第七章相關(guān)分析

第七章相關(guān)分析一、相關(guān)的意義二、積差相關(guān)三、等級(jí)相關(guān)四、質(zhì)與量相關(guān)五、品質(zhì)相關(guān)偏相關(guān)一、相關(guān)的意義1、相關(guān)的概念2、相關(guān)系數(shù)

相關(guān)的概念兩變量之間不精確、不穩(wěn)定的變化關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系。它與函數(shù)關(guān)系的區(qū)別就在于兩個(gè)變量值不是一一對(duì)應(yīng)得那樣精確、穩(wěn)定。

兩個(gè)變量之間的變化關(guān)系，既表現(xiàn)在變化方向上，又表現(xiàn)在密切程度上。從變化方向來(lái)看，兩個(gè)變量間有以下幾種關(guān)系：（1）正相關(guān)：兩個(gè)變量的變化方向一致，即一個(gè)變量值變大時(shí)，另一個(gè)變量也隨之變大；反之，亦然。（2）負(fù)相關(guān)：兩個(gè)變量的變化方向相反，即一個(gè)變量值變大時(shí)，另一個(gè)變量值隨之變??；反之，亦然。（3）零相關(guān)：兩個(gè)變量值變化方向無(wú)一定規(guī)律，即一個(gè)變量值變大時(shí)，另一個(gè)變量做無(wú)規(guī)律的變化。返回關(guān)于散點(diǎn)圖如果觀察所獲得的資料是兩個(gè)變量的成對(duì)數(shù)據(jù)，那么每一對(duì)觀察值都可以用直角坐標(biāo)系中的一個(gè)點(diǎn)（x,y）來(lái)表示，n個(gè)對(duì)象的觀察結(jié)果就可以用n個(gè)散點(diǎn)來(lái)表示。這就是描繪雙變量分布狀況的散點(diǎn)圖。散點(diǎn)圖（一）身高（厘米）145143150156148160154141155148150158智商（分）1001109012010010511098102908998散點(diǎn)圖（二）成績(jī)（分）859075908485807580756468智商（分）1001109012010010511098102908998畫(huà)散點(diǎn)圖X45678Y14356X45678Y35421X12345Y12345X12345Y54321X1.51.82.82.83.5Y231.542.8相關(guān)系數(shù)用來(lái)描述兩個(gè)變量相互之間變化方向及密切程度的數(shù)字特征量稱為相關(guān)系數(shù)。一般，樣本相關(guān)系數(shù)用r表示。相關(guān)系數(shù)的取值范圍是在-1到+1之間，-1≤r≤1。“+”“-”號(hào)表示變化方向?！?”表示變化方向一致，即正相關(guān)?！?”表示變化方向相反，即負(fù)相關(guān)。r的絕對(duì)值表示兩個(gè)變量之間的密切程度（即強(qiáng)度）。注意:1.相關(guān)系數(shù)僅僅是一個(gè)比值。它不是由相等單位度量而來(lái)的，不等距，也不是百分比，因此，不能直接作加、減、乘、除運(yùn)算。2.相關(guān)系數(shù)只能描述兩個(gè)變量之間的變化方向及密切程度，并不能揭示兩者之間的內(nèi)在本質(zhì)聯(lián)系。3.存在相關(guān)的兩個(gè)變量，也不一定存在因果關(guān)系。二、積差相關(guān)1、積差相關(guān)的概念2、積差相關(guān)的使用條件3、積差相關(guān)系數(shù)的公式4、總體相關(guān)系數(shù)的區(qū)間估計(jì)5、相關(guān)的顯著性檢驗(yàn)6、相關(guān)系數(shù)差異的顯著性檢驗(yàn)返回積差相關(guān)的概念當(dāng)兩個(gè)變量都是正態(tài)連續(xù)變量，而且兩者之間呈線性關(guān)系時(shí)，表示這兩個(gè)變量之間的相關(guān)稱為積差相關(guān)。返回積差相關(guān)系數(shù)的公式返回例計(jì)算相關(guān)系數(shù)X45678Y14356X45678Y35421X12345Y12345X12345Y54321X1.51.82.82.83.5Y231.542.80.904-0.71-10.196積差相關(guān)的使用條件1、兩個(gè)變量都是由測(cè)量獲得的連續(xù)性數(shù)據(jù)。2、兩個(gè)變量的總體都呈正態(tài)分布，或接近正態(tài)分布，至少是單峰對(duì)稱分布。3、必須是成對(duì)的數(shù)據(jù)，而且每對(duì)數(shù)據(jù)之間相互獨(dú)立，即每對(duì)分?jǐn)?shù)與其他對(duì)子沒(méi)有關(guān)系，相互獨(dú)立。4、兩個(gè)變量之間呈線形關(guān)系。這可由散點(diǎn)圖來(lái)做初步分析。5、要排除共變因素的影響。6、樣本容量要≥30，計(jì)算出的積差相關(guān)系數(shù)才具有有效意義。例返回偏相關(guān)偏相關(guān)（partialcorrelation），也稱純相關(guān)或凈相關(guān)，指在計(jì)算兩個(gè)連續(xù)變量X1與X2的相關(guān)時(shí)，將第三個(gè)變量X3或其他多個(gè)變量的影響，即r13和r23予以排除之后，X1與X2這兩個(gè)變量之間的純凈相關(guān)，用符號(hào)r12.3表示，點(diǎn)號(hào)左邊的兩個(gè)下標(biāo)代表要求計(jì)算偏相關(guān)的兩個(gè)變量，點(diǎn)號(hào)右邊的下標(biāo)表示要消除其影響的變量。偏相關(guān)的公式如下：偏相關(guān)之例一

