中考數(shù)學(xué)二模試卷

2021年四川省內(nèi)江六中中考數(shù)學(xué)二模試卷一、選擇題（共12小題，每小題3分，共36分．）1．2021的相反數(shù)是（）A．2021 B．﹣2021 C． D．2．據(jù)報(bào)道，目前我國(guó)“天河二號(hào)”超級(jí)計(jì)算機(jī)的運(yùn)算速度位居全球第一，其運(yùn)算速度達(dá)到了每秒338600000億次，數(shù)字338600000用科學(xué)記數(shù)法可簡(jiǎn)潔表示為（）A．3.386×108 B．0.3386×109 C．33.86×107 D．3.386×1093．下列計(jì)算正確的是（）A．3a+4b＝7ab B．（ab3）3＝ab6 C．（a+2）2＝a2+4 D．x12÷x6＝x64．互聯(lián)網(wǎng)“微商”經(jīng)營(yíng)已成為大眾創(chuàng)業(yè)新途徑，某微信平臺(tái)上一件商品標(biāo)價(jià)為200元，按標(biāo)價(jià)的五折銷(xiāo)售，仍可獲利20元，則這件商品的進(jìn)價(jià)為（）A．120元 B．100元 C．80元 D．60元5．關(guān)于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k≤﹣ B．k≤﹣且k≠0 C．k≥﹣ D．k≥﹣且k≠06．下列圖形中，既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A． B． C． D．7．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則以x，y的值為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)是（）A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不對(duì)8．下列命題中，原命題與逆命題均為真命題的有（）①若|a|＝|b|，則a2＝b2；②若ma2＞na2，則m＞n；③垂直于弦的直徑平分弦；④對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)9．如圖，已知△ABC，AB＜BC，用尺規(guī)作圖的方法在BC上取一點(diǎn)P，使得PA+PC＝BC，則下列選項(xiàng)正確的是（）A． B． C． D．10．在一個(gè)不透明的口袋里有紅、綠、藍(lán)三種顏色的小球，三種球除顏色外其他完全相同，其中有6個(gè)紅球，5個(gè)綠球，若隨機(jī)摸出一個(gè)球是綠球的概率是，則隨機(jī)摸出一個(gè)球是藍(lán)球的概率是（）A． B． C． D．11．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，將Rt△ABC繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)48°得到Rt△A′B′C′，點(diǎn)A在邊B′C上，則∠B′的大小為（）A．42° B．48° C．52° D．58°12．定義：點(diǎn)A（x，y）為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)，若滿足x＝y(tǒng)，則把點(diǎn)A叫做“平衡點(diǎn)”．例如：M（1，1），N（﹣2，﹣2）都是“平衡點(diǎn)”．當(dāng)﹣1≤x≤3時(shí)，直線y＝2x+m上有“平衡點(diǎn)”，則m的取值范圍是（）A．0≤m≤1 B．﹣3≤m≤1 C．﹣3≤m≤3 D．﹣1≤m≤0二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，請(qǐng)把答案填在相應(yīng)答題卡上）13．分解因式：x3﹣xy2＝．14．在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是．15．將一矩形紙條按如圖所示折疊，若∠1＝40°，則∠2＝°．16．如圖矩形ABCD中，AD＝1，CD＝，連接AC，將線段AC、AB分別繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至AE、AF，線段AE與弧BF交于點(diǎn)G，連接CG，則圖中陰影部分面積為．三、解答題（本大題共5小題，共44分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明或推演步驟）17．計(jì)算：．18．如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD及等邊△ABE，已知：∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足為F，連接DF．（1）試說(shuō)明AC＝EF；（2）求證：四邊形ADFE是平行四邊形．19．某校開(kāi)展了“互助、平等、感恩、和諧、進(jìn)取”主題班會(huì)活動(dòng)，活動(dòng)后，就活動(dòng)的5個(gè)主題進(jìn)行了抽樣調(diào)查（每位同學(xué)只選最關(guān)注的一個(gè)），根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問(wèn)題：（1）這次調(diào)查的學(xué)生共有多少名？