【全套解析】高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 109 離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布課件 （理） 新人教A

第九節(jié)離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布1.理解取有限個值的離散型隨機變量均值、方差的概念．2．能計算簡單離散型隨機變量的均值、方差，并能解決一些實際問題．3．利用實際問題的直方圖，了解正態(tài)分布的特點及曲線所表示的意義．1．離散型隨機變量的均值與方差(1)均值若離散型隨機變量ξ的概率分布為ξx1x2…xn…Pp1p2…pn…則ξ的數(shù)學(xué)期望(或平均數(shù)、均值，簡稱期望)為Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．(2)方差如果離散型隨機變量ξ所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…且取這些值的概率分別是p1，p2，…，pn，…那么D(ξ)＝(x1－Eξ)2·p1＋(x2－Eξ)2·p2＋…＋(xn－Eξ)2·pn＋…叫做ξ的方差．隨機變量的方差與標準差都反映了隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度．(標準差與隨機變量本身有相同的單位)(3)若ξ服從二項分布，即ξ～B(n，p)，則Eξ＝np，Dξ＝np(1－p)．兩點分布，則Eξ＝p，Dξ＝p(1－p)．2．均值、方差的性質(zhì)及應(yīng)用(1)EC＝C(C為常數(shù))；(2)E(aξ＋b)＝aEξ＋b(a、b為常數(shù))；(3)D(aξ＋b)＝a2Dξ.3．正態(tài)分布(1)函數(shù)(2)正態(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間(μ－3σ，μ＋3σ)之內(nèi)，而在此區(qū)間以外取值的概率只有0.0026，通常認為這種情況在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生．1．設(shè)隨機變量ξ～B(n，p)，且Eξ＝1.6，Dξ＝1.28，則(

