2023年浙江省中考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)卷：10四邊形（含解析）

2023年浙江省中考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)卷：10四邊形一．選擇題（共12小題）1．（2022?衢江區(qū)二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝5，AD＝8，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長線于點(diǎn)F．若AE＝6，則△CEF的周長為（）A．13 B．10.5 C．10 D．9.62．（2022?鄞州區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AB為邊向上作正方形ABDE，以AC為邊作正方形ACFG，點(diǎn)E落在GF上，連結(jié)CD，DF．若要求出五邊形ACDFE的面積，則只要知道（）A．AB的長 B．AC的長 C．△ABC的面積 D．△DEF的面積3．（2022?洞頭區(qū)模擬）由四個(gè)全等的矩形圍成了一個(gè)大正方形ABCD，如圖所示．連結(jié)CH，延長EF交CH于點(diǎn)G，作PG⊥CH交AB于點(diǎn)P，若AH＝2DH，則APBPA．97 B．1611 C．32 4．（2022?寧?？h校級模擬）將矩形ABCD和矩形CEFG分割成5塊圖形（如圖中①②③④⑤），并把這5塊圖形重新組合，恰好拼成矩形BEHN，若AM＝1，DE＝4，EF＝3，那么矩形BEHN的面積為（）A．20 B．24 C．30 D．455．（2022?溫州校級模擬）如圖，菱形ABCD中，過點(diǎn)C作CE⊥BC交BD于點(diǎn)E，若∠BAD＝118°，則∠CEB＝（）A．59° B．62° C．69° D．72°6．（2022?樂清市三模）如圖，在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)E，∠AEB＝90°，以CE，DE為鄰邊作?CEDF，連結(jié)EF，若A，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，且△ADF的面積為10，則CF的長為（）A．2 B．5 C．22 D．7．（2022?嘉興）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在邊AB，BC，AC上，EF∥AC，GF∥AB，則四邊形AEFG的周長是（）A．8 B．16 C．24 D．328．（2022?鄞州區(qū)模擬）如圖，正方形ABCD的邊長為22，直線EF經(jīng)過正方形的中心O，并能繞著O轉(zhuǎn)動(dòng)，分別交AB、CD邊于E、F點(diǎn)，過點(diǎn)B作直線EF的垂線BG，垂足為點(diǎn)G，連接AG，則AGA．2 B．2-1 C．5 D9．（2022?寧波模擬）如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)B在直線l上，將直線l向上平移線段AB的長得到直線m，直線m分別交AD，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)．若求△DEF的周長，則只需知道（）A．AB的長 B．FE的長 C．DE的長 D．DF的長10．（2022?寧波模擬）兩個(gè)全等的矩形ABCD和矩形BEFG如圖放置，且FG恰好過點(diǎn)C．過點(diǎn)G作MN平行AD交AB，CD于M，N．知道下列哪個(gè)式子的值，即可求出圖中陰影部分的面積（）A．CF?CD B．CF?CN C．CF?CG D．CF?CB11．（2022?寧波）將兩張全等的矩形紙片和另兩張全等的正方形紙片按如圖方式不重疊地放置在矩形ABCD內(nèi)，其中矩形紙片和正方形紙片的周長相等．若知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出（）A．正方形紙片的面積 B．四邊形EFGH的面積 C．△BEF的面積 D．△AEH的面積12．（2022?麗水）如圖，已知菱形ABCD的邊長為4，E是BC的中點(diǎn)，AF平分∠EAD交CD于點(diǎn)F，F(xiàn)G∥AD交AE于點(diǎn)G．若cosB=14，則A．3 B．83 C．2153 二．填空題（共7小題）13．（2022?吳興區(qū)校級二模）七巧板是我國祖先的一項(xiàng)卓越創(chuàng)造，被譽(yù)為“東方魔板”．由邊長為22的正方形可以制作一副如圖1所示的七巧板，現(xiàn)將這副七巧板在拼成如圖2所示的造型恰好放入矩形ABCD中（其中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H都在矩形邊上），若AB：BC＝7：6，則∠AGF的正切值為14．（2022?永嘉縣三模）如圖，在正方形ABCD中，BC＝6，點(diǎn)P在正方形內(nèi)，PF⊥PC，交邊AD于點(diǎn)F，ED∥PC，交PF延長線于點(diǎn)E，且PC＝PE，連結(jié)AP，AE．若五邊形AEDCP的面積為24，則∠AEP的度數(shù)為，PC的長為．15．（2022?下城區(qū)校級二模）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，AB上，且DE＝DF，AC分別交DE，DF于點(diǎn)M，N．（1）若∠ADF＝∠EDF，則DN：AN的值為．（2）設(shè)△DMN和△AFN的面積分別為S1和S2，若S2＝2S1，則tan∠ADF的值為．16．（2022?金東區(qū)一模）已知由8個(gè)邊長為1的正方形組成的L型模板如圖放置，其頂點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，I都在矩形ABCD的邊上，則矩形ABCD的面積為．17．（2022?長興縣模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB＝7cm，BC＝2cm，點(diǎn)N在邊CD上，CN＝1cm點(diǎn)M是矩形ABCD的邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將四邊形BCNM沿MN折疊，使點(diǎn)B，C分別落在點(diǎn)B′，C′上．邊MB′與邊CD交于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)M從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的過程中，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長為cm．18．（2022?諸暨市模擬）正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E是射線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)CE，以CE為邊往右側(cè)作正方形CEFG，連結(jié)DF、DG．