第一章電磁輻射與材料結(jié)構(gòu)

1第一篇總論第一章電磁輻射與材料結(jié)構(gòu)Modernmaterialanalysismethods2第一節(jié)

電磁輻射與物質(zhì)波

一、電磁輻射與波粒二象性

二、電磁波譜

三、物質(zhì)波

Modernmaterialanalysismethods3一、電磁輻射與波粒二象性電磁輻射（也可稱為電磁波，有時(shí)也將部分譜域的電磁波泛稱為光）：在空間傳播的交變電磁場(chǎng)。根據(jù)量子理論，電磁波具有波粒二象性。波動(dòng)性：電磁波在空間的傳播遵循波動(dòng)方程。描述電磁波波動(dòng)性的主要物理參數(shù)有：波長(zhǎng)（）、波數(shù)（或K或

）、頻率（）及相位（）等。=c（光速）微粒性：電磁波是由光子所組成的光子流。描述電磁波微粒性的主要物理參數(shù)有：光子能量（E）和光子動(dòng)量（p）等

。

Modernmaterialanalysismethods4波動(dòng)性與微粒性的關(guān)系：E=h（=hc/）P=h/

等式左邊與右邊分別為表示電磁波微粒性與波動(dòng)性的參數(shù)波動(dòng)性的表現(xiàn)？

微粒性的表現(xiàn)？Modernmaterialanalysismethods5二、電磁波譜

將電磁波按波長(zhǎng)（或頻率）順序排列即構(gòu)成電磁波譜。

Modernmaterialanalysismethods6①長(zhǎng)波部分（低能部分），包括射頻波（無線電波）與微波，有時(shí)習(xí)慣上稱此部分為波譜。與物質(zhì)中間隔很小的能級(jí)躍遷相適應(yīng)。②中間部分，包括紫外線、可見光和紅外線（紅外光），統(tǒng)稱為光學(xué)光譜，一般所謂光譜僅指此部分而言。與原子或分子外層電子的能級(jí)躍遷相適應(yīng)。③短波部分（高能部分），包括X射線和射線（以及宇宙射線），此部分可稱射線譜。產(chǎn)生于原子內(nèi)層電子能級(jí)躍遷。Modernmaterialanalysismethods7三、物質(zhì)波

運(yùn)動(dòng)實(shí)物粒子也具有波粒二象性，稱為物質(zhì)波或德布羅意波，如電子波、中子波等。德布羅意關(guān)系式(=h/p)=h/mv

式中，p——運(yùn)動(dòng)實(shí)物粒子的動(dòng)量；m——質(zhì)量；v——速率。對(duì)于高速運(yùn)動(dòng)的粒子，m為相對(duì)論質(zhì)量，有

當(dāng)v<<c時(shí)，mm0。

透射電鏡和電子衍射是基于電子的波動(dòng)性而建立起來的。根據(jù)中子的波動(dòng)性建立了中子衍射。ModernmaterialanalysismethodsModernmaterialanalysismethods8電子波（運(yùn)動(dòng)電子束）波長(zhǎng)

將電子電荷e＝1.60×10-29C、電子質(zhì)mm0=9.11×10-31kg及h值代入上式，得

式中，以nm為單位，V以V單位。（未經(jīng)相對(duì)論校正）（經(jīng)相對(duì)論校正）9不同加速電壓下電子波的波長(zhǎng)（經(jīng)相對(duì)論校正）1nm=10?

Modernmaterialanalysismethods10第二節(jié)

材料結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)

一、原子能態(tài)及其表征

二、分子運(yùn)動(dòng)與能態(tài)

三、原子的磁矩和原子核自旋

四、固體的能帶結(jié)構(gòu)

五、晶體結(jié)構(gòu)

六、干涉指數(shù)

七、晶帶

Modernmaterialanalysismethods11一、原子能態(tài)及其表征1．原子結(jié)構(gòu)與電子量子數(shù)

2．原子能態(tài)與原子量子數(shù)

3．原子基態(tài)、激發(fā)、電離及能級(jí)躍遷

與原子光譜有關(guān)的結(jié)構(gòu)知識(shí)Modernmaterialanalysismethods121．原子結(jié)構(gòu)與電子量子數(shù)

原子由原子核和繞核運(yùn)動(dòng)的電子組成。一般近似認(rèn)為核外電子在各自的軌道上運(yùn)動(dòng)并用“電子（殼）層”形象化描述電子的分布狀況。

核外電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由n(主量子數(shù))、l(角量子數(shù))、m(磁量子數(shù))、s(自旋量子數(shù))和ms(自旋磁量子數(shù))表征。5個(gè)量子數(shù)也相應(yīng)表征了電子的能量狀態(tài)(能級(jí)結(jié)構(gòu))。

Modernmaterialanalysismethods13n、l、m對(duì)核外電子狀態(tài)的表征意義Modernmaterialanalysismethods14原子的電子能級(jí)示意圖Modernmaterialanalysismethods152．原子能態(tài)與原子量子數(shù)

多電子原子中，存在著電子與電子相互作用等復(fù)雜情況，量子理論將這些復(fù)雜作用分解為：軌道-軌道相互作用：各電子軌道角動(dòng)量之間的作用自旋-自旋相互作用：各電子自旋角動(dòng)量之間的作用自旋-軌道相互作用：指電子自旋角動(dòng)量與其軌道角動(dòng)量的作用（單電子原子中也存在此作用）并將軌道-軌道及自旋-自旋作用合稱為剩余相互作用，進(jìn)而通過對(duì)各角動(dòng)量進(jìn)行加和組合的過程（稱為偶合）獲得表征原子整體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與能態(tài)的原子量子數(shù)。

Modernmaterialanalysismethods16J-J偶合：當(dāng)剩余相互作用小于自旋-軌道相互作用時(shí)，先考慮后者的偶合（適用于重元素原子）。L-S偶合：當(dāng)剩余相互作用大于自旋-軌道相互作用時(shí)，先考慮前者的偶合[適用于輕元素和中等元素（Z<40）的原子]。

L-S偶合可記為（s1，s2，…）（l1，l2，…）=（S，L）=J

（1-9）此式表示將各電子自旋角動(dòng)量（

，，…）與各電子軌道角動(dòng)量（

，

，…）分別加和（矢量和），獲得原子的總自旋角動(dòng)量PS與總軌道角動(dòng)量PL，然后再由PS與PL合成總（自旋-軌道）角動(dòng)量PJ（即PJ=PS+PL）。

