等式與不等式性質(zhì)教案（Word版）

《等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)（第一課時(shí)）》教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)1．會(huì)從實(shí)際問題所蘊(yùn)含的不等關(guān)系中抽象出不等式，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；2．理解兩個(gè)實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)，能運(yùn)用這個(gè)基本事實(shí)比較兩個(gè)代數(shù)式的大??；3．經(jīng)歷重要不等式a2+b2≥2ab的發(fā)現(xiàn)過程，并予以證明，提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)．教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：兩個(gè)實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)及其簡(jiǎn)單應(yīng)用．教學(xué)難點(diǎn)：從實(shí)際問題所蘊(yùn)含的不等關(guān)系中抽象出不等式．課前準(zhǔn)備PPT課件，用紙做四個(gè)全等的直角三角形．教學(xué)過程一、整體感知問題1：請(qǐng)同學(xué)們閱讀本章引言的文章，說說本章要學(xué)習(xí)的內(nèi)容是什么？和初中所學(xué)的哪些內(nèi)容有聯(lián)系？對(duì)我們今后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有什么作用？用什么方法來研究本章內(nèi)容？師生活動(dòng)：學(xué)生自主閱讀后、討論交流．預(yù)設(shè)的答案：1．本章主要研究的內(nèi)容是方程和不等式，包括不等關(guān)系和不等式，基本不等式和一元二次不等式的研究，通過回顧、梳理初中學(xué)習(xí)的等式內(nèi)容，提煉出其中蘊(yùn)含的思想方法，用一次函數(shù)的觀點(diǎn)看一次方程、不等式中蘊(yùn)含的思想方法，用于研究不等式和一元二次不等式有關(guān)問題．2．方程和不等式是重要的數(shù)學(xué)工具，可以解決數(shù)學(xué)內(nèi)外的各種問題，為今后學(xué)習(xí)作工具上的準(zhǔn)備，另外，用函數(shù)的觀點(diǎn)看方程和不等式是一種重要的思想方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系性和整體性，為今后的學(xué)習(xí)作思想方法上的準(zhǔn)備．設(shè)計(jì)意圖：一章的起始課，首先要從整體上把握所學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生明確本章內(nèi)容的地位、作用、內(nèi)在聯(lián)系及研究方法，有助于學(xué)生良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建立和完善．引語(yǔ)：相等關(guān)系和不等關(guān)系是數(shù)學(xué)中最基本的數(shù)量關(guān)系，首先來學(xué)習(xí)等式性質(zhì)和不等式性質(zhì)．（板書：等式性質(zhì)和不等式性質(zhì)）二、新知探究1．從實(shí)際問題所蘊(yùn)含的不等關(guān)系中抽象出不等式問題2：你能用不等式或不等式組表示下列問題中的不等關(guān)系嗎？（1）某路段限速40km/h；（2）某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不小于%，蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于%；（3）三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊；（4）連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短．師生活動(dòng)：學(xué)生分別用不等式表達(dá)，若有表達(dá)不準(zhǔn)確，或表達(dá)困難的，引導(dǎo)學(xué)生先用符號(hào)表示題中的量，再用不等號(hào)表示問題中的不等關(guān)系．預(yù)設(shè)的答案：（1）設(shè)速度為vkm/h，則0＜v≤40；（2）；（3）設(shè)△ABC的三條邊為a，b，c，則a+b＞c，a-b＜c；（4）設(shè)C是線段AB外任意一點(diǎn)，CD⊥AB，垂足為D，E是線段AB上不同于D的任意一點(diǎn)，則CD＜CE．追問1：你還能舉出幾個(gè)具有相等與不等關(guān)系的實(shí)際問題的例子嗎？這些不等關(guān)系如何用式子表示？師生活動(dòng)：學(xué)生自己舉例，并用等式和不等式表示，在這個(gè)過程中教師不斷啟發(fā)學(xué)生，使得結(jié)論更科學(xué)和嚴(yán)謹(jǐn)．追問2：在上述問題的解決中，你經(jīng)歷了怎樣的思考過程？師生活動(dòng)：學(xué)生總結(jié)，教師完善：閱讀實(shí)際問題——引入變量——將實(shí)際問題的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言——找到量之間的關(guān)系——獲得需要的不等式．設(shè)計(jì)意圖：通過創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際問題中抽象出不等式，明確數(shù)學(xué)的價(jià)值和作用，提高學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．并通過這組問題的解決，提煉出所用的方法，為后面解決問題做好鋪墊．2．研究不等式性質(zhì)的必要性問題3：某種雜志原以每本元的價(jià)格銷售，可以售出8萬本，據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，雜志的單價(jià)每提高元，銷售就可能減少2000本．如何定價(jià)才能使提價(jià)后的銷售總收入不低于20萬？師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，分析數(shù)量關(guān)系后用不等式表達(dá)．根據(jù)問題1總結(jié)的程序求解．設(shè)提價(jià)后每本雜志的定價(jià)為x元，則銷售總收入為萬元．于是不等關(guān)系“銷售總收入不低于20萬元”可以用不等式表示為≥20．①．求出不等式①的解集，就能知道滿足條件的雜志的定價(jià)范圍．追問：如何解不等式①？解方程的依據(jù)是什么？類比解方程的依據(jù)，解不等式的依據(jù)是什么？師生活動(dòng)：學(xué)生回憶初中解方程方法，教師引導(dǎo)學(xué)生得到解方程的依據(jù)為等式的性質(zhì)．因些解不等式要用不等式的性質(zhì)，為此我們需要先研究不等式的性質(zhì)．設(shè)計(jì)意圖：從實(shí)際情境出發(fā)，得到不等式，并通過將類比等式的解決，引出不等式性質(zhì)研究的必要性．3．兩個(gè)實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)問題4：若要研究不等式的性質(zhì)，首先要用到兩個(gè)實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)．