兩配對樣本符號秩檢驗

數(shù)據(jù)分析

(方法與案例)

作者賈俊平統(tǒng)計學(xué)統(tǒng)

計

學(xué)

Statistics*對正確問題的近似答案，賽過對錯的問題的精確答案。

——JohnW.Tukey統(tǒng)計名言第14章非參數(shù)檢驗14.1

單樣本的檢驗14.2兩個及兩個以上樣本的檢驗14.3秩相關(guān)及其檢驗

nonparametrictest*學(xué)習(xí)目標(biāo)非參數(shù)檢驗及其用途單樣本的非參數(shù)檢驗方法兩個及以上樣本的非參數(shù)檢驗方法秩相關(guān)及其檢驗方法用SPSS進(jìn)行非參數(shù)檢驗非參數(shù)檢驗與參數(shù)檢驗的比較*不同商圈的報紙發(fā)行量是否有差異？華夏時報》自稱是中國第一份商圈社區(qū)報，精準(zhǔn)覆蓋北京636座寫字樓(公寓)70000實(shí)名精英讀者的精神咖啡2005年8月29日的華夏時報公布了該報最新的發(fā)行量數(shù)據(jù)，并聲明是“最新發(fā)行數(shù)據(jù)誠信公告”國貿(mào)—京廣建國門—王府井燕莎西單—金融街中關(guān)村亞奧990592912181067201012642196604450250898522653911828918111252210340182547853201719243304777355748814421717116016810151151109144181341819051150512078364395481811139133026102318621216159330925340*不同商圈的報紙發(fā)行量是否有差異？要檢驗不同商圈的發(fā)行量是否有顯著差異，可以接受方差分析方法。但該方法假定每個商圈在不同發(fā)行點(diǎn)的發(fā)行量應(yīng)聽從正態(tài)分布，且方差相等事實(shí)上，這些假定很難得到滿足。比如，對上述數(shù)據(jù)所做的正態(tài)分布檢驗表明，亞奧商圈的發(fā)行量就不滿足正態(tài)分布(P=0.018<0.05)非參數(shù)方法就不須要這些假定，照樣可以得到比較滿足的檢驗結(jié)果。比如，對上述數(shù)據(jù)所做的Kruskal-Wallis檢驗得到的(P=0.355>0.05)，沒有證據(jù)表明不同商圈的報紙發(fā)行量之間存在顯著差異

14.1單樣本的檢驗

14.1.1總體分布類型的檢驗

14.1.2中位數(shù)的符號檢驗

14.1.3Wilcoxon符號秩檢驗第14章非參數(shù)檢驗14.1.1總體分布類型的檢驗14.1單樣本的檢驗*二項分布檢驗(binomialtest)是通過考察二分類變量的每個類別中視察值的頻數(shù)與特定二項分布下的期望頻數(shù)之間是否存在顯著差異，來推斷抽取樣本所依靠的總體是否聽從特定概率為P的二項分布二項分布檢驗的原假設(shè)是：抽取樣本所依靠的總體與特定的二項分布無顯著差異依據(jù)二項分布學(xué)問，一個聽從二項分布的隨機(jī)變量，在n次試驗中，出現(xiàn)“成功”的次數(shù)的概率為若“成功”的次數(shù)的概率小于給定的顯著性水平，則拒絕原假設(shè)，表明抽取樣本所依靠的總體與特定概率為p的二項分布有顯著差異(樣本數(shù)據(jù)不是來自某個特定概率為p的二項分布)總體分布類型的檢驗

(二項分布檢驗)*【例14-1】依據(jù)以往的生產(chǎn)數(shù)據(jù)，某種產(chǎn)品的合格率為90%?，F(xiàn)從中隨機(jī)抽取25個進(jìn)行檢測，合格品為20個。檢驗該批產(chǎn)品的合格率是否為90%？(產(chǎn)品合格率X~B(n,0.9))SPSS的數(shù)據(jù)格式表中的“1”表示合格品；“0”表示不合格品總體分布類型的檢驗