偶合方式Modernmaterialanalysismethods17按L-S偶合，得到S、L、J、MJ等表征原子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的原子量子數(shù)。S稱總自旋量子數(shù)，表征PS的大小。L稱總（軌道）角量子數(shù)，表征PL的大小。J稱內(nèi)量子數(shù)（或總量子數(shù)），表征PJ的大??；J為正整數(shù)或半整數(shù)，取值為：L+S，L+S-1，L+S-2，…，L-S，若L≥S，則J有2S+1個(gè)值，若L＜S，則J有2L+1個(gè)值。MJ稱總磁量子數(shù)，表征PJ沿外磁場(chǎng)方向分量的大小，MJ取值為：0，1，2，…，J（當(dāng)J為整數(shù)時(shí)）或1/2，3/2，…，J（當(dāng)J為半整數(shù)時(shí)）。

Modernmaterialanalysismethods18用n（主量子數(shù)）、S、L、J、MJ等量子數(shù)表征原子能態(tài)，則原子能級(jí)由符號(hào)nMLJ表示，稱為光譜項(xiàng)。符號(hào)中，對(duì)應(yīng)于L＝0，1，2，3，4…，常用大寫字母S、P、D、F、G等表示。

光譜支項(xiàng)

M表示光譜項(xiàng)多重性（稱譜線多重性符號(hào)），即表示M與L一定的光譜項(xiàng)可產(chǎn)生M個(gè)能量稍有不同的分裂能級(jí)（每一分裂能級(jí)稱為一個(gè)光譜支項(xiàng)），此種能級(jí)分裂取決于J，每一個(gè)光譜支項(xiàng)對(duì)應(yīng)于J的一個(gè)確定取值，而M則為J的可能取值的個(gè)數(shù),

即L≥S時(shí)，M=2S+1光譜項(xiàng)n（2s+1)LJ

L<S時(shí)，M=2L+1

光譜項(xiàng)n（2L+1)LJ

光譜項(xiàng)Modernmaterialanalysismethods1919

當(dāng)有外磁場(chǎng)存在時(shí)，光譜支項(xiàng)將進(jìn)一步分裂為能量差異更小的若干能級(jí)（此種現(xiàn)象稱塞曼分裂）。其分裂情況取決于MJ，每一分裂能級(jí)對(duì)應(yīng)于MJ的一個(gè)取值，分裂能級(jí)的個(gè)數(shù)則為MJ可能取值的個(gè)數(shù)。

塞曼分裂Modernmaterialanalysismethods20原子能級(jí)和能級(jí)圖原子能級(jí)用光譜項(xiàng)來表征例：鈉原子基態(tài)

32S1/2n2S+1LJn：主量子數(shù)光譜項(xiàng)符號(hào)：（L=0，S=+1/2或-1/2

）Modernmaterialanalysismethods21原子的電子排布中凡充滿殼層s2、p6、

d10、f14

等的總軌道角動(dòng)量量子數(shù)L、總自旋角動(dòng)量量子數(shù)S、總軌道磁量子數(shù)ML、總自旋磁量子數(shù)Ms都為零，發(fā)生躍遷的也往往是外層電子，所以，考慮光譜項(xiàng)時(shí)只需考慮開殼層上的電子。Modernmaterialanalysismethods22

L：總角量子數(shù),其數(shù)值為外層價(jià)電子角量子數(shù)l

的矢量和，即Lmax

=ΣliL的取值范圍：

0,1,2,3,…,Lmax相應(yīng)的符號(hào)為：S,P,D,F，…寫出外層電子排布，將l

加和。如：P3組態(tài)：

l1＝l2

＝l3＝1,

Lmax＝3可能的取值：0,1,2,3Modernmaterialanalysismethods23S：總自旋。其值為個(gè)別價(jià)電子自旋s(其值為)的矢量和。Smax

=ΣSi如：P3組態(tài)：

Smax＝3/2Modernmaterialanalysismethods24J：內(nèi)量子數(shù)。其值為各個(gè)價(jià)電子組合得到的總角量子數(shù)

L與總自旋S的矢量和。

若L≥S，則J有(2S+1)個(gè)值；

若L＜S，則J有(2L+1)個(gè)值。J的取值范圍：L+S,(L+S–1),(L+S–2),…,L-S

J的取值個(gè)數(shù)：Modernmaterialanalysismethods25(1)在不違反Pauli原理前提下，將電子填入軌道，首先使每個(gè)電子ms盡可能大，其次使m也盡可能大；

(2)求出所有電子的ms之和作為S，m之和作為L(zhǎng)；

(3)對(duì)少于半充滿者，取J=L-S；對(duì)多于半充滿者，取J=L+S.一種推求基譜項(xiàng)的簡(jiǎn)便方法210-1-2L-S=2d23F2Modernmaterialanalysismethods261s22s22p2

L-S=010-1C3P0[Ar]3d104s24p5

L+S=3/2Br10-12P3/2原子HNOFNe基譜支項(xiàng)

2S1/24S3/23P22P3/21S0Modernmaterialanalysismethods27譜線多重性符號(hào)：2S+1鈉原子由第一激發(fā)態(tài)向基態(tài)躍遷發(fā)射兩條譜線第一激發(fā)態(tài)光譜支項(xiàng)：32P1/2和32P3/2基態(tài)光譜項(xiàng)：32S1/2589.593nm

，588.996nmModernmaterialanalysismethods28某原子的一個(gè)光譜項(xiàng)為23PJ，即有n=2，L=1，設(shè)S=1，（故M=2S+1=3），則J=2，1，0。當(dāng)J＝2時(shí)，MJ=0，1，2；J=1時(shí)，MJ=0，1；J=0時(shí)，MJ＝0。23PJ光譜項(xiàng)及其分裂如圖1-2所示。

光譜項(xiàng)nMLJ

J為正整數(shù)或半整數(shù)，取值為：L+S，L+S-1，L+S-2，…，L-S，若L≥S，則J有2S+1個(gè)值，若L＜S，則J有2L+1個(gè)值。

