均值不等式及其應(yīng)用課時(shí)作業(yè)

均值不等式及其應(yīng)用1．不等式a2＋1≥2a中等號(hào)成立的條件是()A．a(chǎn)＝±1 B．a(chǎn)＝1C．a(chǎn)＝－1 D．a(chǎn)＝02．已知a，b∈(0,1)，且a≠b，下列各式中最大的是()A．a(chǎn)2＋b2B．2eq\r(ab)C．2abD．a(chǎn)＋b3．已知ab＝1，a>0，b>0，則a＋b的最小值為()A．1B．2C．4 D．84．設(shè)a>b>0，則下列不等式中一定成立的是()A．a(chǎn)－b<0B．0<eq\f(a,b)<1\r(ab)<eq\f(a＋b,2) D．a(chǎn)b>a＋b5．不等式eq\f(9,x－2)＋(x－2)≥6(其中x＞2)中等號(hào)成立的條件是()A．x＝3 B．x＝－3C．x＝5 D．x＝－56．如果0＜a＜b＜1，P＝eq\f(a＋b,2)，Q＝eq\r(ab)，M＝eq\r(a＋b)，那么P，Q，M的大小順序是()A．P＞Q＞M B．M＞P＞QC．Q＞M＞P D．M＞Q＞P7．當(dāng)a，b∈R時(shí)，下列不等關(guān)系成立的是________．①eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)；②a－b≥2eq\r(ab)；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab.8．下列不等式的推導(dǎo)過程正確的是________．①若x＞1，則x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2；②若x＜0，則x＋eq\f(4,x)＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－x＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,x)))))≤－2eq\r(－x·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,x))))＝－4；③若a，b∈R，則eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2.9．思考辨析(1)對(duì)任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2eq\r(ab)均成立．()(2)若a≠0，則a＋eq\f(1,a)≥2eq\r(a·\f(1,a))＝2.()(3)若a>0，b>0，則ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up20(2).()10．已知a，b，c∈R，求證：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.11．已知a＞1，b＞0，eq\f(1,a)＋eq\f(3,b)＝1，求證：a＋2b≥2eq\r(6)＋7.12．設(shè)a>0，b>0，證明：eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)≥a＋b.[證明]∵a>0，b>0，∴eq\f(b2,a)＋a≥2b，eq\f(a2,b)＋b≥2a，∴eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)≥a＋b.答案與解析1．不等式a2＋1≥2a中等號(hào)成立的條件是()A．a(chǎn)＝±1 B．a(chǎn)＝1C．a(chǎn)＝－1 D．a(chǎn)＝0B[當(dāng)a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0，即a＝1時(shí)“＝”成立．]2．已知a，b∈(0,1)，且a≠b，下列各式中最大的是()A．a(chǎn)2＋b2B．2eq\r(ab)C．2abD．a(chǎn)＋bD[∵a，b∈(0,1)，∴a2＜a，b2＜b，∴a2＋b2＜a＋b，又a2＋b2＞2ab(a≠b)，∴2ab＜a2＋b2＜a＋b.又∵a＋b＞2eq\r(ab)(a≠b)，∴a＋b最大．]3．已知ab＝1，a>0，b>0，則a＋b的最小值為()A．1B．2C．4 D．8B[∵a>0，b>0，∴a＋b≥2eq\r(ab)＝2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時(shí)取等號(hào)，故a＋b的最小值為2.]4．設(shè)a>b>0，則下列不等式中一定成立的是()A．a(chǎn)－b<0B．0<eq\f(a,b)<1\r(ab)<eq\f(a＋b,2) D．a(chǎn)b>a＋bC[∵a>b>0，由均值不等式知eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)一定成立．]5．不等式eq\f(9,x－2)＋(x－2)≥6(其中x＞2)中等號(hào)成立的條件是()A．x＝3 B．x＝－3C．x＝5 D．x＝－5C[由均值不等式知等號(hào)成立的條件為eq\f(9,x－2)＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去)．]6．如果0＜a＜b＜1，P＝eq\f(a＋b,2)，Q＝eq\r(ab)，M＝eq\r(a＋b)，那么P，Q，M的大小順序是()A．P＞Q＞M B．M＞P＞QC．Q＞M＞P D．M＞Q＞PB[顯然eq\f(a＋b,2)＞eq\r(ab)，又因?yàn)閑q\f(a＋b,2)＜eq\r(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(由a＋b＞\f(a＋b2,4)也就是\f(a＋b,4)＜1可得))，所以eq\r(a＋b)＞eq\f(a＋b,2)＞eq\r(ab).故M＞P＞Q.]7．當(dāng)a，b∈R時(shí)，下列不等關(guān)系成立的是________．①eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)；②a－b≥2eq\r(ab)；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab.③[根據(jù)eq\f(a2＋b2,2)≥ab，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)成立的條件判斷，知①②④錯(cuò)，只有③正確．]8．下列不等式的推導(dǎo)過程正確的是________．①若x＞1，則x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2；②若x＜0，則x＋eq\f(4,x)＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－x＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,x)))))≤－2eq\r(－x·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,x))))＝－4；③若a，b∈R，則eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2.②[①中忽視了均值不等式等號(hào)成立的條件，當(dāng)x＝eq\f(1,x)時(shí)，即x＝1時(shí)，x＋eq\f(1,x)≥2等號(hào)成立，因?yàn)閤＞1，所以x＋eq\f(1,x)＞2，③中忽視了利用均值不等式時(shí)每一項(xiàng)必須為正數(shù)這一條件．]9．思考辨析(1)對(duì)任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2eq\r(ab)均成立．()(2)若a≠0，則a＋eq\f(1,a)≥2eq\r(a·\f(1,a))＝2.()(3)若a>0，b>0，則ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up20(2).()[提示](1)任意a，b∈R，有a2＋b2≥2ab成立，當(dāng)a，b都為正數(shù)時(shí)，不等式a＋b≥2eq\r(ab)成立．(2)只有當(dāng)a>0時(shí)，根據(jù)均值不等式，才有不等式a＋eq\f(1,a)≥2eq\r(a·\f(1,a))＝2成立．(3)因?yàn)閑q\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，所以ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up20(2).[答案](1)×(2)×(3)√10．已知a，b，c∈R，求證：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.[證明]由均值不等式可得a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2，同理，b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2a2c2，∴(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2，從而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.8．已知a＞1，b＞0，eq\f(1,a)＋eq\f(3,b)＝1，求證：a＋2b≥2eq\r(6)＋7.[證明]由eq\f(1,a)＋eq\f(3,b)＝1，得b＝eq\f(3a,a－1)(a＞1)，則a＋2b＝a＋eq\f(6a,a－1)＝a＋eq\f(6a－1＋6,a－1)＝a＋eq\f(6,a－1)＋6＝(a－1)＋eq\f(6,a－1