《金新學(xué)案》高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 13.2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用課件 文 大綱人教

第2課時導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1．函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)，函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系：如果

，那么函數(shù)y＝f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果

，那么函數(shù)y＝f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；如果

，那么f(x)在這個區(qū)間內(nèi)為常數(shù)．f′(x)＞0f′(x)＜0f′(x)＝02．函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(1)函數(shù)的極小值函數(shù)y＝f(x)在點x＝a的函數(shù)值f(a)比它在x＝a附近其他點的函數(shù)值都小，f′(a)＝0，而且在點x＝a附近的左側(cè)

，右側(cè)

，則點a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．(2)函數(shù)的極大值函數(shù)y＝f(x)在點x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點x＝b附近的其他點的函數(shù)值都大，f′(b)＝0，而且在點x＝b附近的左側(cè)

，右側(cè)

，則點b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．極小值點，極大值點統(tǒng)稱為極值點，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值．f′(x)＜0f′(x)＞0f′(x)＞0f′(x)＜03．函數(shù)的最值(1)如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條

的曲線，那么它必有最大值和最小值．(2)求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的最大值與最小值的步驟①求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的

．②將函數(shù)y＝f(x)的各極值與

比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．連續(xù)不斷極值端點處的函數(shù)值f(a)、f(b)1．函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋1的單調(diào)遞減區(qū)間為(

)A．(2，＋∞)

B．(－∞，2)C．(－∞，0)D．(0,2)解析：

∵f(x)＝x3－3x2＋1，∴f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，由f′(x)<0，得0<x<2，∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2)．答案：

D2．f(x)＝x3－3x2＋3x的極值點的個數(shù)是(

)A．0B．1C．2D．3解析：導(dǎo)函數(shù)值恒大于或等于零，函數(shù)總單調(diào)遞增．答案：

A3．函數(shù)f(x)的定義域為R，導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)(

)A．無極大值點、有四個極小值點B．有三個極大值點、兩個極小值點C．有兩個極大值點、兩個極小值點D．有四個極大值點、無極小值點解析：設(shè)f′(x)與x軸的4個交點，從左至右依次為x1、x2、x3、x4，當(dāng)x＜x1時，f′(x)＞0，f(x)為增函數(shù)，當(dāng)x1＜x＜x2時，f′(x)＜0，f(x)為減函數(shù)，則x＝x1為極大值點，同理，x＝x3為極大值點，x＝x2，x＝x4為極小值點，故選C.答案：

C4．函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋2在區(qū)間[－1,1]上的最大值為______．解析：

f′(x)＝3x2－6x.令f′(x)＝0得x＝0，x＝2(舍)，比較f(1)，f(0)，f(－1)的大小知，f(x)max＝f(0)＝2.答案：

25．已知a>0，函數(shù)f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)，則a的最大值是________．解析：