對(duì)應(yīng)于L＝0，1，2，3，4…，常用大寫字母S、P、D、F、G等表示。

L≥S時(shí)，M=2S+1；L<S時(shí)，M=2L+1。

MJ取值為：0，1，2，…，J（當(dāng)J為整數(shù)時(shí)）或1/2，3/2，…，J（當(dāng)J為半整數(shù)時(shí)）。

Modernmaterialanalysismethods293.原子基態(tài)、激發(fā)、電離及能級(jí)躍遷

通常，原子核外電子遵從能量最低原理、包利（Pauli）不相容原理和洪特（Hund）規(guī)則，分布于各個(gè)能級(jí)上，此時(shí)原子處于能量最低狀態(tài)，稱之為基態(tài)。原子中的一個(gè)或幾個(gè)電子由基態(tài)所處能級(jí)躍遷到高能級(jí)上，這時(shí)的原子狀態(tài)稱激發(fā)態(tài)，是高能態(tài)；而原子由基態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榧ぐl(fā)態(tài)的過程稱為激發(fā)。激發(fā)需要能量，此能量稱為激發(fā)能，常以電子伏特（eV）表示，稱為激發(fā)電位。激發(fā)能的大小應(yīng)等于電子被激發(fā)后所處（高）能級(jí)與激發(fā)前所處能級(jí)（能量）之差。復(fù)習(xí)并掌握這些基本概念的含義。Modernmaterialanalysismethods30原子激發(fā)態(tài)是不穩(wěn)定態(tài)，大約只能存在10-8s~10-10s，電子將隨即返回基態(tài)。原子中電子受激向高能級(jí)躍遷或由高能級(jí)向低能級(jí)躍遷均稱為電子躍遷或能級(jí)躍遷。電子由高能級(jí)向低能級(jí)的躍遷可分為兩種方式：輻射躍遷和無輻射躍遷

躍遷過程中多余的能量即躍遷前后能量差以電磁輻射的方式放出，稱之為輻射躍遷；若多余的能量轉(zhuǎn)化為熱能等形式，則稱之為無輻射躍遷。Modernmaterialanalysismethods31原子中的電子獲得足夠的能量就會(huì)脫離原子核的束縛，產(chǎn)生電離。使原子電離所需的能量稱之為電離能，常以電子伏特表示，稱為電離電位。原子失去一個(gè)電子，稱為一次電離。再次電離使原子再失去一個(gè)電子，稱為二次電離。三次電離等依次類推。

Modernmaterialanalysismethods32二、分子運(yùn)動(dòng)與能態(tài)

1.分子總能量與能級(jí)結(jié)構(gòu)

2.分子軌道與電子能級(jí)

3.分子的振動(dòng)與振動(dòng)能級(jí)與分子光譜有關(guān)的結(jié)構(gòu)知識(shí)Modernmaterialanalysismethods331.分子總能量與能級(jí)結(jié)構(gòu)

一般可近似認(rèn)為，分子總能量（E）：

E=Ee+Ev+Er

（1-10）

Ee——電子運(yùn)動(dòng)能（主要指核外電子）

Ev——分子振動(dòng)能

Er——分子轉(zhuǎn)動(dòng)能一個(gè)分子的能量，作為一級(jí)近似，可以看作由幾個(gè)具有加和性的量子化成分組成：分子的平移運(yùn)動(dòng)能、分子轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)能、組成分子的原子或離子的振動(dòng)能、分子中電子的運(yùn)動(dòng)能和核運(yùn)動(dòng)能。即：E=E0＋E平＋E轉(zhuǎn)＋E振＋E電＋E核

E0為基態(tài)能

分子是由原子組成的。分子的運(yùn)動(dòng)及相應(yīng)能態(tài)遠(yuǎn)比原子復(fù)雜。Modernmaterialanalysismethods34（雙原子）分子能級(jí)（結(jié)構(gòu)）示意圖A、B-電子能級(jí)V、V-振動(dòng)能級(jí)J、J-轉(zhuǎn)動(dòng)能級(jí)對(duì)應(yīng)于紫外可見區(qū)域紫外可見吸收光譜紅外區(qū)域紅外光譜拉曼光譜Modernmaterialanalysismethods352.分子軌道與電子能級(jí)

分子軌道理論分子軌道可近似用原子軌道的線性組合表示。分子軌道可分為：成鍵軌道：自旋反向的未成對(duì)電子配對(duì)形成，比參與組合的原子軌道能量低反鍵軌道：自旋同向的未成對(duì)電子配對(duì)形成，比參與組合的原子軌道能量高根據(jù)分子軌道沿鍵軸的分布特點(diǎn)（由形成分子軌道的原子軌道重疊方式所決定），將其分為軌道（軌道上相應(yīng)的電子及成鍵作用稱電子與鍵）和軌道（相應(yīng)的電子與鍵）等。

Modernmaterialanalysismethods36電子的分子軌道運(yùn)動(dòng)能量與參與組合的原子軌道能量及它們的重疊程度有關(guān)。

分子中的電子在其電子能級(jí)中的分布也遵從能量最低原理與泡利不相容原理。

O2分子電子能級(jí)示意圖帶“*”者為反鍵軌道(如2s*)無“*”者為成健軌道(如2s)氧原子基態(tài)核外電子排布(1s)2(2s)2(2p)6(3s)2(3p)4Modernmaterialanalysismethods373.分子的振動(dòng)與振動(dòng)能級(jí)

（1）雙原子分子的振動(dòng)

（2）多原子分子的振動(dòng)

Modernmaterialanalysismethods38（1）雙原子分子的振動(dòng)

分子振動(dòng)：分子中原子（或原子團(tuán)）以平衡位置為中心的相對(duì)（往復(fù)）運(yùn)動(dòng)。雙原子分子的振動(dòng)模型：彈簧諧振子模型

虎克定律：

（1-11）

——諧振子振動(dòng)頻率

K——彈簧力常數(shù)（化學(xué)鍵力常數(shù)）

——小球折合質(zhì)量（原子折合質(zhì)量

）

（1-12）

Modernmaterialanalysismethods39分子振動(dòng)與彈簧諧振子的不同之處在于：振動(dòng)能量是量子化的。按量子理論的推導(dǎo)，有

（1-13）

Ev——分子振動(dòng)能；

V——振動(dòng)量子數(shù)，V可取值0，1，2，…；

h——普朗克常數(shù)。

紅外光譜圖上有時(shí)除有基頻吸收帶之外，還可能出現(xiàn)倍頻、組合頻等吸收帶。Modernmaterialanalysismethods4040

（2）多原子分子的振動(dòng)

