(shí)，S△BDG+S△CDH可求出，而四邊形AGDH的面積沒辦法求出，即△ABC的面積沒辦法求出，故選項(xiàng)A不符合題意；選項(xiàng)B：當(dāng)△BDG與△AGF的面積之和已知時(shí)，S△BDG可以求出，而四邊形AGDC的面積沒辦法求出，即△ABC的面積沒辦法求出，故選項(xiàng)B不符合題意；選項(xiàng)C：當(dāng)△BDG與△CDH的周長(zhǎng)之和時(shí)，BD+BG+DG+CD+DH+CH可以求出，∵△ABD≌△DFA，∴BD＝AF，∠BAD＝∠FDA，∴BG＝AG，∵AB＝DF，∴BG＝FG，同理：CD＝AE，DH＝AH，CH＝EH，∴BD+BG+DG+CD+DH+CH＝BD+BG+AG+CD+AH+CH＝（BD+CD）+（BG+AG）+（AH+CH）＝BC+AB+AC＝3BC，即BC可以求出，過點(diǎn)A作AM⊥BC于M，∵△ABC是等邊三角形，∴BM=12根據(jù)勾股定理得，AM=32∴S△ABC=12BC?AM=34BC選項(xiàng)D：當(dāng)△BDG與△AGF的周長(zhǎng)之和已知時(shí)，可以求出BD+BG+DG，但求不出△ABC的邊長(zhǎng)，即△ABC的面積沒辦法求出，故選項(xiàng)B不符合題意；故選：C．12．（2022?永嘉縣三模）如圖是我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周辭算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形EFGH拼成的一個(gè)大正方形ABCD．連結(jié)CE，若CE＝AD，則tan∠BCE的值為（）A．12 B．23 C．34 【解答】解：如圖，令CE交BG于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥BC于點(diǎn)N，設(shè)CH＝4x，∵Rt△AFB≌Rt△BGC≌Rt△CHD≌Rt△DEA，∴AF＝BG＝CH＝DE＝4x，F(xiàn)B＝GC＝HD＝EA，∵四邊形EFGH是正方形，∴EF＝FG＝GH＝HE，∠CHE＝∠AFG＝90°，∵CE＝AD，∴HD＝EH＝EF＝FG＝FB＝CG＝GH＝2x，∴BC=在△EFM和△CGM中，∠EFM∴△EFM≌△CGM（AAS），∴FM＝GM＝x，在△BMN和△BCG中，∠MBN∴△BNM∽△BGC（AA），∴BMBC=MNGC，即即BN4∴MN=35∴CN=∴tan∠故選：C．13．（2022?溫州）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三邊為邊向外作正方形，連結(jié)CF，作GM⊥CF于點(diǎn)M，BJ⊥GM于點(diǎn)J，AK⊥BJ于點(diǎn)K，交CF于點(diǎn)L．若正方形ABGF與正方形JKLM的面積之比為5，CE=10+2A．5 B．3+52 C．22 D【解答】解：設(shè)CF交AB于點(diǎn)P，過C作CN⊥AB于點(diǎn)N，如圖：設(shè)正方形JKLM邊長(zhǎng)為m，∴正方形JKLM面積為m2，∵正方形ABGF與正方形JKLM的面積之比為5，∴正方形ABGF的面積為5m2，∴AF＝AB=5m由已知可得：∠AFL＝90°﹣∠MFG＝∠MGF，∠ALF＝90°＝∠FMG，AF＝GF，∴△AFL≌△FGM（AAS），∴AL＝FM，設(shè)AL＝FM＝x，則FL＝FM+ML＝x+m，在Rt△AFL中，AL2+FL2＝AF2，∴x2+（x+m）2＝（5m）2，解得x＝m或x＝﹣2m（舍去），∴AL＝FM＝m，F(xiàn)L＝2m，∵tan∠AFL=AP∴AP5∴AP=5∴FP=AP2+AF2=(5m∴AP＝BP，即P為AB中點(diǎn)，∵∠ACB＝90°，∴CP＝AP＝BP=5∵∠CPN＝∠APF，∠CNP＝90°＝∠FAP，∴△CPN∽△FPA，∴CPFP=CN∴CN＝m，PN=12∴AN＝AP+PN=5+1∴tan∠BAC=BC∵△AEC和△BCH是等腰直角三角形，∴△AEC∽△BCH，∴BCAC∵CE=10∴25∴CH＝22，故選：C．14．（2022?江北區(qū)模擬）如圖，在銳角三角形△ABC中，分別以三邊AB，BC，CA為直徑作圓．記三角形外的陰影面積為S1，三角形內(nèi)的陰影面積為S2，在以下四個(gè)選項(xiàng)的條件中，不一定能求出S1﹣S2的是（）A．