第十一章 差錯控制編碼

現(xiàn)代通信原理第十一章差錯控制編碼2/1/2023第十一章差錯控制編碼

§11.1

基本概念§11.2分組碼

§11.3循環(huán)碼

§11.4BCH碼

§11.5糾正和檢測突發(fā)錯誤的分組碼

§11.6糾錯碼的誤碼性能§11.1

概述誤碼分類噪聲引入的隨機誤碼，均勻分布由干擾、快衰落引起的突發(fā)誤碼如何減少誤碼？從信源編碼看，誤碼引起的性能惡化盡可能小，容錯技術從傳輸看，可采用抗干擾能力強的調制方式，信道特性不理想可采用均衡。特別需要差錯控制技術。數(shù)字通信中，要求誤碼率10－8以下，必須采用差錯控制?！?1.1.1

差錯控制分類

1.反饋檢驗法 2.檢錯重發(fā)法（ARQ） 3.前向糾錯（FEC）1.

反饋檢驗法需要雙向信道，和前向信道有相同的通信容。引入較大的停頓（不實時）?？梢约m正任何錯誤。2.檢錯重發(fā)法（ARQ）自動請求重發(fā)也需要反向信道，但容量可以降低，也會引入停頓3.前向糾錯（FECforwarderrorcorrection）不需要雙向信道不會引入停頓靠糾錯編碼§11.1.2差錯控制編碼的基本原理如用三位二進制編碼來代表八個字母

000 A 100 E 001 B 101 F 010 C 110 G 011 D 111 H不管哪一位發(fā)生錯誤，都會使傳輸字母錯誤如用三位字母傳四個字母 000 A 011 B 101 C 110 D發(fā)生一位錯誤，準用碼字將變成禁用碼字，接收端就能知道出錯，但是不能糾錯。差錯控制編碼如用三位字母傳二個字母 000 A 111 B 檢三個錯誤，糾正一個錯誤。結論具有檢錯或糾錯的碼組，其所用的比特數(shù)必須大于信息碼組原來的比特數(shù) －>引入多余度。碼重、碼距碼重(weight)一個碼組中“1”的數(shù)目碼距(distance)兩個碼組之間對應位置上1、0不同的位數(shù)，又叫漢明(Hamming)距。 10110碼重：3 011002距離：3檢錯、糾錯能力為檢查出

個錯誤，要求最小碼距為為糾正個錯誤，要求最小碼距為為糾正個錯誤，同時檢查出個錯誤，要求最小碼距為

§11.1.3.差錯控制編碼分類按功能分檢錯碼糾錯碼糾刪碼（發(fā)現(xiàn)不可糾正的錯誤時，可發(fā)出指示或刪除）按信息碼元和監(jiān)督碼元之間的校驗關系分線性碼非線性碼按信息碼元和監(jiān)督碼元之間的約束方式分分組碼卷積碼香農理論糾錯碼建立在香農理論基礎上香農定理存在噪聲干擾的信道，若信道容量為C，只要發(fā)送端以低于C的速率R發(fā)送信息（R為輸入到編碼器的二進制碼元速率），則一定存在一種編碼方式，使編碼的錯誤概率隨著碼長n的增加將按指數(shù)下降到任一的值，即結論如碼長及發(fā)送信息速率一定，可以通過增大信道容量，使P減小。如在信道容量及發(fā)送信息速率一定，可以通過增加碼長，使錯誤概率下降。分組碼表示：(n,k) n:幀長 k/n:編碼效率特點監(jiān)督碼只用來監(jiān)督本幀中的信息位分類線性碼－信息碼與監(jiān)督碼之間為線性關系非線性碼－不存在線性關系奇偶監(jiān)督碼偶監(jiān)督奇監(jiān)督如果以上關系被破壞，則出現(xiàn)錯誤，因此能檢查出奇數(shù)個錯誤，但不能檢測偶數(shù)個錯誤。 最小碼距為dmin=2這種碼檢錯能力不高，采用什么方法提高呢？水平奇偶監(jiān)督碼和水平垂直監(jiān)督碼又叫二維奇偶監(jiān)督碼水平奇偶監(jiān)督碼檢碼字按行排成方陣，每行采用奇偶監(jiān)督碼，發(fā)送時按列的順序傳送，接收時仍將碼字排列成發(fā)送時方陣形式，然后按行進行奇偶校驗。在不增加冗余度時，不僅能發(fā)現(xiàn)某一行上奇數(shù)個錯誤，而且也能發(fā)現(xiàn)不大于方陣行數(shù)的突發(fā)錯誤。水平垂直奇偶監(jiān)督碼不僅對行進行奇偶校驗，而且也對列進行奇偶校驗。等比碼在碼長一定時，“1”碼和“0”碼的比例恒定。已用于電報傳輸中。五中取三 01011 11001 表示十位數(shù)字，C53=10種許用碼組。第十一章差錯控制編碼

