2020年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)(A卷)

222020年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽加試（A卷）

參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)說明：評閱試卷時(shí)，請嚴(yán)格按照本評分標(biāo)準(zhǔn)的評分檔次給分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評卷時(shí)可參考本評分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評分，10分為一個(gè)檔次，不得增加其他中間檔次.一.（本題滿分4U分）如圖，在等腰屮，AB=BC,/為內(nèi)心，M為8/的屮點(diǎn)，P為邊ACk一點(diǎn)，滿足AP=3PC,/V延長線上一點(diǎn)〃滿足M〃丄PH,0為△昇的外接圓上劣弧/IB的中點(diǎn).證明：BHLQH.證明：取MC的屮點(diǎn)N.由AP=3PC，可知P為NC的中點(diǎn).易知共線，^INC=90°.rh/為MBC的內(nèi)心，可知C7經(jīng)過點(diǎn)Q,且ZQ!B=4BC+OCB=AABl+AACQ=ZABl+ZABQ=乙QBI,又M為的中點(diǎn)，所以QM丄進(jìn)而QM\\CN.10分考慮△//M0與'HIB.由于M/7丄/W,故Z.HMQ=90°-AHMI=AHIB.HMNP又乙IHM=ZZVP=90。，故^=——,于是HIN1HMNP\NC\MQMQ所以s△〃/〃,得ZHQM=AHB1?30分從而HMB.Q四點(diǎn)共圓.于是有ZBHQ=/BMQ=90°,即BH丄QH?40分二（本題滿分40分）給定整數(shù)n>3.設(shè)^"，…，如咖婦…‘俎是4〃個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，滿足a{+勺HF=b{+6：HFb2?>0,且對任意i=l,2,???，2n，有叩心'?+b屮（這里$卄i=州，。2”十2=。2，$”十1=勺）?求坷+。2+…+“2"的最小值?解：記S=d]4-d24卜Q2n=by+b?4卜b2n?v不失一般性，設(shè)T=ax+a3da2n_!<—.當(dāng)巾=3時(shí)，因?yàn)槭??刀畋-1=?。酪?）2+（碼一他）2+4—4]）2>0,故結(jié)合條件可知TOC\o"1-5"\h\zc-233冷之尸23?刀也嘰》?工（乩+俎）=3S?4k=\k=\又S>0,所以5>12.當(dāng)=2（1</<6）時(shí)，S取到最小值12.10分當(dāng)77>4時(shí)，一方面有y?6/2*-l6,2t4-l—刀（方21+婦）=s?k=\k=l另一方面，若〃為偶數(shù)，則n卩2工叫-#2"1S（q+他+???+知-3）仗3+0+…+%-J5〒，其中第一個(gè)不等式是因?yàn)椋á?鳥+…+吆丿仏+為+…+知-）展開后每一項(xiàng)均非負(fù)，且包含如Mz（lSkSn）這些項(xiàng)，第二個(gè)不等式利用了基本不等式.20分若幷為奇數(shù)，不妨設(shè)a,<a3,則”n—1^2如一1%十1S葉^a2n-\a3A=1*=1丿嚴(yán)S（e+他+…+42—）（偽+如“2”-3）5才從而總有S<^2a2ic_xa2k+l<—<—.又S>0，所以5>16.30分當(dāng)al=a2=dy=a4=4.ai=0（5</<2n）9勺=0,為=1