第三章 空間力系

第三章空間力系空間力系：各力的作用線(xiàn)不在同一平面內(nèi)的力系。

空間力系分類(lèi)：空間匯交力系空間平行力系空間任意力系3.1.1直接投影法

力F在空間直角坐標(biāo)軸上的投影：規(guī)定：力的投影方向與坐標(biāo)軸正向一致時(shí)取正號(hào)；反之，取負(fù)號(hào)。

3.1.2二次投影法1.

注意：力在軸上的投影是代數(shù)量，力在平面上的投影是矢量。2．空間力的矢量表示法

注意：不同，前者為矢量（分力），后者為代數(shù)量（投影）。3．已知力的投影，求力的大小和方向

3.1.3合力投影定理設(shè)有一空間匯交力系F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n，其合力矢將上式向空間坐標(biāo)軸x，y，z上投影得空間力系的合力投影定理例3.1

在邊長(zhǎng)a=50mm，b=100mm，c=150mm的六面體上，作用有3個(gè)空間力，如圖3.4所示。F1=6kN，F(xiàn)2=10kN，F(xiàn)3=20kN。試計(jì)算各力在3個(gè)坐標(biāo)軸上的投影。解1)

求F1的投影，力F1與z軸平行

kN

2)求F2的投影，力F2與坐標(biāo)平面Oyz平行F2x=0=-8.94kN=4.47kN3)求F3的投影，力F3為空間力，應(yīng)用二次投影法

=-16.04×103N=-16.04kNkN=11.95×103N=11.95kNkN

3.2.1力對(duì)軸之矩的概念1.實(shí)例§3.2力對(duì)軸之矩1、力對(duì)點(diǎn)的矩以矢量表示——力矩矢（3）作用面：力矩作用面.（2）方向:轉(zhuǎn)動(dòng)方向(1）大小:力F與力臂的乘積三要素：力對(duì)點(diǎn)的矩力對(duì)點(diǎn)O的矩在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影為2.力對(duì)軸的矩力與軸相交或與軸平行（力與軸在同一平面內(nèi)），力對(duì)該軸的矩為零.3、力對(duì)點(diǎn)的矩與力對(duì)過(guò)該點(diǎn)的軸的矩的關(guān)系力對(duì)點(diǎn)的矩矢在通過(guò)該點(diǎn)的某軸上的投影，等于力對(duì)該軸的矩。3.2.2合力矩定理

空間力系的合力FR對(duì)某一軸之矩等于力系中各分力對(duì)同一軸之矩的代數(shù)和。——合力矩定理

例3.2

曲拐軸受力如圖3.8a所示，已知F=600N。求：1）力在x,y,z軸上的投影；2）力對(duì)x,y,z軸之矩。

解：1）計(jì)算投影（應(yīng)用二次投影法）NNN2）計(jì)算力對(duì)軸之矩（應(yīng)用合力矩定理）

3.3.1空間任意力系平衡的條件

空間任意力系平衡的充分與必要條件是：力系中各個(gè)在三個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和以及各力對(duì)三軸之矩的代數(shù)和都必須分別等于零。3.3.2空間任意力系的平衡方程空間任意力系共有六個(gè)獨(dú)立的平衡方程，最多只能解六個(gè)未知量。3.3.3空間特殊力系的平衡方程空間平行力系空間匯交力系§3.3空間力系的平衡方程及其應(yīng)用3.3.4空間力系平衡問(wèn)題的解法

補(bǔ)充例題

有一起重鉸車(chē)的鼓輪軸如圖所示。已知G=10kN，b=c=30cm，a=20cm，大齒輪半徑R=20cm，在最高處E點(diǎn)受Fn的作用，F(xiàn)n與齒輪分度圓切線(xiàn)之夾角α=20o，鼓輪半徑r=10cm，A、B兩端為向心軸承，試求齒輪的作用力Fn以及A、B兩軸承所受的反力。解法一：直接應(yīng)用空間力系平衡方程法