f′(x)＝3x2－a在x∈[1，＋∞)上f′(x)≥0，則f′(1)＝0a＝3.答案：

3求可導(dǎo)導(dǎo)函數(shù)數(shù)單調(diào)調(diào)區(qū)間間的一一般步步驟和和方法法：(1)確定函函數(shù)f(x)的定義域域．(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它它們在定定義域內(nèi)內(nèi)的一切切實根．．(3)把函數(shù)f(x)的間斷點點(即f(x)的無定義義點)的橫坐標標和上面面的各實實數(shù)根按按由小到到大的順順序排列列起來，，然后用用這些點點把函數(shù)數(shù)f(x)的定義區(qū)區(qū)間分成成若干個個小區(qū)間間．(4)確定f′(x)在各個開開區(qū)間內(nèi)內(nèi)的符號號，根據(jù)據(jù)f′(x)的符號判判定函數(shù)數(shù)f(x)在每個相相應(yīng)小開開區(qū)間內(nèi)內(nèi)的增減減性．(2011·北京豐臺臺統(tǒng)練)設(shè)f(x)＝x3－(a＋1)x2＋3ax＋1.(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,4)內(nèi)單調(diào)遞遞減，求求a的取值范范圍；(2)若函數(shù)f(x)在x＝a處取得極極小值1，求a的值，并并說明在在區(qū)間(1,4)內(nèi)函數(shù)f(x)的單調(diào)性性．解析：f′(x)＝3x2－3(a＋1)x＋3a＝3(x－1)(x－a)．(1)∵函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,4)內(nèi)單調(diào)遞遞減，∴f′(4)≤0.∴a∈[4，＋∞)．(2)∵函數(shù)f(x)在x＝a處有極值值1，∴a2(a－3)＝0.∴a＝0或3.當(dāng)a＝0時，f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，，在(0,1)上單調(diào)遞減，，∴f(0)為極大值，這與函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值值1矛盾，∴a≠0.當(dāng)a＝3時，f(x)在(1,3)上單調(diào)遞減，，在(3，＋∞)上單調(diào)遞增，，∴f(3)為極小值．∴a＝3時，在區(qū)間(1,4)內(nèi)函數(shù)f(x)的單調(diào)性是：：f(x)在(1,3)內(nèi)遞減，在(3,4)內(nèi)遞增．[變式訓(xùn)練]1.設(shè)x＝1和x＝2是函數(shù)f(x)＝x5＋ax3＋bx＋1的兩個極值點點．(1)求a和b的值；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間間．解析：(1)f′(x)＝5x4＋3ax2＋b.由已知得f′(1)＝5＋3a＋b＝0，f′(2)＝24×5＋22×3a＋b＝0.解得a＝－，，b＝20.(2)由(1)知f′(x)＝5x4－25x2＋20＝5(x2－1)(x2－4)＝5(x＋1)(x＋2)(x－1)(x－2)，當(dāng)x∈(－∞，－－2)∪(－1,1)∪(2，＋＋∞)時，，f′(x)＞0；當(dāng)x∈(－2，－－1)∪(1,2)時，，f′(x)＜0.因此此f(x)的單單調(diào)調(diào)增增區(qū)區(qū)間間是是(－∞，－－2)，(－1,1)，(2，＋＋∞)；f(x)的單單調(diào)調(diào)減減區(qū)區(qū)間間是是(－2，－1)，(1,2)．求可導(dǎo)函函數(shù)f(x)極值的步步驟：(1)確定函數(shù)數(shù)的定義義域；(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x)；(3)求方程f′(x)＝0的根；(4)檢驗f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左左右兩側(cè)側(cè)的符號號，如果果在根的的左側(cè)附附近f′(x)>0，右側(cè)附附近f′(x)<0，那么函函數(shù)y＝f(x)在這個根根處取得得極大值值；如果果在根的的左側(cè)附附近f′(x)<0，右側(cè)附附近f′(x)>0，那么函函數(shù)y＝f(x)在這個根根處取得得極小值值．已知函數(shù)數(shù)y＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2處有極值值，且其其圖象在在x＝1處的切線線與直線線6x＋2y＋5＝0平行．(1)求函數(shù)的的單調(diào)區(qū)區(qū)間；(2)求函數(shù)的的極大值值與極小小值的差差．