已知△ABC的三條中位線的長(zhǎng)度 B．已知△ABC的面積 C．已知BC的長(zhǎng)度，以及AB，AC的長(zhǎng)度和 D．已知AB，AC的長(zhǎng)度及∠ACB的度數(shù)【解答】解：∵S1＝S3個(gè)半外圓﹣S6個(gè)弓形＝S3個(gè)外半圓﹣（S3個(gè)內(nèi)半圓﹣2S△ABC﹣S2），∴S1＝2S△ABC+S2，∴S1﹣S2＝2S△ABC．A：若已知△ABC的三條中位線的長(zhǎng)度，即可得到△ABC三邊的長(zhǎng)度，再根據(jù)海倫公式S=p(p-a)(p-b)(p-c)（a，b，c是三角形的三邊，p=12（a+b+c）），據(jù)此求得三角形的面積，即可得到S1﹣S2的值，故A選項(xiàng)不符合題意；BC：∵已知AB，AC兩邊長(zhǎng)度和，∴AB，AC的長(zhǎng)度不確定，∴△ABC的面積也不確定，∴不一定能求出S1﹣S2的值，故C選項(xiàng)符合題意；D：如解圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D．∵AD＝AC?sin∠ACB，在△ADC和△ADB中，∴CD=AC2-∴S△ABC=12?AD?（BD+CD），據(jù)此即可求得S1﹣S2的值，故故選C．二．填空題（共8小題）15．（2022?嘉興）小曹同學(xué)復(fù)習(xí)時(shí)將幾種三角形的關(guān)系整理如圖，請(qǐng)幫他在括號(hào)內(nèi)填上一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件∠B＝60°（答案不唯一）．【解答】解：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形，故答案為：∠B＝60°．（答案不唯一）16．（2022?麗水模擬）如圖，已知∠B＝∠D，請(qǐng)?jiān)偬砩弦粋€(gè)條件∠BCA＝∠DCA（答案不唯一），使△ABC≌△ADC（寫出一個(gè)即可）．【解答】解：添加的條件是∠BCA＝∠DCA，理由是：在△ABC和△ADC中，∠BCA∴△ABC≌△ADC（AAS），故答案為：∠BCA＝∠DCA（答案不唯一）．17．（2022?婺城區(qū)校級(jí)模擬）勾股定理是初中數(shù)學(xué)最重要的定理之一，如圖1，以直角三角形的各邊為邊分別向外作正方形，再把較小的兩個(gè)正方形按圖2的方式放置在最大正方形內(nèi)．記四邊形ABCD的面積為S1，△CDE的面積為S2，四邊形DEFG的面積為S3，四邊形FGHI的面積為S4，若知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出S2．【解答】解：設(shè)大正方形的面積為c，中正方形的面積為b，小正方形的面積為a，如圖2，∵S1+S陰影=12（c﹣a），S1+S2=∵c＝a+b，∴b＝c﹣a，∴S1+S陰影＝S1+S2，∴S2＝S陰影，∴知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出S2，故答案為：S2．18．（2022?嘉興二模）一副含45°和30°角的直角三角形紙板ABC和DEF按圖1擺放，BC＝DE＝12，∠ABC＝∠DEF＝90°．現(xiàn)將點(diǎn)D從B點(diǎn)向A點(diǎn)滑動(dòng)，邊DE始終經(jīng)過BC上一點(diǎn)G，BG＝2．H是DF邊上一點(diǎn)，滿足DH＝DG（如圖2），當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)G點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)停止．當(dāng)E到達(dá)G點(diǎn)時(shí)BD的長(zhǎng)為235；運(yùn)動(dòng)過程中AH的最小值是63-1【解答】解：當(dāng)E與G重合時(shí)，在Rt△BDG中，DG＝DE＝12，BG＝2，∴BD=DG2如圖2中，以BG為邊，在BC的上方作等邊△BGJ，作直線HJ交AB于點(diǎn)K，連接GH，過點(diǎn)A作AT⊥JH于點(diǎn)T．