多原子分子振動(dòng)比雙原子分子復(fù)雜。

多原子分子振動(dòng)可分為兩大類：伸縮振動(dòng)：原子沿鍵軸方向的周期性（往復(fù)）運(yùn)動(dòng)；振動(dòng)時(shí)鍵長(zhǎng)變化而鍵角不變。（雙原子振動(dòng)即為伸縮振動(dòng)）變形振動(dòng)又稱變角振動(dòng)或彎曲振動(dòng)：基團(tuán)鍵角發(fā)生周期性變化而鍵長(zhǎng)不變的振動(dòng)。分子振動(dòng)類型Modernmaterialanalysismethods41分子振動(dòng)類型示例——亞甲基的各種振動(dòng)“+”表示垂直紙面向里運(yùn)動(dòng)；“-”表示垂直紙面向外運(yùn)動(dòng)分子振動(dòng)類型示例——水分子的振動(dòng)及紅外吸收Modernmaterialanalysismethods42三、原子的磁矩和原子核自旋

1.原子的磁矩

2.原子核自旋與核磁矩

與核磁共振和電子自旋共振譜有關(guān)的結(jié)構(gòu)知識(shí)Modernmaterialanalysismethods431.原子的磁矩

（1）原子的軌道磁矩

（2）電子的自旋磁矩

（3）單電子原子內(nèi)量子數(shù)與磁矩

（4）多電子原子的磁矩

Modernmaterialanalysismethods44（1）原子的軌道磁矩原子中電子繞核旋轉(zhuǎn)的軌道運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生軌道磁矩。原子（中電子）軌道磁矩(l)與軌道角動(dòng)量(Pl)的關(guān)系為

l=-Pl

（1-14）

式中：——軌道運(yùn)動(dòng)磁旋比，有些書上叫旋磁比

e為電子電荷，me為電子質(zhì)量有時(shí)將式（1-14）改寫為

（1-15）

式中：?——常數(shù)；?=h/2，h為普朗克常數(shù)；e——玻爾（Bohr）磁子，磁矩的自然單位，

（或J/T）

朗德

ge——電子軌道運(yùn)動(dòng)g因子，ge=1。Modernmaterialanalysismethods45角量子數(shù)l表征Pl的大小，按量子理論，有

（1-16）

故由（1-15）式有

（1-17）

l在外磁場(chǎng)方向分量的大小（lz）由磁量子數(shù)m決定，有

（1-18）

Modernmaterialanalysismethods46（2）電子的自旋磁矩電子自旋運(yùn)動(dòng)也產(chǎn)生磁矩。電子自旋磁矩（s）與自旋角動(dòng)量（Ps）的關(guān)系為

（1-19）

或

（1-20）

式中：s——自旋運(yùn)動(dòng)磁旋比；

gs——電子自旋運(yùn)動(dòng)g因子（電子自旋因子），gs=2.00232。

s的大小由自旋量子數(shù)s決定（1-21）

s在外磁場(chǎng)方向的分量由自旋磁量子數(shù)ms決定，有

（1-22）

Modernmaterialanalysismethods47（3）單電子原子內(nèi)量子數(shù)與磁矩

單電子原子中也存在著電子自旋-軌道相互作用（當(dāng)用n、l、m、s、ms共同表征單電子原子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)忽略了此作用）。按量子理論，通過對(duì)Ps與Pl偶合并引入量子數(shù)j表征此作用，有

Pj=Ps+Pl

（1-23）

（1-24）

式中：Pj——總角動(dòng)量；

j——內(nèi)量子數(shù)，表征Pj

的大小，j取值為l+s和l-s，自旋量子數(shù)s=1/2。

Modernmaterialanalysismethods48單電子原子中有l(wèi)、s和I（原子核磁矩）。由于I

與l和s相比，數(shù)值小3個(gè)數(shù)量級(jí)，故可近似認(rèn)為單電子原子總磁矩j由l與s合成。j與總角動(dòng)量Pj的關(guān)系為

（1-25）式中：g——單電子原子磁矩因子。

Modernmaterialanalysismethods49（4）多電子原子的磁矩

多電子原子的磁矩J由原子內(nèi)各電子的軌道磁矩和各電子的自旋磁矩合成（矢量和）而來，有

（1-26）式中：PJ——總(軌道-自旋)角動(dòng)量，PJ=PS+PL；

g——多電子原子磁矩因子。

J的大小由內(nèi)量子數(shù)J決定，有

（1-27）

J在外磁場(chǎng)方向的分量由總磁量子數(shù)MJ決定，有

（1-28）

Modernmaterialanalysismethods50若存在外磁場(chǎng)B(T,特斯拉)，則J與B發(fā)生相互作用，按經(jīng)典電磁理論，相互作用能

（1-29）

將式（1-28）代入上式，得

（1-30）

E（MJ）是原子受外磁場(chǎng)作用而附加的能量，且其值因MJ取值不同而不同。由此可知，J值一定的能級(jí)（光譜支項(xiàng)），在有外磁場(chǎng)作用時(shí)將發(fā)生能級(jí)分裂，分裂能級(jí)個(gè)數(shù)為MJ可能取值的個(gè)數(shù)，此即為前面提及的賽曼分裂。

Modernmaterialanalysismethods512.原子核自旋與核磁矩

（1）原子核自旋

（2）核磁矩

Modernmaterialanalysismethods52（1）原子核自旋

原子核由質(zhì)子和中子組成，質(zhì)子和中子在核中既有軌道運(yùn)動(dòng)又有自旋運(yùn)動(dòng)并有很強(qiáng)的自旋-軌道相互作用。整個(gè)原子核的總角動(dòng)量（PI）稱為核自旋。PI的大小由核自旋量子數(shù)I表征，有

（1-31）

I可取值0，1/2，1，3/2，…。顯然，I=0時(shí)PI=0，即原子核無自旋現(xiàn)象；只有I＞0才有核自旋。實(shí)驗(yàn)證明，I與原子核質(zhì)量數(shù)（A）及原子序數(shù)（Z）有關(guān)。