(二項分布檢驗)合格品頻數(shù)12005*第1步：指定“頻數(shù)”變量：點(diǎn)擊【數(shù)據(jù)】【加權(quán)個案】，將“頻數(shù)”選入【頻率變量】【確定】第2步：選擇【分析】【非參數(shù)檢驗】選項進(jìn)入主對話框第3步：將待檢驗的變量選入【檢驗變量列表】第4步：在【檢驗比例】中輸入檢驗的概率

(本例為0.9)，點(diǎn)擊【確定】二項分布檢驗總體分布類型的檢驗

(SPSSbinomialtest)SPSS*【例14.1】輸出結(jié)果表中的合格品的視察比例為0.8，檢驗比例為0.9。精確單尾概率為0.098，它表示假如該批產(chǎn)品的合格率為0.9，那么25個產(chǎn)品中合格品數(shù)量小于等于20個的概率為0.098。P>0.05,不拒絕原假設(shè)，沒有證據(jù)表明該批產(chǎn)品的合格率不是0.9總體分布類型的檢驗

(SPSSbinomialtest)二項分布檢驗SPSS*單樣本的K-S檢驗(Kolmogorov-Smirnov檢驗)是用來檢驗抽取樣本所依靠的總體是否聽從某一理論分布其方法是將某一變量的累積分布函數(shù)與特定的分布函數(shù)進(jìn)行比較。設(shè)總體的累積分布函數(shù)為F(x)，已知的理論分布函數(shù)為F0(x)，則檢驗的原假設(shè)和備擇假設(shè)為H0:F(x)=F0(x)；H1:F(x)≠F0(x)原假設(shè)所表達(dá)的是：抽取樣本所依靠的總體與指定的理論分布無顯著差異SPSS供應(yīng)的理論分布有正態(tài)分布、Poisson分布、勻整分布、指數(shù)分布等總體分布類型的檢驗

(K-S檢驗)*【例14-2】沿用第6章的例6-7。對某汽車配件供應(yīng)商供應(yīng)的10個樣本進(jìn)行檢測，得到其長度數(shù)據(jù)如下(單位：cm)

檢驗該供貨商生產(chǎn)的配件長度是否聽從正態(tài)分布？(=0.05)總體分布類型的檢驗

(K-S檢驗)12.210.812.011.811.912.411.312.212.012.3*第1步：選擇【分析】【非參數(shù)檢驗】【1-樣本K-S】進(jìn)入主對話框第2步：將待檢驗的變量選入【檢驗變量列表】(本例為“配件長度”)第3步：點(diǎn)擊【精確】，并在對話框中選擇

【精確】，點(diǎn)擊【確定】K—S檢驗總體分布類型的檢驗

(SPSSK-S檢驗)SPSS*【例14-2】輸出結(jié)果精確雙尾概率為0.602>0.05，不拒絕原假設(shè)。沒有證據(jù)表明該供貨商供應(yīng)的汽車配件長度不聽從正態(tài)分布總體分布類型的檢驗

(SPSSK-S檢驗)K—S檢驗SPSS14.1.2中位數(shù)的符號檢驗14.1單樣本的檢驗*檢驗總體中位數(shù)是否等于某個假定的值設(shè)一個隨機(jī)樣本有n個數(shù)據(jù)，總體中位數(shù)的實(shí)際值為M，假設(shè)的總體中位數(shù)值為M0。當(dāng)樣本中的數(shù)據(jù)大于假設(shè)的中位數(shù)時，用“+”號表示，小于假設(shè)的中位數(shù)時，用“-”表示；對于恰好等于假設(shè)的中位數(shù)的數(shù)據(jù)予以剔出若關(guān)切實(shí)際的M與假設(shè)的M0是否有差別，應(yīng)建立假設(shè)H0:M=M0；H1:M≠M(fèi)0計算檢驗統(tǒng)計量S+和S-。S+表示每個樣本數(shù)據(jù)與M0與差值符號為正的個數(shù)；S-表示每個樣本數(shù)據(jù)與M0差值符號為負(fù)的個數(shù)計算P值并作出決策。若P<，拒絕原假設(shè)中位數(shù)的符號檢驗

(signtest)*【例14-3】某企業(yè)生產(chǎn)一種零件，規(guī)定其長度的中位數(shù)為15厘米，現(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批零件中隨機(jī)抽取16只，測得其長度(單位：cm)如下

