《走向清華北大》高考總復(fù)習(xí) 數(shù)列求和課件

第三十講數(shù)列求和回歸課本1.公式法對(duì)于等差數(shù)列和等比數(shù)列,在求和時(shí)可直接套用它們的前n項(xiàng)和公式:①等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式:Sn=na1+②等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式:Sn=另外,還有一些常見(jiàn)的求和公式:(1)1+2+3+…+n=(2)1+3+5+…+(2n-1)=n2,(3)12+22+32+…+n2=2.倒序相加法一個(gè)數(shù)列如果距首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)和相等,那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可用倒序相加法.如等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo).3.錯(cuò)位相減法如果當(dāng)數(shù)列的每一項(xiàng)可分解為兩個(gè)因式的乘積,各項(xiàng)的第一個(gè)因子成公差為d的等差數(shù)列,第二個(gè)因子成公比為q的等比數(shù)列,可將此數(shù)列前n項(xiàng)的和乘以公比q,然后錯(cuò)項(xiàng)相減從而求出Sn.4.拆項(xiàng)分組法把不能直接求和的數(shù)列分解成幾個(gè)可以求和的數(shù)列,分別求和.5.裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的每一項(xiàng)變?yōu)閮蓴?shù)之差,以便大部分項(xiàng)能“正”?“負(fù)”相消,只剩下有限的幾項(xiàng).裂項(xiàng)時(shí)可直接從通項(xiàng)入手,并且要判斷清楚消項(xiàng)后余下哪些項(xiàng),常用的裂項(xiàng)公式為:6.并項(xiàng)轉(zhuǎn)化法有時(shí)候把兩項(xiàng)并成一項(xiàng)考慮,也可以實(shí)現(xiàn)我們的轉(zhuǎn)化目的.通常適用于數(shù)列中各項(xiàng)的符號(hào)是正負(fù)間隔的情況.考點(diǎn)陪練答案:A2.已知an=(n∈N*),記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則使Sn>0的n的最小值值為()A.10B.11C.12D.13答案:B3.首項(xiàng)為2,公比為3的等比數(shù)數(shù)列,從第n項(xiàng)到第N項(xiàng)的和為為720,則n,N的值分別別為( )A.2,6B.2,7C.3,6D.3,7解析:由題意知知SN-Sn-1=720,代入得解得n=3,N=6,故選C.答案:C答案:B5.(2010·黃岡中學(xué)學(xué)月考題題)化簡(jiǎn)Sn=n+(n-1)×2+(n-2)×22+…+2×2n-2+2n-1的結(jié)果是是( )A.2n+1+n-2B.2n+1-n+2C.2n-n-2D.2n+1-n-2解析:將Sn兩邊同時(shí)時(shí)乘以2,可以得到到:2Sn=2n+(n-1)××22+(n-2)××23+…+2×2n-1+2n,與Sn=n+(n-1)×2+(n-2)×22+…+2×2n-2+2n-1兩邊同時(shí)時(shí)相減可可得到2Sn-Sn=-n+(2+22+23+…+2n-1)+2n=-n++2n,∴Sn=-n+2n-2+2n=2n+1-n-2.故選D.答案:D類(lèi)型一公公式法法求和解題準(zhǔn)備備:如果數(shù)列列是等差差數(shù)列或或等比數(shù)數(shù)列等特特殊數(shù)列列時(shí),直接應(yīng)用用求和公公式求解解.[解]當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)時(shí),奇數(shù)項(xiàng)組組成以a1=1為首項(xiàng),公差為12的等差數(shù)數(shù)列,偶數(shù)項(xiàng)組組成以a2=4為首項(xiàng),公比為4的等比數(shù)數(shù)列.類(lèi)型二分分組轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化法求求和解題準(zhǔn)備備:1.有一類(lèi)數(shù)數(shù)列,既不是等等差數(shù)列列,也不是等等比數(shù)列列,但若把數(shù)數(shù)列的每每一項(xiàng)分分成多個(gè)個(gè)項(xiàng)或把把數(shù)列的的項(xiàng)重新新組合,就能轉(zhuǎn)化化為等差差數(shù)列或或等比數(shù)數(shù)列.從而可以以利用等等差、等等比數(shù)列列的求和和公式解解決.這種求和和方法叫叫分組轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化法.2.此類(lèi)問(wèn)題題求解的的關(guān)鍵是是要分析析研究數(shù)數(shù)列的通通項(xiàng)公式式.[反思感悟悟]有一類(lèi)數(shù)數(shù)列,既不是等等差數(shù)列列,也不是等等比數(shù)列列.若將這類(lèi)類(lèi)數(shù)列適適當(dāng)拆開(kāi)開(kāi),可分為幾幾個(gè)等差差?等比或常常見(jiàn)的數(shù)數(shù)列,即能分別別求和,然后再合合并.類(lèi)型三裂裂項(xiàng)相相消法求求和解題準(zhǔn)備備:1.