（2）請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整，并在扇形統(tǒng)計(jì)圖中計(jì)算出“進(jìn)取”所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)．（3）如果要在這5個(gè)主題中任選兩個(gè)進(jìn)行調(diào)查，根據(jù)（2）中調(diào)查結(jié)果，用樹(shù)狀圖或列表法，求恰好選到學(xué)生關(guān)注最多的兩個(gè)主題的概率（將互助、平等、感恩、和諧、進(jìn)取依次記為A、B、C、D、E）．20．小明要測(cè)量公園被湖水隔開(kāi)的兩棵大樹(shù)A和B之間的距離，他在A處測(cè)得大樹(shù)B在A的北偏西30°方向，他從A處出發(fā)向北偏東15°方向走了200米到達(dá)C處，測(cè)得大樹(shù)B在C的北偏西60°方向．（1）求∠ABC的度數(shù)；（2）求兩棵大樹(shù)A和B之間的距離（結(jié)果精確到1米）（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732，≈2.449）21．某水果基地計(jì)劃裝運(yùn)甲、乙、丙三種水果到外地銷(xiāo)售（每輛汽車(chē)規(guī)定滿載，并且只裝一種水果）．下表為裝運(yùn)甲、乙、丙三種水果的重量及利潤(rùn)．甲乙丙每輛汽車(chē)能裝的數(shù)量（噸））423每噸水果可獲利潤(rùn)（千元）574（1）用8輛汽車(chē)裝運(yùn)乙、丙兩種水果共22噸到A地銷(xiāo)售，問(wèn)裝運(yùn)乙、丙兩種水果的汽車(chē)各多少輛？（2）水果基地計(jì)劃用20輛汽車(chē)裝運(yùn)甲、乙、丙三種水果共72噸到B地銷(xiāo)售（每種水果不少于一車(chē)），假設(shè)裝運(yùn)甲水果的汽車(chē)為m輛，則裝運(yùn)乙、丙兩種水果的汽車(chē)各多少輛？（結(jié)果用m表示）（3）在（2）問(wèn)的基礎(chǔ)上，如何安排裝運(yùn)可使水果基地獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？四、填空題（本大題共4小題，每小題6分，共24分，請(qǐng)把答案填在相應(yīng)答題卡上）22．已知關(guān)于x的分式方程＝有解，則a的取值范圍是．23．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（a，b）為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且（b＞a），連接AO，并以A為旋轉(zhuǎn)中心把線段AO逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段AB，若點(diǎn)A、B恰好在同一反比例函數(shù)圖象上，則的值等于．24．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AB上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B重合），沿DE翻折△DBE使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連接AF，則線段AF的長(zhǎng)取最小值時(shí)，BF的長(zhǎng)為．25．如圖，P1（x1，y1）、P2（x2，y2），…Pn（xn，yn）在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，△OP1A1，△P2A1A2，△P3A2A3…△PnAn﹣1An…都是等腰直角三角形，斜邊OA1，A1A2…An﹣1An，都在x軸上，則y1+y2+…+yn＝．五、解答題（本大題共3小題，每小題12分，共36分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明或演算步驟）26．在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，點(diǎn)E是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，AE與BD相交于點(diǎn)M，AE或其延長(zhǎng)線與DC或其延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，G是EF的中點(diǎn)，連結(jié)CG．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上時(shí)．求證：CG⊥CM．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)BE的長(zhǎng)度多少時(shí)，△MCE是等腰三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由．27．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作BE的垂線交AB于點(diǎn)F，⊙O是△BEF的外接圓．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB，垂足為H，求證：CD＝HF；（3）若CD＝1，EH＝3，求BF及AF長(zhǎng)．28．如圖1，拋物線y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（4，0），與y軸交于點(diǎn)B，在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)E（m，0）（0＜m＜4），過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M．