檢驗該企業(yè)生產(chǎn)零件的中位數(shù)與15cm是否有顯著差異？(=0.05)中位數(shù)的符號檢驗

(signtest)15.114.514.814.615.214.814.814.614.815.115.314.715.015.215.114.7*第1步：選擇【分析】【非參數(shù)檢驗-二項式】選項進(jìn)入主對話框第2步：將待檢驗的變量選入【檢驗變量列表】(本例為“零件長度”)第3步：點(diǎn)擊【定義二分法】,中在【割點(diǎn)】框中輸入總體中位數(shù)的假設(shè)值15，在【檢驗比例】框內(nèi)輸入二項分布的參數(shù)0.5，點(diǎn)擊【確定】符號檢驗中位數(shù)的符號檢驗

(SPSSsigntest)SPSS*【例14-3】輸出結(jié)果零件長度小于等于中位數(shù)的有10個，大于中位數(shù)的只有6個。而參數(shù)為(16,0.5)的二項分布變量大于等于15的概率為0.227。精確雙尾概率為P=0.454>0.05，不拒絕原假設(shè)。沒有證據(jù)表明該企業(yè)生產(chǎn)零件的實(shí)際中位數(shù)與15cm有顯著差異(運(yùn)用SPSS中的【NonparametricTests-2RelatedSamples】選項也可以作上述檢驗)中位數(shù)的符號檢驗

(SPSSsigntest)符號檢驗SPSS14.1.3Wilcoxon符號秩檢驗14.1單樣本的檢驗*秩就是一組數(shù)據(jù)依據(jù)從小到大的依次排列之后，每一個觀測值所在的位置用一般符號R來表示，假定一組數(shù)據(jù)，依據(jù)從小到大的依次排列，在全部觀測值中排第位，那么的秩即為也是一個統(tǒng)計量，它測度的是數(shù)據(jù)觀測值的相對大小，大多數(shù)非參數(shù)檢驗方法正是利用秩的這一性質(zhì)來解除總體分布未知的障礙的。當(dāng)然，也有一些非參數(shù)方法并不涉及秩的性質(zhì)秩的概念

(rank)*很多狀況下，數(shù)據(jù)中會出現(xiàn)相同的觀測值，那么對它們進(jìn)行排序后，這些相同觀測值的排名明顯是并列的，也就是說它們的秩是相等的，這種狀況被稱為數(shù)據(jù)中的“結(jié)”對于結(jié)的處理，通常是以它們排序后所處位置的平均值作為它們共同的秩當(dāng)一個數(shù)據(jù)中結(jié)比較多時，某些非參數(shù)檢驗中原假設(shè)下檢驗統(tǒng)計量的分布就會受到影響，從而須要對統(tǒng)計量進(jìn)行修正(一般狀況下，軟件會自動作出修正)結(jié)的處理

(ties)*檢驗總體參數(shù)(如中位數(shù))是否等于某個假定的值。它是對符號檢驗的一種改進(jìn)，彌補(bǔ)了符號檢驗的不足，要比單純的符號檢驗更精確一些(對應(yīng)的參數(shù)檢驗—單樣本均值檢驗)檢驗步驟計算各樣本視察值與假定的中位數(shù)的差值，并取確定值將差值的確定值排序，并找出它們的秩計算檢驗統(tǒng)計量和P值，并作出決策Wilcoxon符號秩檢驗

(Wilcoxonsignedrankstest)*第1步：選擇【分析】【非參數(shù)檢驗-2個相關(guān)樣本】主對話框第2步：將兩個變量同時選入【檢驗對】，(“零件長度”和“假設(shè)中位數(shù)”)第3步：在【檢驗類型】下選擇【W(wǎng)ilcoxon】，點(diǎn)擊【精確】并選擇【精確】，返回主對話框，點(diǎn)擊【確定】Wilcoxon符號秩檢驗Wilcoxon符號秩檢驗