（1）當(dāng)點(diǎn)E在AD延長線上，且DE＝AD時(shí)，DG＝．（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上，且△DGF為等腰三角形時(shí)，DG＝．19．（2022?溫州）如圖，在菱形ABCD中，AB＝1，∠BAD＝60°．在其內(nèi)部作形狀、大小都相同的菱形AENH和菱形CGMF，使點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在邊AB，BC，CD，DA上，點(diǎn)M，N在對角線AC上．若AE＝3BE，則MN的長為．三．解答題（共12小題）20．（2022?鹿城區(qū)校級模擬）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，分別以AD，BC為邊向外構(gòu)造等邊△ADE和等邊△BCF，連接BE，DF，BD．（1）求證：四邊形BFDE是平行四邊形．（2）若AD與BE交于點(diǎn)G，且AD＝BD，∠DFB＝45°，BG=2，求△21．（2022?吳興區(qū)校級二模）（1）如圖1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠MAN＝ɑ，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊與BC邊分別交于M，N兩點(diǎn)．①當(dāng)∠BAM＝∠CAN時(shí)，求證：BM＝CN；②如圖2，作斜邊BC上的高AH，若AB＝1，ɑ＝45°，且CN=13BC時(shí)，求（2）如圖3，在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交BC，CD于點(diǎn)M，N．當(dāng)點(diǎn)N恰為DC的中點(diǎn)時(shí)，求BMDN22．（2022?義烏市模擬）浙教版教材八年級下冊第5章“4.2平行四邊形及其性質(zhì)（3）”中有這樣一道例題：如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)E，AC⊥BC，若AC＝4，AB＝5，求BD的長．請你完成求解過程．小明的解題過程如下：在平行四邊形ABCD中∵AC＝4，AB＝5，∴EA=EC=∵AC⊥BC∴BC=AB∴BE=BC∴BD=2EB=2你認(rèn)為他的解題過程正確嗎？若正確，請?jiān)儆闷渌椒ㄇ蟪鯞D的長；若不正確，請指出錯(cuò)誤（從第幾步開始錯(cuò)），并求出正確的BD長．23．（2022?婺城區(qū)校級模擬）如圖1，在矩形ABCD中，AB＝4，P為CD邊所在直線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合），連結(jié)AP，把△ADP沿著AP折疊后得到△AD′P，連結(jié)CD′，記DP的長為a．（1）當(dāng)P為DC的中點(diǎn)時(shí)，判斷△PD′C的形狀，并說明理由．（2）若AD＝3，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，滿足PD′⊥D′C，試求a的值．（3）若AD＝2，如圖2，過點(diǎn)C作CH⊥直線PD′，垂足為點(diǎn)H，連結(jié)AH，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在AH＝CD′？若存在，求出相應(yīng)的a的值；若不存在，請說明理由．24．（2022?金華模擬）方法學(xué)習(xí)如圖1，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，連結(jié)格點(diǎn)D，N和E，C，DN和EC相交于點(diǎn)P，求tan∠CPN的值．思考：求一個(gè)銳角的三角函數(shù)值，我們往往需要找出（或構(gòu)造出）一個(gè)直角三角形．觀察發(fā)現(xiàn)：∠CPN不在直角三角形中，并且頂點(diǎn)不在格點(diǎn)處，我們可以利用網(wǎng)格畫平行線等方法解決此類問題，比如連接格點(diǎn)M，N，可得MN∥EC，則∠DNM＝∠CPN，連接DM，那么∠CPN就變換到格點(diǎn)處，并且恰好在Rt△DMN中．可以方便求出tan∠CPN的值為；問題解決（1）如圖2，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，AN與CM相交于點(diǎn)P，則cos∠CPN的值為；（2）如圖3，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，AN與CM相交于點(diǎn)P，則sin∠CPA的值為；思維拓展如圖4，若干個(gè)形狀、大小完全相同的菱形組成網(wǎng)格，網(wǎng)格頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，已知菱形的較小內(nèi)角為60度，點(diǎn)A，B，C，D都在格點(diǎn)處，線段AB與CD相交于點(diǎn)P求cos∠CPA的值．25．（2022?常山縣模擬）如圖，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交射線BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥AE交射線AE于點(diǎn)F，連結(jié)BD交AE于點(diǎn)G，連結(jié)DF交射線BC于點(diǎn)H．（1）當(dāng)AB＜AD時(shí)，①求證：BE＝CD；②猜想∠BDF的度數(shù)，并說明理由．（2）若ABAD=k時(shí)，求tan∠CDF26．（2022?衢州）如圖，在菱形ABCD中，AB＝5，BD為對角線．點(diǎn)E是邊AB延長線上的任意一點(diǎn)，連結(jié)DE交BC于點(diǎn)F，BG平分∠CBE交DE于點(diǎn)G．（1）求證：∠DBG＝90°．（2）若BD＝6，DG＝2GE．①求菱形ABCD的面積．②求tan∠BDE的值．（3）若BE＝AB，當(dāng)∠DAB的大小發(fā)生變化時(shí)（0°＜∠DAB＜180°），在AE上找一點(diǎn)T，使GT為定值，說明理由并求出ET的值．27．（2022?臺(tái)州）圖1中有四條優(yōu)美的“螺旋折線”，它們是怎樣畫出來的呢？如圖2，在正方形ABCD各邊上分別取點(diǎn)B1，C1，D1，A1，使AB1＝BC1＝CD1＝DA1=45AB，依次連接它們，得到四邊形A1B1C1D1；再在四邊形A1B1C1D1各邊上分別取點(diǎn)B2，C2，D2，A2，使A1B2＝B1C2＝C1D2＝D1A2=45A1B1，依次連接它們，得到四邊形A2B2C（1）求證：四邊形A1B1C1D1是正方形．（2）求A1（3）請研究螺旋折線BB1B2B3…中相鄰線段之間的關(guān)系，寫出一個(gè)正確結(jié)論并加以證明．28．（2022?湖州）如圖，已知在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，D是AB邊上一點(diǎn)，以BD為直徑的半圓O與邊AC相切，切點(diǎn)為E，過點(diǎn)O作OF⊥BC，垂足為F．（1）求證：OF＝EC；（2）若∠A＝30°，BD＝2，求AD的長．