2005-數(shù)一真題、標(biāo)準(zhǔn)答案及解析

2005年考研數(shù)學(xué)一真題一、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上）（1）曲線的斜漸近線方程為_____________.（2）微分方程（3）設(shè)函數(shù)滿足的解為.____________.，單位向量，則=.________.（4）設(shè)是由錐面?zhèn)龋瑒t與半球面圍成的空間區(qū)域，是的整個(gè)邊界的外____________.（5）設(shè)均為3維列向量，記矩陣，，如果，那么..（6）從數(shù)1,2,3,4中任取一個(gè)數(shù)，記為X,再從中任取一個(gè)數(shù)，記為Y,則=____________.二、選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）（7）設(shè)函數(shù)，則f(x)在內(nèi)(A)處處可導(dǎo).(B)恰有一個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn).(C)恰有兩個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn).(D)至少有三個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn).[]（8）設(shè)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)，(A)F(x)是偶函數(shù)f(x)是奇函數(shù).表示“M的充分必要條件是N”，則必有（B）F(x)是奇函數(shù)f(x)是偶函數(shù).(C)F(x)是周期函數(shù)f(x)是周期函數(shù).(D)F(x)是單調(diào)函數(shù)f(x)是單調(diào)函數(shù).[]（9）設(shè)函數(shù)有,其中函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，具有一階導(dǎo)數(shù)，則必(A)(C).（B）..(D).[]（10）設(shè)有三元方程方程，根據(jù)隱函數(shù)存在定理，存在點(diǎn)(0,1,1)的一個(gè)鄰域，在此鄰域內(nèi)該(A)只能確定一個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)z=z(x,y).(B)可確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)x=x(y,z)和z=z(x,y).(C)可確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)y=y(x,z)和z=z(x,y).(D)可確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)x=x(y,z)和y=y(x,z).[]（11）設(shè)是矩陣A的兩個(gè)不同的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為，則，線性無關(guān)的充分必要條件是(A).(B)（12）設(shè)A為n（(A)交換的第1列與第2列得.(B)交換的第1行與第2行得.(C).(D).[]）階可逆矩陣，交換A的第1行與第2行得矩陣B,分別為A,B的伴隨矩陣，則.(C)交換的第1列與第2列得.(D)交換的第1行與第2行得.[]（13）設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布為XY0100.4a1b0.1已知隨機(jī)事件與相互獨(dú)立，則(A)a=0.2,b=0.3(C)a=0.3,b=0.2（14）設(shè)(B)a=0.4,b=0.1(D)a=0.1,b=0.4[]為來自總體N(0,1)的簡單隨機(jī)樣本，為樣本均值，為樣本方差，則(B)(A)(C)(D)[]三、解答題（本題共9小題，滿分94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）（15）（本題滿分11分）設(shè)，表示不超過的最大整數(shù).計(jì)算二重積分（16）（本題滿分12分）求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù)f(x).（17）（本題滿分11分）如圖，曲線C的方程為y=f(x)，點(diǎn)(3,2)是它的一個(gè)拐點(diǎn)，直線與分別是曲線C在點(diǎn)(0,0)與(3,2)處的切線，其交點(diǎn)為(2,4).設(shè)函數(shù)f(x)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，計(jì)算定積分（18）（本題滿分12分）已知函數(shù)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=0,f(1)=1.證明：（）存在使得；（）存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，使得（19）（本題滿分12分）設(shè)函數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在圍繞原點(diǎn)的任意分段光滑簡單閉曲線L上，曲線積分的值恒為同一常數(shù).（）證明：對(duì)右半平面x>0內(nèi)的任意分段光滑簡單閉曲線C，有；（）求函數(shù)的表達(dá)式.（20）（本題滿分9分）已知二次型的秩為2.（）求a的值；（）求正交變換（）求方程，把化成標(biāo)準(zhǔn)形；=0的解.（21）（本題滿分9分）已知3階矩陣A的第一行是不全為零，矩陣（k為常數(shù)），且AB=O,求線性方程組Ax=0的通解..（22）（本題滿分9分）設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為求：（）(X,Y)的邊緣概率密度；（）的概率密度（23）（本題滿分9分）設(shè)為來自總體N(0,1)的簡單隨機(jī)樣本，為樣本均值，記求：（）的方差（）與的協(xié)方差；2005年考研數(shù)學(xué)一真題解析一、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上）（1）曲線的斜漸近線方程為【分析】本題屬基本題型，直接用斜漸近線方程公式進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)閍=，，于是所求斜漸近線方程為（2）微分方程滿足的解為.