（1）求a的值和直線AB的函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)△PMN的周長(zhǎng)為C1，△AEN的周長(zhǎng)為C2，若＝，求m的值；（3）如圖2，在（2）條件下，將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OE′，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°），連接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1．2021的相反數(shù)是（）A．2021 B．﹣2021 C． D．【分析】只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)．求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)的方法就是在這個(gè)數(shù)的前面添加“﹣”．解：2021的相反數(shù)是﹣2021，故選：B．2．據(jù)報(bào)道，目前我國(guó)“天河二號(hào)”超級(jí)計(jì)算機(jī)的運(yùn)算速度位居全球第一，其運(yùn)算速度達(dá)到了每秒338600000億次，數(shù)字338600000用科學(xué)記數(shù)法可簡(jiǎn)潔表示為（）A．3.386×108 B．0.3386×109 C．33.86×107 D．3.386×109【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值＞1時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．解：數(shù)字338600000用科學(xué)記數(shù)法可簡(jiǎn)潔表示為3.386×108．故選：A．3．下列計(jì)算正確的是（）A．3a+4b＝7ab B．（ab3）3＝ab6 C．（a+2）2＝a2+4 D．x12÷x6＝x6【分析】直接利用同底數(shù)冪的乘除運(yùn)算法則以及積的乘方運(yùn)算法則、合并同類(lèi)項(xiàng)法則分別計(jì)算得出答案．解：A、3a+4b，無(wú)法計(jì)算，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、（ab3）3＝a3b9，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、（a+2）2＝a2+4a+4，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、x12÷x6＝x6，故此選項(xiàng)正確．故選：D．4．互聯(lián)網(wǎng)“微商”經(jīng)營(yíng)已成為大眾創(chuàng)業(yè)新途徑，某微信平臺(tái)上一件商品標(biāo)價(jià)為200元，按標(biāo)價(jià)的五折銷(xiāo)售，仍可獲利20元，則這件商品的進(jìn)價(jià)為（）A．120元 B．100元 C．80元 D．60元【分析】設(shè)該商品的進(jìn)價(jià)為x元/件，根據(jù)“標(biāo)價(jià)＝（進(jìn)價(jià)+利潤(rùn)）÷折扣”即可列出關(guān)于x的一元一次方程，解方程即可得出結(jié)論．解：設(shè)該商品的進(jìn)價(jià)為x元/件，依題意得：（x+20）÷＝200，解得：x＝80．∴該商品的進(jìn)價(jià)為80元/件．故選：C．5．關(guān)于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k≤﹣ B．k≤﹣且k≠0 C．k≥﹣ D．k≥﹣且k≠0【分析】根據(jù)方程根的情況可以判定其根的判別式的取值范圍，進(jìn)而可以得到關(guān)于k的不等式，解得即可，同時(shí)還應(yīng)注意二次項(xiàng)系數(shù)不能為0．解：∵關(guān)于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有實(shí)數(shù)根，∴Δ＝b2﹣4ac≥0，即：9+4k≥0，解得：k≥﹣，∵關(guān)于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0中k≠0，則k的取值范圍是k≥﹣且k≠0．故選：D．6．下列圖形中，既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)圖形以及軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解．解：A．既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，也是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)符合題意；B．既不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，也不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)不合題意；C．