)A．n＝8，p＝0.2

B．n＝4，p＝0.4C．n＝5，p＝0.32 D．n＝7，p＝0.45答案：A2．如果ξ是離散型隨機變量，η＝3ξ＋2，那么(

)A．Eη＝3Eξ＋2，Dη＝9DξB．Eη＝3Eξ，Dη＝3Dξ＋2C．Eη＝3Eξ＋2，Dη＝9Eξ＋4D．Eη＝3Eξ＋4，Dη＝3Dξ＋2答案：A解析：∵Eξ＝μ＝－2，∴E(2ξ－1)＝2Eξ－1＝－5.答案：D4．一個均勻勻小正方體體的六個面面中，三個個面上標以以數(shù)0，兩個面上上標以數(shù)1，一個面上上標以數(shù)2.將這個小正正方體拋擲擲2次，則向上上的數(shù)之積積的數(shù)學(xué)期期望________．熱點之一求離散型隨隨機變量的的期望與方方差求離散型隨隨機變量X的均值與方方差的步驟驟：1．理解X的意義，寫寫出Y的所有可能能取值；2．求X取每個值的的概率；3．寫出X的分布列；；4．由均值的的定義求EX；5．由方差的的定義求DX.[例1]袋中有20個大小相同同的球，其其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n＝1,2,3,4)．現(xiàn)從袋中中任取一個個，ξ表示所取球球的標號．．(1)求ξ的分布列、、期望和方方差；(2)若η＝aξ＋b，Eη＝1，Dη＝11，試求a，b的值．(2)由Dη＝a2Dξ，得a2×2.75＝11，即a＝±2.又Eη＝aEξ＋b，∴當(dāng)a＝2時，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；當(dāng)a＝－2時，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.[思維拓展]在計算離散散型隨機變變量的期望望與方差時時，首先要要弄清其分分布特征，，正確求出出分布列，，這是求均均值和方差差的前提，，然后準確確應(yīng)用公式式，特別是是充分利用用期望和方方差的性質(zhì)質(zhì)解題，善善于使用公公式E(aX＋b)＝aEX＋b，D(aX＋b)＝a2DX，能避免免繁瑣的的運算過過程，提提高運算算速度和和準確度度．即時訓(xùn)練練某商場舉舉行抽獎獎促銷活活動，抽抽獎規(guī)則則是：從從裝有9個白球，，1個紅球的的箱子中中每次隨隨機地摸摸出1個球，記記下顏色色后放回回，摸出出1個紅球可可獲得獎獎金10元；摸出出2個紅球可可獲得獎獎金50元，現(xiàn)有有甲、乙乙兩位顧顧客，規(guī)規(guī)定：甲甲摸一次次，乙摸摸兩次，，令X表示甲，，乙摸球球后獲得得的獎金金總額．．求：(1)X的概率分分布；(2)X的數(shù)學(xué)期期望．解：摸球的情情形有以以下5種：甲1白，乙2白(0元)；甲1紅，乙2白或甲1白，乙1紅1白(10元)；甲1紅，乙1紅1白(20元)；甲1白，乙2紅(50元)；甲1紅，乙2紅(60元)．(1)X的所有可可能的取取值為0,10,20,50,60，熱點之二期望與方差的的性質(zhì)及應(yīng)用用利用均值和方方差的性質(zhì)，，可以避免復(fù)復(fù)雜的運算．．常用性質(zhì)有有：(1)EC＝C(C為常數(shù))；(2)E(aX＋b)＝aEX＋b(a，b為常數(shù))；(3)E(X1＋X2)＝EX1＋EX2；E(aX1＋bX2)＝aE(X1)＋bE(X2)；[思維拓展]1.要掌握簡單的的方差與期望望計算．2．公式運用要要嚴密準確．．即時訓(xùn)練如果X是離散型隨機機變量，EX＝6，DX＝0.5，X1＝2X－5，那么EX1和DX1分別是()A．12,1B．7,1C．12,2D．7,2解析：因為E(aX＋b)＝aEX＋b，D(aX＋b)＝a2DX，由已知可可得EX1＝7，DX1＝2，應(yīng)選D.答案：D熱點之三與二項分布布有關(guān)的期期望與方差差當(dāng)隨機變量量X服從兩點分分布或二項項分布時，，可不用列列出分布列列，直接由由公式求出出EX和DX.[思路探究]解答該5個問題可以以認為是5次獨立重復(fù)復(fù)試驗，答答對問題的的個數(shù)ξ服從二項分分布，求η的期望與方方差可通過過ξ與η的線性關(guān)系系間接求出出．[思維拓展](1)當(dāng)求隨機變變量ξ的期望與方方差時，可可首先分析析ξ是否服從二二項分布，，如果服從從，則用公公式求解，，可大大減減少運算量量．(2)注意利用E(aξ＋b)＝aEξ＋b及D(aξ＋b)＝a2Dξ求期望與方方差．即時訓(xùn)練某運動員投投籃命中率率為p＝0.6.(1)求一次投籃籃時命中次次數(shù)X的期望與方方差；(2)求重復(fù)5次投籃時，，命中次數(shù)數(shù)η的期望與方方差．X01P0.40.62．要記住正態(tài)態(tài)變量的取取值位于三三個區(qū)間內(nèi)內(nèi)的概率值值．在求解解實際問題題時，先求求出正態(tài)分分布的兩個個重要參數(shù)數(shù)μ和σ的值，然后后結(jié)合三個個區(qū)間對應(yīng)應(yīng)的概率值值進行解答答．即時訓(xùn)練把一正態(tài)曲曲線C1沿著橫軸方方向向右移移動2個單位，得得到一條新新的曲線C2，下列說法法不正確的的是()A．曲線C2仍是正態(tài)曲曲線B．曲線C1，C2的最高點的的縱坐標相相等C．以曲線C2為概率密度度曲線的總總體的方差差比以曲線線C1為概率密度度曲線的總總體的方差差大2D．以曲線C2為概率密度度曲線的總總體的期望望比以曲線線C1為概率密度度曲線的總總體的期望望大2答案：C本節(jié)是理科科高考中的的重點內(nèi)容容之一，題題型以解答答題為主，，考查隨機機變量的概概率、分布布列、期望望和方差等等，大多以以實際問題題為背景，，涉及排列列組合、互互斥事件的的概率、相相互獨立事事件的概率率、條件概概率等，考考查利用所所學(xué)知識解解決實際問問題的能力力．[例5](2010·全國國Ⅱ)如圖圖，，由由M到N的電電路路中中有有4個元元件件，，分分別別標標為為T1，T2，T3，T4，電電流流能能通通過過T1，T2，T3的概概率率都都是是p，電電流流能能通通過過T4的概概率率是是0.9，電電流流能能否否通通過過各各元元件件相相互互獨獨立立．．已已知知T1，T2，T3中至至少少有有一一個個能能通通過過電電流流的的概概率率為為0.999.(1)求p；(2)求電電流流能能在在M與N之間間通通過過的的概概率率；；(3)ξ表示示T1，T2，T3，T4中能能通通過過電電流流的的元元件件個個數(shù)數(shù)，，求求ξ的期期望望．．[解]記Ai表示示事事件件：：電電流流能能通通過過Ti，i＝1,2,3,4.A表示示事事件件：：T1，T2，T3中至至少少有有一一個個能能通通過過電電流流．．B表示事事件：：電流流能在在M與N之間通通過．．＝0.9＋0.1×0.9×0.9＋0.1×0.1×0.9×0.9＝0.9891.(3)由于電電流能能通過過各元元件的的概率率都是是0.9，且電電流能能否通通過各各元件件相互互獨立立，ξ～B(4,0.9)，Eξ＝4×0.9＝3.6.1．(2010·課標全全國)某種種種子每每粒發(fā)發(fā)芽的的概率率都為為0.9，現(xiàn)播播種了了1000粒，對對于沒沒有發(fā)發(fā)芽的的種子子，每每粒需需再補補種2粒，補補種的的種子子數(shù)記記為X，則X的