（將學(xué)歷XL作為控制變量，對(duì)兒童智商IQ與母親年齡NL作偏相關(guān)分析）對(duì)12名兒童的智商IQ、出生時(shí)母親的年齡NL，以及母親的文化程度（接受正規(guī)教育的年限——學(xué)齡）XL這三個(gè)變量進(jìn)行調(diào)查的結(jié)果如下表：abcdefghijklIQ788294959697102105106108114122NL202122252726282730323232XL699121212151616191922r=0.934r12.3=0.0887偏相關(guān)系數(shù)的“階數(shù)”一階偏相關(guān)系數(shù)——只控制了一個(gè)“第三變量”；二階偏相關(guān)系數(shù)——控制了兩個(gè)“第三變量”；。。。。。?？刂谱兞靠梢圆恢挂粋€(gè)，而控制變量的數(shù)目就是偏相關(guān)系數(shù)的階數(shù)。不難理解，兩列變量之間的簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)是零階的“偏相關(guān)系數(shù)”，也就是說(shuō)，它是在沒(méi)有控制任何條件的情況下考察兩種現(xiàn)象之間的相互聯(lián)系。偏相關(guān)分析作為一種統(tǒng)計(jì)分析的手段，可以幫助我們“透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)”，更加深入地把握事物之間相互聯(lián)系的證據(jù)。偏相關(guān)分析既可以幫助我們辨別虛假的“偽相關(guān)”，也可以幫助我們發(fā)現(xiàn)被掩蔽了的“真相關(guān)”。偏相關(guān)分析之例二

（將工齡GL作為控制變量，對(duì)工資GZ與學(xué)歷XL作偏相關(guān)分析。）abcdefghijklGZ800900100020001500220027003000280035001500950GL2141010201021202514XL161916161212191616162212r=0.038(p>0.05)r13.2=0.8177(p<0.01)練習(xí)下表是20名學(xué)生某次期末考試的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門(mén)課的成績(jī)，試求剔除了語(yǔ)文成績(jī)之后，20名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與外語(yǔ)成績(jī)的偏相關(guān)系數(shù)。編號(hào)1234567891011121314151617181920語(yǔ)文9188837084927887827766697493868477738971數(shù)學(xué)8592866687887481917862717790948273698883外語(yǔ)9392816484917280857364676288847861748562語(yǔ)文與數(shù)學(xué)：0.827語(yǔ)文與外語(yǔ)：0.900數(shù)學(xué)與外語(yǔ)：0.787積差相關(guān)例題成績(jī)（分）859075908485807580756468智商（分）1001109012010010511098102908998總體相關(guān)系數(shù)的區(qū)間估計(jì)1、樣本相關(guān)系數(shù)的抽樣分布只有當(dāng)總體相關(guān)系數(shù)ρ=0時(shí)，樣本相關(guān)系數(shù)的抽樣分布才接近正態(tài)（嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，ρ=0時(shí)樣本相關(guān)系數(shù)r的分布為t分布）。當(dāng)總體相關(guān)系數(shù)ρ≠0時(shí)，樣本相關(guān)系數(shù)的抽樣分布呈偏態(tài)，概率分布函數(shù)較為復(fù)雜。將相關(guān)系數(shù)做轉(zhuǎn)換：