(SPSSWilcoxontest)SPSS*【例14-4】輸出結(jié)果

精確的雙尾概率為0.126，不拒絕原假設(shè)。沒有證據(jù)表明零件的實(shí)際中位數(shù)與15cm有顯著差異Wilcoxon符號秩檢驗

(SPSSWilcoxontest)Wilcoxon符號秩檢驗SPSS

14.2兩個及兩個以上樣本的檢驗

14.2.1兩個配對樣本的Wilcoxon符號秩檢驗

14.2.2兩個獨(dú)立樣本的Mann-Whitney檢驗

14.2.3k個獨(dú)立樣本的Kruskal-Wallis檢驗

第14章非參數(shù)檢驗14.2.1兩個配對樣本的Wilcoxon符號秩檢驗14.2兩個及兩個以上樣本的檢驗*檢驗兩個總體的分布是否相同，或者說兩個總體的中位數(shù)是否相同對應(yīng)的參數(shù)方法—兩個配對樣本的t檢驗提出的假設(shè)為H0:Md=0；H1:Md≠0(Md表示差值的中位數(shù))檢驗步驟計算各數(shù)據(jù)對的差值di，并取確定值，排序后求出秩計算檢驗統(tǒng)計W或z依據(jù)P值作出決策兩個配對樣本

Wilcoxon符號秩檢驗*檢驗統(tǒng)計量小樣本狀況下，統(tǒng)計量

聽從Wilcoxon符號秩分布大樣本狀況下，統(tǒng)計量近似聽從正態(tài)分布兩個配對樣本

Wilcoxon符號秩檢驗*【例14-5】一家制造企業(yè)準(zhǔn)備接受一種新的方法生產(chǎn)產(chǎn)品，為確定新方法與舊方法生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量是否相同，隨機(jī)抽取10個工人，每個工人分別運(yùn)用新舊兩種方法生產(chǎn)產(chǎn)品。10個工人接受兩種生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量如下。檢驗新舊兩種方法所生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量是否有顯著差異？(=0.05)

兩個配對樣本

Wilcoxon符號秩檢驗工人12345678910舊方法1214131117910111716新方法16171419161517161518*第1步：選擇【分析】【非參數(shù)檢驗-2個相關(guān)樣本】主對話框第2步：將兩個變量同時選入【檢驗對】，(“舊方法”和“新方法”)第3步：在【檢驗類型】下選擇【W(wǎng)ilcoxon】，點(diǎn)擊【精確】并選擇【精確】，返回主對話框，點(diǎn)擊【確定】Wilcoxon符號秩檢驗兩配對樣本W(wǎng)ilcoxon符號秩檢驗

(SPSSWilcoxontest)SPSS*【例14-5】輸出結(jié)果

統(tǒng)計量為-2.296，精確的雙尾P=0.021<0.05，拒絕H0，兩種方法生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量有顯著差異兩配對樣本W(wǎng)ilcoxon符號秩檢驗

(SPSSWilcoxontest)Wilcoxon符號秩檢驗SPSS14.2.2兩個獨(dú)立樣本的Mann-Whitney檢驗14.2兩個及兩個以上樣本的檢驗*也稱為Mann-WhitneyU檢驗(Mann-WhitneyUtest)，或稱為Wilcoxon秩和檢驗用于確定兩個總體間是否存在差異的一種非參數(shù)檢驗方法(對應(yīng)的參數(shù)方法—兩個獨(dú)立樣本的t檢驗或z檢驗)Mann-Whitney檢驗不須要諸如總體聽從正態(tài)分布且方差相同等之類的假設(shè)，但要求是兩個獨(dú)立隨機(jī)樣本的數(shù)據(jù)至少是依次數(shù)據(jù)與Wilcoxon符號秩檢驗不同，它不是基于相關(guān)樣本，而是運(yùn)用兩個獨(dú)立樣本兩個獨(dú)立樣本

Mann-Whitney檢驗*設(shè)X、Y是兩個連續(xù)的總體，其累積分布函數(shù)為Fx和Fy，從兩個總體中分別抽取兩個獨(dú)立樣本：(x1，x2，…，xm)和(y1，y2，…，yn)若要檢驗兩個總體是否相同，提出如下假設(shè)