29．（2022?湖州）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a，b分別表示∠A，∠B的對邊，a＞b．記△ABC的面積為S．（1）如圖1，分別以AC，CB為邊向形外作正方形ACDE和正方形BGFC．記正方形ACDE的面積為S1，正方形BGFC的面積為S2．①若S1＝9，S2＝16，求S的值；②延長EA交GB的延長線于點(diǎn)N，連結(jié)FN，交BC于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)H．若FH⊥AB（如圖2所示），求證：S2﹣S1＝2S．（2）如圖3，分別以AC，CB為邊向形外作等邊三角形ACD和等邊三角形CBE，記等邊三角形ACD的面積為S1，等邊三角形CBE的面積為S2．以AB為邊向上作等邊三角形ABF（點(diǎn)C在△ABF內(nèi)），連結(jié)EF，CF．若EF⊥CF，試探索S2﹣S1與S之間的等量關(guān)系，并說明理由．30．（2022?杭州）在正方形ABCD中，點(diǎn)M是邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AM上（不與點(diǎn)A重合），點(diǎn)F在邊BC上，且AE＝2BF，連接EF，以EF為邊在正方形ABCD內(nèi)作正方形EFGH．（1）如圖1，若AB＝4，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)M重合時(shí)，求正方形EFGH的面積．（2）如圖2，已知直線HG分別與邊AD，BC交于點(diǎn)I，J，射線EH與射線AD交于點(diǎn)K．①求證：EK＝2EH；②設(shè)∠AEK＝α，△FGJ和四邊形AEHI的面積分別為S1，S2．求證：S2S1=4sin231．（2022?紹興）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊AD，DC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，A，D關(guān)于直線BE的對稱點(diǎn)分別為M，N，連結(jié)MN．（1）如圖，當(dāng)E在邊AD上且DE＝2時(shí)，求∠AEM的度數(shù)．（2）當(dāng)N在BC延長線上時(shí)，求DE的長，并判斷直線MN與直線BD的位置關(guān)系，說明理由．（3）當(dāng)直線MN恰好經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，求DE的長．

2023年浙江省中考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)卷：10四邊形參考答案與試題解析一．選擇題（共12小題）1．（2022?衢江區(qū)二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝5，AD＝8，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長線于點(diǎn)F．若AE＝6，則△CEF的周長為（）A．13 B．10.5 C．10 D．9.6【解答】解：∵在?ABCD中，CD＝AB＝5，BC＝AD＝8，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF，∴∠BAF＝∠F，∴∠DAF＝∠F，∴DF＝AD＝8，同理BE＝AB＝5，∴CF＝DF﹣CD＝8﹣5＝3，∵AE＝6，∴△ABE的周長等于5+5+6＝16，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CF，∴△CEF∽△BEA，相似比為3：5，∴△CEF的周長為9.6，故選：D．2．（2022?鄞州區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AB為邊向上作正方形ABDE，以AC為邊作正方形ACFG，點(diǎn)E落在GF上，連結(jié)CD，DF．若要求出五邊形ACDFE的面積，則只要知道（）A．AB的長 B．AC的長 C．△ABC的面積 D．△DEF的面積【解答】解：∵四邊形ABDE是正方形，∴AB＝AE，∠BAE＝90°，∵四邊形ACFG是正方形，∴CF＝AG＝AC，∠ACF＝∠CAG＝90°，∴∠CAB＝∠EAG，在△ABC和△AEG中，AC=∴△ABC≌△AEG（SAS），∴S△ABC＝S△AEG，過點(diǎn)D作DH⊥BF于點(diǎn)H，則∠DBH＝∠BAC，∠DHB＝∠ACB＝90°，BD＝BA，∴△ABC≌△BDH（AAS），∴BC＝DH，∴S△DCF=12CF?DH=12AC?AB＝∴五邊形ACDFE的面積＝S△DCF+S正方形ACFG﹣S△AEG＝S正方形ACFG，故只要知道AC的長即可求出五邊形ACDFE的面積．故選：B．3．（2022?洞頭區(qū)模擬）由四個(gè)全等的矩形圍成了一個(gè)大正方形ABCD，如圖所示．連結(jié)CH，延長EF交CH于點(diǎn)G，作PG⊥CH交AB于點(diǎn)P，若AH＝2DH，則APBPA．97 B．1611 C．32 【解答】解：設(shè)DH＝x，則AK＝FH＝x，AH＝BK＝FK＝2x，CD＝3x，∵PG⊥CH，∴∠FGP+∠HGF＝90°，∵∠HGF+∠FHG＝90°，∴∠FGP＝∠FHG，由矩形的性質(zhì)可得CD∥FH，∴∠DCH＝∠FHG，∴∠DCH＝∠FHG＝∠FGP，∵tan∠DCH=DH∴tan∠FHG=FG解得FG=13∴KG＝KF+FG＝2x+13x=∴tan∠FGP=1解得KP=7∴AP＝AK+KP＝x+79BP＝BK﹣KP＝2x-79∴APBP故選：B．4．（2022?寧?？h校級模擬）將矩形ABCD和矩形CEFG分割成5塊圖形（如圖中①②③④⑤），并把這5塊圖形重新組合，恰好拼成矩形BEHN，若AM＝1，DE＝4，EF＝3，那么矩形BEHN的面積為（）A．20 B．24 C．30 D．45【解答】解：∵NA＝EF＝3，AM＝1，∴CB＝MN＝NA+AM＝4，∵IB＝DE＝4，∴IB＝CB，∴四邊形ABCD、四邊形BEHN、四邊形CEFG都是矩形，∴∠EBN＝∠ABC＝90°，∴∠JBI＝∠EBC＝90°﹣∠ABE，∵∠BIJ＝∠D＝90°，∠BCE＝90°，∴∠BIJ＝∠BCE，在△BIJ和△BCE中，∠BIJ∴△BIJ≌△BCE（ASA），∴IJ＝CE，∵IA＝CE，∴AB＝IB+IA＝4+CE，∵IJ∥AN，∴△BIJ∽△BAN，∴IJNA∴CE3∴CE＝2或CE＝﹣6（不符合題意，舍去），∴AB＝4+4＝8，∴S矩形BEHN＝S矩形ABCD+S矩形CEFG＝8×3+3×2＝30，∴矩形BEHN的面積為30，故選：C．5．（2022?溫州校級模擬）如圖，菱形ABCD中，過點(diǎn)C作CE⊥BC交BD于點(diǎn)E，若∠BAD＝118°，則∠CEB＝（）A．59° B．62° C．69° D．72°【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠ABD＝∠CBE，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠BAD＝118°，∴∠ABD=180°-118°2∴∠CBE＝31°，∵CE⊥BC，∴∠BCE＝90°，∴∠CEB＝90°﹣31°＝59°．