§11.1基本概念§11.2分組碼

§11.3循環(huán)碼

§11.4BCH碼

§11.5糾正和檢測突發(fā)錯誤的分組碼

§11.6糾錯碼的誤碼性能§11.2分組碼（1）漢明碼：能糾一位錯誤(7,4)

分組碼（2）在接收端，按如下規(guī)律運算分組碼（3）分組碼的監(jiān)督方程矩陣形式分組碼（4）監(jiān)督矩陣H矩陣稱為典型形式，各行一定是線性無關的。而一個非典型形式的經過運算可以化成典型形式，通過監(jiān)督矩陣可以知道監(jiān)督碼和信息碼的監(jiān)督關系。分組碼（5）生成矩陣

，通過生成矩陣可以得到生成碼組。如果輸入碼組為0011分組碼（6）由這種方式得到的生成矩陣稱為典型生成矩陣，由它產生的分組碼必定為系統(tǒng)碼，也就是信息碼字保持不變，監(jiān)督位附加其后，每行一定是線性無關的，每行都是一個生成碼組。漢明碼 漢明碼監(jiān)督位為位，因此它可以組成個可能情況，其中一個為無錯。因此可以監(jiān)督碼位共 要糾正一個錯誤，必須滿足 最小碼距如果r位監(jiān)督位所組成的校正子碼組與誤碼圖樣一一對應，這種碼組稱為完備碼（取等號時）擴展?jié)h明碼如果在漢明碼基礎上，再加上一位對所有碼字進行校驗的監(jiān)督位監(jiān)督碼字由r

位增加到

r+1位信息位不變碼長 碼結構糾1位錯，檢測2位錯如（8，4），（16，11）

擴展?jié)h明碼矩陣

如(7,4)－>(8,4)縮短漢明碼(n,k)－>(n-s,k-s)如(15,11)－>(12,8) 監(jiān)督矩陣Hs是將原H的前3列去掉縮短漢明碼的最小碼距至少和原來碼的碼距相同，因為監(jiān)督位沒有變?？s短漢明碼能糾t個錯誤的(n,k)應滿足

取等號時為完備碼不同結構的線性碼其糾錯能力不同，能力和dmin有關，dmin越大越好。最小碼距界限上界：漢明界，普洛特金界下界：吉爾伯特界問題：給定碼長與編碼效率，尋找dmin例：dmin=5,碼長=63的分組碼設計

從漢明界得，

因此信息位最多可以取最小碼距界限通過吉爾伯特界求下界線性碼 k越接近52，效率越高。第十一章差錯控制編碼

§11.1基本概念§11.2分組碼

§11.3循環(huán)碼

§11.4BCH碼

§11.5糾正和檢測突發(fā)錯誤的分組碼

§11.6糾錯碼的誤碼性能§11.3循環(huán)碼(Cycliccode)

1957年發(fā)現(xiàn)特點線性分組碼循環(huán)性——任一許用碼字經過循環(huán)移位后，得到的碼組仍為一個許用碼組如是循環(huán)碼的一許用碼組

則也是一許用碼組

碼多項式表示碼組 碼多項式碼組碼多項式左移一位左移位循環(huán)碼性質

為許用碼組，則也是許用碼組性質 若是長度為n的循環(huán)碼組，則在按模進行運算后，也是一個循環(huán)碼組，也就是用多項式除后所得之余式，即為所求的碼組。