【分析】直接套用一階線性微分方程，的通解公式：再由初始條件確定任意常數(shù)即可.【詳解】原方程等價(jià)為，于是通解為=，由得C=0，故所求解為（3）設(shè)函數(shù)，單位向量，則=.【分析】函數(shù)u(x,y,z)沿單位向量}的方向?qū)?shù)為：因此，本題直接用上述公式即可.【詳解】因?yàn)?，，，于是所求方向?qū)?shù)為=（4）設(shè)是由錐面?zhèn)?，則與半球面圍成的空間區(qū)域，是的整個(gè)邊界的外.【分析】本題是封閉曲面且取外側(cè)，自然想到用高斯公式轉(zhuǎn)化為三重積分，再用球面（或柱面）坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】=（5）設(shè)均為3維列向量，記矩陣，，如果，那么2.【分析】將B寫成用A右乘另一矩陣的形式，再用方陣相乘的行列式性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】由題設(shè)，有=，于是有（6）從數(shù)1,2,3,4中任取一個(gè)數(shù)，記為X,再從中任取一個(gè)數(shù)，記為Y,則=.【分析】本題涉及到兩次隨機(jī)試驗(yàn)，想到用全概率公式,且第一次試驗(yàn)的各種兩兩互不相容的結(jié)果即為完備事件組或樣本空間的劃分.【詳解】=+++=二、選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）（7）設(shè)函數(shù)，則f(x)在內(nèi)(A)處處可導(dǎo).(B)恰有一個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn).(C)恰有兩個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn).(D)至少有三個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn).[C]【分析】先求出f(x)的表達(dá)式，再討論其可導(dǎo)情形.【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，；即可見f(x)僅在x=時(shí)不可導(dǎo)，故應(yīng)選(C).（8）設(shè)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)，(B)F(x)是偶函數(shù)f(x)是奇函數(shù).表示“M的充分必要條件是N”，則必有（B）F(x)是奇函數(shù)f(x)是偶函數(shù).(C)F(x)是周期函數(shù)f(x)是周期函數(shù).(D)F(x)是單調(diào)函數(shù)f(x)是單調(diào)函數(shù).[A]【分析】本題可直接推證，但最簡便的方法還是通過反例用排除法找到答案.【詳解】方法一：任一原函數(shù)可表示為，且當(dāng)F(x)為偶函數(shù)時(shí)，有，于是，即，也即，可見f(x)為奇函數(shù)；反過來，若f(x)為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)，從而為偶函數(shù)，可見(A)為正確選項(xiàng).方法二：令f(x)=1,則取F(x)=x+1,排除(B)、(C);令f(x)=x,則取F(x)=,排除(D);故應(yīng)選(A).（9）設(shè)函數(shù)有,其中函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，具有一階導(dǎo)數(shù)，則必(A)(C).（B）..(D).[B]【分析】先分別求出、、，再比較答案即可.【詳解】因?yàn)椋谑?，，，可見有，?yīng)選(B).（10）設(shè)有三元方程方程，根據(jù)隱函數(shù)存在定理，存在點(diǎn)(0,1,1)的一個(gè)鄰域，在此鄰域內(nèi)該(E)只能確定一個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)z=z(x,y).(F)可確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)x=x(y,z)和z=z(x,y).(G)可確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)y=y(x,z)和z=z(x,y).(H)可確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)x=x(y,z)和y=y(x,z).[D]【分析】本題考查隱函數(shù)存在定理，只需令F(x,y,z)=,分別求出三個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，再考慮在點(diǎn)(0,1,1)處哪個(gè)偏導(dǎo)數(shù)不為0，則可確定相應(yīng)的隱函數(shù).【詳解】令F(x,y,z)=,則，，，且，，.由此可確定相應(yīng)的隱函數(shù)x=x(y,z)和y=y(x,z).故應(yīng)選(D).（11）設(shè)是矩陣A的兩個(gè)不同的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為，則，線性無關(guān)的充分必要條件是(A).(B).(C).(D).[B]【分析】討論一組抽象向量的線性無關(guān)性，可用定義或轉(zhuǎn)化為求其秩即可.【詳解】方法一：令，則，.由于線性無關(guān)，于是有當(dāng)時(shí)，顯然有，此時(shí)，線性無關(guān)；反過來，若，線性無關(guān)，則必然有(,否則，與=線性相關(guān))，故應(yīng)選(B).方法二：由于，可見，線性無關(guān)的充要條件是故應(yīng)選(B).（12）設(shè)A為n（）階可逆矩陣，交換A的第1行與第2行得矩陣B,分別為A,B的伴隨矩陣，則(B)交換的第1列與第2列得.(B)交換的第1行與第2行得.(C)交換的第1列與第2列得.(D)交換的第1行與第2行得.[C]【分析】本題考查初等變換的概念與初等矩陣的性質(zhì)，只需利用初等變換與初等矩陣的關(guān)系以及伴隨矩陣的性質(zhì)進(jìn)行分析即可.