隨機模擬講義-2022年高一下學期人教A版必修概率

隨機模擬(教師獨具內容)課程標準：了解隨機模擬的含義，會利用隨機模擬的方法估計概率．教學重點：1.隨機數的概念.2.用隨機模擬的方法估計概率．教學難點：用隨機模擬方法估計概率的實質．核心素養(yǎng)：1.通過隨機數的概念的學習過程發(fā)展數學抽象素養(yǎng).2.通過用隨機模擬的方法來估計概率發(fā)展數學建模素養(yǎng).應用隨機數計算事件的概率，在設計隨機試驗方案時，一定要注意先確定隨機數的范圍和每個隨機數所代表的試驗結果，其次要注意用幾個隨機數為一組時，每組中的隨機數是否能夠重復．對于一些較為復雜的問題，要建立一個適當的數學模型，轉換成計算機或計算器能操作的試驗．1．判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)在用計算器模擬拋硬幣試驗時，假設計算器只能產生0～9之間的隨機數，則可以用4,5,6,7,8,9來代表正面．()(2)用隨機模擬試驗估計事件的概率時，試驗次數越多，所得的估計值越接近實際值．()(3)對于滿足“有限性”，但不滿足“等可能性”的概率問題我們可采取隨機模擬方法．()2．做一做(1)利用拋擲硬幣產生隨機數1和2，出現正面表示產生的隨機數為1，出現反面表示產生的隨機數為2.小王拋擲兩次，則出現的隨機數之和為3的概率為()\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,5)(2)已知拋擲一枚質地均勻的硬幣，正面朝上的概率為.現采用隨機模擬試驗的方法估計拋擲這枚硬幣6次恰有4次正面朝上的概率：先由計算器產生隨機數0或1，用0表示正面朝上，用1表示反面朝上；再以每6個隨機數作為一組，代表這6次拋擲的結果．經隨機模擬試驗產生了如下10組隨機數：101111010101010100100011111110000011010001111011100000101101據此估計，拋擲這枚硬幣6次恰有4次正面朝上的概率為____.題型一隨機數產生的方法例1要產生1～25之間的隨機整數，你有哪些方法？[跟蹤訓練1]某校高一年級共20個班，1200名學生，期中考試時如何把學生分配到40個考場中去？題型二利用隨機模擬法估計概率例2(1)盒中有大小，形狀相同的5個白球，2個黑球，用隨機模擬法求下列事件的概率：①任取一球，得到白球；②任取三球，都是白球．(2)天氣預報說，在接下來的一個星期里，每天漲潮的概率為20%，請設計一個模擬試驗計算下個星期恰有2天漲潮的概率．[跟蹤訓練2](1)袋子中有四個小球，分別寫有“幸”“福”“快”“樂”四個字，有放回地從中任取一個小球，取到“快”就停止，用隨機模擬的方法估計直到第二次停止的概率：先由計算器產生1到4之間取整數值的隨機數，且用1,2,3,4表示取出小球上分別寫有“幸”“?！薄翱臁薄皹贰彼膫€字，以每兩個隨機數為一組，代表兩次的結果，經隨機模擬產生了20組隨機數：1324123243142432312123133221244213322134據此估計，直到第二次就停止的概率為()\f(1,5) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)(2)甲、乙兩支籃球隊進行一局比賽，甲獲勝的概率為，若采用三局兩勝制舉行一次比賽，現采用隨機模擬的方法估計乙獲勝的概率．先利用計算器或計算機生成0到9之間取整數值的隨機數，用0,1,2,3,4,5表示甲獲勝；6,7,8,9表示乙獲勝，這樣能體現甲獲勝的概率為.因為采用三局兩勝制，所以每3個隨機數作為一組．假設產生30組隨機數．034743738636964736614698637162332616804560111410959774246762428114572042533237322707360751據此估計乙獲勝的概率約為____.1．擲兩枚骰子，用隨機模擬方法估計出現點數之和為9的概率時，產生的整數值隨機數中，每____個數字為一組()A．1 B．2C．9 D．122．已知某運動員每次投籃命中的概率都為40%.現采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器產生0到9之間取整數值的隨機數，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示未命中；再以每三個隨機數為一組代表三次投籃的結果．經隨機模擬產生了如下20組隨機數：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989據此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率約為()A． B．