第6章定積分的應(yīng)用

第六章

定積分的應(yīng)用1第一節(jié)定積分的元素法abxyo分析面積元素回顧曲邊梯形求面積的問(wèn)題2設(shè)U是可用定積分表達(dá)的量，則計(jì)算量U的步驟為：定積分的元素法選擇函數(shù)f(x),并確定自變量x的變化區(qū)間[a,b];在[a,b]內(nèi)考慮典型小區(qū)間[x,x+dx],求出相應(yīng)于這個(gè)小區(qū)間的部分量ΔU的近似值f(x)dx,記為計(jì)算應(yīng)用方向：

平面圖形的面積、立體的體積、平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)；功、水壓力、引力和平均值等．3第二節(jié)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用一、平面圖形的面積1.直角坐標(biāo)情形面積元素:(1)由連續(xù)曲線(xiàn)y=f(x),直線(xiàn)x=a,x=b(a<b)及x軸所圍成的平面圖形的面積yo面積4若f(x)有正有負(fù),則曲邊梯形面積為xyoab5

(2)由連續(xù)曲線(xiàn)y=f(x),y=g(x),直線(xiàn)x=a,x=b(a<b)所圍成的平面圖形的面積cxyoab面積元素:6特別，時(shí),xyoab面積元素:7dcxyo圍成的平面圖形的面積為

xyodc8及y軸圍成的平面圖形的面積為

dcxyodcxyo9解先求兩曲線(xiàn)的交點(diǎn)面積元素選x為積分變量,例1

10例2

圍成的平面圖形的面積.

xoy解

由對(duì)稱(chēng)性,交點(diǎn)11解兩曲線(xiàn)的交點(diǎn)例3

12此題選y為積分變量比較好,選擇積分變量的原則：

(1)積分容易；(2)盡量少分塊.

13有時(shí)需要把邊界函數(shù)參數(shù)化.14解橢圓的參數(shù)方程由對(duì)稱(chēng)性知總面積等于第一象限部分面積的4倍,例4

15解例5

345頁(yè)

16面積元素曲邊扇形的面積2.極坐標(biāo)情形扇形面積公式

17解例6

解例7

18解例8

19

旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這直線(xiàn)叫做旋轉(zhuǎn)軸．圓柱圓錐圓臺(tái)二、體積1.旋轉(zhuǎn)體的體積20abox

y體積元素:旋轉(zhuǎn)體的體積為21直線(xiàn)OP的方程為解例1

22例2

x

yOab解

23例3

解

xy利用圓面積2425例4

解

下面再補(bǔ)充介紹一個(gè)方法.26上例:套筒法27解例5

繞

x

軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積28繞

y

軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積:可看作平面圖OABC與OBC分別繞

y

軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積之差.29繞

y

軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積:可看作平面圖OABC與OBC分別繞

y

軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積之差.或用“套筒法”:302.平行截面面積為已知的立體的體積xxx+dxA(x)ab31解建立坐標(biāo)系如圖,截面面積所以立體體積例6

垂直于

x

軸的截面為直角三角形,

32三、平面曲線(xiàn)弧長(zhǎng)并依次連接相鄰分點(diǎn)得一內(nèi)接折線(xiàn)，

則稱(chēng)此極限為曲線(xiàn)弧AB的弧長(zhǎng).此時(shí)稱(chēng)弧為可求長(zhǎng)的.33定理(弧長(zhǎng)公式)

證在第三章“導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用”中弧微分一節(jié)知,

即得證.

推論1

34推論2

證35解例1

36例2

解

例3

解

37例4

解

的弧長(zhǎng).

38練習(xí)：P279習(xí)題6-21.2.(1)(3)3.5.(1)(2)6.7.8.(1)12.13.14.15.(1)(3)18.20.22.26.28.30.39將彈簧一端固定,另一端從平衡位置拉長(zhǎng)s,問(wèn)克服彈性需做多少功？

第三節(jié)定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用如果是變力,

例1

解

勢(shì)能一、變力沿直線(xiàn)所作的功40例2

兩物體之間的萬(wàn)有引力為

地球?qū)Φ乇硗馕矬w的引力為

當(dāng)物體在地球表面時(shí),

把物體從A點(diǎn)提升到B點(diǎn),需克服引力做功

41如果要求物體飛離地球引力范圍,取發(fā)射時(shí)物體的動(dòng)能為

—稱(chēng)為第二宇宙速度.

42

一圓柱形蓄水池高為5米,底半徑為3米,池內(nèi)盛滿(mǎn)了水.問(wèn)要把池內(nèi)的水全部吸出,需作多少功？

建立坐標(biāo)系如圖,解例3

功元素注：若水不裝滿(mǎn),如何求？

43二、水壓力例4

解在端面建立坐標(biāo)系如圖,壓力元素端面上所受的壓力為

44水庫(kù)的閘門(mén)是等腰梯形,上底6米,下底4米,高10米,水面與上底齊平,求閘門(mén)所承受的壓力.

例5

解6m4mx01mx建立坐標(biāo)系如圖,細(xì)長(zhǎng)條長(zhǎng)度壓力元素45三、引力設(shè)有一長(zhǎng)度為l、線(xiàn)密度為ρ的均勻細(xì)直棒,在其中垂直線(xiàn)上距棒a處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M.求該棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力.

例6

解建立坐標(biāo)系如圖,46水平方向的分力元素由對(duì)稱(chēng)性知，引力在鉛直方向分力為47練習(xí)：P287習(xí)題6-33.5.第n次呢?6.8.9.11.12.48習(xí)題課49例1

解體積元素為y=f(x)y=g(x)abxx+dxy=mxyo所以所求旋轉(zhuǎn)體體積為50例2

解所圍成的圖形的面積.關(guān)于y積分較方便，51作草圖如下,化為極坐標(biāo)計(jì)算,例3

解52例4

解53導(dǎo)數(shù)左負(fù)右正，故為極小值點(diǎn)，又由唯一性知是最小值點(diǎn)，54例5

解法1旋轉(zhuǎn)體的體積為用直角坐標(biāo)，55例6

解法2參數(shù)化，56體積元素為例7

解57例8

解(Ⅱ91六9)

用“套筒法”：

本題：58解例9

59求心臟線(xiàn)r

=

a

(1+cos)

的全長(zhǎng).心臟線(xiàn)全長(zhǎng)對(duì)應(yīng)例10

解60

用鐵錘把釘子釘入木板，設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進(jìn)入木板的深度成正比，鐵錘在第一次錘擊時(shí)將鐵釘擊入1厘米，若每次錘擊所作的功相等，問(wèn)第n次錘擊時(shí)又將鐵釘擊入多少？解設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇榈谝淮五N擊時(shí)所作的功為P2875.設(shè)n次擊入的總深度為h厘米,所作的總功為例1161所以第n次擊入的深度為依題意知，每次錘擊所作的功相等,62例12

解建立坐標(biāo)系如圖，功元素為