循環(huán)碼例子碼組左移3位去除得余式如左移3位后，得是許用碼組循環(huán)碼生成多項式g(D)g(D)是D的(n-k)次即r次多項式信息多項式為M(D),k位，(k-1)次多項式g(D)定理.一個(n,k)的二進制循環(huán)碼可以看成是唯一由它的生成多項式產生，即如(7,3)循環(huán)碼，n=7,k=3,r=4如果信息位為010，M(D)=D

生成碼為0111010生成矩陣G(D)由于k位信息位共有個碼組，都可用此法產生，如果現(xiàn)有信息碼生成k個碼字，且這k個碼組都線性無關，用這k個碼組作為一個矩陣G的k行構成生成矩陣G(D)稱為循環(huán)碼的生成矩陣多項式(7,3)循環(huán)碼(7,3)循環(huán)碼生成矩陣生成矩陣和監(jiān)督矩陣這樣構成的循環(huán)碼并非是系統(tǒng)碼系統(tǒng)碼的生成矩陣典型形式非系統(tǒng)碼系統(tǒng)碼生成矩陣監(jiān)督矩陣非系統(tǒng)碼系統(tǒng)碼系統(tǒng)碼的碼多項式為例如，(7,4)碼，1011

非系統(tǒng)碼系統(tǒng)碼(7,3)碼尋找生成多項式循環(huán)碼的生成多項式必須能除盡h(D)是監(jiān)督多項式，是K階多項式例：要構成(7,3)循環(huán)碼，求g(D). 解：g(D)應為4階都能生成(7,3)生成(7,6)循環(huán)碼生成(7,1)循環(huán)碼

循環(huán)碼的編碼器原理：按系統(tǒng)碼的生成方式：將信息碼多項式升(n-k)次冪后，再除生成多項式，然后將余式置于升冪后的信息多項式之后 以(7,4)碼為例

循環(huán)碼的譯碼器譯碼比編碼復雜得多譯碼三步伴隨式S的計算由S得到錯誤圖樣糾正伴隨式的計算發(fā)送碼組接收碼組誤差碼組校正子只與E有關，根本是計算校正子

校正子S的計算生成多項式g(D)去除接收碼字B(D)第十一章差錯控制編碼

§11.1基本概念§11.2分組碼

§11.3循環(huán)碼

§11.4BCH碼

§11.5糾正和檢測突發(fā)錯誤的分組碼

§11.6糾錯碼的誤碼性能§11.4BCH碼特點：它也屬于循環(huán)碼，具有糾多個隨機錯誤的能力，構造容易。因此由碼的最小距離，可以很快得到碼的生成多項式即約多項式一個m次多項式不能被二元域上任何次數(shù)小于m的，但大于0的多項式除盡，如是即約的。本原多項式若m次多項式P(x)除盡的的最小正整數(shù)n滿足，就稱為本原的。如能除盡，但除不盡的。如：是即約的，但不是本原的，因它能除盡。

§11.4.1本原循環(huán)碼由本原多項式構成的碼稱為本原碼。特點碼長為它的生成多項式是由若干m階或以m的因子為最高階的多項式相乘而構成。要判定(n,k)的循環(huán)碼是否存在，只需要判斷n-k階的生成多項式是否能由Dn+1的因式構成。

循環(huán)碼例子生成多項式的階次為r,該生成多項式是否是的因此。一個m階即約多項式一定能除盡如，m＝5，共有6個5階即約多項式。再加上因子，是以上7個多項式的乘積。

循環(huán)碼例子表11-12表示了m<12的即約多項式在表中多項式的系數(shù)是用8進制表示的，而且反多項式沒有表示如m=5,45,75,67100101111101110111§11.4.2BCH碼的生成多項式如果循環(huán)碼的生成多項式具有如下形式為糾錯個數(shù)，為最小多項式， 為最小公倍數(shù)，由這種方式生成的循環(huán)碼是BCH碼最小碼距碼長為的BCH碼稱為本原BCH碼（狹義BCH碼）碼長為則稱為非本原BCH碼

