天水師范學(xué)院拓撲學(xué)考試試題

一、選擇題(本大題共8小題，每小題3分，共24分)1、設(shè)X={a,b,c},T=(8，{a},{b,c},{a,b,c),則拓撲空間(X，。是().T1空間(B)正則空間 (C)Hausdorff空間(D)T?？臻g2、設(shè)X是拓撲空間，C是X的一個連通分支，則下列說法錯誤的是()(A)C是最大的連通子集(C)C一定是開集(A)C是最大的連通子集(C)C一定是開集(D)C可能是既開又閉的子集3、設(shè)X={x，y，z}，A={x}，T={8，{x)，X)是X上的拓撲，則d(A)=(){y，z} (B){x，z} (C){x} (D){x，y，z}4、下列說法正確的是()實數(shù)空間R是緊致空間有理數(shù)集Q作為實數(shù)空間R的子空間是連通的單位圓周S1與實數(shù)空間R同胚可分空間在連續(xù)映射下的像也是可分的5、 設(shè)X是離散空間，則()(A) X是連通空間 (B)對任一拓撲空間Y，映射f:Y-X都連續(xù)d(A)=8，A是X的任意子集 (D)X是可分空間6、 設(shè)X是拓撲空間，A，Bu乂，則()(A) d(d(A))CAUd(A) (B)AfW=ADB(C) (AUB)。=A°UB。 (D)d(A)nd(B)Cd(AnB)7、 下列說法錯誤的是()(A)拓撲空間的離散性是可遺傳的 (B)拓撲空間的連通性是可遺傳的(C)拓撲空間的第一可數(shù)性是可遺傳的 (D)拓撲空間的第二可數(shù)性是可遺傳的8、 設(shè)Y是拓撲空間X的子空間，則()若A是Y中的開集，則A也是X中的開集若X是局部連通空間，則Y也是局部連通空間若AuY，則A在X中的閉包也是A在Y中的閉包若T是Y上的相對拓撲，則T是使內(nèi)射i\Y:Y—X連續(xù)的最小拓撲二、判斷題(本大題共8小題，每小題2分，共16分)1、如果Y是拓撲空間X的連通子集，則丫-也是X的連通子集.(2、實數(shù)空間R是連通空間但不是局部連通空間.（）3、T1空間中的有限子集都不是閉集.（）4、A1空間中的的聚點可以用序列收斂的性質(zhì)來刻畫. （）5、 f:X-Y是映射，則對任意的ACX,f-1（f（A））CA.（ ）6、Hausdorff空間中的收斂序列只有一個極限點.（）7、連續(xù)映射下保持的性質(zhì)就是拓撲不變性質(zhì).（）8、X是連通空間當且僅當X中存在既開又閉的非空真子集.（三、 簡述和證明（本大題共3題，共34分）1、 設(shè)X是拓撲空間，R是X上的一個等價關(guān)系；驗證（10分）T={VCX/R|p-1（V）是乂中的開集}是商集X/R上的拓撲，并證明T是使自然映射p:X-X/R連續(xù)的最大拓撲2、 敘述“粘接引理”并給予證明.（10分）3、 舉例說明在一般拓撲空間中不能用序列收斂的性質(zhì)來刻畫映射的連續(xù)性.（14分）四、 證明題（本大題共3題，共26分）1、 證明單位圓周S1和球面S2不同胚.（6分）2、 證明實數(shù)空間R是連通空間.（10分）3、 設(shè)X和Y是兩個拓撲空間，f:X-Y，證明以下條件等價：（10分）（1） f連續(xù).（2） 對Y的任意子集8，都有f-1（B。）C（f-1（B））。.1、B 2、C 3、A 4、D 5、C 6、A7、B8、D1、V 2、x 3、x 4、V 5、x 6、V7、V8、x1、設(shè)X是拓撲空間，R是X上的一個等價關(guān)系；驗證T={VCX/R|p-1(V)是乂中的開集}是商集X/R上的拓撲，并證明T是使自然映射p:X-X/R連續(xù)的最大拓撲. (10分)證明：先證T是商集X/R上的拓撲；事實上，因為p-i(8)=8,p-1(X/R)=X/R，所以奴X/RGT；設(shè)U,VGT，由T的定義知，p-i(U),p-i(V)都是X中的開集，從而p-i(UAV)=p-i(U)Ap-i(V)是X中的開集，即UAVGT；VTCT，因為VVGT，p-i(V)是X中的開集，于是p-i(UygtV)=U^tp-i(V)是X中的開集，艮口UvG1VGT.