【優(yōu)化方案】高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7章第四節(jié) 直線與平面垂直課件 文 蘇教

第四節(jié)直線與平面垂直第四節(jié)直線與平面垂直考點探究·挑戰(zhàn)高考考向瞭望·把脈高考雙基研習(xí)·面對高考雙基研習(xí)·面對高考基礎(chǔ)梳理1．直線與平面垂直(1)定義：如果一條直線和一個平面內(nèi)的___________________，那么這條直線和這個平面垂直．該直線叫做這個平面的垂線，該平面叫做這條直線的垂面．即對于直線l和平面α，l⊥α?l垂直于α內(nèi)的______________直線．所有直線都垂直任意一條(2)判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條_____________都垂直，那么這條直線垂直于這個平面．它的數(shù)學(xué)符號表示為：如果______________________________________，那么l⊥α.(3)性質(zhì)定理：同垂直于同一個平面的兩條直線_________．符號表示：_________________________.相交直線m?α，n?α，m∩n＝B，l⊥m，l⊥n平行a⊥α，b⊥α，則a∥b(4)點到平面的距離：從平面外一點引平面的一條垂線，這個點和___________間的線段長，叫做這個點到這個平面的距離．2．斜線在平面內(nèi)的射影垂足(1)過一點向平面引垂線，垂足叫做這個點在這個平面內(nèi)的射影；當這一點在平面內(nèi)時，該點在平面上的射影就是它自身；這一點與_________之間的線段長叫做這點到這個平面的距離．(2)一條直線和一個平面相交，但不垂直時，這條直線就叫做這個平面的斜線，斜線與平面的交點叫做_________．射影斜足從平面外一點向平面引斜線，這點與_________間的線段叫做這點到這個平面的斜線段．如上圖所示，直線PR∩α＝R，PR不垂直于α，直線PR是α的一條斜線，點R為斜足，線段PR是點P到α的斜線段．(3)平面外一點到這個平面的垂線段有且只有一條，而這點到這個平面的斜線段有_______條．斜足無數(shù)(4)從斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足與斜足的直線叫做斜線在這個平面內(nèi)的射影，垂足與斜足間的線段叫做這點到平面的斜線段在這個平面內(nèi)的射影．如上圖所示，直線QR是直線PR在平面α上的射影，線段QR是點P到平面α的斜線段PR在平面α上的射影．(5)斜線上任意一點在平面上的射影一定在斜線的射影上．3．直線與平面所成的角(設(shè)為θ)(1)斜線與平面所成的角的定義：平面的一條斜線和它在這個平面內(nèi)的_______所成的________，叫做這條直線和這個平面所成的角．射影銳角(2)當一條直線垂直于平面時，規(guī)定它們所成的角是_______；當一條直線和平面平行或在平面內(nèi)時，規(guī)定它們所成的角為________.0°直角直線l和α的位置關(guān)系l?α或l∥αl⊥αl和α斜交θ的取值范圍θ＝______θ＝_____θ∈___________0°90°°思考感感悟如果一一條直直線與與一個個平面面內(nèi)的的無數(shù)數(shù)條直直線垂垂直，，則這這條直直線和和這個個平面面是否否垂直直？提示：：不一定定垂直直，若若平面面內(nèi)一一組平平行線線與直直線l垂直，但直直線l與平面的關(guān)關(guān)系是不確確定的．1．三棱錐的的四個面中中直角三角角形最多有有________個．答案：42．如果一條條直線垂直直于一個平平面內(nèi)的①①三角形的的兩邊；②②梯形的兩兩邊；③圓圓的兩條直直徑；④正正六邊形的的兩條邊，，則能保證證該直線與與平面垂直直的是________．答案：①③③課前熱身3．下列說法法正確的個個數(shù)是________．①若l上有無數(shù)個個點不在平平面α內(nèi)，則l∥α②若直線l與平面α垂直，則l與α內(nèi)的任一直直線垂直③若E、F分別為△ABC中AB、BC邊上的中中點，則則EF與經(jīng)過AC邊的所有有平面平平行④兩條垂垂直的直直線中有有一條和和一個平平面平行行，則另另一條和和這個平平面垂直直答案：14．給出下下列四個個說法：：①經(jīng)過平平面外一一點有且且僅有一一個平面面與已知知平面垂垂直；②如果一一條直線線和兩個個垂直平平面的一一個垂直直，它必必和另一一個平行行；③過不在平面面內(nèi)的一條直直線可作無數(shù)數(shù)個平面與已已知平面垂直直；④如果兩個平平面互相垂直直，經(jīng)過一個個平面內(nèi)一點點與另一個平平面垂直的直直線在第一個個平面內(nèi)．其中正確的是是________．答案：④考點探究·挑戰(zhàn)高考直線與平面垂直的判定考點一考點突破證明線面垂直直的方法和常常用結(jié)論(1)利用線面垂直直的定義．(2)利用線面垂直直的判定定理理．(3)兩平行線中的的一條垂直于于平面，則另另一條也垂直直于這個平面面．