故選：A．6．（2022?樂清市三模）如圖，在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)E，∠AEB＝90°，以CE，DE為鄰邊作?CEDF，連結(jié)EF，若A，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，且△ADF的面積為10，則CF的長為（）A．2 B．5 C．22 D．【解答】解：設(shè)EF、CD的交點(diǎn)為G，過E作EH⊥AD交于H，∵四邊形ECFD是平行四邊形，∴DG＝CG=12設(shè)正方形的邊長為2x，則AD＝AB＝CD＝2x，DG＝CG＝x，在Rt△ADG中，AG=5x∵∠AEB＝90°，∴∠BAE+∠DAE＝90°，∵∠ABE+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠DAE，∴△ABE∽△GAD，∴ABAG=AE∴AE=25∴EG=35∴EGAG∴S△設(shè)S△ADG＝5m，則S△DEG＝3m，∵G點(diǎn)是CD的中點(diǎn)，∴S△ECG＝S△DEG＝3m，∴S△DEC＝6m，∵S△DEC＝S△CDF＝6m，∴S?ECFD＝12m，∴S△EDF＝6m，∴S△ADF＝6m+2m＝8m，∵S△ADF＝10，∴8m＝10，∴m=5∴S△ADG＝5m=254=∴x=5∴AD＝5，EA=5∵S△ADE=12×5×∴HE＝1，在Rt△AHE中，AH＝2，∴HD＝3，在Rt△HED中，ED=10故選：D．7．（2022?嘉興）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在邊AB，BC，AC上，EF∥AC，GF∥AB，則四邊形AEFG的周長是（）A．8 B．16 C．24 D．32【解答】解：∵EF∥AC，GF∥AB，∴四邊形AEFG是平行四邊形，∠B＝∠GFC，∠C＝∠EFB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠EFB，∠GFC＝∠C，∴EB＝EF，F(xiàn)G＝GC，∵四邊形AEFG的周長＝AE+EF+FG+AG，∴四邊形AEFG的周長＝AE+EB+GC+AG＝AB+AC，∵AB＝AC＝8，∴四邊形AEFG的周長＝AB+AC＝8+8＝16，故選：B．8．（2022?鄞州區(qū)模擬）如圖，正方形ABCD的邊長為22，直線EF經(jīng)過正方形的中心O，并能繞著O轉(zhuǎn)動(dòng)，分別交AB、CD邊于E、F點(diǎn)，過點(diǎn)B作直線EF的垂線BG，垂足為點(diǎn)G，連接AG，則AGA．2 B．2-1 C．5 D【解答】解：連接AC、BD，交于點(diǎn)O，由題意可知，EF經(jīng)過點(diǎn)O，取OB中點(diǎn)M，連接MA，MG，∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AO＝OB，∵AB＝22，∴OA＝OB＝2．∴OM＝1．∴AM=O在Rt△BOG中，M是OB的中點(diǎn)，∴GM=12OB＝∵AG≥AM﹣MG=5-當(dāng)A，M，G三點(diǎn)共線時(shí)，AG最小=5-故選：D．9．（2022?寧波模擬）如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)B在直線l上，將直線l向上平移線段AB的長得到直線m，直線m分別交AD，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)．若求△DEF的周長，則只需知道（）A．AB的長 B．FE的長 C．DE的長 D．DF的長【解答】解：過B作BH⊥m于H，連接BE，BF，∵直線l向上平移線段AB的長得到直線m，∴AH＝AB，而∠A＝∠BHE＝90°，EB＝EB，∴Rt△AEB≌Rt△HEB（HL），∴AE＝EH，同理Rt△FCB≌Rt△FHB（HL），∴HF＝CF，∴△DEF的周長為：DE+EF+DF＝DE+EH+HF+DF＝DE+AE+DF+CF＝AD+CD＝2AB．∴求△DEF的周長，則只需知道AB的長．故選：A．10．（2022?寧波模擬）兩個(gè)全等的矩形ABCD和矩形BEFG如圖放置，且FG恰好過點(diǎn)C．過點(diǎn)G作MN平行AD交AB，CD于M，N．知道下列哪個(gè)式子的值，即可求出圖中陰影部分的面積（）A．CF?CD B．CF?CN C．CF?CG D．CF?CB【解答】解：作CH⊥BE于點(diǎn)H，由已知條件和圖形可知：S△CHG+S△BMG＝S△CGB＝S△BCH，∵矩形ABCD和矩形BEFG全等，∴圖中陰影部分的面積與矩形CHEF的面積一樣，CH＝CD，∴當(dāng)知道CF?CD的值時(shí)，即可得到CF?CH的值，故選：A．11．（2022?寧波）將兩張全等的矩形紙片和另兩張全等的正方形紙片按如圖方式不重疊地放置在矩形ABCD內(nèi)，其中矩形紙片和正方形紙片的周長相等．若知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出（）A．正方形紙片的面積 B．四邊形EFGH的面積 C．△BEF的面積 D．△AEH的面積【解答】解：設(shè)PD＝x，GH＝y(tǒng)，則PH＝x﹣y，∵矩形紙片和正方形紙片的周長相等，∴2AP+2（x﹣y）＝4x，∴AP＝x+y，∵圖中陰影部分的面積＝S矩形ABCD﹣2△ADH﹣2S△AEB＝（2x+y）（2x﹣y）﹣2×12?（x﹣y）（2x+y）﹣2×12?（2x＝4x2﹣y2﹣（2x2+xy﹣2xy﹣y2）﹣（2x2﹣xy）＝4x2﹣y2﹣2x2+xy+y2﹣2x2+xy＝2xy，A、正方形紙片的面積＝x2，故A不符合題意；B、四邊形EFGH的面積＝y(tǒng)2，故B不符合題意；C、△BEF的面積=12?EF?BQ=12D、△AEH的面積=12?EH?AM=12y（x﹣y）=12xy故選：C．12．（2022?麗水）如圖，已知菱形ABCD的邊長為4，E是BC的中點(diǎn)，AF平分∠EAD交CD于點(diǎn)F，F(xiàn)G∥AD交AE于點(diǎn)G．若cosB=14，則A．3 B．83 C．2153 【解答】解：方法一，如圖，過點(diǎn)A作AH⊥BE于點(diǎn)H，過點(diǎn)F作FQ⊥AD于點(diǎn)Q，∵菱形ABCD的邊長為4，∴AB＝AD＝BC＝4，∵cosB=BH∴BH＝1，∴AH=A∵E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝CE＝2，∴EH＝BE﹣BH＝1，∴AH是BE的垂直平分線，∴AE＝AB＝4，∵AF平分∠EAD，∴∠DAF＝∠FAG，∵FG∥AD，∴∠DAF＝∠AFG，∴∠FAG＝∠AFG，∴GA＝GF，設(shè)GA＝GF＝x，∵AE＝CD＝4，F(xiàn)G∥AD，∴DF＝AG＝x，cosD＝cosB=DQ∴DQ=14∴FQ=DF∵S梯形CEAD＝S梯形CEGF+S梯形GFDA，∴12×（2+4）×15=12（2+x）×（15-154x解得x=8則FG的長是83或者：∵AE＝CD＝4，F(xiàn)G∥AD，∴四邊形AGFD的等腰梯形，∴GA＝FD＝GF，則x+14x+14解得x=8則FG的長是83方法二：如圖，作AH垂直BC于H，延長AE和DC交于點(diǎn)M，∵菱形ABCD的邊長為4，∴AB＝AD＝BC＝4，∵cosB=BH∴BH＝1，∵E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝CE＝2，∴EH＝BE﹣BH＝1，∴AH是BE的垂直平分線，∴AE＝AB＝4，所以AE＝AB＝EM＝CM＝4，設(shè)GF＝x，則AG＝x，GE＝4﹣x，由GF∥BC，∴△MGF∽△MEC，∴2x解得x=8故選：B．