初二幾何輔助線添加方法

初

中

數(shù)

學(xué)

輔

助

線三角問添加輔助線方法方法1：有關(guān)三角形中線的題目，常將中線加倍。含有中點的題目，常常利用三角形的中位線，通過這種方法，把要證的結(jié)論恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)移，很容易地解決了問題。方法2：含有平分線的題目，常以角平分線為對稱軸，利用角平分線的性質(zhì)和題中的條件，構(gòu)造出全等三角形，從而利用全等三角形的知識解決問題。方法3：結(jié)論是兩線段相等的題目常畫輔助線構(gòu)成全等三角形，或利用關(guān)于平分線段的一些定理。方法4：結(jié)論是一條線段與另一條線段之和等于第三條線段這類題目，常采用截長法或補短法，所謂截長法就是把第三條線段分成兩部分，證其中的一部分等于第一條線段，而另一部分等于第二條線段。平行邊中常用輔助線的添法平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對邊、對角和對角線都具有某些相同性質(zhì)，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構(gòu)成三角形的全等、相似，把平行四邊形問題轉(zhuǎn)化成常見的三角形、正方形等問題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡解如下：（1）連對角線平移對角線：（2）過頂點作邊的垂線構(gòu)造直角三角形

（3）連接對角交點與一邊中點，或過對角線交點作一邊的平行線，構(gòu)造線段平行或中位線（4接頂點與對邊上一點的線段或延長這條線段造三角形相似或等積三角形。（5）過頂點作角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等.梯形常輔助線的添法梯形是一種特殊的四邊形。它是平行四邊形、三角形知識的綜合，通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決。輔助線的添加成為問題解決的橋梁，梯形中常用到的輔助線有：（1）在梯形內(nèi)平移一腰。（2）梯形外平一腰（3）梯形內(nèi)平兩腰（4）延長兩腰（5）過梯形上的兩端點向下底作高（6）平移對角（7）連接梯形頂點及一腰的中點。（8）過一腰的點作另一腰的平行線。（9）作中位線

當(dāng)然在梯形的有關(guān)證明和計算中，添加的輔助線并不一定是固定不變的、單一的。通過輔助線這座橋梁，將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決，這是解決問題的關(guān)鍵。作輔助線的方法一：中點、中位線，延線，平行線。如遇條件中有中點，中線、中位線等，那么過中點，延長中線或中位線作輔助線，使延長的某一段等于中線或中位線；另一種輔助線是過中點作已知邊或線段的平行線，以達(dá)到應(yīng)用某個定理或造成全等的目的。二：垂線、分角線，翻轉(zhuǎn)全等連。如遇條件中，有垂線或角的平分線，可以把圖形按軸對稱的方法，并借助其他條件，而旋轉(zhuǎn)180，得到全等形，這時輔助線的做法就會應(yīng)運而生。其對稱軸往往是垂線或角的平分線。三：邊邊若相等，旋轉(zhuǎn)做實驗。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，有時邊角互相配合，然后把圖形旋轉(zhuǎn)一定的角度，就可以得到全等形，這時輔助線的做法仍會應(yīng)運而生。其對稱中心，因題而異，有時沒有中心。故可分“有心”和“無心”旋轉(zhuǎn)兩種。四造角、平、相似，和、差、積、商見。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，欲證線段或角的和差積商，往往與相

似形有關(guān)。在制造兩個三角形相似時，一般地，有兩種方法：第一，造一個輔助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一線段進行平移。故作歌訣、平、相似，和差積商見五：面積找底高，多邊變?nèi)?。如遇求面積條件和結(jié)論中出現(xiàn)線段的平方、乘積，仍可視為求面積往往作底或高為輔助線，而兩三角形的等底或等高是思考的關(guān)鍵。如遇多邊形，想法割補成三角形；反之，亦成立。另外，我國明清數(shù)學(xué)家用面積證明勾股定理，其輔助線的做法，即“割補”有二百多種，大多數(shù)為“面積找底高，多邊變?nèi)叧踔袔缀纬Ｒ娸o助線口訣人說幾何很困難，難點就在輔助線。輔助線，如何添把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗。三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角去。三角形中兩中點，連接則成中位線。

三角形中有中線，延長中線等中線。四邊形平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點。梯形問題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)椤骱汀跗揭蒲?，移對角，兩腰延長作出高。如果出現(xiàn)腰中點，細(xì)心連上中位線。上述方法不奏效，過腰中點全等造。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項一大片。三角形中作輔助線的常用方法舉例一．倍長中線1：已eq\o\ac(△,知)，AD是BC邊上的中線，分以邊、AC邊為直角邊E各向形外作等腰直角三角形，如圖5-2，證EF＝2AD二、截長補短法作輔助線。

