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2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.在展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為A.1 B.2 C.3 D.73.已知函數(shù),則的最小值為()A. B. C. D.4.已知集合,集合,那么等于()A. B. C. D.5.是平面上的一定點(diǎn),是平面上不共線的三點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足,,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過(guò)的()A.重心 B.垂心 C.外心 D.內(nèi)心6.函數(shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),則a的值為()A.3 B.-3 C.2 D.-27.甲乙丙丁四人中,甲說(shuō):我年紀(jì)最大,乙說(shuō):我年紀(jì)最大,丙說(shuō):乙年紀(jì)最大,丁說(shuō):我不是年紀(jì)最大的,若這四人中只有一個(gè)人說(shuō)的是真話,則年紀(jì)最大的是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁8.已知數(shù)列滿足,則()A. B. C. D.9.年某省將實(shí)行“”的新高考模式,即語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)三科必選,物理、歷史二選一,化學(xué)、生物、政治、地理四選二,若甲同學(xué)選科沒(méi)有偏好,且不受其他因素影響,則甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)的概率為A. B. C. D.10.設(shè)集合,,則().A. B.C. D.11.秦九韶是我國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家,普州(現(xiàn)四川省安岳縣)人,他在所著的《數(shù)書(shū)九章》中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法,至今仍是比較先進(jìn)的算法.如圖的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例,若輸入的值為2,則輸出的值為A. B. C. D.12.體育教師指導(dǎo)4個(gè)學(xué)生訓(xùn)練轉(zhuǎn)身動(dòng)作,預(yù)備時(shí),4個(gè)學(xué)生全部面朝正南方向站成一排.訓(xùn)練時(shí),每次都讓3個(gè)學(xué)生“向后轉(zhuǎn)”,若4個(gè)學(xué)生全部轉(zhuǎn)到面朝正北方向,則至少需要“向后轉(zhuǎn)”的次數(shù)是()A.3 B.4 C.5 D.6二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,已知,則________.14.公比為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則的值為_(kāi)_________.15.設(shè)直線過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn),且與的一條對(duì)稱軸垂直,與交于兩點(diǎn),為的實(shí)軸長(zhǎng)的2倍,則雙曲線的離心率為.16.如圖梯形為直角梯形,,圖中陰影部分為曲線與直線圍成的平面圖形,向直角梯形內(nèi)投入一質(zhì)點(diǎn),質(zhì)點(diǎn)落入陰影部分的概率是_____________三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線的參數(shù)方程為,(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(Ⅰ)求的極坐標(biāo)方程和的直角坐標(biāo)方程;(Ⅱ)設(shè)分別交于兩點(diǎn)(與原點(diǎn)不重合),求的最小值.18.(12分)設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列,,已知,(1)求數(shù)列的首項(xiàng)和公比;(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.19.(12分)如圖,在四棱柱中,底面是正方形,平面平面,,.過(guò)頂點(diǎn),的平面與棱,分別交于,兩點(diǎn).(Ⅰ)求證:;(Ⅱ)求證:四邊形是平行四邊形;(Ⅲ)若,試判斷二面角的大小能否為?說(shuō)明理由.20.(12分)已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,且.(Ⅰ)求;(Ⅱ)若的周長(zhǎng)是否有最大值?如果有,求出這個(gè)最大值,如果沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由.21.(12分)本小題滿分14分)已知曲線的極坐標(biāo)方程為,以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),求直線被曲線截得的線段的長(zhǎng)度22.(10分)已知.(1)若的解集為,求的值;(2)若對(duì)任意,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
或,從而明確充分性與必要性.【詳解】,由可得:或,即能推出,但推不出∴“”是“”的必要不充分條件故選【點(diǎn)睛】本題考查充分性與必要性,簡(jiǎn)單三角方程的解法,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】
求出展開(kāi)項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)及含的項(xiàng),問(wèn)題得解。【詳解】展開(kāi)項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)及含的項(xiàng)分別為:,,所以展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為:.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理中展開(kāi)式的通項(xiàng)公式及轉(zhuǎn)化思想,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題。3、C【解析】