如何比較兩個(gè)式的大小關(guān)系呢？師生活動(dòng)：讓學(xué)生回憶初中兩個(gè)數(shù)比較大小的方法，從而得出結(jié)論：；；．追問：這三條就是“兩個(gè)實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)”．據(jù)此，要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，可以轉(zhuǎn)化為什么運(yùn)算完成？預(yù)設(shè)的答案：轉(zhuǎn)化為減法運(yùn)算，并將求得的結(jié)果與0比較．設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過回憶實(shí)數(shù)比較大小的方法，明確基本事實(shí)，了解把大小比較轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)運(yùn)算的思路，提高學(xué)生的化歸能力．例1比較(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)大小．師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成之后展示交流．師生總結(jié)求解思路：將問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)多項(xiàng)式的差與0的大?。處燑c(diǎn)撥：0是正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)，它為實(shí)數(shù)比較大小提供了“標(biāo)桿”．預(yù)設(shè)的答案：因?yàn)?x+2)(x+3)-(x+1)(x+4)=(x2+5x+6)-(x2+5x+4)=2＞0，所以(x+2)(x+3)＞(x+1)(x+4)．設(shè)計(jì)意圖：兩個(gè)實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)的初步應(yīng)用，讓學(xué)生體會(huì)作差比較法在比較大小中的作用．4．重要不等式的探究和證明圖1問題5：圖1是在北京召開的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車，代表中國(guó)人民熱情好客．你能在這個(gè)圖中找出一些相等關(guān)系和不等關(guān)系嗎？圖1師生活動(dòng)：首先讓學(xué)生用四個(gè)全等的直角三角形拼接出圖形，小組交流不同人的拼接圖形中的不同，之后教師利用幾何畫板進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示：改變直角三角形兩直角邊長(zhǎng)，讓學(xué)生直觀感覺圖形的變化．然后按照前面的程序，引入符號(hào)，比如用a，b表示直角三角形的兩條直角邊，尋找關(guān)系，寫出不等式．然后以小組為單位合作探究，展示成果．預(yù)設(shè)方案1：學(xué)生已經(jīng)發(fā)現(xiàn)重要不等式，讓學(xué)生展示其發(fā)現(xiàn)過程．預(yù)設(shè)方案2：學(xué)生沒有發(fā)現(xiàn)重要不等式，可以進(jìn)一步啟發(fā)．追問1：你能用字母表示出圖中四個(gè)直角三角形和大正方形的面積嗎？預(yù)設(shè)的答案：用a，b表示直角三角形的兩條直角邊，則直角三角形的面積為2ab，大正方形的面積為a2+b2．追問2：在變化過程中四個(gè)直角三角形的面積和大正方形面積之間存在著相等和不等關(guān)系，你能表示出來嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生得到a2+b2＞2ab．教師進(jìn)一步變化圖形，引導(dǎo)學(xué)生觀察當(dāng)a=b時(shí)，小正方形的面積為0，這時(shí)a2+b2=2ab．綜合兩類情況，得到a2+b2≥2ab，當(dāng)a=b且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．追問3：上述過程中，a，b為正數(shù)，如果a，b∈R，式子是否成立？為什么？師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生分析問題，回歸到用“兩個(gè)實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)”作差比較，并規(guī)范證明過程．證明：∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0，∴a2+b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立．設(shè)計(jì)意圖：對(duì)實(shí)際問題深入分析，發(fā)現(xiàn)不等關(guān)系，引入符號(hào)，表示不等關(guān)系，感受到由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)換過程．利用軟件演示圖形的動(dòng)態(tài)變化，感受圖形從量變到質(zhì)變的過程，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)．通過追問，讓學(xué)生經(jīng)歷猜想到證明不等式的一般過程，為不等式性質(zhì)和基本不等式的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)．對(duì)問題情境的分析中讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化的價(jià)值．三、歸納小結(jié)，布置作業(yè)問題6：本節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)，為什么要研究這些內(nèi)容？研究這些內(nèi)容有什么作用？師生活動(dòng)：師生一起總結(jié)．設(shè)計(jì)意圖：通過梳理本節(jié)課的內(nèi)容，能讓學(xué)生更加明確研究?jī)蓚€(gè)實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)是為了研究不等式的性質(zhì)，解決解不等式問題．兩個(gè)實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)使數(shù)學(xué)運(yùn)算參與問題解決之中，可以比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大?。鳂I(yè)布置：教科書習(xí)題第2，3，4，9，10題．四、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)1．用不等式或不等式組表示下面的不等關(guān)系：（1）某高速公路規(guī)定通過車輛的車貨高度h從地面算起不超過4m；（2）a與b的和是非負(fù)實(shí)數(shù)；（3）如圖，在一個(gè)面積小于350m2的矩形地基的中心位置上建造一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，倉(cāng)庫(kù)的四周建成綠地，倉(cāng)庫(kù)的長(zhǎng)L大于寬W的4倍．設(shè)計(jì)意圖：考查從實(shí)際