1）取鼓輪軸為研究對(duì)象，其上作用有齒輪作用力Fn、重物重力G和軸承A、B處的約束反力FAx、FAz、FBx、FBz。受力圖如右圖所示。

2）確定力系類(lèi)型，選取空間坐標(biāo)軸系Bxyz，列平衡方程求解

，負(fù)號(hào)表示實(shí)際方向與圖中方向相反。

應(yīng)用空間力系平衡方程的解題步驟：

１．選取研究對(duì)象，取分離體，畫(huà)受力圖

注意：本步關(guān)鍵是畫(huà)受力圖，要搞清空間約束及約束力

2.確定力系類(lèi)型，選擇空間坐標(biāo)軸系xyz，建立空間力系平衡方程求解。

解法二：空間平衡問(wèn)題的平面解法：將空間受力圖投影到空間三個(gè)坐標(biāo)平面上，得到三個(gè)平面力系，分別列出他們的平衡方程，解出所有未知量。

1）取輪軸為研究對(duì)象，畫(huà)出受力圖，并選定空間坐標(biāo)軸系Bxyz，如右圖所示

2）將所有外力分別向三個(gè)坐標(biāo)平面(xz、xy、yz)投影得到三個(gè)平面受力圖

3）按照平面力系的解題方法，分別建立三個(gè)平面力系的平衡方程求解

xz平面（平面任意力系）：

yz平面（平面平行力系）：

xy平面（平面平行力系）：

負(fù)號(hào)表示圖中所設(shè)約束反力的指向與實(shí)際指向相反。

應(yīng)用空間平衡問(wèn)題平面解法的解題步驟：

１）選取輪軸為研究對(duì)象，畫(huà)出受力圖；２）將所有外力分別向空間三個(gè)坐標(biāo)平面(xz、xy、yz)投影得到三個(gè)平面受力圖；３）按照平面力系的解題方法，分別建立三個(gè)平面力系的平衡方程求解。在機(jī)械工程中對(duì)常見(jiàn)的輪軸類(lèi)零件進(jìn)行受力分析時(shí)，常用這種方法。

例3.3一三角吊架由球鉸結(jié)構(gòu)連接而成，如圖3.9a所示。懸掛物體重為G=100kN，吊架三根桿與吊索的夾角均為30o，與地面的夾角均為60o，不計(jì)桿自重，ΔADC為正三角形。試求三桿受力。解：1）取頂點(diǎn)球鉸及重物為研究對(duì)象畫(huà)受力圖。2）該受力圖為空間匯交力系，選取坐標(biāo)系Oxyz，將各力向Oxy平面內(nèi)投影，列平衡方程解得

例3.4三輪推車(chē)如圖3.10所示，若已知載荷G=1.5kN，。試求地面對(duì)推車(chē)三輪A，B，C的壓力。解1）以推車(chē)整體為研究對(duì)象，取分離體，畫(huà)受力圖，如圖

b所示。

2）該力系為空間平行力系，選空間坐標(biāo)系Hxyz，列平衡方程求解。

例3.5

廠房立柱受力如圖

所示。屋頂傳來(lái)的受力F1=120kN，吊車(chē)梁作用于牛腿的力F2=300kN，水平制動(dòng)力F=25kN。若e1=0.1m，e2=0.3m，h=6m，立柱重力G=40kN?；A(chǔ)對(duì)立柱的約束可視為空間固定端約束，試求此約束的約束力和約束力偶矩。F1F2F解1）取立柱為研究對(duì)象，畫(huà)受力圖（注意基礎(chǔ)對(duì)立柱的約束力和約束力偶矩均設(shè)為正向）

2）此力系為空間任意力系，選坐標(biāo)系Oxyz，列平衡方程解得Fx=25kN，

Fy=0，

Fz=460kN

Mx=78kN·mMy=150kN·mMz=-7.5kN·m負(fù)號(hào)表示實(shí)際方向與圖中假設(shè)方向相反。

例3.6

一車(chē)床主軸如圖3.12a所示，齒輪C直徑為200mm，卡盤(pán)D夾住一直徑為100mm的工件，A為向心推力軸承，B為向心軸承。切削時(shí)工件勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，車(chē)刀給工件的切削力Fx=466N，F(xiàn)y=352N，F(xiàn)z=1400N，齒輪C在嚙合處受力為F，作用在齒輪最低點(diǎn)（圖b）。不考慮主軸及附件的重量與摩擦，試求力F的大小及A，B處的約束力。解1）取主軸及工件為研究對(duì)象，畫(huà)受力圖，如圖所示。2）將所有外力分別向空間三個(gè)坐標(biāo)平面(xz、xy、yz)投影

