二倍角的三角函數(shù)【新教材】2022年蘇教版高中數(shù)學必修同步教案（學生版教師版）

編號：014課題:§二倍角的三角函數(shù)目標要求1、理解并掌握二倍角的正弦、余弦和正切公式以及倍角公式的變換．2、理解并掌握給角求值、條件求值問題．3、理解并掌握化簡、證明問題．4、理解并掌握倍角公式與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合問題.學科素養(yǎng)目標三角恒等變換公式是聯(lián)系三角函數(shù)與平面向量，物理應(yīng)用知識的橋梁.三角恒等變換公式中的“拆與添”、方程組思想等技巧都是數(shù)學常用思想方法.突出計算能力，邏輯推理能力，分析問題和解決實際應(yīng)用問題的能力．重點難點重點：化簡、證明問題；難點：倍角公式與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合問題．教學過程基礎(chǔ)知識點1.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式:(2)本質(zhì):兩角和的正弦、余弦、正切公式,當兩角相等時的特殊形式.(3)應(yīng)用:①化簡;②求值;③證明.【思考】(1)所謂的“二倍角”公式,一定是角與之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系嗎?為什么?(2)公式中的角是任意角嗎?提2.倍角公式的變換(1)因式分解變換.(2)配方變換.(3)升冪縮角變換.(4)降冪擴角變換.【課前基礎(chǔ)演練】題1.（多選）下列命題正確的是()A.倍角的正切公式的適用范圍不是任意角.B.對于任意的角,都有成立.C.存在角,使成立.D.對任意的角都成立.題2.sin15°sin75°的值為 ()A.B.C.D.題3.已知,則sin2α=________,cos2α=________,tan2α=________.關(guān)鍵能力·合作學習類型一給角求值問題(數(shù)學運算)【題組訓練】題4.()A.B. D.題5.() C. D.題6..【解題策略】利用二倍角公式解決給角求值問題的策略(1)注意觀察式子的結(jié)構(gòu)特點及角之間是否存在特殊的倍數(shù)關(guān)系,靈活正用或逆用二倍角公式.(2)結(jié)合誘導公式恰當變化函數(shù)名稱,靈活處理系數(shù),構(gòu)造二倍角公式的形式.【補償訓練】題7.列各式的值:(1)；(2);(3).類型二條件求值問題(數(shù)學運算)【典例】題8.已知,求的值.【解題策略】解決條件求值問題的方法(1)將已知式或未知式化簡,使關(guān)系明朗化;(2)尋找角之間的關(guān)系,特別是已知角與要求的角之間的二倍關(guān)系,如果二倍關(guān)系中含有已知角和某些特殊角,則利用誘導公式轉(zhuǎn)化后整體代入.【跟蹤訓練】題9.已知,求和的值.【補償訓練】題10.已知,且，求.類型三化簡、證明問題(數(shù)學運算、邏輯推理)角度1化簡問題【典例】題11.化簡:（1）；（2）.【變式探究】題12.化簡.角度2證明問題【典例】題13.證明.【解題策略】1.化簡三角函數(shù)式的常用方法(1)切化弦;(2)異名化同名;(3)異角化同角;(4)高次降低次.2.化簡三角函數(shù)式的常用技巧(1)特殊角的三角函數(shù)與特殊值的互化;(2)對于分式形式,應(yīng)分別對分子、分母進行變形處理,有公因式的提取公因式后進行約分;(3)對于二次根式,注意倍角公式的逆用;(4)利用角與角之間的隱含關(guān)系,如互余、互補等.3.證明問題的原則及一般步驟(1)觀察式子兩端的結(jié)構(gòu)形式,一般是從復(fù)雜到簡單,如果兩端都比較復(fù)雜,就將兩端都化簡,即采用“兩頭湊”的思想.(2)證明的一般步驟是:先觀察,找出角、函數(shù)名稱、式子結(jié)構(gòu)等方面的差異,然后本著“復(fù)角化單角”“異名化同名”“變量集中”等原則,設(shè)法消除差異,達到證明的目的.【題組訓練】題14.的化簡結(jié)果為 ()A. B. C. D.題15.求證:.題16.化簡:,其中.類型四倍角公式與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合(邏輯推理、數(shù)學運算)【典例】題17.求函數(shù)的最小值,并求其單調(diào)減區(qū)間.【解題策略】倍角公式與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合問題的解題策略運用三角函數(shù)的和、差、倍角公式將函數(shù)關(guān)系式化成y=asinωx+bcosωx+k的形式,借助輔助角公式化為y=Asin(ωx+φ)+k(或y=Acos(ωx+φ)+k)的形式,將ωx+φ看作一個整體研究函數(shù)的性質(zhì).【跟蹤訓練】題18.求函數(shù)的最小正周期和最小值,并寫出該函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間.課堂檢測·素養(yǎng)達標題19.已知,則的值為 ()A.B.C.D.題20.計算的結(jié)果為 ()A.B.C.D.【補償訓練】題21.的值為 ()A.B.C.D.題22.已知,則等于________.題23.函數(shù)的最小正周期是________.題24.求證:.編號：014課題:§二倍角的三角函數(shù)目標要求1、理解并掌握二倍角的正弦、余弦和正切公式以及倍角公式的變換．2、理解并掌握給角求值、條件求值問題．3、理解并掌握化簡、證明問題．4、理解并掌握倍角公式與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合問題.學科素養(yǎng)目標三角恒等變換公式是聯(lián)系三角函數(shù)與平面向量，物理應(yīng)用知識的橋梁.三角恒等變換公式中的“拆與添”、方程組思想等技巧都是數(shù)學常用思想方法.突出計算能力，邏輯推理能力，分析問題和解決實際應(yīng)用問題的能力．