《金新學案》高考數(shù)學總復習 9.5空間向量的坐標運算課件 文 大綱人教

第5課時空間向量的坐標運算(9B)1．向量的直角坐標運算設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則①a＋b＝

；②a－b＝

；③λa＝

(λ∈R)；④a·b＝

；(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)(λa1，λa2，λa3)a1b1＋a2b2＋a3b32．夾角與距離公式(1)夾角公式：設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，其中dA，B表示A與B兩點間的距離，這就是空間兩點間的距離公式．3．平面的法向量(1)向量垂直于平面：如果表示向量a的有向線段所在的直線

平面α，則稱這個向量垂直于平面α，記作a⊥α.(2)平面的法向量：如果a⊥α，那么向量a叫做平面α的法向量．垂直于1．已知向量a＝(－1,1，－1)，b＝(2,0，－3)，則a·b等于(

)A．－5

B．－4C．2D．1答案：

D2．若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，如果a與b為共線向量，則(

)答案：C3．若四邊形ABCD為平行四邊形，且A(4,1,3)，B(2，－5,1)、C(3,7，－5)，則頂點D的坐標為(

)A.B．(2,3,1)C．(－3,1,5)D．(5,13，－3)解析：設D的坐標為(x，y，z)，∵ABCD為平行四邊形，答案：

D4．已知平面α和β的法向量分別是(－1,3,4)和(x,1，－2)，若α⊥β，則x＝________.解析：因為α⊥β，所以兩個平面的法向量也垂直，因此(－1,3,4)·(x,1，－2)＝0，即x＝－5.答案：－55．已知向量a＝(－1,2,3)，b＝(1,1,1)，則向量a在向量b方向上的射影為________．答案：空間向量的坐標運算類似于平面向量的坐標運算，利用空間向量基本定理可將證明四點共面及直線與平面平行等問題轉化為解方程組．

已知A(4,1,3)、B(2,3,1)、C(3,7，－5)，點P(x，－1,3)在平面ABC內，求x.解析：∵A(4,1,3)、B(2,3,1)、C(3,7，－5)、P(x，－1,3)，[變式訓練]

1.若a＝(1,0,0)，b＝(1,1,0)，c＝(1,1,1)．(1)求證：a，b，c不共面；(2)試用a，b，c表示向量d＝(5,3,6)．解析：(1)證明：假設a，b，c共面，由a，b，c不共線可知，c＝λa＋μb，即(1,1,1)＝λ(1,0,0)＋μ(1,1,0)，涉及利利用向向量平平行或或向量量垂直直的充充要條條件的的主要要題型型有兩兩個：：一是是已知知向量量中含含有某某個參參數(shù)，，要求求我們們來求求參數(shù)數(shù)的值值；二二是利利用向向量平平行與與垂直直的充充要條條件證證明“線線平平行與與垂直直或線線面平平行與與垂直直”的問題題．[變式訓訓練]2.設a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．(1)當(λa＋b)∥(a－3b)時，求求λ的值；；(2)當(a－3b)⊥(λa＋b)時，求求λ的值．．解析：∵a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)，∴a－3b＝(1,5，－1)－3(－2,3,5)＝(1,5，－1)－(－6,9,15)＝(7，－4，－16)，λa＋b＝λ(1,5，－1)＋(－2,3,5)＝(λ，5λ，－λ)＋(－2,3,5)＝(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)．利用直直線的的方向向向量量和平平面的的法向向量，，可以以判定定直線線與直直線，，直線線與平平面，，平面面與平平面的的平行行和垂垂直．．如圖，，已知知直三三棱柱柱ABC－A1B1C1中，△ABC為等腰腰直角角三角角形，，∠BAC＝90°°，且AB＝AA1，D、E、F分別為為B1A、C1C、BC的中點點．(1)求證：：DE∥平面ABC；(2)求證：：B1F⊥平面AEF.證明：如如圖建建立空空間直直角坐坐標系系A－xyz，令AB＝AA1＝4，則A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(xiàn)(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)．(1)取AB中點為為N，則N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)，[變式訓訓練]3.如圖，，在四四棱錐錐P－ABCD中，底底面ABCD是正方方形，，側棱棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點，作作EF⊥PB于點F，(1)證明：PA∥平面EDB；(2)證明：PB⊥平面EFD.證明：如圖所所示建立空空間直角坐坐標系，D為坐標原點點，設DC＝a.(1)連接AC，AC交BD于G，連接EG.依題意得A(a,0,0)，P(0,0，a)，E.∵底面ABCD是正方形，，∴G是此正方形形的中心，，1．空間任一一點P的坐標的確確定方法：：過P分別作三個個坐標平面面的平行平平面(或垂面)，分別交坐坐標軸于A、B、C三點，當與與i的方向相同同時，x＞0；反之x＜0，同理可確確定y，z的值．2．一個向量量在空間直直角坐標系系中的坐標標等于表示示這個向量量的有向線線段的終點點的坐標減減去起點的的坐標．即若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則＝(x2，y2，z2)－(x1，y1，z1)＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．3．空間向量量的坐標運運算同平面面向量的坐坐標運算類類似，只是是空間向量量需用唯一一確定的有有序實數(shù)組組x，y，z表示示，，實實質質沒沒有有改改變變．．通過過近近三三年年高高考考試試題題的的統(tǒng)統(tǒng)計計分分析析可可以以看看出出，，有有以以下下的的命命題題規(guī)規(guī)律律．．1．考考查查熱熱點點：：空空間間坐坐標標運運算算的的應應用用．．2．考考查查形形式式：：多多以以解解答答題題求求后后兩兩問問．．3．考考查查角角度度：：一是是對對空空間間坐坐標標運運算算的的單單獨獨考考查查，，試試題題難難度度較較小??；；二是是利利用用空空間間坐坐標標運運算算求求空空間間角角和和距距離離，，是是整整個個立立體體幾幾何何命命題題中中熱熱點點．．4．命命題題趨趨勢勢：：仍仍以以空空間間幾幾何何為為載載體體，，體體現(xiàn)現(xiàn)空空間間坐坐標標運運算算的的應應用用．．(12分)(2009·浙江卷卷)如圖，，平面面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC為斜邊的等等腰直直角三三角形形，E，F(xiàn)，O分別為為PA，PB，AC的中點點，AC＝16，PA＝PC＝10.(1)設G是OC的中點點，證明FG∥平面BOE；(2)證明在在△ABO內存在在一點點M，使FM⊥平面BOE，并求求點M到OA，OB的距離離．規(guī)范解解答：：(1)證明：：如圖圖，連連結OP，以點點O為坐標標原點點，分分別以以OB，OC，OP所在直直線為為x軸，y軸，z軸建立立空間間直角角坐標標系O－xyz.則O(0,0,0)，A(0，－8,0)，B(8,0,0)，C(0,8,0)，P(0,0,6)，E(0，－4,3)，F(xiàn)(4,0,3)．由題題意意，，得得G(0,4,0)．又直直線線FG不在在平平面面BOE內，，所以以FG∥平面面BOE.6分[閱后后報報告告]本題題解解答答的的難難點點是是如如何何確確定定M的坐坐標標，，再再求求得得M坐標標后后，，易易忽忽略略對對所所求求結結果果進進行行驗驗證證．．1．(2010·廣東東卷卷)若向向量量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，滿滿足足條條件件(c－a)·(2b)＝－－2，則則x＝________.解析析：：∵a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，∴c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)．∴(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－－2，∴x＝2.答案案：：22．(2010·湖北北卷卷)如圖圖，，在在四四面面體體ABOC中，，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB＝120°°，且且OA＝OB