是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)不合題意；D．不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)不合題意．故選：A．7．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則以x，y的值為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)是（）A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不對(duì)【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的意義列出關(guān)于x、y的方程并求出x、y的值，再根據(jù)x是腰長(zhǎng)和底邊長(zhǎng)兩種情況討論求解．解：根據(jù)題意得，解得，（1）若4是腰長(zhǎng)，則三角形的三邊長(zhǎng)為：4、4、8，不能組成三角形；（2）若4是底邊長(zhǎng)，則三角形的三邊長(zhǎng)為：4、8、8，能組成三角形，周長(zhǎng)為4+8+8＝20．故選：B．8．下列命題中，原命題與逆命題均為真命題的有（）①若|a|＝|b|，則a2＝b2；②若ma2＞na2，則m＞n；③垂直于弦的直徑平分弦；④對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】先根據(jù)絕對(duì)值、不等式的性質(zhì)、垂徑定理和菱形的判定對(duì)四個(gè)命題進(jìn)行判斷，再分別交換命題的題設(shè)和結(jié)論得到四個(gè)逆命題，然后判斷逆命題的真假．解：①若|a|＝|b|，則a2＝b2，此命題為真命題；它的逆命題為若a2＝b2，則|a|＝|b|，此逆命題為真命題；②若ma2＞na2，則m＞n，此命題為真命題；它的逆命題為若m＞n，則ma2＞na2，此逆命題為假命題；③垂直于弦的直徑平分弦，此命題為真命題；它的逆命題為平方弦的直徑垂直于弦，此逆命題為假命題；④對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形，此逆命題為假命題，它的逆命題為菱形的對(duì)角線互相垂直，此逆命題為真命題．故選：A．9．如圖，已知△ABC，AB＜BC，用尺規(guī)作圖的方法在BC上取一點(diǎn)P，使得PA+PC＝BC，則下列選項(xiàng)正確的是（）A． B． C． D．【分析】由PB+PC＝BC和PA+PC＝BC易得PA＝PB，根據(jù)線段垂直平分線定理的逆定理可得點(diǎn)P在AB的垂直平分線上，于是可判斷D選項(xiàng)正確．解：∵PB+PC＝BC，而PA+PC＝BC，∴PA＝PB，∴點(diǎn)P在AB的垂直平分線上，即點(diǎn)P為AB的垂直平分線與BC的交點(diǎn)．故選：D．10．在一個(gè)不透明的口袋里有紅、綠、藍(lán)三種顏色的小球，三種球除顏色外其他完全相同，其中有6個(gè)紅球，5個(gè)綠球，若隨機(jī)摸出一個(gè)球是綠球的概率是，則隨機(jī)摸出一個(gè)球是藍(lán)球的概率是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)摸出一個(gè)球是綠球的概率是，得出藍(lán)球的個(gè)數(shù)，進(jìn)而得出小球總數(shù)，即可得出隨機(jī)摸出一個(gè)球是藍(lán)球的概率．解：∵在一個(gè)不透明的口袋里有紅、綠、藍(lán)三種顏色的小球，三種球除顏色外其他完全相同，其中有6個(gè)紅球，5個(gè)綠球，隨機(jī)摸出一個(gè)球是綠球的概率是，設(shè)藍(lán)球x個(gè)，∴＝，解得：x＝9，∴隨機(jī)摸出一個(gè)球是藍(lán)球的概率是：．故選：D．11．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，將Rt△ABC繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)48°得到Rt△A′B′C′，點(diǎn)A在邊B′C上，則∠B′的大小為（）A．42° B．48° C．52° D．58°【分析】先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠A′＝∠BAC＝90°，∠ACA′＝48°，然后在直角△A′CB′中利用直角三角形兩銳角互余求出∠B′＝90°﹣∠ACA′＝42°．解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，將Rt△ABC繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)48°得到Rt△A′B′C′，∴∠A′＝∠BAC＝90°，∠ACA′＝48°，∴∠B′＝90°﹣∠ACA′＝42°．故選：A．12．定義：點(diǎn)A（x，y）為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)，若滿足x＝y(tǒng)，則把點(diǎn)A叫做“平衡點(diǎn)”．例如：M（1，1），N（﹣2，﹣2）都是“平衡點(diǎn)”．當(dāng)﹣1≤x≤3時(shí)，直線y＝2x+m上有“平衡點(diǎn)”，則m的取值范圍是（）A．0≤m≤1 B．﹣3≤m≤1 C．﹣3≤m≤3 D．﹣1≤m≤0【分析】根據(jù)x＝y(tǒng)，﹣1≤x≤3可得出關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍即可．