重點難點重點：化簡、證明問題；難點：倍角公式與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合問題．教學過程基礎(chǔ)知識點1.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式:(2)本質(zhì):兩角和的正弦、余弦、正切公式,當兩角相等時的特殊形式.(3)應(yīng)用:①化簡;②求值;③證明.【思考】(1)所謂的“二倍角”公式,一定是角與之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系嗎?為什么?提示:不一定.對于“二倍角”應(yīng)該廣義的理解,如:是的二倍角,是的二倍角,是的二倍角,是的二倍角,…,這里蘊含著換元思想.這就是說“倍”是相對而言的,是描述兩個數(shù)量之間關(guān)系的.(2)公式中的角是任意角嗎?提示:對于公式中的角是任意角,但是中的角要保證有意義且分母.2.倍角公式的變換(1)因式分解變換.(2)配方變換.(3)升冪縮角變換.(4)降冪擴角變換.【課前基礎(chǔ)演練】題1.（多選）下列命題正確的是()A.倍角的正切公式的適用范圍不是任意角.B.對于任意的角,都有成立.C.存在角,使成立.D.對任意的角都成立.【答案】選ACD提示:A√.倍角的正切公式,要求且,故此說法正確.B×.當時,,而.C√.由,得時,成立.D√.由倍角的正弦公式可得.題2.sin15°sin75°的值為 ()A.B.C.D.【解析】選B.原式.題3.已知,則sin2α=________,cos2α=________,tan2α=________.【解析】因為,所以,所以.答案:關(guān)鍵能力·合作學習類型一給角求值問題(數(shù)學運算)【題組訓練】題4.()A.B. D.【解析】選A.原式.題5.() C. D.【解析】選B..題6..【解析】原式.答案:【解題策略】利用二倍角公式解決給角求值問題的策略(1)注意觀察式子的結(jié)構(gòu)特點及角之間是否存在特殊的倍數(shù)關(guān)系,靈活正用或逆用二倍角公式.(2)結(jié)合誘導公式恰當變化函數(shù)名稱,靈活處理系數(shù),構(gòu)造二倍角公式的形式.【補償訓練】題7.列各式的值:(1)；(2);(3).【解析】(1)原式.(2)原式.(3)原式.類型二條件求值問題(數(shù)學運算)【典例】題8.已知,求的值.【解題策略】解決條件求值問題的方法(1)將已知式或未知式化簡,使關(guān)系明朗化;(2)尋找角之間的關(guān)系,特別是已知角與要求的角之間的二倍關(guān)系,如果二倍關(guān)系中含有已知角和某些特殊角,則利用誘導公式轉(zhuǎn)化后整體代入.【跟蹤訓練】題9.已知,求和的值.【解析】由，得，則，即.因為，所以，所以，.【補償訓練】題10.已知,且，求.【解析】因為，，所以原式可化為，解得或.因為,所以,故或,即或.類型三化簡、證明問題(數(shù)學運算、邏輯推理)角度1化簡問題【典例】題11.化簡:（1）；（2）.【思路導引】結(jié)合題目特點,利用二倍角的正弦、余弦公式化簡.【解析】(1)原式.(2)原式.【變式探究】題12.化簡.【解析】原式.角度2證明問題【典例】題13.證明.【思路導引】利用二倍角公式化簡左邊式子求解.【解析】.【解題策略】1.化簡三角函數(shù)式的常用方法(1)切化弦;(2)異名化同名;(3)異角化同角;(4)高次降低次.2.化簡三角函數(shù)式的常用技巧(1)特殊角的三角函數(shù)與特殊值的互化;(2)對于分式形式,應(yīng)分別對分子、分母進行變形處理,有公因式的提取公因式后進行約分;(3)對于二次根式,注意倍角公式的逆用;(4)利用角與角之間的隱含關(guān)系,如互余、互補等.3.證明問題的原則及一般步驟(1)觀察式子兩端的結(jié)構(gòu)形式,一般是從復(fù)雜到簡單,如果兩端都比較復(fù)雜,就將兩端都化簡,即采用“兩頭湊”的思想.(2)證明的一般步驟是:先觀察,找出角、函數(shù)名稱、式子結(jié)構(gòu)等方面的差異,然后本著“復(fù)角化單角”“異名化同名”“變量集中”等原則,設(shè)法消除差異,達到證明的目的.【題組訓練】題14.的化簡結(jié)果為 ()A. B. C. D.【解析】選B..題15.求證:.【證明】方法一:左邊右邊,得證.方法二:右邊左邊,得證.題16.化簡:,其中.【解析】原式.①當時,,此時原式.②當時,,此時原式.類型四倍角公式與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合(邏輯推理、數(shù)學運算)【典例】題17.求函數(shù)的最小值,并求其單調(diào)減區(qū)間.【思路導引】化簡f(x)的解析式→f(x)=Asin(ωx+φ)+B→ωx+φ的范圍→求最小值,單調(diào)減區(qū)間.【解析】,因為,所以,所以,所以當,即時,f(x)取最小值為.因為在上單調(diào)遞增,所以f(x)在上單調(diào)遞減.【解題策略】倍角公式與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合問題的解題策略運用三角函數(shù)的和、差、倍角公式將函數(shù)關(guān)系式化成y=asinωx+bcosωx+k的形式,借助輔助角公式化為y=Asin(ωx+φ)+k(或y=Acos(ωx+φ)+k)的形式,將ωx+φ看作一個整體研究函數(shù)的性質(zhì).【跟蹤訓練】題18.求函數(shù)的最小正周期和最小值,并寫出該函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間.【解析】,所以.由,得,又,所以令k=0,得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.課堂檢測·素養(yǎng)達標題19.已知,則的值為 ()A.B.C.D.【解析】選A.因為,所以.題20.計算的結(jié)果為 ()A.