Modernmaterialanalysismethods53（1-32）

核自旋量子數(shù)與原子的質(zhì)量數(shù)及原子序數(shù)的關(guān)系PI在外磁場(chǎng)的分量大?。≒Iz）由核自旋磁量子數(shù)mI決定，mI的可能取值為I，I-1，…，-I。有

Modernmaterialanalysismethods54（2）核磁矩核自旋產(chǎn)生核磁矩（I）。與電子磁矩類似，I與PI的關(guān)系為

（1-33）

式中：I——核磁旋比。

常采用g因子表達(dá)的形式，有

（1-34）

式中：gI——核自旋運(yùn)動(dòng)g因子，其值由實(shí)驗(yàn)測(cè)定；

I——核磁子，核磁矩的自然單位，

I=5.051×10-27Am2（或J／T）（比e小3個(gè)數(shù)量級(jí)）。

Modernmaterialanalysismethods55I的大小與核自旋量子數(shù)I有關(guān)，有

（1-35）

I在外磁場(chǎng)方向的分量大小由mI決定，有

（1-36）

當(dāng)mI=I時(shí)，mIz值最大，常以此值表示核磁矩的大小，一般文獻(xiàn)中所列核磁矩（）均為此值（并以I為單位），即

（1-37）

Modernmaterialanalysismethods56四、固體的能帶結(jié)構(gòu)

1.能帶的形成

2.能帶結(jié)構(gòu)的基本類型及相關(guān)概念

與電子能譜有關(guān)的結(jié)構(gòu)知識(shí)Modernmaterialanalysismethods57固體能帶結(jié)構(gòu)的基本類型（示意圖）（a）絕緣體

（b）本征半導(dǎo)體

（c）導(dǎo)體

（d）導(dǎo)體Modernmaterialanalysismethods581.能帶的形成孤立單原子中的電子處于不同的能級(jí)。Mg1s2s2p3s3pMg空帶價(jià)帶電子共有化

當(dāng)原子間有相互作用時(shí),電子共有化.根據(jù)泡利不相容原理，須使原先每個(gè)原子中具有相同能級(jí)的電子能級(jí)分裂,才能再填充電子.Modernmaterialanalysismethods59

若有N個(gè)原子組成一體，對(duì)于原來孤立原子的一個(gè)能級(jí)，就分裂成N條靠得很近的能級(jí)，稱為能帶能級(jí)能帶能帶的一般規(guī)律：原子間距越小，能帶越寬，E越大。越是外層電子，能帶越寬，E越大。兩個(gè)能帶有可能重疊。離子間距r1r21S2S2PModernmaterialanalysismethods60電子在能帶中的分布電子是費(fèi)密子，它的排布原則有以下兩條：

(1)服從泡里不相容原理

(2)服從能量最小原理原子能級(jí)l最多能容納

2(2l+1)個(gè)電子．1s2s2p3s3pMg(Z=12)原子晶體Mg(N個(gè)原子)6N2N2N2N6N固體能帶最多能容納

2Ｎ(2l+1)

個(gè)電子．Modernmaterialanalysismethods612.能帶結(jié)構(gòu)的基本類型及相關(guān)概念

禁帶

能隙

價(jià)帶

導(dǎo)帶滿帶空帶絕對(duì)零度時(shí)固體中電子占據(jù)的最高能級(jí)稱為費(fèi)米能級(jí)，其能量稱費(fèi)米能（EF）。

復(fù)習(xí)并掌握這些基本概念Modernmaterialanalysismethods62滿帶：各能級(jí)都被電子填滿的能帶。

滿帶E價(jià)帶：與價(jià)電子能級(jí)相應(yīng)的能帶。價(jià)帶能量最高可能被填滿，也可不滿。價(jià)帶空帶：沒有電子占據(jù)的能帶?？諑Ы麕В翰槐辉试S填充電子的能區(qū)。禁帶禁帶滿帶中電子不參與導(dǎo)電過程。電子交換能態(tài)并不改變能量狀態(tài)，所以滿帶不導(dǎo)電。Modernmaterialanalysismethods63導(dǎo)帶：不滿帶或滿帶以上最低的空帶導(dǎo)帶價(jià)帶不滿帶滿帶空帶價(jià)帶導(dǎo)帶Modernmaterialanalysismethods64三、導(dǎo)體和絕緣體固體按導(dǎo)電性能的高低可以分為導(dǎo)體、半導(dǎo)體、絕緣體1.導(dǎo)體的能帶結(jié)構(gòu)價(jià)帶導(dǎo)帶某些一價(jià)金屬，如:Li…空帶滿帶價(jià)帶空帶某些二價(jià)金屬，如:Be,Ca,Ba…空帶如:Na,K,Cu,Al,Ag…價(jià)帶導(dǎo)帶Modernmaterialanalysismethods65

從能級(jí)圖上來看:導(dǎo)體中共有化電子很易從低能級(jí)躍遷到高能級(jí)上去．在外電場(chǎng)的作用下，大量共有化電子很易獲得能量，集體定向流動(dòng)形成電流．2.絕緣體的能帶結(jié)構(gòu)

從能級(jí)圖上來看：滿帶與空帶之間有一個(gè)較寬的禁帶，共有化電子很難從低能級(jí)(滿帶)躍遷到高能級(jí)(空帶)上去．價(jià)帶空帶ΔEg=3～6eV

當(dāng)外電場(chǎng)足夠強(qiáng)時(shí)，絕緣體被擊穿。Modernmaterialanalysismethods66四、半導(dǎo)體1.本征半導(dǎo)體是指純凈的半導(dǎo)體。導(dǎo)電性能在導(dǎo)體與絕緣體之間。(1)本征半導(dǎo)體的能帶結(jié)構(gòu)對(duì)半導(dǎo)體，價(jià)帶通常是滿帶。價(jià)帶空帶ΔEg=0.1～2eV

半導(dǎo)體的禁帶寬度△Eg

很窄,

所以加熱、光照、加電場(chǎng)都能把電子從滿帶激到發(fā)空帶中去。Modernmaterialanalysismethods67(2)兩種導(dǎo)電機(jī)構(gòu)

滿帶上的一個(gè)電子躍遷到空帶后，滿帶中出現(xiàn)一個(gè)帶正電的空位，稱為“空穴”。

空帶滿帶Eg

電子和空穴總是成對(duì)出現(xiàn)的。電子和空穴叫本征載流子，它們形成半導(dǎo)體的本征導(dǎo)電性。

在外電場(chǎng)作用下，電子可以躍遷到空穴上來，這相當(dāng)于空穴反向躍遷?？昭ㄜS遷也形成電流，這稱為空穴導(dǎo)電。Modernmaterialanalysismethods682.雜質(zhì)半導(dǎo)體(1)n型半導(dǎo)體