解：∵x＝y(tǒng)，∴x＝2x+m，即x＝﹣m．∵﹣1≤x≤3，∴﹣1≤﹣m≤3，∴﹣3≤m≤1．故選：B．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，請(qǐng)把答案填在相應(yīng)答題卡上）13．分解因式：x3﹣xy2＝x（x+y）（x﹣y）．【分析】直接提取公因式x，再利用平方差公式分解因式得出答案．解：原式＝x（x2﹣y2）＝x（x+y）（x﹣y）．故答案為：x（x+y）（x﹣y）．14．在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是x≤1且x≠﹣2．【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開(kāi)方數(shù)大于等于0，分母不等于0，就可以求解．解：根據(jù)二次根式有意義，分式有意義得：1﹣x≥0且x+2≠0，解得：x≤1且x≠﹣2．故答案為：x≤1且x≠﹣2．15．將一矩形紙條按如圖所示折疊，若∠1＝40°，則∠2＝110°．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠3＝∠1＝40°，∠2+∠4＝180°，由折疊的性質(zhì)得到∠4＝∠5，即可得到結(jié)論．解：∵AB∥CD，∴∠3＝∠1＝40°，∠2+∠4＝180°，∵∠4＝∠5，∴∠4＝∠5＝（180°﹣40°）＝70°，∴∠2＝110°，故答案為：110°．16．如圖矩形ABCD中，AD＝1，CD＝，連接AC，將線段AC、AB分別繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至AE、AF，線段AE與弧BF交于點(diǎn)G，連接CG，則圖中陰影部分面積為﹣．【分析】根據(jù)勾股定理得到AC＝2，由三角函數(shù)的定義得到∠CAB＝30°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠CAE＝∠BAF＝90°，求得∠BAG＝60°，然后根據(jù)圖形的面積即可得到結(jié)論．解：在矩形ABCD中，∵AD＝1，CD＝，∵AC＝2，tan∠CAB＝＝，∴∠CAB＝30°，∵線段AC、AB分別繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至AE、AF，∴∠CAE＝∠BAF＝90°，∴∠BAG＝60°，∵AG＝AB＝，∴陰影部分面積＝S△ABC+S扇形ABG﹣S△ACG＝××1+﹣××2＝﹣，故答案為：﹣．三、解答題（本大題共5小題，共44分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明或推演步驟）17．計(jì)算：．【分析】直接利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪的性質(zhì)、絕對(duì)值的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)，再利用實(shí)數(shù)加減運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．解：原式＝1﹣2﹣3+4×＝1﹣2﹣3+2＝﹣2．18．如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD及等邊△ABE，已知：∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足為F，連接DF．（1）試說(shuō)明AC＝EF；（2）求證：四邊形ADFE是平行四邊形．【分析】（1）首先由Rt△ABC中，由∠BAC＝30°可以得到AB＝2BC，又由△ABE是等邊三角形，EF⊥AB，由此得到AE＝2AF，并且AB＝2AF，然后證得△AFE≌△BCA，繼而證得結(jié)論；（2）根據(jù)（1）知道EF＝AC，而△ACD是等邊三角形，所以EF＝AC＝AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根據(jù)平行四邊形的判定定理即可證明四邊形ADFE是平行四邊形．【解答】證明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∴AB＝2BC，又∵△ABE是等邊三角形，EF⊥AB，∴AB＝2AF∴AF＝BC，在Rt△AFE和Rt△BCA中，，∴Rt△AFE≌Rt△BCA（HL），∴AC＝EF；（2）∵△ACD是等邊三角形，∴∠DAC＝60°，AC＝AD，∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝90°又∵EF⊥AB，∴EF∥AD，∵AC＝EF，AC＝AD，∴EF＝AD，∴四邊形ADFE是平行四邊形．19．某校開(kāi)展了“互助、平等、感恩、和諧、進(jìn)取”主題班會(huì)活動(dòng)，活動(dòng)后，就活動(dòng)的5個(gè)主題進(jìn)行了抽樣調(diào)查（每位同學(xué)只選最關(guān)注的一個(gè)），根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問(wèn)題：（1）這次調(diào)查的學(xué)生共有多少名？（2）請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整，并在扇形統(tǒng)計(jì)圖中計(jì)算出“進(jìn)取”所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)．