FAZFBZZFZ

3）按照平面力系的解題方法，分別建立三個(gè)平面力系的平衡方程求解

Axz平面Ayz平面ZFAZFBZFAZFBZAxy平面解得FBx=436N，F(xiàn)Ax=730N

負(fù)號(hào)表示實(shí)際方向與圖中假設(shè)方向相反。解法二：3.4.1重心的概念1.重心的實(shí)例§3.4重心

2．重心：物體重力的作用點(diǎn)即為物體的重心。注意：在地球表面上，無(wú)論物體怎樣放置，重心的位置是固定不變的。

3.4.2重心坐標(biāo)公式根據(jù)合力矩定理即則式中G=∑Gi同理可得因此，均質(zhì)物體的重心也是形心若物體是均質(zhì)等厚平板物體，則有平面圖形形心坐標(biāo)公式

將上式變形為

令分別稱(chēng)為截面A對(duì)x和y軸的靜矩或截面一次矩

則由以上式子得出以下結(jié)論：當(dāng)平面物體（圖形）對(duì)某軸的靜矩為零時(shí)，該軸必通過(guò)平面物體（圖形）的形心。反之，若某軸通過(guò)平面物體（圖形）的形心，則平面物體（圖形）對(duì)該軸的靜矩一定為零。

3.4.3重心位置的求法1.對(duì)稱(chēng)法凡是具有對(duì)稱(chēng)面、對(duì)稱(chēng)軸或?qū)ΨQ(chēng)中心的簡(jiǎn)單形狀的均質(zhì)物體，其重心一定在它的對(duì)稱(chēng)面，對(duì)稱(chēng)軸或?qū)ΨQ(chēng)中心上。

①若物體有兩個(gè)對(duì)稱(chēng)面，則重心必在兩面的交線(xiàn)上；

②若物體有兩根對(duì)稱(chēng)軸，則重心必在兩軸的交點(diǎn)上。

2.實(shí)驗(yàn)法對(duì)于形狀不規(guī)則的復(fù)雜物體，工程實(shí)際中常用實(shí)驗(yàn)法確定其重心的位置。

①懸掛法適用于平板形物體或具有對(duì)稱(chēng)面的薄零件

方法：改變重物的懸掛點(diǎn)，其懸掛線(xiàn)的交點(diǎn)C就是該重物重心的位置。

②稱(chēng)重法對(duì)于形狀復(fù)雜的零件、體積龐大的物體常用此方法確定重心的位置。3．分割法（組合法）

①無(wú)限分割法（積分法）：在計(jì)算基本規(guī)則形體的形心時(shí)，可將其分割成無(wú)限多塊微小的形體，當(dāng)小形體的重量、尺寸取無(wú)限小極限時(shí)，可應(yīng)用重心計(jì)算公式。

此積分法是計(jì)算物體重心的基本方法。

②有限分割法：工程實(shí)際中的零件往往是由幾個(gè)簡(jiǎn)單圖形（如圓形，矩形，三角形等）組合而成的，在計(jì)算形心時(shí)，可先將其分割為幾塊基本圖形，每塊基本圖形的形心位置和面積，可通過(guò)查表求得，然后利用形心計(jì)算公式求出整體的形心位置。例3.7

熱軋不等邊角鋼的橫截面近似簡(jiǎn)化如圖所示，求該截面形心的位置。解法一：

1）取坐標(biāo)系0xy，則矩形I、Ⅱ的面積和形心坐標(biāo)分別為：A1=1200×12=1440mm2,x1=6mm,y1=60mmA2=(80-12)×12=816mm2,y2=6mm，x2=46mm

2）求形心坐標(biāo)：所以，截面形心C點(diǎn)坐標(biāo)為（20.5mm，40.5mm）解法二：===20.5mm===40.5mm

1）取坐標(biāo)系0xy，則矩形I、Ⅱ的面積和形心坐標(biāo)分別為：

mm2，x1=40mm，y1=60mmmm2

2）求形心坐標(biāo)：

這種將去掉部分面積作為負(fù)值代入公式計(jì)算形心的方法稱(chēng)為負(fù)面積法。

mm,mmmmmm4621280122=-+=mmx66212120122=-+=mmy例3.8

試求圖3.19所示圖形的形心。已知R=100mm，r2=30mm，r3=17mm。解1）取坐標(biāo)系0xy，將圖形看成由半徑為R的半圓、半徑為r2的小半圓、挖去半徑為r3的小圓三部分組成。

①半徑為R的