∵DG＝DH，∠GDH＝60°，∴△DGH是等邊三角形，∴GD＝GH，∵∠JGB＝∠DGH＝60°，∴∠DGB＝∠HGJ，∵GB＝GJ，GD＝GH，∴△DGB≌△HGJ（SAS），∴∠HJG＝∠DBG＝90°，∴點(diǎn)H在過點(diǎn)J且垂直JG的直線上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)AH與AT重合時(shí)，AH的值最小，∵∠KBJ＝∠KJB＝30°，∴BK＝KJ，∵GB＝GJ，GK＝GK，∴△GKB≌△GKJ（SSS），∴∠BGK＝∠JGK＝30°，∴BK＝BG?tan30°=2∴AK＝AB＝BK＝12-2∵AT⊥KT，∠AKT＝60°，∴AT＝AK?sin60°＝（12-233）×3∴AH的最小值為63-1故答案為：235，63-119．（2022?龍港市模擬）如圖，在正六邊形ABCDEF中，AB＝2，點(diǎn)P在邊CD上，M，N分別是AP，EF的中點(diǎn)，連結(jié)AC，MN，且MN＝AM，MN⊥AM，則AC的長(zhǎng)為23，△ACP的面積為3．【解答】解：如圖，作MG∥CD交AC于G，∵M(jìn)是AP的中點(diǎn)，∴G是AC的中點(diǎn)，連接EM，∴EM∥CD，∴∠MEF＝60°，過點(diǎn)N作NH⊥ME于點(diǎn)H，∵N是EF的中點(diǎn)，∴EN=12EF＝∴HE=12EN∴NH=3HE=∵M(jìn)N⊥AM，∴∠AMG+∠NMH＝90°，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，AB＝2，∴AB＝AF＝BC＝EF＝2，∠ABC＝∠AFE＝∠BCD＝120°，∴∠BAC＝∠BCA＝30°，∴∠ACD＝90°，∴∠AGM＝90°，∴∠GAM+∠GMA＝90°，∴∠NMH＝∠GAM，在△AGM和△MHN中，∠AGM∴△AGM≌△MHN（AAS），∴GM＝NH=3∵GM∥CP，GM=12∴CP＝2GM=3連接BG，∵AB＝BC，且G是AC中點(diǎn)，∴AC＝2AG，AC⊥BG，∴BG=12AB＝1，AG=3BP=3，∴AC＝2AP=23∴△ACP的面積=12×AC?CP=1故答案為：23；320．（2022?樂清市三模）研究任務(wù)畫出平分直角三角形面積的一條直線研究成果中線法分割法等積法BD是AC邊上的中線若AEBE=DE∥BF成果應(yīng)用如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，直線EF平分△ABC的面積．①若EF⊥AC，AFCF=2，則AC的值為32②若BE＝CF，AE＝EF，則AC的值為163【解答】解：①如圖1，連接BF，設(shè)AC＝b，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，∴BC=A∴S△ABC=12AB?BC=12×由研究成果分割法得：若AEBE=n，則∵AFCF=∴n+1n解得：n＝3，∴AEBE=∵AB＝4，∴AE＝3，BE＝1，∵AF+CF＝b，AFCF=∴AF=23b，CF=∵S△AEF=12S△∴12AF?EF=12×即12×23b×EF∴EF=3在Rt△AEF中，AF2+EF2＝AE2，∴（23b）2+（3b2-16b）2＝3解得：b＝32，故答案為：32；②如圖2，設(shè)D是AC的中點(diǎn)，連接DE、BD、BF，過點(diǎn)E作EG⊥AC于點(diǎn)G，由研究成果等積法得：點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，DE∥BF，∴AEBE=ADDF，設(shè)AEBE=n，則AE根據(jù)研究成果分割法得：若AEBE=n，則∴AE＝n?BE，∵AE+BE＝AB＝4，∴（n+1）BE＝4，∴BE=4n+1，又∵BE＝CF，∴CF=4∴AF=n+1n∴AC＝AF+CF=4∵AE＝EF，EG⊥AF，∴AG=12AF∵cosA=AG∴AG?AC＝AB?AE，16即2n-1∵n＞0，∴n＝2，∴AC=8故答案為：16321．（2022?西湖區(qū)模擬）如圖，Rt△ABC≌Rt△EFD，∠BAC＝∠FED＝90°，tanB=43，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，連結(jié)AD，在Rt△EFD繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)點(diǎn)E落在直線AB上時(shí)，AEAB的值為43【解答】解：設(shè)AB＝6m，則在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，tanB=4∴AC＝8m，BC＝10m，∵Rt△ABC≌Rt△EFD，∴EF＝AB＝6m，DE＝AC＝8m，DF＝BC＝10m．∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴AD＝BD＝CD＝5m．過點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M，∴AM＝BM＝3m，∴DM＝4m．根據(jù)題意可知，需要分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)E在射線BA的上時(shí)，如圖，在Rt△DME中，由勾股定理可知，ME＝43m，∴AE＝（43-3）m∴AEAB當(dāng)點(diǎn)E在射線AB上時(shí)，如圖，在Rt△DME中，由勾股定理可知，ME＝43m，∴AE＝（43+3）m∴AEAB綜上，AEAB的值為43-故答案為：43-322．（2022?溫州模擬）如圖1，是一種鋰電池自動(dòng)液壓搬運(yùn)物體叉車，圖2是叉車側(cè)面近似示意圖．車身為四邊形ABCD，AB∥DC，BC⊥AB，底座AB上裝著兩個(gè)半徑為30cm的輪胎切于水平地面，AB＝169cm，BC＝120cm．擋貨架AE上有一固定點(diǎn)T與AD的中點(diǎn)N之間由液壓伸縮桿TN連接．當(dāng)TN⊥AD時(shí)，TN的延長(zhǎng)線恰好經(jīng)過B點(diǎn)，則AD的長(zhǎng)度是130cm；一個(gè)長(zhǎng)方體物體準(zhǔn)備裝卸時(shí)，AE繞點(diǎn)A左右旋轉(zhuǎn)，托物體的貨叉PQ⊥AE（PQ沿著AE可上下滑動(dòng)），PQ＝65cm，AE＝AD．當(dāng)AE旋轉(zhuǎn)至AF時(shí)，PQ下降到P'Q'的位置，此時(shí)F，D，C三點(diǎn)共線，且FQ'＝52cm，則點(diǎn)P'到地面的距離是77cm．【解答】解：連接BD，過D點(diǎn)D作DG交DG⊥AB于點(diǎn)G，如圖2，∵N為AB的中點(diǎn)，且TN⊥AD，∴AN＝DN，∠ANB＝∠DNB＝90°，∵BN為△ABN與△DBN共公共邊，在Rt△ABN和Rt△DBN中，∴BD＝AB＝169cm，∵AB∥DC，BC⊥AB，∴∠DCB＝90°，∴CD=BD2-BC∵BC⊥AB，DG⊥AB，∴BC∥DG，∴四邊形DGBC為矩形，∴BG＝DC＝119cm，DG＝BC＝120cm，∴AG＝AB﹣BG＝169﹣119＝50cm，∴AD=DG2+如圖3，過P′作P′H∥AB，過點(diǎn)Q′作Q′L⊥AB延長(zhǎng)線，交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)LL，交P′H于點(diǎn)I，過AA作AK⊥FC于點(diǎn)KK，則AK＝BC＝120cm，∠Q′HP′＝∠Q′AL＝∠F，∵AF＝AD＝130cm，∴FK=AF2-AK∴cos∠F=513，tan∠F=125，sin∵DF∥P′H，∴∠F＝∠P′HQ′，在Rt△P′Q′H中，P′Q′＝65cm，∴Q′H=P'Q在Rt△Q′IH在，Q′I＝Q′H?sin∠Q′H′I=32512×12在Rt△Q′AL中，Q′A＝AF﹣FQ′＝130﹣52＝78（cm），∴IL＝Q′L﹣LQ′＝72﹣25＝47，∵輪胎的半徑為30cm，∴點(diǎn)P'到地面的距離是77cm．故答案為：130，77．三．解答題（共9小題）23．（2022?嘉興）小東在做九上課本123頁(yè)習(xí)題：“1：2也是一個(gè)很有趣的比．已知線段AB（如圖1），用直尺和圓規(guī)作AB上的一點(diǎn)P，使AP：AB＝1：2．”小東的作法是：如圖2，以AB為斜邊作等腰直角三角形ABC，再以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑作弧，交線段AB于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．小東稱點(diǎn)P為線段AB的“趣點(diǎn)”．（1）你贊同他的作法嗎？請(qǐng)說明理由．