（3）如果要在這5個(gè)主題中任選兩個(gè)進(jìn)行調(diào)查，根據(jù)（2）中調(diào)查結(jié)果，用樹(shù)狀圖或列表法，求恰好選到學(xué)生關(guān)注最多的兩個(gè)主題的概率（將互助、平等、感恩、和諧、進(jìn)取依次記為A、B、C、D、E）．【分析】（1）根據(jù)“平等”的人數(shù)除以占的百分比得到調(diào)查的學(xué)生總數(shù)即可；（2）求出“互助”與“進(jìn)取”的學(xué)生數(shù)，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，求出“進(jìn)取”占的圓心角度數(shù)即可；（3）列表或畫(huà)樹(shù)狀圖得出所有等可能的情況數(shù)，找出恰好選到“C”與“E”的情況數(shù)，即可求出所求的概率．解：（1）56÷20%＝280（名），答：這次調(diào)查的學(xué)生共有280名；（2）280×15%＝42（名），280﹣42﹣56﹣28﹣70＝84（名），補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，如圖所示，根據(jù)題意得：84÷280＝30%，360°×30%＝108°，答：“進(jìn)取”所對(duì)應(yīng)的圓心角是108°；（3）由（2）中調(diào)查結(jié)果知：學(xué)生關(guān)注最多的兩個(gè)主題為“進(jìn)取”和“感恩”用列表法為：ABCDEA（A，B）（A，C）（A，D）（A，E）B（B，A）（B，C）（B，D）（B，E）C（C，A）（C，B）（C，D）（C，E）D（D，A）（D，B）（D，C）（D，E）E（E，A）（E，B）（E，C）（E，D）用樹(shù)狀圖為：共20種情況，恰好選到“C”和“E”有2種，∴恰好選到“進(jìn)取”和“感恩”兩個(gè)主題的概率是．20．小明要測(cè)量公園被湖水隔開(kāi)的兩棵大樹(shù)A和B之間的距離，他在A處測(cè)得大樹(shù)B在A的北偏西30°方向，他從A處出發(fā)向北偏東15°方向走了200米到達(dá)C處，測(cè)得大樹(shù)B在C的北偏西60°方向．（1）求∠ABC的度數(shù)；（2）求兩棵大樹(shù)A和B之間的距離（結(jié)果精確到1米）（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732，≈2.449）【分析】（1）先利用平行線的性質(zhì)得∠ACM＝∠DAC＝15°，再利用平角的定義計(jì)算出∠ACB＝105°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和計(jì)算∠ABC的度數(shù)；（2）作CH⊥AB于H，如圖，易得△ACH為等腰直角三角形，則AH＝CH＝AC＝100，在Rt△BCH中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到BH＝CH＝100，AB＝AH+BH＝100+100，然后進(jìn)行近似計(jì)算即可．解：（1）∵CM∥AD，∴∠ACM＝∠DAC＝15°，∴∠ACB＝180°﹣∠BCN﹣∠ACM＝180°﹣60°﹣15°＝105°，而∠BAC＝30°+15°＝45°，∴∠ABC＝180°﹣45°﹣105°＝30°；（2）作CH⊥AB于H，如圖，∵∠BAC＝45°，∴△ACH為等腰直角三角形，∴AH＝CH＝AC＝×200＝100，在Rt△BCH中，∵∠HBC＝30°，∴BH＝CH＝100，∴AB＝AH+BH＝100+100≈141.4+244.9≈386．答：兩棵大樹(shù)A和B之間的距離約為386米．21．某水果基地計(jì)劃裝運(yùn)甲、乙、丙三種水果到外地銷(xiāo)售（每輛汽車(chē)規(guī)定滿載，并且只裝一種水果）．下表為裝運(yùn)甲、乙、丙三種水果的重量及利潤(rùn)．甲乙丙每輛汽車(chē)能裝的數(shù)量（噸））423每噸水果可獲利潤(rùn)（千元）574（1）用8輛汽車(chē)裝運(yùn)乙、丙兩種水果共22噸到A地銷(xiāo)售，問(wèn)裝運(yùn)乙、丙兩種水果的汽車(chē)各多少輛？（2）水果基地計(jì)劃用20輛汽車(chē)裝運(yùn)甲、乙、丙三種水果共72噸到B地銷(xiāo)售（每種水果不少于一車(chē)），假設(shè)裝運(yùn)甲水果的汽車(chē)為m輛，則裝運(yùn)乙、丙兩種水果的汽車(chē)各多少輛？（結(jié)果用m表示）（3）在（2）問(wèn)的基礎(chǔ)上，如何安排裝運(yùn)可使水果基地獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？【分析】（1）根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的二元一次方程組，從而可以解答本題；（2）根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)可以用關(guān)于m的代數(shù)式表示出裝運(yùn)乙、丙兩種水果的汽車(chē)數(shù)量；（3）根據(jù)題意可以寫(xiě)出利潤(rùn)w關(guān)于m的關(guān)系式，再根據(jù)m的取值范圍即可解答本題．