C． D．3．在利用整數隨機數進行隨機模擬試驗中，整數a到整數b之間的每個整數出現的可能性是____.4．某種心臟手術，成功率為，現采用隨機模擬方法估計“3例心臟手術全部成功”的概率．先利用計算器或計算機產生0～9之間取整數值的隨機數，由于成功率是，故我們用0,1,2,3表示手術不成功，4,5,6,7,8,9表示手術成功；再以每3個隨機數為一組，作為3例手術的結果．經隨機模擬產生如下10組隨機數：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907由此估計“3例心臟手術全部成功”的概率為____.5．一個袋中有7個大小、形狀相同的小球，6個白球，1個紅球，現任取1個，若為紅球就停止，若為白球就放回，攪拌均勻后再接著取，試設計一個模擬試驗計算恰好第三次摸到紅球的概率．一、選擇題1．下列不能產生隨機數的是()A．拋擲骰子試驗B．拋硬幣C．計算器D．正方體的六個面上分別寫有1,2,2,3,4,5，拋擲該正方體2．用隨機模擬的方法估計概率時，其準確程度決定于()A．產生的隨機數的大小 B．產生的隨機數的個數C．隨機數對應的結果 D．產生隨機數的方法3．假定某運動員每次投擲飛鏢正中靶心的概率為40%，現采用隨機模擬的方法估計該運動員兩次投擲飛鏢恰有一次命中靶心的概率：先由計算器產生0到9之間取整數值的隨機數，指定1,2,3,4表示命中靶心，5,6,7,8,9,0表示未命中靶心；再以每兩個隨機數為一組，代表兩次的結果，經隨機模擬產生了20組隨機數：9328124585696834312573930275564887301135據此估計，該運動員兩次擲鏢恰有一次正中靶心的概率為()A． B．C． D．4．采用隨機模擬的方法估計某運動員射擊4次，至少擊中3次的概率．先由計算器給出0到9之間取整數值的隨機數，指定0,1表示沒有擊中目標，2,3,4,5,6,7,8,9表示擊中目標，以4個隨機數為一組，代表射擊4次的結果，經隨機模擬產生了20組隨機數：75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281根據以上數據估計該射擊運動員射擊4次至少擊中3次的概率為()A． B．C． D．二、填空題5．拋擲兩顆相同的骰子，用隨機模擬方法估計“向上點數的和是6的倍數”的概率時，用1,2,3,4,5,6分別表示向上的點數是1,2,3,4,5,6，用計算器或計算機分別產生1到6的兩組整數隨機數各60個，每組第i個數組成一組，共組成60組數，其中有一組是16，這組數表示的結果是否滿足向上點數的和是6的倍數？____(填“是”或“否”)．6．在用隨機數(整數)模擬“有4個男生和5個女生，從中選出4人，求選出2個男生2個女生的概率”時，可讓計算機產生1～9的隨機整數，并用1～4代表男生，用5～9代表女生．因為是選出4人，所以每4個隨機數作為一組．若得到的一組隨機數為“4678”，則它代表的含義是____.7．規(guī)定投擲飛鏢3次為一輪，若3次中至少兩次投中8環(huán)以上為優(yōu)秀，現采用隨機模擬試驗的方法估計某選手投擲飛鏢的情況，先由計算機根據該選手以往的投擲情況產生隨機數0或1，用0表示該次投擲未在8環(huán)以上，用1表示該次投擲在8環(huán)以上；再以每三個隨機數為一組，代表一輪的結果，經隨機模擬試驗產生了如下20組隨機數：101111011101010100100011111110000011010001111011100000101101據此估計，該選手投擲1輪，可以拿到優(yōu)秀的概率為____.三、解答題8．池州九華山是著名的旅游勝地．天氣預報8月1日后連續(xù)四天，每天下雨的概率為.現用隨機模擬的方法估計4天中至少有2天下雨的概率：先由計算器產生0到9之間取整數值的隨機數，指定0,1,2,3,4,5表示當天下雨，6,7,8,9表示當天不下雨，以4個隨機數為一組，代表4天中的天氣情況，經隨機模擬產生如下40組隨機數：9533952200187472001838795869328178902692828084253990846079802436598738820753893596352379180598900735464062988054972056951574800832166470508067721642792031890343據此，你能估計出4天中至少有2天下雨的概率嗎？一份測試題包括6道選擇題，每題四個選項且只有一個選項是正確的，如果一個學生對每一道題都隨機猜一個答案，用隨機模擬方法估計該學生至少答對3道題的概率．