H0

：兩個總體相同，H1

：兩個總體不相同或等價于

H0：Mx=My

；H1：Mx≠M(fèi)y兩個獨(dú)立樣本

Mann-Whitney檢驗*檢驗步驟把兩組數(shù)據(jù)混合在一起，得到m+n＝N個數(shù)據(jù)，并找出N個數(shù)據(jù)的秩分別對樣本(x1，x2，…，xm)和(y1，y2，…，yn)的秩求出平均秩，得到兩個平均秩和，并對平均秩的差距進(jìn)行比較：若二者相差甚遠(yuǎn)，意味著一組樣本的秩普遍偏小，另一組樣本的秩普遍偏大，此時原假設(shè)有可能不成立計算樣本(x1，x2，…，xm)中每個秩大于樣本(y1，y2，…，yn)的每個秩的個數(shù)，以及樣本(y1，y2，…，yn)中每個秩大于樣本(x1，x2，…，xm)中每個秩的個數(shù)兩個獨(dú)立樣本

Mann-Whitney檢驗*檢驗步驟計算Wilcoxon統(tǒng)計量W和Mann-Whitney統(tǒng)計量U分別求出兩個樣本的秩的和，Wx和Wy。若m<n，檢驗統(tǒng)計量W=Wx；若m>n，統(tǒng)計量W=Wy；若m=n，統(tǒng)計量為第一個變量值所在樣本組的W值Mann-Whitney統(tǒng)計量定義為小樣本狀況下，統(tǒng)計量聽從Mann-Whitney分布，大樣本狀況下，近似聽從正態(tài)分布，檢驗統(tǒng)計量為依據(jù)P值作出決策兩個獨(dú)立樣本

Mann-Whitney檢驗(k為W對應(yīng)樣本組的樣本數(shù)據(jù)個數(shù))*【例14-6】8亞洲國家和8個歐美國家2005年的人均國民收入數(shù)據(jù)如下。檢驗亞洲國家和歐美國家的人均國民收入是否有顯著差別？(=0.05)

兩個獨(dú)立樣本

Mann-Whitney檢驗亞洲國家人均國民總收入歐美國家人均國民總收入

中國1740

美國43740

日本38980

加拿大32600

印度尼西亞1280

德國34580

馬來西亞4960

英國37600

泰國2750

法國34810

新加坡27490

意大利30010

韓國15830

墨西哥7310

印度720

巴西3460*第1步：選擇【分析】【非參數(shù)檢驗-2個獨(dú)立樣本】主對話框第2步：將待檢驗變量選入【檢驗變量列表】，

(本例為“人均國民收入”)；將分類變量選入的

【分組變量】框內(nèi)(本例為“國家”)，點(diǎn)擊進(jìn)入【定義范圍】分別輸入類別代碼“1”和“2”，返回主對話框第3步：在【檢驗類型】下選擇【Mann-WhitneyU】，點(diǎn)擊【精確】并選擇【精確】，返回主對話框，點(diǎn)擊【確定】Mann-Whitney檢驗兩個獨(dú)立樣本

(SPSSMann-Whitneytest)SPSS*【例14-6】輸出結(jié)果

統(tǒng)計量為-2.100，精確的雙尾0.038，拒絕H0，亞洲國家和歐美國家的人均國民收入有顯著差別兩個獨(dú)立樣本

(SPSSMann-Whitneytest)Mann-Whitney檢驗SPSS14.2.3k個獨(dú)立樣本的Kruskal-Wallis檢驗14.2兩個及兩個以上樣本的檢驗*用于檢驗多個總體是否相同(對應(yīng)的參數(shù)方法—方差分析)Kruskal-Wallis檢驗不須要總體聽從正態(tài)分布且方差相等這些假設(shè)該檢驗可用于依次數(shù)據(jù)，也可用于數(shù)值型數(shù)據(jù)要檢驗k個總體是否相同，提出如下假設(shè)H0：全部總體都相同，H1：并非全部總體都相同或等價于H0：M1=M2=…=MkH1：M1，M2，…，Mk不全相同k個獨(dú)立樣本