BCH碼由于g(D)有t個因式，且每個因式的最高次為m，因此監(jiān)督碼元最多有mt位。對于糾t個錯誤的本原BCH碼，其生成多項式糾單個錯誤的本原BCH碼為漢明碼。表11－13給出了n<511的本原BCH碼。11－14給出了部分非本原BCH碼。BCH碼例子糾正3個錯誤，碼長為15的BCH碼 解：n=15,m=4查表11-12得， 23 37 07m1(D)m3(D)m5(D)

這是(15,5)碼。

重要的BCH碼

(23,12)表11－14中最重要的非本原BCH碼是(23,12) 稱為格雷碼，碼距為7，能糾正3個錯誤。 生成多項式它是一個完備碼在實際通信系統(tǒng)中，所要求的n、k并不是碼表中所推薦的值，在這時我們可以采用縮短或擴展的方式加以修正，也就是通過增加信息符號或校驗符號來增加碼組長度，或減少信息和校驗位來減少碼組長度。BCH碼如BCH碼的碼長為奇數(shù)，而有時需要偶數(shù)碼長，這時可以在原BCH碼生成多項式中乘以（D+1)因子，從而得到（n+1,k）擴展BCH碼，這時相當于在原BCH碼上加一個全校驗位，從而將碼距增加1，這時的碼字不具有循環(huán)性。如果BCH碼不是2m-1或它的因式，這時可以采用縮短的方式，去掉s位信息，(n-s,k-s)縮短BCH碼RS碼Reed-Solomon非二進制BCH碼，輸入以符號來考慮假定每組有K個符號，每個符號用m比特，輸入信息將是K×m比特。RS碼一般寫成（n,k,d）最小碼距RS碼RS碼適合于糾正突發(fā)錯誤，糾正的錯誤圖樣有對于一個長度為符號的RS碼，每個符號都可以看成是有限域中的一個元素，如RS碼的最小碼距為d符號，則生成多項式第十一章差錯控制編碼

§11.1基本概念§11.2分組碼

§11.3循環(huán)碼

§11.4BCH碼

§11.5糾正和檢測突發(fā)錯誤的分組碼

§11.6糾錯碼的誤碼性能§11.5糾正和檢測突發(fā)錯誤的分組碼

－交織碼interleaved在水平垂直監(jiān)督碼中將信息碼排列成方陣，然后對行和列分別進行檢驗，可以達到檢測突發(fā)錯誤的目的。如果方陣中行碼是能糾t個隨機錯誤，交織后能糾t個長度為i的突發(fā)錯誤。i稱為交織深度。如果每行能糾正b個突發(fā)錯誤，用上面的同樣方法，構成方陣，可以糾正突發(fā)長度為bi個突發(fā)錯誤。通常把i稱為交織深度循環(huán)碼構成交織碼采用循環(huán)碼構成交織碼時，可以不采用方陣就能實現(xiàn)編碼。假設交織碼每行為循環(huán)碼，其生成多項式為，可以除盡，如交織深度為其交織碼為,其生成多項式為可以除盡，所以 也是循環(huán)碼。

循環(huán)碼構成交織碼(續(xù))如，循環(huán)碼(7,4)，其生成多項式為 構成交織深度為3的(21,12)交織碼。 交織碼的生成多項式為 它也是循環(huán)碼，可以用循環(huán)碼的方式構成。在發(fā)送端可以不排成方陣，但是在譯碼時，必須將碼元排列成陣列，然后分別獨立的對每行碼字進行譯碼。

交織碼之小結為了進一步提高糾錯能力，可以在交織陣列中不僅對每行進行糾錯編碼，而且也對每列進行糾錯編碼，這種形式的交織碼稱為乘積碼。若乘積碼的行碼和列碼分別能糾長度不超過的突發(fā)錯誤，則乘積碼能糾正長度為的突發(fā)錯誤。交織一般都帶固有延時，在語音中交織的延時不要超過40ms。

法爾碼

Fire也是循環(huán)碼，能糾單個突發(fā)錯誤。法爾碼的糾錯能力CRC碼循環(huán)冗余檢驗碼，簡稱CRC，也是循環(huán)碼。能檢測出以下錯誤常用CRC碼常用的四種，已經成為國際