下面證明T是使自然映射p:X-X/R連續(xù)的最大拓撲；事實上，設(shè)t是商集X/R是使自然映射連續(xù)的任一映射；對VVGt，則p-i(V)是X中的開集，由T的定義知，VGT，于是tCT.2、敘述“粘接引理”并給予證明.(i0分)粘接引理：設(shè)A和B是拓撲空間X中的兩個開集(閉集)，且X=AUB.Y是一拓撲間，f:A-Y,f:B-Y是兩個連續(xù)映射，并且滿足條件fI=fI，定義映射f:X-Y1 2 1AAB2AAB如下：f("fi切，gaf2(x) xGB則f是一個連續(xù)映射.證明：首先、由條件知f的定義是確切的.其次、對Y的任意子集Z，因為f-i(Z)=f-i(Z)AA且f-i(Z)=f-i(Z)AB，所以12f-i(Z)=f1i(z)Uf2-i(Z)最后，對Y的任一開集U，因為f,f都連續(xù)，于是f-i(U),f-i(U)分別是A和B中的1 2 1 2開集，由于A和B都是開集，所以f1-i(U),f2-i(U)也都是X中的開集，從而f-i(U)=f-i(U)Uf-i(U)是X中的開集，故f是連續(xù)映射.123、舉例說明在一般拓撲空間中不能用序列收斂的性質(zhì)來刻畫映射的連續(xù)性.(i4分)答：設(shè)X和Y是拓撲空間，xGX，若X中的序列｛xj收斂于x，貝U映射f:X—Y在x處連續(xù)蘊含Y中的序列｛f(x))收斂于｛f(x)｝，但反之不成立.n事實上，(1)假設(shè)X是可數(shù)補空間，則X中的序列｛x｝收斂于x。存在正整數(shù)M，當n>M時x=x.必要性顯然，下面只證充分性；假設(shè)x-歡則D=｛xIx手x,nGZ｝是一個可n n nn +數(shù)集，于是D是x是的一個開鄰域，從而存在正整數(shù)M,當n>M時，有xGD，即有x=x.(2)設(shè)X是實數(shù)集做成的可數(shù)補空間，i:X-R是X到實數(shù)空間R上的恒同映射，取X中的序列｛x｝，并設(shè)｛x｝收斂于x，由(1)知，存在正整數(shù)M，當n>M時，x=x；因為i(x)=x=x=i(x)(n>M)，所以序列｛i(x)｝在R中也收斂.但是，因為每個包含i(x)的開區(qū)間U(U手R)，i-i(U)不能作為X中任何一點的鄰域，因而說明i在x處不連續(xù).1、證明：假設(shè)S1和S2同胚，則存在同胚映射f:S1一S2,在S1任取兩點a，b(a豐b)，則fI1\:Si\｛a,b｝-S2\｛f(a),f(b)｝也是同胚映射，但S1\｛a,b｝不連通而S2\｛f(a),f(b)｝連通，這于連通性是拓撲不變性矛盾。2、證明：假設(shè)R不連通，則R有兩個非空閉子集A和B，使得R=AUB且AnB=^，VaGA,bGB，記A=An[a,b],B=Bn[a,b]，則AUB=[a,b]且ADB=6；因為TOC\o"1-5"\h\z1 1 1 1 1 1b是A的上界，所以A有上確界b，且由A是閉集知bGA；如果b=b則有1 1 1 1 1 1bGADB=6，矛盾，所以b>b，從而(b,b]CB；又因為B是閉集，所以bGB；111 1 11 1 1 1即bGADB，這與ADB=6矛盾.111 1 13、設(shè)X和Y是兩個拓撲空間，f:X—Y，證明下面兩個條件等價：(10分)(1)f連續(xù).(2)對Y的任意子集B，都有f-1(Bo)C(f-1(B))。.證明：1)今2)設(shè)B是Y的任一子集，因為BoCB，所以f-1(Bo)Cf-1(B)，由f連續(xù)