解析：(1)∵y′＝3x2＋6ax＋3b，由題意得得解得a＝－1，b＝0，則y＝x3－3x2＋c，y′＝3x2－6x.解y′＝3x2－6x>0，得x<0或x>2；解y′＝3x2－6x<0，得得0<x<2.∴函數(shù)數(shù)的的單單調(diào)調(diào)遞遞增增區(qū)區(qū)間間是是(－∞，0)，(2，＋＋∞)，單調(diào)調(diào)遞遞減減區(qū)區(qū)間間是是(0,2)．(2)由(1)可知知函函數(shù)數(shù)在在x＝0時取取得得極極大大值值c，在在x＝2時取取得得極極小小值值c－4，∴函數(shù)數(shù)的的極極大大值值與與極極小小值值的的差差為為c－(c－4)＝4.求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的最大大值與最最小值的的步驟如如下：(1)求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的極值值；(2)將函數(shù)y＝f(x)的各極值值與端點點處的函函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其其中最大大的一個個是最大大值，最最小的一一個是最最小值．．(2010·重慶卷)已知函數(shù)數(shù)f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常數(shù)數(shù)a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函數(shù)數(shù)．(1)求f(x)的表達式式；(2)討論g(x)的單調(diào)性性，并求求g(x)在區(qū)間[1,2]上的最大大值與最最小值．．解析：(1)由題意得得f′(x)＝3ax2＋2x＋b，因此g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.因為函數(shù)數(shù)g(x)是奇函數(shù)數(shù)，所以以g(－x)＝－g(x)，即對任意意實數(shù)x，有a(－x)3＋(3a＋1)(－x)2＋(b＋2)(－x)＋b＝－[ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b]，(1)求a，b，c的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值值和最小值值．解析：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.當(dāng)x＝1時，切線l的斜率為3，可得2a＋b＝0.①利用導(dǎo)數(shù)解解決生活中中優(yōu)化問題題的一般步步驟1．分析實際際問題中各各量之間的的關(guān)系，列列出實際問問題的數(shù)學(xué)學(xué)模型，寫寫出實際問問題中變量量之間的函函數(shù)關(guān)系y＝f(x)，根據(jù)實際際意義確定定定義域；；2．求函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0得出定義域域內(nèi)的實根根，確定極極值點；3．比較函數(shù)數(shù)在區(qū)間端端點和極值值點處的函函數(shù)值大小小，獲得所所求的最大大(小)值；4．還原到原原實際問題題中作答．．某市旅游部部門開發(fā)一一種旅游紀紀念品，每每件產(chǎn)品的的成本是15元，銷售價價是20元，月平均均銷售a件．通過改改進工藝，，產(chǎn)品的成成本不變，，質(zhì)量和技技術(shù)含金量量提高，市市場分析的的結(jié)果表明明，如果產(chǎn)產(chǎn)品的銷售售價提高的的百分率為為x(0＜x＜1)，那么月平平均銷售量量減少的百百分率為x2.記改進工藝藝后，旅游游部門銷售售該紀念品品的月平均均利潤是y(元)．(1)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系系式；(2)改進工藝后后，試確定定該紀念品品的銷售價價，使得旅旅游部門銷銷售該紀念念品的月平平均利潤最最大．解析：(1)改進工藝后后，每件產(chǎn)產(chǎn)品的銷售售價為20(1＋x)元，月平均均銷售量為為a(1－x2)件，則月平均利利潤y＝a(1－x2)×[20(1＋x)－15](元)．所以y與x的函數(shù)關(guān)系系式為y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0＜x＜1)．[變式訓(xùn)練]4.