利用三角恒等變換化簡(jiǎn)三角函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)正弦型三角函數(shù),即可容易求得最小值.【詳解】由于,故其最小值為:.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用降冪擴(kuò)角公式、輔助角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù),以及求三角函數(shù)的最值,屬綜合基礎(chǔ)題.4、A【解析】
求出集合,然后進(jìn)行并集的運(yùn)算即可.【詳解】∵,,∴.故選:A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法,考查集合并集的概念和運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】
解出,計(jì)算并化簡(jiǎn)可得出結(jié)論.【詳解】λ(),∴,∴,即點(diǎn)P在BC邊的高上,即點(diǎn)P的軌跡經(jīng)過(guò)△ABC的垂心.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算在幾何中的應(yīng)用,根據(jù)條件中的角計(jì)算是關(guān)鍵.6、A【解析】
求出,對(duì)分類討論,求出單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn),結(jié)合三次函數(shù)的圖像特征,即可求解.【詳解】,若,,在單調(diào)遞增,且,在不存在零點(diǎn);若,,在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,考查分類討論思想,熟練掌握函數(shù)圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.7、C【解析】
分別假設(shè)甲乙丙丁說(shuō)的是真話,結(jié)合其他人的說(shuō)法,看是否只有一個(gè)說(shuō)的是真話,即可求得年紀(jì)最大者,即可求得答案.【詳解】①假設(shè)甲說(shuō)的是真話,則年紀(jì)最大的是甲,那么乙說(shuō)謊,丙也說(shuō)謊,而丁說(shuō)的是真話,而已知只有一個(gè)人說(shuō)的是真話,故甲說(shuō)的不是真話,年紀(jì)最大的不是甲;②假設(shè)乙說(shuō)的是真話,則年紀(jì)最大的是乙,那么甲說(shuō)謊,丙說(shuō)真話,丁也說(shuō)真話,而已知只有一個(gè)人說(shuō)的是真話,故乙說(shuō)謊,年紀(jì)最大的也不是乙;③假設(shè)丙說(shuō)的是真話,則年紀(jì)最大的是乙,所以乙說(shuō)真話,甲說(shuō)謊,丁說(shuō)的是真話,而已知只有一個(gè)人說(shuō)的是真話,故丙在說(shuō)謊,年紀(jì)最大的也不是乙;④假設(shè)丁說(shuō)的是真話,則年紀(jì)最大的不是丁,而已知只有一個(gè)人說(shuō)的是真話,那么甲也說(shuō)謊,說(shuō)明甲也不是年紀(jì)最大的,同時(shí)乙也說(shuō)謊,說(shuō)明乙也不是年紀(jì)最大的,年紀(jì)最大的只有一人,所以只有丙才是年紀(jì)最大的,故假設(shè)成立,年紀(jì)最大的是丙.綜上所述,年紀(jì)最大的是丙故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查合情推理,解題時(shí)可從一種情形出發(fā),推理出矛盾的結(jié)論,說(shuō)明這種情形不會(huì)發(fā)生,考查了分析能力和推理能力,屬于中檔題.8、C【解析】
利用的前項(xiàng)和求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,可計(jì)算出,然后利用裂項(xiàng)法可求出的值.【詳解】.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),由,可得,兩式相減,可得,故,因?yàn)橐策m合上式,所以.依題意,,故.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用求,同時(shí)也考查了裂項(xiàng)求和法,考查計(jì)算能力,屬于中等題.9、B【解析】
甲同學(xué)所有的選擇方案共有種,甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)后,只需在生物、政治、地理三科中再選擇一科即可,共有種選擇方案,根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式,可得甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)的概率,故選B.10、D【解析】
根據(jù)題意,求出集合A,進(jìn)而求出集合和,分析選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意,則故選:D【點(diǎn)睛】此題考查集合的交并集運(yùn)算,屬于簡(jiǎn)單題目,11、C【解析】
由題意,模擬程序的運(yùn)行,依次寫(xiě)出每次循環(huán)得到的,的值,當(dāng)時(shí),不滿足條件,跳出循環(huán),輸出的值.【詳解】解:初始值,,程序運(yùn)行過(guò)程如下表所示:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,跳出循環(huán),輸出的值為其中①②①—②得.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的應(yīng)用,正確依次寫(xiě)出每次循環(huán)得到,的值是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】
通過(guò)列舉法,列舉出同學(xué)的朝向,然后即可求出需要向后轉(zhuǎn)的次數(shù).【詳解】“正面朝南”“正面朝北”分別用“∧”“∨”表示,利用列舉法,可得下表,原始狀態(tài)第1次“向后轉(zhuǎn)”第2次“向后轉(zhuǎn)”第3次“向后轉(zhuǎn)”第4次“向后轉(zhuǎn)”∧∧∧∧∧∨∨∨∨∨∧∧∧∧∧∨∨∨∨∨可知需要的次數(shù)為4次.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查的是求最小推理次數(shù),一般這類題型構(gòu)造較為巧妙,可通過(guò)列舉的方法直觀感受,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