四價(jià)的本征半導(dǎo)體(Si、Ge等)，摻入少量五價(jià)的雜質(zhì)元素（如P、As等）形成電子型半導(dǎo)體,稱n型半導(dǎo)體．SiSiSiSiSiSiSiP+e-Modernmaterialanalysismethods69

量子力學(xué)表明，這種摻雜后多余的電子的能級(jí)在禁帶中緊靠空帶處,

ED～10-2eV，極易形成電子導(dǎo)電,該能級(jí)稱為施主(donor)

能級(jí)．滿帶空帶ΔEgED施主能級(jí)在n型半導(dǎo)體中:

電子…多數(shù)載流子空穴…少數(shù)載流子Modernmaterialanalysismethods70(2)ｐ型半導(dǎo)體

四價(jià)的本征半導(dǎo)體(Si、Ｇe等)，摻入少量三價(jià)的雜質(zhì)元素（如Ｂ、Ga、Ｉn等）形成空穴型半導(dǎo)體，稱p型半導(dǎo)體．SiSiSiSiSiSiSiB-e+Modernmaterialanalysismethods71

量子力學(xué)表明，這種摻雜后多余的空穴的能級(jí)在禁帶中緊靠滿帶處，ED～10-2eV，極易產(chǎn)生空穴導(dǎo)電，該能級(jí)稱受主(acceptor)能級(jí)．EA受主能級(jí)滿帶空帶ΔEg在p型半導(dǎo)體中空穴…多數(shù)載流子電子…少數(shù)載流子Modernmaterialanalysismethods723.Ｐ-Ｎ結(jié)(1)Ｐ-Ｎ結(jié)的形成n型p型

電子和空穴擴(kuò)散在p型和n型半導(dǎo)體的交界面附近產(chǎn)生了一個(gè)電場(chǎng),稱為內(nèi)建場(chǎng)。

內(nèi)建場(chǎng)大到一定程度，不再有凈電荷的流動(dòng)及電子和空穴進(jìn)一步擴(kuò)散，達(dá)到了新的平衡。P-N結(jié)

在ｐ型n型交界面附近形成的這種特殊結(jié)構(gòu)稱為P-N結(jié)。Modernmaterialanalysismethods73例:試從絕緣體與半導(dǎo)體的能帶結(jié)構(gòu)，分析它們的導(dǎo)電性能的區(qū)別．

答:

絕緣體的價(jià)帶已被填滿而它上面的禁帶寬度又較寬，采用一般熱激發(fā)，光照或外加不太強(qiáng)的電場(chǎng)時(shí)，滿帶中的電子很少被激發(fā)到導(dǎo)帶中去，因此絕緣體的導(dǎo)電性能很差.

半導(dǎo)體的價(jià)帶也是滿帶但它上面的禁帶寬度較窄，用不大的激發(fā)能量(熱、光或電場(chǎng))就可以把價(jià)帶中的電子激發(fā)到導(dǎo)帶中去，并在價(jià)帶中留下空穴，在外電場(chǎng)作用下，電子和空穴都能參與導(dǎo)電，因此半導(dǎo)體的導(dǎo)電性能較好．Modernmaterialanalysismethods74

例:試根據(jù)固體能帶理論，說明金屬導(dǎo)體為何具有良好的導(dǎo)電性能．答:

根據(jù)固體能帶理論，導(dǎo)體中:

或是價(jià)帶未被電子填滿，或是滿帶與空帶重疊，或是未滿的價(jià)帶又與空帶重疊．因此，在外電場(chǎng)作用下，未滿能帶中能量較高的電子不需要越過禁帶就很容易受到加速增加動(dòng)能躍遷到能量較大的空能級(jí)，從而參與導(dǎo)電，形成導(dǎo)體中的電子電流．所以，導(dǎo)體具有良好的電子導(dǎo)電性．Modernmaterialanalysismethods75第三節(jié)材料結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)（二）1.晶體結(jié)構(gòu)

2.倒異點(diǎn)陣

3.晶帶

Modernmaterialanalysismethods76晶體：物質(zhì)點(diǎn)（原子、離子、分子）在空間周期排列構(gòu)成固體物質(zhì)。一、晶體結(jié)構(gòu)空間點(diǎn)陣：為了描述組成它的原子的排列規(guī)則，將每一個(gè)原子抽象視為一個(gè)幾何點(diǎn)（稱為陣點(diǎn)），并得到一個(gè)按一定規(guī)則排列分布的無數(shù)多個(gè)陣點(diǎn)組成的空間陣列，稱為空間點(diǎn)陣或晶體點(diǎn)陣，簡(jiǎn)稱點(diǎn)陣。1、空間點(diǎn)陣的概念Modernmaterialanalysismethods77

周期性和對(duì)稱性是晶體中原子規(guī)則排列的基本特征。在點(diǎn)陣中選擇一個(gè)由陣點(diǎn)連接而成的幾何圖形（一般為平行四面體）作為點(diǎn)陣的基本單元來表達(dá)晶體結(jié)構(gòu)的周期性，稱為陣胞（或晶胞）2、陣胞與點(diǎn)陣類型為構(gòu)成點(diǎn)陣，必須滿足兩個(gè)條件：（1）點(diǎn)數(shù)無限多；（2）各點(diǎn)所處的環(huán)境完全相同。Modernmaterialanalysismethods78換言之：晶體結(jié)構(gòu)=空間點(diǎn)陣+結(jié)構(gòu)基元空間點(diǎn)陣僅是晶體結(jié)構(gòu)的幾何抽象，只表示結(jié)構(gòu)基元在空間的分布，無物質(zhì)內(nèi)容。點(diǎn)陣中每一點(diǎn)陣點(diǎn)對(duì)應(yīng)著點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)中的一個(gè)結(jié)構(gòu)基元，在晶體中則是一些組成晶體的實(shí)物微粒，即原子分子或離子等，或是這些微粒的集團(tuán)；空間點(diǎn)陣中的基本單位是一個(gè)個(gè)小的平行六面體，在點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)中就是把每個(gè)點(diǎn)陣點(diǎn)恢復(fù)了它代表的結(jié)構(gòu)基元后的實(shí)體單位，在晶體中即為晶胞。Modernmaterialanalysismethods79一個(gè)結(jié)點(diǎn)在空間三個(gè)方向上，以a,b,c重復(fù)出現(xiàn)即可建立空間點(diǎn)陣。重復(fù)周期的矢量a,b,c稱為點(diǎn)陣的基本矢量。由基本矢量構(gòu)成的平行六面體稱為點(diǎn)陣的單位晶胞。Modernmaterialanalysismethods80