某工廠每天天生產(chǎn)某種種產(chǎn)品最多多不超過40件，并且在在生產(chǎn)過程程中產(chǎn)品的的正品率P與每日生產(chǎn)產(chǎn)量x(x∈N*)件之間的關(guān)關(guān)系為P＝，每每生生產(chǎn)產(chǎn)一一件件正正品品盈盈利利4000元，，每每出出現(xiàn)現(xiàn)一一件件次次品品虧虧損損2000元．．(注：：正正品品率率＝＝產(chǎn)產(chǎn)品品中中的的正正品品件件數(shù)數(shù)÷產(chǎn)品品總總件件數(shù)數(shù)×100%)(1)將日日利利潤潤y(元)表示示成成日日產(chǎn)產(chǎn)量量x(件)的函函數(shù)數(shù)；；(2)求該該廠廠的的日日產(chǎn)產(chǎn)量量為為多多少少件件時時，，日日利利潤潤最最大大？？并并求求出出日日利利潤潤的的最最大大值值．．1．在在利利用用導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)確確定定函函數(shù)數(shù)單單調(diào)調(diào)性性時時要要注注意意結(jié)結(jié)論論“若y＝f(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f′(x)>0，則f(x)在區(qū)間(a，b)上是增函數(shù)”的使用方法，，此結(jié)論并非非充要條件，，如f(x)＝x3.在(－∞，＋∞)上是遞遞增的的，但但f′(0)＝0；因此此已知知函數(shù)數(shù)的單單調(diào)區(qū)區(qū)間求求函數(shù)數(shù)關(guān)系系式中中字母母范圍圍時，，要對對f′(x)＝0處的點進進行檢驗驗．2．可導(dǎo)函函數(shù)極值值存在的的條件(1)可導(dǎo)函數(shù)數(shù)的極值值點x0一定滿足足f′(x0)＝0，但當(dāng)f′(x1)＝0時，x1不一定是是極值點點．如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是極值值點．(2)可導(dǎo)函數(shù)數(shù)y＝f(x)在點x0處取得極極值的充充要條件件是f′(x0)＝0，且在x0左側(cè)與右右側(cè)f′(x)的符號不不同．3．函數(shù)的的最大值值與最小小值的理理解最值是一一個整體體性概念念，是指指函數(shù)在在給定區(qū)區(qū)間(或定義域域)內(nèi)所有函函數(shù)值中中最大的的值與最最小的值值，在求求函數(shù)的的最值時時，要注注意以下下幾點：：(1)最值與極極值的區(qū)區(qū)別極值是指指某一點點附近函函數(shù)值的的比較．．因此，，同一函函數(shù)在某某一點的的極大(小)值，可以以比另一一點的極極小(大)值小(大)；而最大大、最小小值是指指閉區(qū)間間[a，b]上所有函函數(shù)值的的比較，，因而在在一般情情況下，，兩者是是有區(qū)別別的，極極大(小)值不一定定是最大大(小)值，最大大(小)值也不一一定是極極大(小)值，但如如果連續(xù)續(xù)函數(shù)在在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一一個極值值，那么么極大值值就是最最大值，，極小值值就是最最小值．．(2)最值與極極值的求求法的區(qū)區(qū)別在閉區(qū)間間[a，b]上連續(xù)，，在開區(qū)區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)的的函數(shù)f(x)，它的極極值可以以通過檢檢查導(dǎo)數(shù)數(shù)f′(x)在每一個個零點兩兩旁的符符號來求求得．而而f(x)在[a，b]上的最大大(小)值，則則需通通過將將各極極值與與端點點的函函數(shù)值值加以以比較較來求求得，，其中中最大大(小)的一個個即為為最大大(小)值．(3)當(dāng)f(x)為連續(xù)續(xù)函數(shù)數(shù)且在在[a，b]上單調(diào)調(diào)時，，其最最大值值、最最小值值在端端點處處取得得．由近三三年的的高考考試題題統(tǒng)計計分析析可以以看出出，有有以下下的命命題規(guī)規(guī)律：：1．考查查熱點點：導(dǎo)導(dǎo)數(shù)的的綜合合應(yīng)用用是高高考的的熱點點2．考查查形式式：主主要以以解答答題形形式出出現(xiàn)，，屬于于中高高檔題題．3．考查查角度度：一是對對導(dǎo)數(shù)數(shù)與函函數(shù)的的單調(diào)調(diào)性的的考查查，對對于函函數(shù)的的單調(diào)調(diào)性，，以“導(dǎo)數(shù)”為工具，能能對其進行行全面的分分析，二是對導(dǎo)數(shù)數(shù)與函數(shù)的的極(最)值的考查，，常見題型型有：求函函數(shù)的極值值及閉區(qū)間間上的最值值，以極值值或最值為為載體考查查參數(shù)的范范圍；三是對導(dǎo)數(shù)