(已知計算機或計算器做模擬試驗可以模擬每次猜對的概率是25%)隨機模擬(教師獨具內容)課程標準：了解隨機模擬的含義，會利用隨機模擬的方法估計概率．教學重點：1.隨機數的概念.2.用隨機模擬的方法估計概率．教學難點：用隨機模擬方法估計概率的實質．核心素養(yǎng)：1.通過隨機數的概念的學習過程發(fā)展數學抽象素養(yǎng).2.通過用隨機模擬的方法來估計概率發(fā)展數學建模素養(yǎng).應用隨機數計算事件的概率，在設計隨機試驗方案時，一定要注意先確定隨機數的范圍和每個隨機數所代表的試驗結果，其次要注意用幾個隨機數為一組時，每組中的隨機數是否能夠重復．對于一些較為復雜的問題，要建立一個適當的數學模型，轉換成計算機或計算器能操作的試驗．1．判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)在用計算器模擬拋硬幣試驗時，假設計算器只能產生0～9之間的隨機數，則可以用4,5,6,7,8,9來代表正面．()(2)用隨機模擬試驗估計事件的概率時，試驗次數越多，所得的估計值越接近實際值．()(3)對于滿足“有限性”，但不滿足“等可能性”的概率問題我們可采取隨機模擬方法．()答案(1)×(2)√(3)√2．做一做(1)利用拋擲硬幣產生隨機數1和2，出現正面表示產生的隨機數為1，出現反面表示產生的隨機數為2.小王拋擲兩次，則出現的隨機數之和為3的概率為()\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,5)(2)已知拋擲一枚質地均勻的硬幣，正面朝上的概率為.現采用隨機模擬試驗的方法估計拋擲這枚硬幣6次恰有4次正面朝上的概率：先由計算器產生隨機數0或1，用0表示正面朝上，用1表示反面朝上；再以每6個隨機數作為一組，代表這6次拋擲的結果．經隨機模擬試驗產生了如下10組隨機數：101111010101010100100011111110000011010001111011100000101101據此估計，拋擲這枚硬幣6次恰有4次正面朝上的概率為____.答案(1)A(2)eq\f(3,10)題型一隨機數產生的方法例1要產生1～25之間的隨機整數，你有哪些方法？[解]解法一：可以把25個大小形狀相同的小球分別標上1,2,3，…，24,25，放入一個袋中，把它們充分攪拌，然后從中摸出一個，這個球上的數就稱為隨機數，放回后重復以上過程，就得到一系列的1～25之間的隨機整數．解法二：可以利用計算機產生隨機數，以Excel為例：(1)選定A1格，鍵入“＝RANDBETWEEN(1,25)”，按Enter鍵，則在此格中的數是隨機產生的；(2)選定A1格，點擊復制，然后選定要產生隨機數的格，比如A2至A100，點擊粘貼，則在A2至A100的格中均為隨機產生的1～25之間的數，這樣我們很快就得到了100個1～25之間的隨機數，相當于做了100次隨機試驗．隨機數產生的方法比較方法抽簽法用計算器或計算機產生優(yōu)點保證機會均等操作簡單，省時、省力缺點耗費大量人力、物力、時間，或不具有實際操作性由于是偽隨機數，故不能保證完全等可能[跟蹤訓練1]某校高一年級共20個班，1200名學生，期中考試時如何把學生分配到40個考場中去？解要把1200人分到40個考場，每個考場30人，可用計算機完成．(1)按班級、學號順序把學生檔案輸入計算機．(2)用隨機函數按順序給每個學生一個隨機數(每人都不相同)．(3)使用計算機的排序功能按隨機數從小到大排列，可得到1200名學生的考試號0001,0002，…，1200，然后0001～0030為第一考場，0031～0060為第二考場，依次類推.題型二利用隨機模擬法估計概率例2(1)盒中有大小，形狀相同的5個白球，2個黑球，用隨機模擬法求下列事件的概率：①任取一球，得到白球；②任取三球，都是白球．(2)天氣預報說，在接下來的一個星期里，每天漲潮的概率為20%，請設計一個模擬試驗計算下個星期恰有2天漲潮的概率．[解](1)用1,2,3,4,5表示白球，6,7表示黑球．①步驟：(ⅰ)利用計算器或計算機可以產生1到7的整數隨機數，每一個數一組，統計組數為n；(ⅱ)統計這n組數中小于6的組數為m；(ⅲ)任取一球，得到白球的概率估計值是eq\f(m,n).②步驟：(ⅰ)利用計算器或計算機可以產生1到7的整數隨機數，每三個數一組(每組數字不重復)，統計組數為a；(ⅱ)統計這a組數中，每個數字均小于6的組數為b；(ⅲ)任取三球，都是白球的概率估計值是eq\f(b,a).