A

FB

D

C在△ABC中，AD平分∠BAC，求證：AB＝AC＋CD三、延長已知邊構(gòu)造三角形：

5例如：如圖7-1：已知AC＝BD，AD⊥AC于A，BC⊥BDB，

求證：AD＝BC分析：欲證先證分別含有的三角形全等，有幾種方案：△ADC與

eq\o\ac(△,，)BCD△AOD與△BOC，與△但根據(jù)現(xiàn)有條件，均無法證全等，差角的相等，因此可設(shè)法作出新的角，且讓此角作為兩個三角形的公共角。證明分別延長DA，CB，它們的延長交于E點，∵AD⊥ACBC⊥BD（已知）

EA

B∴∠CAE＝∠DBE＝90°（垂直的定義）在DBE與△CAE中

D

圖7

C公共)CAE已)∵

BD已)∴△DBE≌△CAE（AAS）∴ED＝EC（等三角形對應(yīng)邊相等）∴ED－EA＝EC－EB即：AD＝BC。（當(dāng)條件不足時，可通過添加輔助線得出新的條件，為證題創(chuàng)造條件四、連接四邊形的對角線，把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成為三角形來解決。例如：如圖8-1：AB∥CD，AD∥BC

求證：AB=CD分析：圖為四邊形，我們只學(xué)了三角形的有關(guān)知識，必須把它轉(zhuǎn)化為三角形來解決。

證明連接AC（或BD）∵AB∥CDAD∥BC（已知）∴＝，＝∠4（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）在ABC與△中

A

D∵

CA)已證)

B

圖8

∴△ABC≌△CDA（ASA∴AB＝CD（全等三角形對應(yīng)邊相等）五、有和角平分線垂直的線段時，通常把這條線段延長。例如：如圖9-1：在中，AB＝AC，∠BAC＝90°∠1，CE⊥BD的延于E。求：BD＝2CE分析：要證BD＝2CE，想到構(gòu)造線段同時CE與∠ABC平線垂直，想到要將其延長。證明：分別延長BA，CE交于點?！連E⊥CF（已）

FA

E∴∠BEF＝∠BEC＝90°（垂直的定義）

DB

9

在△BEF與△BEC中，)

(公共邊∵

BEC已證)∴△BEF≌（ASA）∴CE=FE=2CF（全三角形對應(yīng)邊相等）∵∠BAC=90°BE⊥CF（已知）∴∠BAC＝∠CAF＝90°∠1＋∠BDA∠1＋∠BFC＝90°∴∠BDA＝∠BFC在△ABD△∴△ABD△ACF）∴BD＝CF（全等三角形對應(yīng)邊相等）∴BD＝2CE六、連接已知點，構(gòu)造全等三角形。例如：已知：如圖；AC、BD相于點，，AC＝BD，求證：∠A＝∠D分析：要證∠A＝∠D可證它們所在的三角形△ABO和△DCO全，而只有AB＝DC和對頂角兩個條件，差一個條件，難以其全等，只有另尋其它的角形全等，由AB＝DC，AC＝BD，若連接BC，則△△DCB全等，所以，證得∠＝∠D。證明：連接BC，在△和△DCB中

A

DB

10

)DB知∵

CB(公共邊)∴ABC△DCB

(SSS)∴∠A＝∠D(全等三角形對應(yīng)邊相等七、取線段中點構(gòu)造全等三有形。例如：如圖11-1：AB＝DC，∠A＝∠D求證：∠ABC＝∠DCB。分析：由AB＝DC∠A＝∠D，想到如取的中點N連接，由SAS理有△△DCN故BN＝CN，∠ABN＝∠DCN。下面只需證∠NBC＝∠NCB，再取BC的中點，連接則由SSS理有△NBM△NCM，所以NBC＝∠NCB。問題得證。證明：取，BC中點，連接，NM，NC。則AN=DNBM=CM，在△ABN和△DCN中(輔助線的作法已)DC已)∵