利用正弦定理邊化角可得,從而可得,進(jìn)而求解.【詳解】由,由正弦定理可得,即,整理可得,又因?yàn)?,所以,因?yàn)?,所以,故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理解三角形、兩角和的正弦公式,屬于基礎(chǔ)題.14、56【解析】
根據(jù)已知條件求等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比,再代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,即可得到答案.【詳解】,,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.15、【解析】
不妨設(shè)雙曲線,焦點(diǎn),令,由的長(zhǎng)為實(shí)軸的二倍能夠推導(dǎo)出的離心率.【詳解】不妨設(shè)雙曲線,焦點(diǎn),對(duì)稱軸,由題設(shè)知,因?yàn)榈拈L(zhǎng)為實(shí)軸的二倍,,,,故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)求雙曲線的離心率,屬于中檔題.求解與雙曲線性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析,既使不畫(huà)出圖形,思考時(shí)也要聯(lián)想到圖形,當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、實(shí)軸、虛軸、漸近線等雙曲線的基本量時(shí),要理清它們之間的關(guān)系,挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.求離心率問(wèn)題應(yīng)先將用有關(guān)的一些量表示出來(lái),再利用其中的一些關(guān)系構(gòu)造出關(guān)于的等式,從而求出的值.16、【解析】
聯(lián)立直線與拋物線方程求出交點(diǎn)坐標(biāo),再利用定積分求出陰影部分的面積,利用梯形的面積公式求出,最后根據(jù)幾何概型的概率公式計(jì)算可得;【詳解】解:聯(lián)立解得或,即,,,,,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型的概率公式的應(yīng)用以及利用微積分基本定理求曲邊形的面積,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ)直線的極坐標(biāo)方程為,直線的極坐標(biāo)方程為,的直角坐標(biāo)方程為;(Ⅱ)2.【解析】
(Ⅰ)由定義可直接寫(xiě)出直線的極坐標(biāo)方程,對(duì)曲線同乘可得:,轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)為;(Ⅱ)分別聯(lián)立兩直線和曲線的方程,由得,由得,則,結(jié)合三角函數(shù)即可求解;【詳解】(Ⅰ)直線的極坐標(biāo)方程為,直線的極坐標(biāo)方程為由曲線的極坐標(biāo)方程得,所以的直角坐標(biāo)方程為.(Ⅱ)與的極坐標(biāo)方程聯(lián)立得所以.與的極坐標(biāo)方程聯(lián)立得所以.所以.所以當(dāng)時(shí),取最小值2.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的互化,極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化,極坐標(biāo)中的幾何意義,屬于中檔題18、(1)(2)【解析】
本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解,數(shù)列求和的錯(cuò)位相減求和是數(shù)列求和中的重點(diǎn)與難點(diǎn),要注意掌握.(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則q+q2=6,解方程可求q(2)由(1)可求an=a1?qn-1=2n-1,結(jié)合數(shù)列的特點(diǎn),考慮利用錯(cuò)位相減可求數(shù)列的和解:(1)(2),兩式相減:19、(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析;(3)不能為.【解析】
(1)由平面平面,可得平面,從而證明;(2)由平面與平面沒(méi)有交點(diǎn),可得與不相交,又與共面,所以,同理可證,得證;(3)作交于點(diǎn),延長(zhǎng)交于點(diǎn),連接,根據(jù)三垂線定理,確定二面角的平面角,若,,由大角對(duì)大邊知,兩者矛盾,故二面角的大小不能為.【詳解】(1)由平面平面,平面平面,且,所以平面,又平面,所以;(2)依題意都在平面上,因此平面,平面,又平面,平面,平面與平面平行,即兩個(gè)平面沒(méi)有交點(diǎn),則與不相交,又與共面,所以,同理可證,所以四邊形是平行四邊形;(3)不能.如圖,作交于點(diǎn),延長(zhǎng)交于點(diǎn),連接,由,,,所以平面,則平面,又,根據(jù)三垂線定理,得到,所以是二面角的平面角,若,則是等腰直角三角形,,又,所以中,由大角對(duì)大邊知,所以,這與上面相矛盾,所以二面角的大小不能為.【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何中的線線平行和垂直的判定問(wèn)題,和二面角的求解問(wèn)題,意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力;解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化,屬中檔題.20、(Ⅰ);(Ⅱ)有最大值,最大值為3.【解析】
(Ⅰ)利用正弦定理將角化邊,再由余弦定理計(jì)算可得;(Ⅱ)由正弦定理可得,則,再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得;【詳解】(Ⅰ)由得再由正弦定理得因此,又因?yàn)?,所?(Ⅱ)當(dāng)時(shí),的周長(zhǎng)有最大值,且最大值為3,理由如下:由正弦定理得,所以,所以.因?yàn)?,所以,所以?dāng)即時(shí),取到最大值2,所以的周長(zhǎng)有最大值,最大值為3.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理解三角形,以及三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,屬于中檔題.21、【解析】解:解:將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為,即,它表示以為圓心,2為半徑圓,………4分直
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