那么無(wú)論總體相關(guān)系數(shù)ρ是否等于零，樣本Z的抽樣分布都近似地服從于正態(tài)分布。Zr的標(biāo)準(zhǔn)誤是：

2、置信區(qū)間的確定：return相關(guān)的顯著性檢驗(yàn)之一：H0：ρ=0的檢驗(yàn)如前所述，當(dāng)總體相關(guān)系數(shù)ρ=0時(shí)，樣本相關(guān)系數(shù)r的抽樣分布為t分布。此時(shí)樣本相關(guān)系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤的估計(jì)值是

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：自由度：n-2。在實(shí)際應(yīng)用中，通常是直接查積差相關(guān)系數(shù)顯著性臨界值表來(lái)斷定r是否顯著。例：例：12名初二學(xué)生的智商與身高情況登記如下表。能否認(rèn)為學(xué)生的智商確實(shí)與身高有關(guān)（身材矮小者較聰明或者相反）？身高（厘米）145143150156148160154141155148150158智商（分）1001109012010010511098102908998相關(guān)的顯著性檢驗(yàn)之二：H0：ρ=ρ0的檢驗(yàn)虛無(wú)假設(shè)意指：在總體中兩個(gè)變量之間存在某種程度的線性相關(guān)，而樣本的相關(guān)系數(shù)r≠ρ0是由于抽樣的偶然誤差。

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：例：例據(jù)稱EPT與TOFEL兩種測(cè)驗(yàn)的相關(guān)高達(dá)0.80。隨機(jī)抽取的40名被試，兩個(gè)測(cè)驗(yàn)成績(jī)的相關(guān)系數(shù)r=0.75，據(jù)此能不能否定總體ρ=0.80？解：查表：r=0.75時(shí)，Zr=0.973

ρ=0.80時(shí)，Zρ=1.099

Return相關(guān)系數(shù)差異的顯著性檢驗(yàn)（一）1、獨(dú)立樣本（r1和r2分別由彼此獨(dú)立的被試得到）之間樣本相關(guān)系數(shù)差異的顯著性檢驗(yàn)例：從某省隨機(jī)抽取的103名高考考生中，男56人，女47人。男生數(shù)、理兩科成績(jī)的相關(guān)系數(shù)r1=0.83，女生數(shù)、理兩科成績(jī)的相關(guān)系數(shù)r2=0.76。數(shù)、理兩科成績(jī)的相互關(guān)系是否存在顯著的性別差異？解：相關(guān)系數(shù)差異的顯著性檢驗(yàn)（二）2、同組被試兩個(gè)相關(guān)系數(shù)差異的顯著性檢驗(yàn)這里只介紹同組被試的三個(gè)測(cè)驗(yàn)，兩兩相關(guān)系數(shù)之差的顯著性檢驗(yàn)。檢驗(yàn)的虛無(wú)假設(shè)是:H0:ρ12=ρ13,檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t的自由度df=n-3。例：以某一權(quán)威測(cè)驗(yàn)X1為效標(biāo)考查新編制的兩套外語(yǔ)測(cè)驗(yàn)X2、X3的有效性。在容量n=303的標(biāo)準(zhǔn)化樣本中，求得三個(gè)測(cè)驗(yàn)的兩兩相關(guān)系數(shù)分別是：r12=0.62;r13=0.51;r23=0.70。新編制的兩個(gè)測(cè)驗(yàn)的效度是否有顯著的差別？解：return三、等級(jí)相關(guān)1、斯皮爾曼等級(jí)相關(guān)2、肯德?tīng)柡椭C系數(shù)返回斯皮爾曼等級(jí)相關(guān)1、概念及適用范圍當(dāng)兩個(gè)變量值以等級(jí)次序排列或以等級(jí)次序表示時(shí)，兩個(gè)相應(yīng)總體并不一定呈正態(tài)分布，樣本容量也不一定大于30，表示這兩個(gè)變量之間的相關(guān)，稱為等級(jí)相關(guān)。2、相關(guān)系數(shù)的計(jì)算等級(jí)相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)方法與積差相關(guān)的相同。例例成績(jī)（分）859075908485807580756468智商（分）1001109012010010511098102908998成績(jī)等級(jí)3.51.591.553.56.596.591211智商等級(jí)6.52.510.516.542.58.5510.5128.5D-3-1-1.50.5-1.5-0.54.00.51.5-1.502.5D2912.250.252.250.25160.252.252.2506.25return成績(jī)（分）859075908485807580756468智商（分）1001109012010010511098102908998肯德?tīng)柡椭C系數(shù)1、概念及使用范圍