ABM11

D

∴△ABN△DCN）∴∠ABN∠DCNNB＝NC（全等三角形對應(yīng)邊、角等）在△NBM△NCM

∵

NC證BM＝CM作)NM＝NM(公∴△NMB△NCM（全等三角形對應(yīng)角相等）∴∠NBC＋∠ABN∠NCB＋∠DCN

即∠ABC＝∠DCB。二由角分想到的輔助線口訣：圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。角平分線具有兩條性質(zhì)：a對稱性；角平分線上的點到角兩邊的距離相等。對于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。①從角平分線上一點向兩邊作垂線；②利用角平分線，構(gòu)造對稱圖形（如作法是在一側(cè)的長邊上截取短邊通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構(gòu)造對稱圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。與角有關(guān)的輔助線（一截構(gòu)全等幾何的證明在于猜想與嘗試，但這種嘗試與猜想是在一定的規(guī)律基本之上的，希望同學(xué)們能掌握相關(guān)的幾何規(guī)律，在解決幾何問題中大膽地去猜想，按一定的規(guī)律去嘗試。下面就幾何中常見的定理所涉及到的輔助線作以介紹。

如圖1-1∠AOC=∠BOC，如取并連接DE、DF，則有△OED△OFD從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。

AED1

A如圖

A

1-2，AB

2

BF圖1

CE

D

CD

B

H圖示3-1E

FBC圖

如所在角形ABCD，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17.求CD的長.解：點D作AB于點又AB∥CD，所以四邊形BCDE是行四邊形所以DE＝BC＝17，CD＝BE.

圖示，直梯在Rt

△DAE，由勾股定理，得AE

2

＝DE

－AD

2

，即AE

2

＝17

－15

2

＝64.所以AE＝8.所以BE＝AB－AE＝16－8＝8.即CD＝8.例2如，梯形ABCD的上底下底CD=8，腰AD=4，求另一腰取值范圍。解：

過

點B

作

DCBBM

11GH(BCBGCH)22

EDBE

梯形ABCD

(ADDH

6

5AC

2

2

(52)

2

2)

2

2

15cm20cm12cm

DCE

梯形ABCD

DBE

EHDE

2

DH

2

2

2

2

2

BHBD

2

DH

2

20

2

2

1BE(916)cm2

)

150cm如圖所示，四邊形AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC.判斷四邊形形狀，并證明你的結(jié)論解：邊形ABCD是等腰梯形.證明：延長AD、BC交于點E，如圖所示.∵AC＝BD，AD＝BC＝BA，∴△DAB≌△CBA.∴∠CBA.

ECAB

∴EA＝EB.又AD＝BC，∴DE＝CE，∠EDC＝∠ECD.而∠E＋∠EAB＋∠EBA＝∠E＋∠EDC＋∠ECD＝180°，∴∠EDC＝∥AB.又AD不平行于BC∴四邊形是等腰梯形（三作角線即通過作對角線，使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。例9如，在直角梯形ABCD，AD//BC，AB⊥AD，BE⊥CD于點E，求證：AD=DE。解：結(jié)，由AD//BC，得∠；由BC=CD得DBC=∠BDC。所以∠∠BDE又∠BAD=∠DEB=90°，BD=BD，所以eq\o\ac(△,Rt)BAD≌Rt△BED

得AD=DE（四作形的高1作條高例如圖，在直角梯形ABCD中AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC，對角線垂足為過點F作EF//AB，交點E，求證：四邊形ABFE是等腰梯形。證：點D作DG⊥AB于點則易知四邊形DGBC矩形，所以。因為AB=2DC所以AG=GB。從而DA=DB于是∠∠DBA。又EF//AB，所以四邊形是等梯形。2作條高例在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，∠ABC=60°，AD=3cm，BC=5cm，求：(1)腰的長；(2)梯形ABCD面積．解：于E，DF⊥BC于，又∵AD∥BC

∴四邊形是矩形，EF=AD=3cm∵AB=DC∵在eq\o\ac(△,Rt)中，，BE=1cm∴AB=2BE=2cm，

AE∴

梯ABCD

()AE2

3

2例如圖，在梯形，AD為底，求證：BD>AC。證：AE⊥BC于E作DF⊥BC于F，則易知AE=DF在Rt△ABE和Rt△DCF中，因為AB>CD所以由勾股定理得BE>CF。即BF>CE。在Rt△BDF和Rt△CAE中由勾股定理得BD>AC（五作位線1已梯形一腰中點，作梯形的中位線。例如圖梯形ABCD是BC的中點∠AOD=90°證＋CD=AD。

證：AD中點E，連接OE則易知OE是梯形ABCD中位線，從而OE=（ABCD）①在△AOD，，AE=DE所以

1OE2

②由①、②得AB＋CD=AD2、已知形兩條對角線的點，接形一頂點與一條對角線中點并延長與底邊相交，