【解答】（1）設(shè)裝運(yùn)乙、丙水果的車(chē)分別為x輛，y輛，，解得，，答：裝運(yùn)乙種水果的車(chē)有2輛、丙種水果的汽車(chē)有6輛；（2）設(shè)裝運(yùn)乙、丙水果的車(chē)分別為a輛，b輛，，解得，，答：裝運(yùn)乙種水果的汽車(chē)是（m﹣12）輛，丙種水果的汽車(chē)是（32﹣2m）輛；（3）設(shè)總利潤(rùn)為w千元，w＝4×5m+2×7（m﹣12）+4×3（32﹣2m）＝10m+216，∵，解得，13≤m≤15.5，∵m為正整數(shù)，∴m＝13，14，15，∴當(dāng)m＝15時(shí)，W最大＝366（千元），答：當(dāng)運(yùn)甲水果的車(chē)15輛，運(yùn)乙水果的車(chē)3輛，運(yùn)丙水果的車(chē)2輛，利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為366千元．四、填空題（本大題共4小題，每小題6分，共24分，請(qǐng)把答案填在相應(yīng)答題卡上）22．已知關(guān)于x的分式方程＝有解，則a的取值范圍是a≥1且a≠4．【分析】解分式方程用a表示|x|，根據(jù)關(guān)于x的分式方程有解得|x|≥0且|x|﹣2≠0，列不等式組求解集．解：＝，2|2x|﹣2a＝|x|﹣2，4|x|﹣|x|＝2a﹣2，3|x|＝2a﹣2，|x|＝，∵關(guān)于x的分式方程有解，∴≥0，且|x|﹣2≠0，即≠2，解得a≥1且a≠4．故答案為：a≥1且a≠4．23．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（a，b）為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且（b＞a），連接AO，并以A為旋轉(zhuǎn)中心把線段AO逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段AB，若點(diǎn)A、B恰好在同一反比例函數(shù)圖象上，則的值等于．【分析】過(guò)A作AE⊥x軸，過(guò)B作BD⊥AE，利用同角的余角相等得到一對(duì)角相等，再由一對(duì)直角相等，且AO＝AB，利用AAS得出三角形AOE與三角形ABD全等，由確定三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到BD＝AE＝b，AD＝OE＝a，進(jìn)而表示出ED及OE+BD的長(zhǎng)，即可表示出B坐標(biāo)；由A與B都在反比例圖象上，得到A與B橫縱坐標(biāo)乘積相等，列出關(guān)系式，變形后即可求出的值．解：過(guò)A作AE⊥x軸，過(guò)B作BD⊥AE，∵∠OAB＝90°，∴∠OAE+∠BAD＝90°，∵∠AOE+∠OAE＝90°，∴∠BAD＝∠AOE，在△AOE和△BAD中，，∴△AOE≌△BAD（AAS），∴AE＝BD＝b，OE＝AD＝a，∴DE＝AE﹣AD＝b﹣a，OE+BD＝a+b，則B（a+b，b﹣a）；∵A與B都在反比例圖象上，得到ab＝（a+b）（b﹣a），整理得：b2﹣a2＝ab，即（）2﹣﹣1＝0，∵△＝1+4＝5，∴＝，∵點(diǎn)A（a，b）為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，∴a＞0，b＞0，則＝．故答案為．24．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AB上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B重合），沿DE翻折△DBE使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連接AF，則線段AF的長(zhǎng)取最小值時(shí)，BF的長(zhǎng)為．【分析】由題意得：DF＝DB，得到點(diǎn)F在以D為圓心，BD為半徑的圓上，作⊙D；連接AD交⊙D于點(diǎn)F，此時(shí)AF值最小，由點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，得到CD＝BD＝3；而AC＝4，由勾股定理得到AD＝5，求得線段AF長(zhǎng)的最小值是2，連接BF，過(guò)F作FH⊥BC于H，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．解：由題意得：DF＝DB，∴點(diǎn)F在以D為圓心，BD為半徑的圓上，作⊙D；連接AD交⊙D于點(diǎn)F，此時(shí)AF值最小，∵點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，∴CD＝BD＝3；而AC＝4，由勾股定理得：AD2＝AC2+CD2∴AD＝5，而FD＝3，∴FA＝5﹣3＝2，即線段AF長(zhǎng)的最小值是2，連接BF，過(guò)F作FH⊥BC于H，∵∠ACB＝90°，∴FH∥AC，∴△DFH∽△ADC，∴，∴HF＝，DH＝，∴BH＝，∴BF＝＝，故答案為：．25．如圖，P1（x1，y1）、P2（x2，y2），…Pn（xn，yn）在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，△OP1A1，△P2A1A2，△P3A2A3…△PnAn﹣1An…都是等腰直角三角形，斜邊OA1，A1A2…An﹣1An，都在x軸上，則y1+y2+…+yn＝3．【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求出y1，y2，y3……yn，再計(jì)算即可．