當(dāng)多個(gè)（兩個(gè)以上）變量值以等級(jí)次序排列或以等級(jí)次序表示，描述這幾個(gè)變量之間一致性程度（即相關(guān)）的量，稱為肯德?tīng)柡椭C系數(shù)。它常用來(lái)表示幾個(gè)評(píng)定者對(duì)同一組學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī)等級(jí)評(píng)定的一致性程度或同一個(gè)評(píng)定者對(duì)同一組學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)用等級(jí)先后評(píng)定多次之間的一致性程度。2、相關(guān)系數(shù)的計(jì)算例例N=7趙錢(qián)孫李周(k=5)RiRi2蕭亞軒1111111周杰倫1111111S.H.E1111111蔡依琳1111111陳奕迅1111111潘瑋柏1111111王菲1111111返四、質(zhì)與量相關(guān)1、點(diǎn)二列相關(guān)2、二列相關(guān)返回點(diǎn)二列相關(guān)1、概念及適用范圍

當(dāng)兩個(gè)變量其中一個(gè)是正態(tài)連續(xù)性變量，另一個(gè)是真正的二分名義變量時(shí)，表示這兩個(gè)變量之間的相關(guān)，稱為點(diǎn)二列相關(guān)。2、相關(guān)系數(shù)的計(jì)算例例14名男女學(xué)生某項(xiàng)技能測(cè)驗(yàn)的成績(jī)?nèi)缦卤?試計(jì)算該技能測(cè)驗(yàn)成績(jī)與性別的相關(guān)系數(shù).男1女011111111000000總和成績(jī)X7968354628643677接二列相關(guān)應(yīng)用點(diǎn)二列相關(guān)的應(yīng)用

——用于對(duì)測(cè)驗(yàn)項(xiàng)目的區(qū)分度進(jìn)行檢驗(yàn)。有一是非式選擇測(cè)驗(yàn)，每題選對(duì)得2分，共有50題，滿分100分。下表所列為20名學(xué)生在該測(cè)驗(yàn)中的總成績(jī)及第5題的選答情況。問(wèn)這道題與測(cè)驗(yàn)總分的相關(guān)程度如何？學(xué)號(hào)總分第5題學(xué)號(hào)總分第5題184對(duì)282錯(cuò)376錯(cuò)460錯(cuò)572錯(cuò)674錯(cuò)776錯(cuò)884對(duì)988對(duì)1090對(duì)1178對(duì)1280錯(cuò)1392對(duì)1494對(duì)1596對(duì)1688對(duì)1790對(duì)1878錯(cuò)1976錯(cuò)2074錯(cuò)點(diǎn)二列相關(guān)與二列相關(guān)相同之處：都可用于計(jì)算題目的區(qū)分度。區(qū)別：適用數(shù)據(jù)不同。點(diǎn)二列相關(guān)中的二分變量是真正的二分變量，不是正態(tài)分布的；二列相關(guān)中的二分變量是由正態(tài)分布的連續(xù)性測(cè)量數(shù)據(jù)人為轉(zhuǎn)化來(lái)的。使用點(diǎn)二列相關(guān)和二列相關(guān)的總原則：如果不是十分明確觀測(cè)數(shù)據(jù)的分布形態(tài)是否為正態(tài)分布，這時(shí)，不管觀測(cè)數(shù)據(jù)代表的是一個(gè)真正的二分變量，還是一個(gè)基于正態(tài)分布的人為二分變量，都應(yīng)選用點(diǎn)二列相關(guān)。只要有任何疑問(wèn)，選用點(diǎn)二列相關(guān)總是較好的選擇。在實(shí)際的研究當(dāng)中，二列相關(guān)很少使用。偏相關(guān)練習(xí)練習(xí)問(wèn)下表中成績(jī)與性別是否有關(guān)？被試12345678910性別男女女男女男男男女女成績(jī)83919584898786858892二列相關(guān)1、概念及適用范圍當(dāng)兩個(gè)變量都是正態(tài)連續(xù)變量，其中一個(gè)變量被人為地劃分成二分變量，表示這兩個(gè)變量之間的相關(guān)，稱為二列相關(guān)。2、