二．填空題（共7小題）13．（2022?吳興區(qū)校級二模）七巧板是我國祖先的一項(xiàng)卓越創(chuàng)造，被譽(yù)為“東方魔板”．由邊長為22的正方形可以制作一副如圖1所示的七巧板，現(xiàn)將這副七巧板在拼成如圖2所示的造型恰好放入矩形ABCD中（其中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H都在矩形邊上），若AB：BC＝7：6，則∠AGF的正切值為310【解答】解：如圖1，∵四邊形PQMN是矩形為22的正方形，∴∠NPQ＝90°，PN＝PQ＝22，∴QN=PN由七巧板的構(gòu)造可知，圖形①、②、③、④、⑤都是等腰直角三角形，圖形⑥是正方形，∴PK＝NK＝QK=12QN＝∴LK＝JK＝JI＝JQ=12QK＝∴LN＝NK﹣LK＝1，如圖2，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠D＝∠B＝∠A＝90°，由圖1可知，EF＝GH＝2+1＝3，F(xiàn)G＝2+2＝4，∠EFG＝∠FGH＝90°，∵∠DFE＝90°﹣∠AFG＝∠AGF，∠BHG＝90°﹣∠BGH＝∠AGF，∴∠DFE＝∠BHG，∴△DFE≌△BHG（AAS），∴DE＝BG，∵∠D＝∠A，∠DFE＝∠AGF，∴△DFE∽△AGF，∴DEAF∴DE=34AF，AG=∴BG=34∴AB＝AG+BG=43DF+∵AB：BC＝7：6，∴AB=76BC=76AD=7∴76（AF+DF）=43DF∴AF=25∴tan∠AGF=AF故答案為：31014．（2022?永嘉縣三模）如圖，在正方形ABCD中，BC＝6，點(diǎn)P在正方形內(nèi)，PF⊥PC，交邊AD于點(diǎn)F，ED∥PC，交PF延長線于點(diǎn)E，且PC＝PE，連結(jié)AP，AE．若五邊形AEDCP的面積為24，則∠AEP的度數(shù)為45°，PC的長為26【解答】解：過C作CG⊥ED于G，過A作AM⊥DE于M，AN⊥PE于N，連結(jié)PB，∵PF⊥PC，ED∥PC，PC＝PE，CG⊥ED，∴四邊形PCGE是正方形，∴PC＝PE＝CG＝EG，∠PCG＝90°，∵正方形ABCD，∴BC＝CD＝AD＝AB，∠BCD＝90°，∴∠PCB＝∠DCG＝90°﹣∠PCD，∴△DCG≌△BCP（SAS），∴∠DGC＝∠BPC＝90°，∴∠CPE+∠BPC＝180°，∴E、F、P、B四點(diǎn)在一條直線上，∴∠PCB＝∠DCG＝∠ABN＝∠ADM，∵AM⊥DE于M，AN⊥PE，∴四邊形AMEN是矩形，∴△ABN≌△ADM（AAS），∴AM＝AN，∴矩形AMEN是正方形，AE平分∠MEN，∴∠AEP＝45°，AM＝AN＝EM，設(shè)AM＝AN＝EM＝x，PC＝PE＝CG＝EG＝y(tǒng)，∵∠DCG＝∠ADM，∴△DCG≌△ADM（AAS），∴AM＝AN＝DG＝PB＝x，∵S五邊形∴24=y∴y=2即PC=215．（2022?下城區(qū)校級二模）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，AB上，且DE＝DF，AC分別交DE，DF于點(diǎn)M，N．（1）若∠ADF＝∠EDF，則DN：AN的值為2．（2）設(shè)△DMN和△AFN的面積分別為S1和S2，若S2＝2S1，則tan∠ADF的值為3-1【解答】解：（1）過N作NK⊥AD于K，如圖：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DAC＝45°，∴△ANK是等腰直角三角形，∴KN=22又CD＝AD，∠DAF＝∠DCE＝90°，且DF＝DE，∴Rt△ADF≌Rt△CDE（HL），∴∠ADF＝∠CDE，∵∠ADF＝∠EDF，∴∠ADF＝∠EDF＝∠CDE＝30°，∴KN=12∴22AN=1∴DN：AN=2故答案為：2；（2）過N作NH⊥AB于H，如圖：∵∠FHN＝∠FAD＝90°，∴HN∥AD，∴∠ADF＝∠HNF，設(shè)tan∠ADF＝tan∠FNH＝k，設(shè)NH＝AH＝b，則FH＝kb，∴AF＝b+kb，∵tan∠ADF=AF∴AD=b+∴S2=12AF?HN=12b2（1+k），S1＝S△ADC﹣2S△ADN=12（1+kkb）2﹣∵S2＝2S1，∴12b2（1+k）＝2?[12（1+kkb）2﹣2×12?整理得：k2+2k﹣2＝0，解得：k=3-1或-∴tan∠ADF＝k=3-故答案為：3-116．（2022?金東區(qū)一模）已知由8個(gè)邊長為1的正方形組成的L型模板如圖放置，其頂點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，I都在矩形ABCD的邊上，則矩形ABCD的面積為28013【解答】解：依題意，可得∠B＝∠C＝90°，∵∠EFB+∠CFG＝90°，∠EFB+∠BEF＝90°，∴∠CFG＝∠BEF，在△BEF和△CFG中，∠B∴△BEF≌△CFG（AAS），設(shè)BF＝x，CF＝y(tǒng)，則線段CG＝x，BE＝y(tǒng)，∵∠FGC+∠DGH＝90°，∠CFG+∠FGC＝90°，∴∠CFG＝∠DGH，∵∠C＝∠D＝90°，∴△CFG∽△DGH，∵△BEF≌△CFG，∴△BEF∽△DGH，同里可證△BEF∽△AIE，則AEBF=EI則AE=x4，DG∵AB＝CD，∴x4+y＝x即3x＝2y，∴x=23在Rt△FCG中，F(xiàn)C2+CG2＝FG2，∴y2+x2＝42，∴y2+（23y）2＝解得：y=12∴x=8∴AB=1413，BC∴矩形ABCD的面積為2801317．（2022?長興縣模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB＝7cm，BC＝2cm，點(diǎn)N在邊CD上，CN＝1cm點(diǎn)M是矩形ABCD的邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將四邊形BCNM沿MN折疊，使點(diǎn)B，C分別落在點(diǎn)B′，C′上．邊MB′與邊CD交于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)M從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的過程中，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長為（5-23【解答】解：如圖1中，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠1＝∠3，由翻折的性質(zhì)可知：∠1＝∠2，BM＝MB′，∴∠2＝∠3，∴MB′＝NB′，∵NB′=B'C∴BM＝NB′=5（cm如圖2中，當(dāng)點(diǎn)M與A重合時(shí)，AE＝EN，設(shè)AE＝EN＝xcm，在Rt△ADE中，則有x2＝22+（6﹣x）2，解得x=10∴DE＝6-103=如圖3中，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到MB′⊥AB時(shí)，DE′的值最大，DE′＝7﹣1﹣2＝4（cm），如圖4中，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B′落在CD時(shí)，DB′（即DE″）＝7﹣1-5=（6-5∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡E→E′→E″，運(yùn)動(dòng)路徑＝EE′+E′B′＝4-83+4﹣（6-5）＝（故答案為：（5-18．