【詳解】由題設(shè)，存在初等矩陣（交換n階單位矩陣的第1行與第2行所得），使得，于是，即,可見應(yīng)選(C).（13）設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布為XY0100.4a1b0.1已知隨機(jī)事件與相互獨(dú)立，則(B)a=0.2,b=0.3(C)a=0.3,b=0.2(B)a=0.4,b=0.1(D)a=0.1,b=0.4[B]【分析】首先所有概率求和為1，可得a+b=0.5,其次，利用事件的獨(dú)立性又可得一等式，由此可確定a,b的取值.【詳解】由題設(shè)，知a+b=0.5又事件與相互獨(dú)立，于是有，,由此可解得a=0.4,b=0.1,故應(yīng)選(B).為來自總體N(0,1)的簡單隨機(jī)樣本，(B)即a=（14）設(shè)為樣本均值，為樣本方差，則(B)(C)(D)[D]【分析】利用正態(tài)總體抽樣分布的性質(zhì)和分布、t分布及F分布的定義進(jìn)行討論即可.，可排除(A);【詳解】由正態(tài)總體抽樣分布的性質(zhì)知，又，可排除(C);而，不能斷定(B)是正確選項(xiàng).因?yàn)?，且相互?dú)立，于是故應(yīng)選(D).三、解答題（本題共9小題，滿分94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）（15）（本題滿分11分）設(shè)，表示不超過的最大整數(shù).計(jì)算二重積分【分析】首先應(yīng)設(shè)法去掉取整函數(shù)符號(hào)，為此將積分區(qū)域分為兩部分即可.【詳解】令，.則==（16）（本題滿分12分）求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù)f(x).【分析】先求收斂半徑，進(jìn)而可確定收斂區(qū)間.而和函數(shù)可利用逐項(xiàng)求導(dǎo)得到.【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散，因此原級(jí)數(shù)的收斂半徑為1，收斂區(qū)間為（－1,1）記則由于所以又從而（17）（本題滿分11分）如圖，曲線C的方程為y=f(x)，點(diǎn)(3,2)是它的一個(gè)拐點(diǎn)，直線與分別是曲線C在點(diǎn)(0,0)與(3,2)處的切線，其交點(diǎn)為(2,4).設(shè)函數(shù)f(x)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，計(jì)算定積分【分析】題設(shè)圖形相當(dāng)于已知f(x)在x=0的函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值，在x=3處的函數(shù)值及一階、二階導(dǎo)數(shù)值.【詳解】由題設(shè)圖形知，f(0)=0,;f(3)=2,由分部積分，知==（18）（本題滿分12分）已知函數(shù)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=0,f(1)=1.證明：（）存在使得；（）存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，使得【分析】第一部分顯然用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理；第二部分為雙介值問題，可考慮用拉格朗日中值定理，但應(yīng)注意利用第一部分已得結(jié)論.【詳解】（）令，則F(x)在[0，1]上連續(xù)，且F(0)=-1<0,F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在使得，即.（）在和上對(duì)f(x)分別應(yīng)用拉格朗日中值定理，知存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，使得，于是（19）（本題滿分12分）設(shè)函數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在圍繞原點(diǎn)的任意分段光滑簡單閉曲線L上，曲線積分的值恒為同一常數(shù).（）證明：對(duì)右半平面x>0內(nèi)的任意分段光滑簡單閉曲線C，有；（）求函數(shù)的表達(dá)式.【分析】證明（）的關(guān)鍵是如何將封閉曲線C與圍繞原點(diǎn)的任意分段光滑簡單閉曲線相聯(lián)系，這可利用曲線積分的可加性將C進(jìn)行分解討論；而（）中求的表達(dá)式，顯然應(yīng)用積分與路徑無關(guān)即可.Y【詳解】（）l2CoXl3如圖，將C分解為：，另作一條曲線圍繞原點(diǎn)且與C相接，則.（）設(shè)積分，在單連通區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，由（Ⅰ）知，曲線在該區(qū)域內(nèi)與路徑無關(guān)，故當(dāng)時(shí)，總有.①②比較①、②兩式的右端，得④③由③得所以，將代入④得，從而（20）（本題滿分9分）已知二次型的秩為2.（）求a的值；（）求正交變換（）求方程，把化成標(biāo)準(zhǔn)形；=0的解.【分析】（）根據(jù)二次型的秩為2，可知對(duì)應(yīng)矩陣的行列式為0，從而可求a的值；（）是常規(guī)問題，先求出特征值、特征向量，再正交化、單位化即可找到所需正交變換；（）利用第二步的結(jié)果，通過標(biāo)準(zhǔn)形求解即可.【詳解】（）二次型對(duì)應(yīng)矩陣為，由二次型的秩為2，知，得a=0.（）這里，可求出其特征值為.解，得特征向量為：，解，得特征向量為：由于已經(jīng)正交，直接將，單位化，得：令，即為所求的正交變換矩陣，由x=Qy，可化原二次型為標(biāo)準(zhǔn)形：=（）由=0，得（k為任意常數(shù)）.從而所求解為：x=Qy=（21）（本題滿分9分），其中c為任意常數(shù).已知3階矩陣A的第一行是程組Ax=0的通解.不全為零，矩陣（k為常數(shù)），且AB=O,求線性方【分析】AB=O,相當(dāng)于告之B的每一列均為Ax=0的解，關(guān)鍵問題是Ax=0的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為多少，而這又轉(zhuǎn)化為確