解：如圖，過(guò)P1，P2，P3…Pn，分別作x軸的垂線，垂足分別為Q1，Q2，Q3，…Qn，∵△OP1A1，△P2A1A2，△P3A2A3…△PnAn﹣1An…都是等腰直角三角形，∴OQ1＝P1Q1＝Q1A1＝y(tǒng)1，A1Q2＝P2Q2＝Q2A2＝y(tǒng)2，A2Q3＝P3Q3＝Q3A3＝y(tǒng)3，……An﹣1Qn＝PnQn＝QnAn＝y(tǒng)n，于是P1（y1，y1），P2（2y1+y2，y2），P3（2y1+2y2+y3，y3），……Pn（2yi+2y2+2y3+…+2yn﹣1+yn，yn），將P1（y1，y1）代入反比例函數(shù)y＝得，y1?y1＝9，解得y1＝3，因此P2（6+y2，y2），將P2（2y1+y2，y2），y1＝3，代入反比例函數(shù)y＝得，（6+y2）?y2＝9，解得y2＝3﹣3，同理將P3（2y1+2y2+y3，y3），P4（2y1+2y2+2y3+y4，y4），……代入反比例函數(shù)關(guān)系式可求得，y3＝3﹣3，y4＝3﹣3＝6﹣3，y5＝3﹣3＝3﹣6，……所以y1+y2+…+yn＝3+3﹣3+3﹣3+…+3﹣3＝3，故答案為：3．五、解答題（本大題共3小題，每小題12分，共36分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明或演算步驟）26．在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，點(diǎn)E是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，AE與BD相交于點(diǎn)M，AE或其延長(zhǎng)線與DC或其延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，G是EF的中點(diǎn)，連結(jié)CG．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上時(shí)．求證：CG⊥CM．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)BE的長(zhǎng)度多少時(shí)，△MCE是等腰三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）由全等三角形的性質(zhì)得出∠BAM＝∠BCM，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出GC＝GF，證出∠GCF＝∠F，由平行線的性質(zhì)得出∠BAM＝∠F，因此∠BCM＝∠GCF，得出∠BCM+∠GCE＝∠GCF+∠GCE＝90°，即可得出結(jié)論；（2）同（1），即可得出結(jié)論；（3）①當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上時(shí)，由∠MEC＞90°，要使△MCE是等腰三角形，必須EM＝EC，得出∠EMC＝∠ECM，由三角形的外角性質(zhì)得出∠AEB＝2∠BCM＝2∠BAE，由直角三角形的性質(zhì)得出∠BAE＝30°，得出BE＝AB＝；②當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，同①知BE＝；即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABM＝∠CBM，在△ABM和△CBM中，，∴△ABM≌△CBM（SAS）．∴∠BAM＝∠BCM，又∵∠ECF＝90°，G是EF的中點(diǎn)，∴GC＝EF＝GF，∴∠GCF＝∠GFC，又∵AB∥DF，∴∠BAM＝∠GFC，∴∠BCM＝∠GCF，∴∠BCM+∠GCE＝∠GCF+∠GCE＝90°，∴GC⊥CM；（2）解：成立；理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABM＝∠CBM，在△ABM和△CBM中，，∴△ABM≌△CBM（SAS），∴∠BAM＝∠BCM，又∵∠ECF＝90°，G是EF的中點(diǎn)，∴GC＝GF，∴∠GCF＝∠GFC，又∵AB∥DF，∴∠BAM＝∠GFC，∴∠BCM＝∠GCF，∴∠GCF+∠MCF＝∠BCM+MCFE＝90°，∴GC⊥CM；（3）解：分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上時(shí)，∵∠MEC＞90°，要使△MCE是等腰三角形，必須EM＝EC，∴∠EMC＝∠ECM，∴∠AEB＝2∠BCM＝2∠BAE，∴2∠BAE+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝30°，∴BE＝AB＝；②當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，同①知BE＝．綜上①②，當(dāng)BE＝戓BE＝時(shí)，△MCE是等腰三角形．27．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作BE的垂線交AB于點(diǎn)F，⊙O是△BEF的外接圓．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB，垂足為H，求證：CD＝HF；（3）若CD＝1，EH＝3，求BF及AF長(zhǎng)．【分析】（1）連接OE，由于BE是角平分線，則有∠CBE＝∠OBE；而OB＝OE，就有∠OBE＝∠OEB，等量代換有∠OEB＝∠CBE，那么利用內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，可得OE∥BC；又∠C＝90°，所以∠AEO＝90°，即AC是⊙O的切線；（2）連接DE，先根據(jù)AAS證明△C