(完整版)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)提綱

第一章隨機(jī)事件及其概率一、隨機(jī)事件及其運(yùn)算1.樣本空間、隨機(jī)事件①樣本點(diǎn)：隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果，用表示；②樣本空間：樣本點(diǎn)的全集，用表示；注：樣本空間不唯一.③隨機(jī)事件：樣本點(diǎn)的某個(gè)集合或樣本空間的某個(gè)子集，用A,B,C,…表示；④必然事件就等于樣本空間；不可能事件⑤基本事件就是僅包含單個(gè)樣本點(diǎn)的子集。2.事件的四種關(guān)系是不包含任何樣本點(diǎn)的空集；①包含關(guān)系：②等價(jià)關(guān)系：，事件A發(fā)生必有事件B發(fā)生；，事件A發(fā)生必有事件B發(fā)生，且事件B發(fā)生必有事件A發(fā)生；，事件A與事件B一定不會(huì)同時(shí)發(fā)生。③互不相容（互斥）：④對(duì)立關(guān)系（互逆）：，事件發(fā)生事件A必不發(fā)生，反之也成立；互逆滿足注：互不相容和對(duì)立的關(guān)系（對(duì)立事件一定是互不相容事件，但互不相容事件不一定是對(duì)立事件。）3.事件的三大運(yùn)算①事件的并：②事件的交：③事件的差：4.事件的運(yùn)算規(guī)律①交換律：，事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生。若，事件A與事件B都發(fā)生；，則；，事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生。②結(jié)合律：③分配律：④德摩根（DeMorgan）定律：對(duì)于n個(gè)事件，有二、隨機(jī)事件的概率定義和性質(zhì)1．公理化定義：設(shè)試驗(yàn)的樣本空間為，對(duì)于任一隨機(jī)事件都有確定的實(shí)值P(A)，滿足下列性質(zhì)：(1)非負(fù)性：(2)規(guī)范性：(3)有限可加性(概率加法公式)：對(duì)于k個(gè)互不相容事件則稱P(A)為隨機(jī)事件A的概率.，有.2．概率的性質(zhì)①②③若，則注：性質(zhì)的逆命題不一定成立的.如若（×）則。（×）若，則。三、古典概型的概率計(jì)算古典概型：若隨機(jī)試驗(yàn)滿足兩個(gè)條件：①只有有限個(gè)樣本點(diǎn),②每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的概率相同，則稱該概率模型為古典概型,。典型例題：設(shè)一批產(chǎn)品共N件，其中有M件次品，從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件樣品，則(1)在放回抽樣的方式下,取出的n件樣品中恰好有m件次品（不妨設(shè)事件A1）的概率為(2)在不放回抽樣的方式下,取出的n件樣品中恰好有m件次品（不妨設(shè)事件A2）的概率為四、條件概率及其三大公式1.條件概率：2.乘法公式：3.全概率公式：若，則。4.貝葉斯公式：若事件如全概率公式所述，且.五、事件的獨(dú)立1.定義：.推廣：若相互獨(dú)立，2.在四對(duì)事件中，只要有一對(duì)獨(dú)立，則其余三對(duì)也獨(dú)立。3.三個(gè)事件A,B,C兩兩獨(dú)立：注：n個(gè)事件的兩兩獨(dú)立與相互獨(dú)立的區(qū)別。（相互獨(dú)立4.伯努利概型：兩兩獨(dú)立，反之不成立。）1.事件的對(duì)立與互不相容是等價(jià)的。（X）2.若則。（X）3.。(X)4.A,B,C三個(gè)事件恰有一個(gè)發(fā)生可表示為5.n個(gè)事件若滿足。()，則n個(gè)事件相互獨(dú)立。(X)6.當(dāng)時(shí)，有P(B-A)=P(B)-P(A)。（∨）第二章隨機(jī)變量及其分布一、隨機(jī)變量的定義：設(shè)樣本空間為，變量為定義在上的單值實(shí)值函數(shù)，則稱為隨機(jī)變量，通常用大寫英文字母，用小寫英文字母表示其取值。二、分布函數(shù)及其性質(zhì)1.定義：設(shè)隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，函數(shù)稱為隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)，簡(jiǎn)稱分布函數(shù)。注：當(dāng)時(shí)，(1)X是離散隨機(jī)變量，并有概率函數(shù)則有(2)X連續(xù)隨機(jī)變量，并有概率密度f(x)，則2.分布函數(shù)性質(zhì)：.（1F(x)是單調(diào)非減函數(shù)，即對(duì)于任意x1<x2，有；（2；且；（3離散隨機(jī)變量X，F(xiàn)(x)是右連續(xù)函數(shù),即；連續(xù)隨機(jī)變量X，F(xiàn)(x)在（-∞，+∞）上處處連續(xù)。注：一個(gè)函數(shù)若滿足上述3個(gè)條件，則它必是某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)。三、離散隨機(jī)變量及其分布1.定義.設(shè)隨機(jī)變量X只能取得有限個(gè)數(shù)值，或可列無窮多個(gè)數(shù)值且，則稱X為離散隨機(jī)變量,pi(i=1,2,…)為X的概率分布，或概率函數(shù)(分布律).注：概率函數(shù)pi的性質(zhì):2.幾種常見的離散隨機(jī)變量的分布：（1）超幾何分布，X~H(N,M,n)，（2）二項(xiàng)分布，X~B(n.,p)，當(dāng)n=1時(shí)稱X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布（或0－1分布）。若Xi(i=1,2,…,n)服從同一兩點(diǎn)分布且獨(dú)立，則服從二項(xiàng)分布。（3）泊松(Poisson)分布，，四、連續(xù)隨機(jī)變量及其分布1.定義.若隨機(jī)變量X的取值范圍是某個(gè)實(shí)數(shù)區(qū)間I，且存在非負(fù)函數(shù)f(x)，使得對(duì)于任意區(qū)間，有則稱X為連續(xù)隨機(jī)變量;函數(shù)f(x)稱為連續(xù)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度。注1：連續(xù)隨機(jī)變量X任取某一確定值的概率等于0,即注2：2.概率密度f(x)的性質(zhì)：性質(zhì)1：性質(zhì)2：注1：一個(gè)函數(shù)若滿足上述2個(gè)條件，則它必是某個(gè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)。注2：當(dāng)時(shí)，且在f(x)的連續(xù)點(diǎn)x處，有3.幾種常見的連續(xù)隨機(jī)變量的分布：(1)均勻分布，(2)指數(shù)分布,(3)正態(tài)分布，1.概率函數(shù)與密度函數(shù)是同一個(gè)概念。（X）2.當(dāng)N充分大時(shí)，超幾何分布H(n,M,N)可近似成泊松分布。(X)3.設(shè)X是隨機(jī)變量，有。(X)4.若的密度函數(shù)為=，則(X)第三章隨機(jī)變量的數(shù)字特征一、期望（或均值）1．定義：2．期望的性質(zhì)：3.隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望4.計(jì)算數(shù)學(xué)期望的方法(1)利用數(shù)學(xué)期望的定義；(2)利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)；常見的基本方法：將一個(gè)比較復(fù)雜的隨機(jī)變量X拆成有限多個(gè)比較簡(jiǎn)單的隨機(jī)變量Xi之和,再利用期望性質(zhì)求得X的期望.(3)利用常見分布的期望；1．方差注：D(X)=E[X-E(X)]2≥0；它反映了隨機(jī)變量X取值分散的程度,如果D(X)值越大(小)，表示X取值越分散(集中)。2．方差的性