（2022?諸暨市模擬）正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E是射線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)CE，以CE為邊往右側(cè)作正方形CEFG，連結(jié)DF、DG．（1）當(dāng)點(diǎn)E在AD延長線上，且DE＝AD時(shí)，DG＝45（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上，且△DGF為等腰三角形時(shí)，DG＝4或42或25．【解答】解：（1）如圖1，連接EG，∵正方形ABCD的邊長為4，DE＝AD，∴AD＝DE＝CD＝4，∠ADC＝90°，∴∠CDE＝180°﹣90°＝90°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CE=2DE＝42，∠DCE＝∠DEC＝45∵四邊形CEFG是正方形，∴CE＝CG＝42，∠ECG＝90°，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠CEG＝45°，EG=2CE=2×4∴∠DEG＝∠DEC+∠CEG＝45°+45°＝90°，在Rt△DEG中，DG=DE2故答案為：45；（2）如圖2，過點(diǎn)F作FH⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)H，過點(diǎn)G作GK⊥CD于點(diǎn)K，則∠H＝∠CKG＝∠DKG＝90°，∵四邊形ABCD，四邊形CEFG均為正方形，∴AD＝CD＝4，EF＝CE＝CG＝FG，∠CDE＝∠CEF＝∠ECG＝90°，∵∠FEH+∠CED＝90°，∠CED+∠ECD＝90°，∠ECD+∠GCK＝90°，∴∠FEH＝∠ECD，∠GCK＝∠CED，在△CED和△EFH中，∠CDE∴△CED≌△EFH（AAS），∴DE＝FH，CD＝EH＝4，同理，△CED≌△GCK（AAS），∴DE＝CK，CD＝GK＝4，設(shè)DE＝m（0≤m≤4），則FH＝CK＝m，∴DH＝4﹣m，DK＝4﹣m，在Rt△DFH中，DF2＝DH2+FH2＝（4﹣m）2+m2＝2m2﹣8m+16，在Rt△DGK中，DG2＝DK2+GK2＝（4﹣m）2+42＝m2﹣8m+32，在Rt△CED中，CE2＝DE2+CD2＝m2+16，∴FG2＝m2+16，當(dāng)DF＝DG時(shí)，2m2﹣8m+16＝m2﹣8m+32，解得：m＝﹣4（舍去）或m＝4，∴DG=m2當(dāng)DF＝FG時(shí)，2m2﹣8m+16＝m2+16，解得：m＝0或m＝8（舍去），∴DG=m2-當(dāng)DG＝FG時(shí)，m2﹣8m+32＝m2+16，解得：m＝2，∴DG=m2-綜上所述，DG＝4或42或25．故答案為：4或42或25．19．（2022?溫州）如圖，在菱形ABCD中，AB＝1，∠BAD＝60°．在其內(nèi)部作形狀、大小都相同的菱形AENH和菱形CGMF，使點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在邊AB，BC，CD，DA上，點(diǎn)M，N在對角線AC上．若AE＝3BE，則MN的長為32【解答】解：方法一：連接DB交AC于點(diǎn)O，作MI⊥AB于點(diǎn)I，作FJ⊥AB交AB的延長線于點(diǎn)J，如圖1所示，∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝1，∴AB＝BC＝CD＝DA＝1，∠BAC＝30°，AC⊥BD，∵△ABD是等邊三角形，∴OD=1∴AO=A∴AC＝2AO=3∵AE＝3BE，∴AE=34，BE∵菱形AENH和菱形CGMF大小相同，∴BE＝BF=14，∠FBJ＝∴FJ＝BF?sin60°=1∴MI＝FJ=3∴AM=MI同理可得，CN=3∴MN＝AC﹣AM﹣CN=3故答案為：32方法二：連接DB交AC于點(diǎn)O，連接EF，由題意可得，四邊形AMFE是平行四邊形，四邊形EFCN是平行四邊形，∴EF＝AM＝CN，∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴EFAC∵AE＝3BE，AB＝1，∴AB＝4BE，∴EFAC∴AM＝CN=14∴MN=12AC＝∵∠BAD＝60°．AB＝AD＝1，AO垂直平分BD，∴OD=1∴OA=A∴MN=3故答案為：32三．解答題（共12小題）20．（2022?鹿城區(qū)校級模擬）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，分別以AD，BC為邊向外構(gòu)造等邊△ADE和等邊△BCF，連接BE，DF，BD．（1）求證：四邊形BFDE是平行四邊形．（2）若AD與BE交于點(diǎn)G，且AD＝BD，∠DFB＝45°，BG=2，求△【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵等邊△ADE和等邊△BCF，∴DE＝AD，BC＝BF，∠EDA＝∠CBF＝60°，∴DE＝BF，∠EDB＝∠DBF，∴DE∥BF，∴四邊形BFDE是平行四邊形；（2）解：∵AD＝BD，AD＝DE＝BF，∴DE＝BD＝BF，又∵∠DFB＝45°，∴∠DBF＝180°﹣2∠DFB＝90°＝∠EDB，∴∠DBC＝∠DBF﹣∠CBF＝30°，∠DEB＝∠DBE＝45°，∴∠ADB＝∠DBC＝30°，過G作GH⊥BD于H，在Rt△GHB中，BG=2，∠HBG＝45°，BG2＝GH2+HB∴GH=在Rt△GHD中，∠GDH＝30°，GH＝1，∴DG＝2GH＝2，∴DH=∴BD=∴△BDG的面積為1221．（2022?吳興區(qū)校級二模）（1）如圖1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠MAN＝ɑ，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊與BC邊分別交于M，N兩點(diǎn)．①當(dāng)∠BAM＝∠CAN時(shí)，求證：BM＝CN；②如圖2，作斜邊BC上的高AH，若AB＝1，ɑ＝45°，且CN=13BC時(shí)，求（2）如圖3，在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交BC，CD于點(diǎn)M，N．