若以陣胞任一陣點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿交于此點(diǎn)的三個(gè)棱邊延伸為坐標(biāo)軸（稱為晶軸）x，y，z且分別以a，b，c為相應(yīng)坐標(biāo)軸單位矢量，則點(diǎn)陣中任意陣點(diǎn)位置都可以表達(dá)為（陣點(diǎn)矢量坐標(biāo)表達(dá)式）

式中rxyz-----原點(diǎn)與任一陣點(diǎn)（坐標(biāo)x，y，z）的連接矢量。Modernmaterialanalysismethods81點(diǎn)陣劃分為晶格可以有不同的方法。Modernmaterialanalysismethods821.所選擇的平行六面體的特性應(yīng)符合整個(gè)空間點(diǎn)陣的特征，并應(yīng)具有盡可能多的相等棱和相等角。2.平行六面體中各棱之間應(yīng)有盡可能多的直角關(guān)系。3.在滿足1,2時(shí),平行六面體的體積應(yīng)最小。根據(jù)上述原則，證明僅存在14種不同的晶格（或點(diǎn)陣），稱做布拉維點(diǎn)陣，按對(duì)稱性可分為7個(gè)晶系。布拉維（Bravais）規(guī)則Modernmaterialanalysismethods83七個(gè)晶系的晶格參數(shù)a=b=c,a=b=g=90a=bc,a=b=g=90abc,a=b=g=90a=b=c,a=b=g

90a=bc,a=b=90,g=120abc,b=g=90

aabc,a

b

g

90立方六方四方三方斜方單斜三斜Modernmaterialanalysismethods84Modernmaterialanalysismethods85Modernmaterialanalysismethods864、晶向指數(shù)和晶面指數(shù)晶向：連接晶體中任意原子列的直線。晶面：穿過晶體的原子面（平面）。國(guó)際上通用米勒指數(shù)標(biāo)定晶向和晶面。Modernmaterialanalysismethods87求法：1）

確定坐標(biāo)系，以任一陣點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以晶軸為坐標(biāo)軸，并以點(diǎn)陣基矢a，b，c分別為相應(yīng)坐標(biāo)軸單位矢量；2）

過坐標(biāo)原點(diǎn)，作直線與待求晶向平行；3）

在該直線上任取一點(diǎn)，并確定該點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y，z）；4）將此值化成最小整數(shù)u，v，w，并加以方括號(hào)[uvw]，型如[uvw]。坐標(biāo)為負(fù)時(shí)，則在相應(yīng)指數(shù)上加“-”，例如。（1）晶向指數(shù)（Orientationindex）Modernmaterialanalysismethods88例1、已知某過原點(diǎn)晶向上一點(diǎn)的坐標(biāo)為1、1.5、2，求該直線的晶向指數(shù)。將三坐標(biāo)值化為最小整數(shù)加方括弧得[234]。例2、已知晶向指數(shù)為[110],

畫出該晶向。找出1、1、0坐標(biāo)點(diǎn),連接原點(diǎn)與該點(diǎn)的直線即所求晶向。[110][234]Modernmaterialanalysismethods89原子排列情況相同但空間方位不同，其晶向指數(shù)相同，稱為晶向組；即同一[uvw]表示的不僅是一個(gè)晶向，而是同一晶向組內(nèi)的所有晶向。將晶體中方位不同但原子排列狀況相同的所有晶向組合稱為一個(gè)晶向族，用<uvw>表示。Modernmaterialanalysismethods90求法：1）

在所求晶面外取晶胞的某一頂點(diǎn)為原點(diǎn)O，三棱邊為三坐標(biāo)軸x，y，z2）

以棱邊長(zhǎng)a為單位，量出待定晶面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距；3）

取截距之倒數(shù)，并化為最小整數(shù)h，k，l并加以圓括號(hào)（hkl）即是。（2）晶面指數(shù)（Orientationindex）Modernmaterialanalysismethods91A：第一步：確定交點(diǎn)的坐標(biāo)：

x軸：1,y軸：1/2,z軸：1/3第二步：取倒數(shù)：1，2，3第三步：消除分?jǐn)?shù)。因無分?jǐn)?shù)，直接進(jìn)入下一步。第四步：加圓括號(hào)，不加逗號(hào)，得到：(123)B：第一步：確定交點(diǎn)的坐標(biāo)：

x軸：1,y軸：2/3,z軸：2/3第二步：取倒數(shù)：1，3/2，3/2第三步：消除分?jǐn)?shù)：12=23/22=33/22=3

第四步：加圓括號(hào)，不加逗號(hào)，得到：(233)A1,0,00,0,10,1,0B例0,,00,,10,0,0,0,Modernmaterialanalysismethods92--③晶向具有方向性，如[110]與[110]方向相反。XZY(221)[221][110][110]說明：①在立方晶系中，指數(shù)相同的晶面與晶向相互垂直。②遇到負(fù)指數(shù)，“-”號(hào)放在該指數(shù)的上方。Modernmaterialanalysismethods93晶面族{hkl}：晶體內(nèi)晶面間距和晶面上原子的分布完全相同，只是空間位向不同的晶面。Modernmaterialanalysismethods94(312)常見晶面的Miller指數(shù)(211)Modernmaterialanalysismethods95(100)(001)(001)(111)(110)常見晶面的Miller指數(shù)Modernmaterialanalysismethods96(100)a/2a/4(200)(400)原點(diǎn)110220440原點(diǎn)Modernmaterialanalysismethods971.h,k,l三個(gè)數(shù)分別對(duì)應(yīng)于a,b,c三晶軸方向。2.其中某一數(shù)為“0”，表示晶面與相應(yīng)的晶軸平行，例如(hk0)晶面平行于c軸；(h00)平行于b,c軸。3.(hkl）中括號(hào)代表一組互相平行、面間距相等的晶面。