（2）小東在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了如下操作和探究：連結(jié)CP，點(diǎn)D為線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在AB的上方，構(gòu)造△DPE，使得△DPE∽△CPB．①如圖3，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，求∠CPE的度數(shù)．②如圖4，DE分別交CP，CB于點(diǎn)M，N，當(dāng)點(diǎn)D為線段AC的“趣點(diǎn)”時(shí)（CD＜AD），猜想：點(diǎn)N是否為線段ME的“趣點(diǎn)”？并說明理由．【解答】解：（1）贊同，理由如下：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝BC，∠A＝∠B＝45°，∴cos45°=AC∵AC＝AP，∴APAB∴點(diǎn)P為線段AB的“趣點(diǎn)”．（2）①由題意得：∠CAB＝∠B＝45°，∠ACB＝90°，AC＝AP＝BC，∴∠ACP=∴∠BCP＝90°﹣67.5°＝22.5°，∴∠CPB＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，∵△DPE∽△CPB，D，A重合，∴∠DPE＝∠CPB＝112.5°，∴∠CPE＝∠DPE+∠CPB﹣180°＝45°；②點(diǎn)N是線段ME的趣點(diǎn)，理由如下：當(dāng)點(diǎn)D為線段AC的趣點(diǎn)時(shí)（CD＜AD），∴ADAC∵AC＝AP，∴ADAP∵ACAB=12，∠∴△ADP∽△ACB，∴∠ADP＝∠ACB＝90°，∴∠APD＝45°，DP∥CB，∴∠DPC＝∠PCB＝22.5°＝∠PDE，∴DM＝PM，∴∠MDC＝∠MCD＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴MD＝MC，同理可得MC＝MN，∴MP＝MD＝MC＝MN，∵∠MDP＝∠MPD＝22.5°，∠E＝∠B＝45°，∴∠EMP＝45°，∠MPE＝90°，∴MPME∴點(diǎn)N是線段ME的“趣點(diǎn)”．24．（2022?紹興）如圖，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于點(diǎn)E．P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），連結(jié)AP，將△APC沿AP翻折得△APD，連結(jié)DC，記∠BCD＝α．（1）如圖，當(dāng)P與E重合時(shí)，求α的度數(shù)．（2）當(dāng)P與E不重合時(shí)，記∠BAD＝β，探究α與β的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝50°，∵AE平分∠BAC，P與E重合，∴D在AB邊上，AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣∠BAC）÷2＝65°，∴α＝∠ACB﹣∠ACD＝25°；答：α的度數(shù)為25°；（2）①當(dāng)點(diǎn)P在線段BE上時(shí)，如圖：∵將△APC沿AP翻折得△APD，∴AC＝AD，∵∠BCD＝α，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α，又∵∠ADC+∠BAD＝∠B+∠BCD，∠BAD＝β，∠B＝40°，∴（90°﹣α）+β＝40°+α，∴2α﹣β＝50°，②如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段CE上時(shí)，延長(zhǎng)AD交BC于點(diǎn)F，如圖：∵將△APC沿AP翻折得△APD，∴AC＝AD，∵∠BCD＝α，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α，又∵∠ADC＝∠AFC+∠BCD，∠AFC＝∠ABC+∠BAD，∴∠ADC＝∠ABC+∠BAD+∠BCD＝40°+β+α，∴90°﹣α＝40°+α+β，∴2α+β＝50°；綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P在線段BE上時(shí)，2α﹣β＝50°；當(dāng)點(diǎn)P在線段CE上時(shí)，2α+β＝50°．