當(dāng)點(diǎn)N恰為DC的中點(diǎn)時(shí)，求BMDN【解答】（1）①證明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∵∠BAM＝∠CAN，∴△BAM≌△CAN（ASA），∴BM＝CN；②解：如圖2中，將△ACN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABT，連接MT．∵∠CAN＝∠BAT，∴∠NAT＝∠CAB＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠MAT＝∠MAN，∵AM＝AM，AT＝AN，∴△MAT≌△MAN（SAS），∴MT＝MN，∵AB＝AC＝1，∴BC=2∵CN=13BC∴BN=2設(shè)BM＝x，則MN＝MT=22∵∠ABT＝∠C＝∠ABC＝45°，∴∠TBN＝90°，∴MT2＝BT2+BM2，∴（223-x）2＝x2+（2∴x=2∴BM=2（2）如圖3中，將△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)90°得到△ADR，連接MN．同法可證△ANM≌△ANR（SAS），∴MN＝NR＝DR+DN＝BM+DN，設(shè)BC＝CD＝2a，則DN＝CN＝a，NM＝BM+a，∴CM＝2a﹣BM，∵M(jìn)N2＝CM2+CN2，∴（BM+a）2＝（2a﹣BM）2+a2，∴BM=23∴BMDN22．（2022?義烏市模擬）浙教版教材八年級下冊第5章“4.2平行四邊形及其性質(zhì)（3）”中有這樣一道例題：如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)E，AC⊥BC，若AC＝4，AB＝5，求BD的長．請你完成求解過程．小明的解題過程如下：在平行四邊形ABCD中∵AC＝4，AB＝5，∴EA=EC=∵AC⊥BC∴BC=AB∴BE=BC∴BD=2EB=2你認(rèn)為他的解題過程正確嗎？若正確，請?jiān)儆闷渌椒ㄇ蟪鯞D的長；若不正確，請指出錯(cuò)誤（從第幾步開始錯(cuò)），并求出正確的BD長．【解答】解：小明的解題過程不正確，從第③步開始錯(cuò)；在平行四邊形ABCD中，∵AC＝4，AB＝5，∴EA＝EC=12AC=12×4＝2∵AC⊥BC，∴BC=∴BE=B∴BD＝2EB＝213．23．（2022?婺城區(qū)校級模擬）如圖1，在矩形ABCD中，AB＝4，P為CD邊所在直線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合），連結(jié)AP，把△ADP沿著AP折疊后得到△AD′P，連結(jié)CD′，記DP的長為a．（1）當(dāng)P為DC的中點(diǎn)時(shí)，判斷△PD′C的形狀，并說明理由．（2）若AD＝3，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，滿足PD′⊥D′C，試求a的值．（3）若AD＝2，如圖2，過點(diǎn)C作CH⊥直線PD′，垂足為點(diǎn)H，連結(jié)AH，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在AH＝CD′？若存在，求出相應(yīng)的a的值；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）等腰三角形．理由如下：∵P為DC的中點(diǎn)，∴PD＝PC，由折疊性質(zhì)知，PD＝PD′，∴PD′＝PC，∴△PCD′是等腰三角形；（2）由折疊知，PD＝PD′＝a，AD＝AD′＝3，∠AD′P＝90°，∵PD′⊥D′C，∴∠PD′C＝90°，∴A、D′、C三點(diǎn)共線，當(dāng)點(diǎn)P在D點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，如圖，∵AC=A∴CD′＝AC﹣AD′＝5﹣3＝2，∵PC2﹣PD′2＝CD′2，PC＝CD﹣DP＝4﹣a，∴（4﹣a）2﹣a2＝22，解得a=3當(dāng)P點(diǎn)在D點(diǎn)左側(cè)時(shí)，如圖，∵PD′2+CD′2＝PC2，∴a2+（3+5）2＝（4+a）2，解得a＝6，綜上，a=32或（3）存在．由折疊性質(zhì)知，AD＝AD′＝2，∠ADP＝∠AD′P＝90°，∵CH⊥PD′，∴∠AEP＝∠EHC＝90°，∵AH＝CD′，D′H＝HD′，∴Rt△AD′H≌Rt△CHD′（HL），∴AD′＝CH，∴四邊形AHCD′是平行四邊形，如圖，當(dāng)點(diǎn)P在線段DC上，點(diǎn)H在PD′上時(shí)，連接AC交PD′于O，∵AD＝2，BC＝CD，∴AC=A∵四邊形AHCD′是平行四邊形，∴AO＝CO=5，D′O＝OH，AD′＝CH＝2∴OD′＝HO=C在Rt△PCH中，PC2＝CH2+PH2，∴（4﹣a）2＝4+（a﹣2）2，∴a＝2；如圖，當(dāng)點(diǎn)P在線段DC上，點(diǎn)H在PD′的延長線上時(shí)，∵四邊形AHCE是平行四邊形，∴AO＝CO=5，OD′＝OH，AD′＝CH＝2∴OD′＝HO=C在Rt△PCH中，PC2＝CH2+PH2，∴（4﹣a）2＝4+（a+2）2，∴a=2如圖，當(dāng)點(diǎn)P在CD的延長線上時(shí)，同理可證：四邊形ACHD′是平行四邊形，又∵∠CHD′＝90°，∴四邊形ACHD′是矩形，∴AD′＝CH＝2，AC＝D′H＝25，在Rt△PCH中，PC2＝CH2+PH2，∴（4+a）2＝4+（25-a）2∴t＝25-4當(dāng)點(diǎn)P在DC的延長線上時(shí)，如圖，∵四邊形ACHD′是矩形，∴AD′＝CH＝2，AC＝D′H＝25，DP＝D′P＝a，在Rt△PCH中，PC2＝CH2+PH2，∴（a4＝﹣4）2＝4+（a﹣25）2，∴m＝25+4綜上所述：當(dāng)a＝1.5或a＝25+4或a=23或a＝25-4時(shí)，存在24．（2022?金華模擬）方法學(xué)習(xí)如圖1，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，連結(jié)格點(diǎn)D，N和E，C，DN和EC相交于點(diǎn)P，求tan∠CPN的值．思考：求一個(gè)銳角的三角函數(shù)值，我們往往需要找出（或構(gòu)造出）一個(gè)直角三角形．觀察發(fā)現(xiàn)：∠CPN不在直角三角形中，并且頂點(diǎn)不在格點(diǎn)處，我們可以利用網(wǎng)格畫平行線等方法解決此類問題，比如連接格點(diǎn)M，N，可得MN∥EC，則∠DNM＝∠CPN，連接DM，那么∠CPN就變換到格點(diǎn)處，并且恰好在Rt△DMN中．可以方便求出tan∠CPN的值為2；問題解決（1）如圖2，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，AN與CM相交于點(diǎn)P，則cos∠CPN的值為22（2）如圖3，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，AN與CM相交于點(diǎn)P，則sin∠CPA的值為7210思維拓展如圖4，若干個(gè)形狀、大小完全相同的菱形組成網(wǎng)格，網(wǎng)格頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，已知菱形的較小內(nèi)角為60度，點(diǎn)A，B，C，D都在格點(diǎn)處，線段AB與CD相交于點(diǎn)P求cos∠CPA的值．