(2)利用計算機產生0～9之間取整數值的隨機數，用1,2表示漲潮，用其他數字表示不漲潮，這樣體現了漲潮的概率是20%，因為時間是一周，所以每7個隨機數作為一組，假設產生20組隨機數：70325632564586314248656778517782684612256952414788971568321568764244586325874689433157896145689432154786335698412589634125869765478232274168相當于做了20次試驗，在這組數中，如果恰有兩個是1或2，就表示恰有兩天漲潮，它們分別是3142486,5241478,3215687,1258697，共有4組數，于是一周內恰有兩天漲潮的概率近似值為eq\f(4,20)＝eq\f(1,5).隨機數模擬試驗估計概率時，首先要確定隨機數的范圍和用哪些數代表不同的試驗結果．我們可以從以下三方面考慮：(1)當試驗的樣本點等可能時，樣本點總數即為產生隨機數的范圍，每個隨機數代表一個樣本點；(2)研究等可能事件的概率時，用按比例分配的方法確定表示各個結果的數字個數及總個數；(3)當每次試驗結果需要n個隨機數表示時，要把n個隨機數作為一組來處理，此時一定要注意每組中的隨機數字能否重復．[跟蹤訓練2](1)袋子中有四個小球，分別寫有“幸”“?！薄翱臁薄皹贰彼膫€字，有放回地從中任取一個小球，取到“快”就停止，用隨機模擬的方法估計直到第二次停止的概率：先由計算器產生1到4之間取整數值的隨機數，且用1,2,3,4表示取出小球上分別寫有“幸”“?！薄翱臁薄皹贰彼膫€字，以每兩個隨機數為一組，代表兩次的結果，經隨機模擬產生了20組隨機數：1324123243142432312123133221244213322134據此估計，直到第二次就停止的概率為()\f(1,5) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)(2)甲、乙兩支籃球隊進行一局比賽，甲獲勝的概率為，若采用三局兩勝制舉行一次比賽，現采用隨機模擬的方法估計乙獲勝的概率．先利用計算器或計算機生成0到9之間取整數值的隨機數，用0,1,2,3,4,5表示甲獲勝；6,7,8,9表示乙獲勝，這樣能體現甲獲勝的概率為.因為采用三局兩勝制，所以每3個隨機數作為一組．假設產生30組隨機數．034743738636964736614698637162332616804560111410959774246762428114572042533237322707360751據此估計乙獲勝的概率約為____.答案(1)B(2)eq\f(11,30)解析(1)由隨機模擬產生的隨機數可知，直到第二次停止的有13,43,23,13,13，共5組，故所求的概率為P＝eq\f(5,20)＝eq\f(1,4).(2)相當于做了30次試驗．如果6,7,8,9中恰有2個或3個數出現，就表示乙獲勝，它們分別是738,636,964,736,698,637,616,959,774,762,707，共11個．所以采用三局兩勝制，乙獲勝的概率約為eq\f(11,30).1．擲兩枚骰子，用隨機模擬方法估計出現點數之和為9的概率時，產生的整數值隨機數中，每____個數字為一組()A．1 B．2C．9 D．12答案B解析由于擲兩枚骰子，所以產生的整數值隨機數中，每2個數字為一組．2．已知某運動員每次投籃命中的概率都為40%.現采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器產生0到9之間取整數值的隨機數，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示未命中；再以每三個隨機數為一組代表三次投籃的結果．經隨機模擬產生了如下20組隨機數：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989據此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率約為()A． B．C． D．答案B解析易知20組隨機數中表示恰有兩次命中的數據有191,271,932,812,393，所以該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率約為eq\f(5,20)＝.3．在利用整數隨機數進行隨機模擬試驗中，整數a到整數b之間的每個整數出現的可能性是____.答案eq\f(1,b－a＋1)解析[a，b]中共有b－a＋1個整數，每個整數出現的可能性相等，所以每個整數出現的可能性是eq\f(1,b－a＋1).4．某種心臟手術，成功率為，現采用隨機模擬方法估計“3例心臟手術全部成功”的概率．先利用計算器或計算機產生0～9之間取整數值的隨機數，由于成功率是，故我們用0,1,2,3表示手術不成功，4,5,6,7,8,9表示手術成功；再以每3個隨機數為一組，作為3例手術的結果．