Kruskal-Wallis檢驗*檢驗步驟將全部樣本的視察值混合在一起，找出每個視察值在N個數(shù)據(jù)中的秩計算檢驗統(tǒng)計量當(dāng)每個樣本的容量均大于等于5時，檢驗的統(tǒng)計量H的抽樣分布近似自由度為k-1的2分布。若P<，則拒絕H0，表明k個總體是不全相同的k個獨(dú)立樣本

Kruskal-Wallis檢驗*

k個獨(dú)立樣本

Kruskal-Wallis檢驗大學(xué)A大學(xué)B大學(xué)C617589856263787680669865708677957371698458【例14-7】為比較3所高校的英語教學(xué)質(zhì)量，分別從高校A抽取7名學(xué)生、高校B抽取6名學(xué)生、高校C抽取8名學(xué)生，接受同一份試題進(jìn)行考試，得到考試分?jǐn)?shù)的數(shù)據(jù)如表。試評價3所高校的英語教學(xué)質(zhì)量是否有顯著差異？(=0.05)*第1步：選擇【分析】【非參數(shù)檢驗-k個獨(dú)立樣本】主對話框第2步：將待檢驗的變量選入【檢驗變量列表】，(本例為“考試成果”)，將分類變量選入【分組變量】框內(nèi)(本例為“高?！?，點(diǎn)擊進(jìn)入【定義范圍】，將代碼最小值1輸入【最小值】，最大值3輸入【最大值】，返回主對話框第3步：在【檢驗類型】下選擇【Kruskal-Wallis】，點(diǎn)擊【確定】Kruskal-Wallis檢驗k個獨(dú)立樣本

(SPSSKruskal-Wallis)SPSS*【例14-7】輸出結(jié)果漸進(jìn)的雙尾P值為0.778，不拒絕H0，沒有證據(jù)表明3所高校的英語考試成果之間存在顯著差異k個獨(dú)立樣本

(SPSSKruskal-Wallis)Kruskal-Wallis檢驗SPSS14.3秩相關(guān)及其檢驗

14.3.1Spearman秩相關(guān)及其檢驗

14.3.2Kendall秩相關(guān)及其檢驗

第14章非參數(shù)檢驗14.3.1Spearman秩相關(guān)及其檢驗14.3秩相關(guān)及其檢檢驗*對兩個依次變量之間相關(guān)程度的一種度量Spearman秩相關(guān)系數(shù)也稱等級相關(guān)系數(shù)，記為rs，計算公式為Spearman秩相關(guān)檢驗rs的取值范圍為[-1,1]rs=1，兩種排序之間完全相關(guān)；若-1<rs<0，兩種排序之間為負(fù)相關(guān)；若0<rs<1，兩種排序之間為正相關(guān)；若rs=0，兩種排序之間不相關(guān)

|rs|越趨于1，相關(guān)程度越高；越趨于0，相關(guān)程度越低*

Spearman秩相關(guān)檢驗【例14-8】在一項關(guān)于職業(yè)聲望和可信任程度的調(diào)查中，列舉了12種職業(yè)，要求被調(diào)查者分別按聲望凹凸和值得信任程度進(jìn)行排序，調(diào)查數(shù)據(jù)如表計算兩種排序之間的Spearman秩相關(guān)系數(shù)，并進(jìn)行檢驗。(=0.01)職業(yè)聲望排序信賴程度排序科學(xué)家醫(yī)生工程師政府官員中小學(xué)教師大學(xué)教師新聞記者律師企業(yè)管理人員銀行管理人員建筑設(shè)計人員會計師126345789101112124735861210911*第1步：選擇菜單：【分析】【相關(guān)】【雙變量】第2步：將兩個變量選入【變量】在【相關(guān)系數(shù)】下選擇【Spearman】在【檢驗顯著性】下選擇雙側(cè)檢驗【雙側(cè)檢驗】或單側(cè)檢驗【單側(cè)檢驗】(在此我們以：聲望排序與信任程度排序之間不存在顯著相關(guān)，進(jìn)行雙側(cè)檢驗)，點(diǎn)擊【確定】Spearman秩相關(guān)檢驗Spearman秩相關(guān)檢驗

(SPSS

Spearman)SPSS*【例14-8】輸出結(jié)果Spearman秩相關(guān)系數(shù)為