裂項(xiàng)相消消法是分分解與組組合思想想在數(shù)列列求和中中的具體體應(yīng)用,其實(shí)質(zhì)是是將數(shù)列列中的某某些項(xiàng)分分解,然后重新新組合,使之能消消去一些些項(xiàng),最終達(dá)到到求和的的目的.2.數(shù)列中的的每一項(xiàng)項(xiàng)均能分分裂成一一正一負(fù)負(fù)兩項(xiàng),這是裂項(xiàng)項(xiàng)相消法法使用的的前提,一般地,形如(其中{an}是等差數(shù)數(shù)列)的數(shù)列可可嘗試采采用此法法.常用的裂裂項(xiàng)技巧巧有:[分析]準(zhǔn)確寫(xiě)出出an的表達(dá)式式,然后用裂裂項(xiàng)相消消法.類(lèi)型四錯(cuò)錯(cuò)位相相減法求求和解題準(zhǔn)備備:錯(cuò)位相減減法是推推導(dǎo)等比比數(shù)列的的前n項(xiàng)和公式式時(shí)所用用的方法法,也是數(shù)列列求和中中經(jīng)常用用到的一一種方法法.【典例4】已知數(shù)列列{an}是等差數(shù)數(shù)列,且a1=2,a1+a2+a3=12.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公公式;(2)令bn=anxn(x∈R).求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和公式式.[分析]用錯(cuò)位相相減法解解(2).[解](1)設(shè)數(shù)列{an}公差為d,則a1+a2+a3=3a1+3d=12,∵a1=2,∴∴d=2,∴an=2n.(2)令Sn=b1+b2+…+bn,則由bn=anxn=2nxn,得Sn=2x+4x2+…+(2n-2)xn-1+2nxn.①xSn=2x2+4x3+…+(2n-2)xn+2nxn+1.②當(dāng)x≠1時(shí),①減去②,得(1-x)Sn=2(x+x2+…+xn)-2nxn+1=-2nxn+1,∴Sn=錯(cuò)源一思思維定定勢(shì),數(shù)錯(cuò)項(xiàng)數(shù)數(shù)[剖析]本題的錯(cuò)錯(cuò)誤原因因在于乘乘公比錯(cuò)錯(cuò)位相減減后,中間是n-1項(xiàng)求和,錯(cuò)當(dāng)成了了n項(xiàng)和,對(duì)相減后后的結(jié)構(gòu)構(gòu)認(rèn)識(shí)不不清楚或或認(rèn)識(shí)模模糊.錯(cuò)源二忽忽略基基本“特征”【典例2】已知兩個(gè)個(gè)等差數(shù)數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和為Sn和Tn,且對(duì)一切切正整數(shù)數(shù)n都有試試求的的值.[錯(cuò)解]設(shè)Sn=(5n+3)k,Tn=(2n+7)k,則a9=S9-S8=(5××9+3)k-(5××8+3)k=5k.b9=T9-T8=(2××9+7)k-(2××8+7)k=2k.因此[剖析]錯(cuò)解忽略略了等差差數(shù)列前前n項(xiàng)和公式式的基本本“特征”.其實(shí),等差數(shù)列列的前n項(xiàng)和是關(guān)關(guān)于n的二次函函數(shù),且常數(shù)項(xiàng)項(xiàng)為零.[正解]設(shè)Sn=(5n+3)nk,Tn=(2n+7)nk,那么,a9=S9-S8=(5××9+3)×9k-(5×8+3)×8k=88k,b9=T9-T8=(2××9+7)×9k-(2×8+7)×8k=41k,因此技法一分分類(lèi)討討論思想想【典例1】定義“等和數(shù)列列”:在一個(gè)數(shù)數(shù)列中,如果每一一項(xiàng)與它它的后一一項(xiàng)的和和都為同同一個(gè)常常數(shù),那么這個(gè)個(gè)數(shù)列叫叫做等和和數(shù)列,這個(gè)常數(shù)數(shù)叫做該該數(shù)列的的公和.已知數(shù)列列{an}是等和數(shù)數(shù)列,且a1=2,公和為5,那么a18的值為_(kāi)_______;這個(gè)數(shù)列列的前n項(xiàng)和Sn的計(jì)算公公式為_(kāi)_______.[解題切入入點(diǎn)]本題重點(diǎn)點(diǎn)考查同同學(xué)們?cè)谠谛虑榫尘诚碌莫?dú)獨(dú)立分析析問(wèn)題和和解決問(wèn)問(wèn)題的能能力.[解析]由定義知知a1+a2=a2+a3=…=a2k-1+a2k=a2k+a2k+1=5.且a1=2,所以a1=a3=…=a2k+1=2,a2=a4=…=a2k=3.所以a18=3.技法二 函數(shù)數(shù)思想【典例2】若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2-10n(n=1,2,3,…),則此數(shù)列的通通項(xiàng)公式為_(kāi)_______;數(shù)列{nan}中數(shù)值最小的的項(xiàng)是第________項(xiàng).[解析]當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n2-10n-(n-1)2+10(n-1)=2n-11.①當(dāng)n=1時(shí),S1=a1=-9,也滿足①式.所以an=2n-11.nan=(2n-11)n=2n2-11n.所以n=時(shí),nan最小.由于n∈N*,所以n=3時(shí),使得nan最小.故通項(xiàng)公式為為an=2n-11,數(shù)列{nan}中數(shù)值最小的的項(xiàng)是第3項(xiàng).[答