經隨機模擬產生如下10組隨機數：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907由此估計“3例心臟手術全部成功”的概率為____.答案解析由10組隨機數，知4～9中恰有三個的隨機數有569,989兩組，故所求的概率為P＝eq\f(2,10)＝.5．一個袋中有7個大小、形狀相同的小球，6個白球，1個紅球，現任取1個，若為紅球就停止，若為白球就放回，攪拌均勻后再接著取，試設計一個模擬試驗計算恰好第三次摸到紅球的概率．解用1,2,3,4,5,6表示白球，7表示紅球，利用計算器或計算機產生1到7之間(包括1和7)取整數值的隨機數．因為要求恰好第三次摸到紅球的概率，所以每三個隨機數作為一組．如下，產生20組隨機數：666743671464571561156567732375716116614445117573552274114662就相當于做了20次試驗，在這些數組中，前兩個數字不是7，第三個數字恰好是7就表示第一次、第二次摸到的都是白球，第三次摸到的是紅球，它們分別是567和117，共兩組，因此恰好第三次摸到紅球的概率約為eq\f(2,20)＝.一、選擇題1．下列不能產生隨機數的是()A．拋擲骰子試驗B．拋硬幣C．計算器D．正方體的六個面上分別寫有1,2,2,3,4,5，拋擲該正方體答案D解析D項中，出現2的概率為eq\f(1,3)，出現1,3,4,5的概率均是eq\f(1,6)，則D項不能產生隨機數．其他項均能產生隨機數．故選D.2．用隨機模擬的方法估計概率時，其準確程度決定于()A．產生的隨機數的大小 B．產生的隨機數的個數C．隨機數對應的結果 D．產生隨機數的方法答案B解析用隨機模擬的方法估計概率時，產生的隨機數越多，準確程度越高，故選B.3．假定某運動員每次投擲飛鏢正中靶心的概率為40%，現采用隨機模擬的方法估計該運動員兩次投擲飛鏢恰有一次命中靶心的概率：先由計算器產生0到9之間取整數值的隨機數，指定1,2,3,4表示命中靶心，5,6,7,8,9,0表示未命中靶心；再以每兩個隨機數為一組，代表兩次的結果，經隨機模擬產生了20組隨機數：9328124585696834312573930275564887301135據此估計，該運動員兩次擲鏢恰有一次正中靶心的概率為()A． B．C． D．答案A解析兩次擲鏢恰有一次正中靶心表示隨機數中有且只有一個數為1,2,3,4中的一個．它們分別是93,28,45,25,73,93,02,48,30,35，共10個，因此所求的概率為eq\f(10,20)＝.4．采用隨機模擬的方法估計某運動員射擊4次，至少擊中3次的概率．先由計算器給出0到9之間取整數值的隨機數，指定0,1表示沒有擊中目標，2,3,4,5,6,7,8,9表示擊中目標，以4個隨機數為一組，代表射擊4次的結果，經隨機模擬產生了20組隨機數：75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281根據以上數據估計該射擊運動員射擊4次至少擊中3次的概率為()A． B．C． D．答案D解析因為射擊4次至多擊中2次對應的隨機數組為7140,1417,0371,6011,7610，共5組，所以射擊4次至少擊中3次的概率為1－eq\f(5,20)＝，故選D.二、填空題5．拋擲兩顆相同的骰子，用隨機模擬方法估計“向上點數的和是6的倍數”的概率時，用1,2,3,4,5,6分別表示向上的點數是1,2,3,4,5,6，用計算器或計算機分別產生1到6的兩組整數隨機數各60個，每組第i個數組成一組，共組成60組數，其中有一組是16，這組數表示的結果是否滿足向上點數的和是6的倍數？____(填“是”或“否”)．答案否解析16表示第一顆骰子向上的點數是1，第二顆骰子向上的點數是6，則向上點數的和是1＋6＝7，不表示向上點數的和是6的倍數．6．在用隨機數(整數)模擬“有4個男生和5個女生，從中選出4人，求選出2個男生2個女生的概率”時，可讓計算機產生1～9的隨機整數，并用1～4代表男生，用5～9代表女生．因為是選出4人，所以每4個隨機數作為一組．若得到的一組隨機數為“4678”，則它代表的含義是____.答案選出的4人中，只有1個男生解析用1～4代表男生，用5～9代表女生，4678表示1男3女．7．規(guī)定投擲飛鏢3次為一輪，若3次中至少兩次投中8環(huán)以上為優(yōu)秀，現采用隨機模擬試驗的方法估計某選手投擲飛鏢的情況，先由計算機根據該選手以往的投擲情況產生隨機數0或1，用0表示該次投擲未在8環(huán)以上，用1表示該次投擲在8環(huán)以上；再以每三個隨機數為一組，代表一輪的結果，經隨機模擬試驗產生了如下20組隨機數：10111101110101010010001111111000001101000111