4.晶面指數(shù)不允許有公約數(shù)，即hkl三個(gè)數(shù)互質(zhì)。5.若某晶面與晶軸相截在負(fù)方向，則相應(yīng)指數(shù)上加一橫。對(duì)晶面指數(shù)的說明Modernmaterialanalysismethods98acb（3）六方晶系晶向指數(shù)與晶面指數(shù)Modernmaterialanalysismethods99三坐標(biāo)系四軸坐標(biāo)系a1，a2，ca1，a2，a3，c120°

120°

120°

Modernmaterialanalysismethods100六方晶系中任一晶向可表示為已知Modernmaterialanalysismethods101或例如Modernmaterialanalysismethods1025.干涉指數(shù)

若僅考慮晶面的空間方位，則A1，B1，A2，B2，…與A1，A2，A3，…一樣，均以晶面指數(shù)（010）標(biāo)識(shí)，但若進(jìn)一步考慮二者晶面間距之不同，則可分別用（010）和（020）標(biāo)識(shí)，此即為干涉指數(shù)。

（010）與（020）面（干涉指數(shù)引例）Modernmaterialanalysismethods103干涉指數(shù)是對(duì)晶面空間方位與晶面間距的標(biāo)識(shí)。（晶面指數(shù)只標(biāo)識(shí)晶面的空間方位。）

干涉指數(shù)與晶面指數(shù)的關(guān)系：若將（hkl）晶面間距記為dhkl，則晶面間距為dhkl／n（n為正整數(shù)）的晶面干涉指數(shù)為（nh

nk

nl），記為（HKL），dhkl／n則記為dHKL。例如晶面間距分別為d110／2，d110/3的晶面，其干涉指數(shù)分別為（220）和（330）。干涉指數(shù)表示的晶面并不一定是晶體中的真實(shí)原子面，即干涉指數(shù)表示的晶面上不一定有原子分布。

Modernmaterialanalysismethods104

在晶體對(duì)入射波發(fā)生衍射的時(shí)候，衍射圖譜、衍射波的波矢量、產(chǎn)生衍射的晶面三者之間存在嚴(yán)格的對(duì)應(yīng)關(guān)系。例如在電子衍射花樣中，每一個(gè)衍射斑點(diǎn)是由一支衍射波造成的，而該衍射波是一組特定取向的晶面對(duì)入射波衍射的結(jié)果，反映該組晶面的取向和面間距。二、倒易點(diǎn)陣

Modernmaterialanalysismethods105為了研究衍射波的特性，1921年德國(guó)物理學(xué)家厄瓦爾德(P．P．Ewald)引入了倒易點(diǎn)陣的概念。倒易點(diǎn)陣是相對(duì)于正空間中的晶體點(diǎn)陣而言的，它是衍射波的方向與強(qiáng)度在空間的分布。由于衍射波是由正空間中的晶體點(diǎn)陣與入射波作用形成的，正空間中的一組平行晶面就可以用倒空間中的一個(gè)矢量或陣點(diǎn)來表示。用倒易點(diǎn)陣處理衍射問題時(shí)，能使幾何概念更清楚，數(shù)學(xué)推理簡(jiǎn)化。可以簡(jiǎn)單地想象，每一幅單晶的衍射花樣就是倒易點(diǎn)陣在該花樣平面上的投影。Modernmaterialanalysismethods1061.倒易點(diǎn)陣的定義

倒易點(diǎn)陣是由晶體點(diǎn)陣按照一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系建立的空間（幾何）點(diǎn)（的）陣（列），此對(duì)應(yīng)關(guān)系可稱為倒易變換。

定義：對(duì)于一個(gè)由點(diǎn)陣基矢ai（i=1，2，3，應(yīng)用中常記為a、b、c）定義的點(diǎn)陣（可稱正點(diǎn)陣），若有另一個(gè)由點(diǎn)陣基矢a*j（j=1，2，3，可記為a*，b*，c*）定義的點(diǎn)陣，滿足

（1-41）則稱由a*j定義的點(diǎn)陣為ai定義的點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣。

Modernmaterialanalysismethods107多數(shù)情況下取K=1，有時(shí)取K=（入射波長(zhǎng)）或K=2。

將其分項(xiàng)寫出，有

（1-42）

Modernmaterialanalysismethods1082.倒易點(diǎn)陣基矢表達(dá)式

由式（1-42）可導(dǎo)出由ai（i=1，2，3）表達(dá)a*j（j=1，2，3）的關(guān)系式，即

a*1=(a2×a3)/[a1·(a2×a3)]=(a2×a3)/Va*2=(a3×a1)/[a2·(a3×a1)]=(a3×a1)/V

a*3=(a1×a2)/[a3·(a1×a2)]=(a1×a2)/V(1-43)

式中：V——陣胞（a1、a2、a3構(gòu)成之平行六面體）體積，按矢量混合積幾何意義，V=a1(a2×a3)。

Modernmaterialanalysismethods109

倒易點(diǎn)陣參數(shù)及*（a*2與a*3夾角）、*（a*3與a*1夾角）和*（a*1與a*2夾角）由正點(diǎn)陣參數(shù)表達(dá)為

a*1=(a2a3sin)/V

a*2=(a3a1sin)/V

a*3=(a1a2sin)/V

cos*[=(a*2·a*3)/a*2a*3]=(coscos-cos)/sinsin

cos*[=(a*3·a*1)/a*3a*1]=(coscos-cos)/sinsin

cos*[=(a*1·a*2)/a*1a*2]=(coscos-cos)/sinsin

（1-44）

Modernmaterialanalysismethods110

按正點(diǎn)陣與倒易點(diǎn)陣互為倒易，類比式（1-43），可直接得出由倒易點(diǎn)陣基矢表達(dá)正點(diǎn)陣基矢的關(guān)系為

a1=(a*2×a*3)/V*

a2=(a*3×a*1)/V*

a3=(a*1×a*2)/V*（1-45）

式中：V*倒易陣胞體積。

Modernmaterialanalysismethods111以立方晶系為例：立方晶系有a=b=c，==，V=a3；將其代入式（1-44），則有

*=90

同理可得b*、c*、*、*，即a*=b*=c*=1/a

*=*=*=90

（