25．（2022?鹿城區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，過點(diǎn)B，C分別作BF⊥AD，CE⊥AD，垂足為E，F(xiàn)．（1）求證：BF＝CE．（2）若BF＝3，AE＝2，求AC的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD∵BF⊥AD，CE⊥AD，∴∠BFD＝∠CED＝90°在△BFD和△CED中∠BFD∴△BFD≌△CED（AAS），∴BF＝CE；（2）解：在△AEC中，CE＝BF＝3，AE＝2，∴AC=26．（2022?溫州校級(jí)模擬）如圖，AD是△ABC的中線，CE⊥AD，BF⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求證：△CDE≌△BDF；（2）若AE＝3，BF＝2，求AC的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠CED＝∠BFD＝90°，∵AD為BC邊上的中線，∴BD＝CD，在△CED和△BFD中，∠CED∴△CED≌△BFD（AAS）；（2）解：由（1）得：△CED≌△BFD，∴CE＝BF＝2，∵AE＝3，∴AC=A27．（2022?蕭山區(qū)校級(jí)二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F．（1）求證：DE＝DF．（2）若AB＝13，BC＝10，求DE的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵AB＝AC，D為BC中點(diǎn)，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，∴DE＝DF．（2）解：∵AB＝AC＝13，BC＝10，∴BD＝CD=12BC=12∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴AD=AB∵12AB?DE=12BD?AD＝S∴12×13DE=12∴DE=60∴DE的長(zhǎng)為601328．（2022?下城區(qū)校級(jí)二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AC邊上（不與點(diǎn)A，點(diǎn)C重合），連接BD，BD＝AB．（1）設(shè)∠C＝50°時(shí)，求∠ABD的度數(shù)；（2）若AB＝5，BC＝6，求AD的長(zhǎng)．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝50°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝80°，∵BD＝AB，∴∠BDA＝∠A＝80°，∴∠ABD＝180°﹣∠A﹣∠BDA＝20°，（2）解：過點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，BN⊥AC于點(diǎn)N，設(shè)AN＝x，則CN＝5﹣x，∵AB＝AC，AM⊥BC，∴M是BC的中點(diǎn)，∵AB＝5，BC＝6，∴AM=A∵BN2＝AB2﹣AN2＝BC2﹣CN2，∴25﹣x2＝36﹣（5﹣x）2，∴x=7∴AD＝2AN=1429．（2022?柯城區(qū)校級(jí)三模）定義：若三角形的一條邊上的高線與這條邊相等，則稱這個(gè)三角形為“標(biāo)準(zhǔn)三角形”．如：在△ABC，CD⊥AB于點(diǎn)D，AB＝CD，則△ABC為標(biāo)準(zhǔn)三角形．【概念感知】判斷：對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”．（1）等腰直角三角形是標(biāo)準(zhǔn)三角形．√（2）頂角為30°的等腰三角形是標(biāo)準(zhǔn)三角形．×【概念理解】若一個(gè)等腰三角形為標(biāo)準(zhǔn)三角形，則此三角形的三邊長(zhǎng)之比為1：1：2或5：5：2．【概念應(yīng)用】（1）如圖，若△ABC為標(biāo)準(zhǔn)三角形，CD⊥AB于點(diǎn)D，A