【解答】解：思考：如圖1中，∵CE∥MN，∴∠MND＝∠CPN，∴tan∠MND＝tan∠CPN，∵∠DMN＝90°，∴tan∠CPN＝tan∠MND=DMMN故tan∠CPN的值為2．故答案為：2；問題解決（1）如圖2中，取格點(diǎn)Q，連接QM，CQ．∵CQ∥AN，∴∠CPN＝∠QCM，∵△QCM是等腰直角三角形，∴∠CPN＝∠QCM＝45°，∴cos∠CPN＝cos∠QCM=2故答案為：22（2）如圖3中，取格點(diǎn)Q，連接QM，CQ，過點(diǎn)C作CG⊥QM于點(diǎn)G，∵QM∥AN，∴∠CPA＝∠CMG，∴sin∠CPA＝sin∠CMG=CG∵CM=12+2∴12×10CG＝3×3-12×1×2-12∴CG=7∴sin∠CPA＝sin∠CMG=CG∴sin∠CPA的值為72故答案為：72思維拓展如圖4，取格點(diǎn)E，連接EA、EB．設(shè)小菱形的邊長為1．由題意：EA∥CD，∴∠APC＝∠BAE，∵∠AEO＝60°，∠BEO＝30°，∴∠AEB＝90°，過點(diǎn)B作BF⊥AG交AG延長線于點(diǎn)F，∵BG＝1，∠GBF＝30°，∴GF=1∴BF=3∴AF＝AG+GF＝3+1∴AB=A∵AE＝1，∴cos∠CPA＝cos∠BAE=AE∴cos∠CPA的值為131325．（2022?常山縣模擬）如圖，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交射線BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥AE交射線AE于點(diǎn)F，連結(jié)BD交AE于點(diǎn)G，連結(jié)DF交射線BC于點(diǎn)H．（1）當(dāng)AB＜AD時(shí)，①求證：BE＝CD；②猜想∠BDF的度數(shù)，并說明理由．（2）若ABAD=k時(shí)，求tan∠CDF【解答】（1）①∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AB＝CD，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝BE，∴BE＝CD；②解：猜想∠BDF＝45°，理由如下：如圖，連接BF，∵CF⊥AF，∴∠AFC＝90°，∵∠CEF＝∠AEB＝45°，∴△CEF是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，EF＝CF，∴∠BEF＝∠DCF＝135°，由①知：BE＝CD，∴△BEF≌△DCF（SAS），∴BF＝DF，∠BFE＝∠DFC，∴∠BFD＝∠CFE＝90°，∴△BDF是等腰直角三角形，∴∠BDF＝45°；（2）解：∵ABAD∴設(shè)AD＝x，則AB＝kx，CE＝BC﹣BE＝x﹣kx，如圖，過點(diǎn)F作FH⊥BC于H，作FP⊥DC于P，則∠CHF＝∠P＝90°，∵△ECF是等腰直角三角形，∴EH＝CH，∴FH=12∵∠CHF＝∠P＝∠PCH＝90°，∴四邊形CHFP是矩形，∴FH＝PC，∵∠ECF＝∠FCP＝45°，F(xiàn)H⊥BC，F(xiàn)P⊥DC，∴FH＝FP，∴FP＝PC=12CE∴tan∠CDF=FP26．（2022?衢州）如圖，在菱形ABCD中，AB＝5，BD為對角線．點(diǎn)E是邊AB延長線上的任意一點(diǎn)，連結(jié)DE交BC于點(diǎn)F，BG平分∠CBE交DE于點(diǎn)G．（1）求證：∠DBG＝90°．（2）若BD＝6，DG＝2GE．①求菱形ABCD的面積．②求tan∠BDE的值．（3）若BE＝AB，當(dāng)∠DAB的大小發(fā)生變化時(shí)（0°＜∠DAB＜180°），在AE上找一點(diǎn)T，使GT為定值，說明理由并求出ET的值．【解答】（1）證明：如圖1，∵四邊形ABCD是菱形，∴CB＝AB，CD＝AD，∵BD＝BD，∴△ABD≌△CBD，∴∠CBD＝∠ABD=12∠∵∠CBG＝∠EBG=12∠∴∠DBG＝∠CBD+∠CBG=12（∠ABC+∠EBC）=12（2）解：①如圖2，連結(jié)AC交BD于點(diǎn)K，交DE于點(diǎn)L，∵AC⊥BD，∴∠AKB＝90°，∵AB＝5，BD＝6，∴BK＝DK=12BD＝∴AK=AB∴CK＝AK＝4，∴AC＝8，∴S菱形ABCD=12AC?BD=12×②∵∠DKL＝∠DBG＝90°，∴AC∥BG，∴DLGL=∴DL＝GL=12∵DG＝2GE，∴GE=12∴DL＝GL＝GE，∵CD∥AB，∴CLAL∴CL=13AC=1∴KL＝4-8∴tan∠BDE=KL（3）解：如圖3，過點(diǎn)G作GT∥BC，交AE于點(diǎn)T，則GT為定值，理由：連結(jié)AC交BD于點(diǎn)K，交DE于點(diǎn)L，∵∠DKL＝∠DBG＝90°，∴當(dāng)∠DAB的大小發(fā)生變化時(shí)，始終都有BG∥AC，∴△BGE∽△ALE，∵BE＝AB，∴EGLG=∴EG＝LG，∵KL∥BG，∴DLLG=∴DL＝LG＝EG=13∵AD∥BC，∴GT∥AD，∴△ETG∽△EAD，∴GTDA∵BE＝AB＝DA＝5，∴GT=13DA=1∴GT為定值；∵EA＝BE+AB＝10，∴ET=13EA=127．（2022?臺(tái)州）圖1中有四條優(yōu)美的“螺旋折線”，它們是怎樣畫出來的呢？如圖2，在正方形ABCD各邊上分別取點(diǎn)B1，C1，D1，A1，使AB1＝BC1＝CD1＝DA1=45AB，依次連接它們，得到四邊形A1B1C1D1；再在四邊形A1B1C1D1各邊上分別取點(diǎn)B2，C2，D2，A2，使A1B2＝B1C2＝C1D2＝D1A2=45A1B1，依次連接它們，得到四邊形A2B2C（1）求證：四邊形A1B1C1D1是正方形．（2）求A1（3）請研究螺旋折線BB1B2B3…中相鄰線段之間的關(guān)系，寫出一個(gè)正確結(jié)論并加以證明．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝90°，∵AB1＝BC1＝CD1＝DA1=45∴AA1＝BB1=15在△A1AB1和△B1BC1中，AA∴△A1AB1≌△B1BC1（SAS），∴A1B1＝B1C1，∠AB1A1＝∠BC1B1，∵∠BB1C1+∠BC1B1＝90°，∴∠AB1A1+∠BB1C1＝90°，∴∠A1B1C1＝90°，同理可證：B1C1＝C1D1＝D1A1，∴四邊形A1B1C1D1是正方形．（2）解：設(shè)AB＝5a，則AB1＝4a，AA1＝a，由勾股定理得：A1B1=17a∴A1（3）相鄰線段的比為51717或證明如下：∵BB1=15AB，B1B2=15A∴BB同理可得：B1∴相鄰線段的比為51717或17528．（2022?湖州）如圖，已知在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，D是AB邊上一點(diǎn)，以BD為直徑的半圓O與邊AC相切，切點(diǎn)為E，過點(diǎn)O作OF⊥BC，垂足為F．（1）求證：OF＝EC；（2）若∠A＝30°，BD＝2，求AD的長．【解答】（1）證明：連接OE，∵AC是⊙O的切線，∴OE⊥AC，∴∠OEC＝90°，∵OF⊥BC，∴∠OFC＝90°，∴∠OF