(4)兩平面垂直，，在一個平面面內(nèi)垂直于交交線的直線必必垂直于另一一個平面．(5)一直線垂直于于兩平行平面面中的一個，，那么它必定定垂直于另一一個平面．(6)兩相交平面同同時垂直于第第三個平面，，那么兩平面面的交線垂直直于第三個平平面．如圖，在正方方體ABCD－A1B1C1D1中，E是BB1的中點，O是底面正方形形ABCD的中心，求證：OE⊥平面ACD1.【思路分析】根據(jù)線面垂直直的判定定理理，要證明OE⊥平面ACD1，只須在平面面ACD1內(nèi)找兩條相交交直線分別與與OE垂直．例1【名師點評】證明線面垂直直，往往利用用線線垂直或或面面垂直轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化，除此外外，構(gòu)造等腰腰三角形證垂垂直及利用勾勾股定理求長長度之間的關(guān)關(guān)系證明垂直直，甚至借助助矩形相鄰邊邊的垂直等，，都是可能用用到的方法．．已知：S－ABC為正三棱錐，，AH⊥面SBC于H.求證：H是△SBC的垂心．【思路分析】只需證SH⊥BC、BH⊥SC，要證SH⊥BC，只需證SA⊥BC.由于是正三棱棱錐，所以只只需證對棱互互相垂直即可可．線面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用考點二例2【證明】取BC的中點D，連結(jié)AD，SD，則SD⊥BC，AD⊥BC，∴BC⊥平面SAD.∵SA?平面SAD，∴BC⊥SA.同理，SC⊥AB，SB⊥AC.連SH.∵AH⊥平面SBC，BC?平面SBC，∴AH⊥BC，又SA⊥BC，AH∩SA＝A，∴BC⊥面SAH，又∵SH?面SAH，∴BC⊥SH.同理BH⊥SC.∴H是△SBC的垂心．【名師點評】證明線線垂直直常采用線面面垂直進行證證明，構(gòu)造一一個線的垂面面是證明線面面垂直的常用用方法．變式訓(xùn)練1如圖，已知AD⊥AB，AD⊥AC，AE⊥BC交BC于E，D是FG的中點，AF＝AG，EF＝EG，求證：BC∥FG.證明：如圖，，連結(jié)DE，由AD⊥AB，AD⊥AC，可得得AD⊥平面面ABC，而BC?平面面ABC，則則AD⊥BC.又AE⊥BC，得得到到BC⊥平平面面ADE，①①∵AF＝AG，EF＝EG，AD∩ED＝D，∴FG⊥平平面面ADE.②由①①、、②②得得到到BC∥FG.對于于線線面面垂垂直直問問題題，，首首先先應(yīng)應(yīng)分分析析它它給給出出了了哪哪些些條條件件，，可可以以得得出出什什么么結(jié)結(jié)論論，，再再分分析析問問題題是是什什么么，，需需要要什什么么條條件件，，從從而而在在條條件件與與結(jié)結(jié)論論之之間間搭搭起起一一座座橋橋梁梁，，在在分分析析時時要要緊緊緊緊圍圍繞繞““線線線線垂垂直直、、線線面面垂垂直直可可相相互互轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化””這這一一思思想想進進行行探探究究．．與線面垂直有關(guān)的探索性問題考點三如圖圖所所示示，，四四棱棱錐錐P－ABCD中，，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底底面面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M為PC的中中點點．．(1)求證證：：BM∥平平面面PAD；(2)在△△PAD內(nèi)找找一一點點N，使使MN⊥平平面面PBD.例3【思路路分分析析】(1)取PD的中中點點E，連連結(jié)結(jié)EM、EA.(2)尋找找與與面面PBD垂直直的的平平面面及及交交線線，，再再據(jù)據(jù)面面面面垂垂直直的的性性質(zhì)質(zhì)探探尋尋N點的的位位置置．．【解】(1)證明明：：∵∵M是PC的中中點點，，取取PD的中中點點E，(2)由(1)知ABME為平平行行四四邊邊形形．．PA⊥底面面ABCD，AB?底面面ABCD，∴PA⊥AB，又AB⊥AD，∴AB⊥平面面PAD.同理理CD⊥平面面PAD.∵AE?平面面PAD，∴AB⊥AE，∴ABME為矩矩形形．．∵CD∥ME，CD⊥PD，PD⊥AE.∴PD⊥平面面ABME，PD?平面面PBD.∴平面面PBD⊥平面面ABME，作MF⊥EB，交BE于F，∴MF⊥平面PBD.延長MF交AE于N，在矩形形ABME內(nèi)，AB＝ME＝1，【名師點評評】該題要找找平面PBD的垂線，，應(yīng)先找找出面PBD的垂面ABME，則垂線線就在面面ABME內(nèi)，且與與交線BE垂直，故故要找垂垂線往往往是先找找垂面．．解：(1)取AB的中點E，連結(jié)DE、CE，因為△ADB是等邊三三角形，，所以DE⊥AB.當平面ADB⊥平面ABC時，因為平面面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE.②當D不在平面面ABC內(nèi)時，由(1)知AB⊥DE.又因AC＝BC，所以AB⊥CE.又DE、CE為相交直直線，所以AB⊥平面CDE，由CD?平面CDE，得AB⊥CD.綜上所述述，總有有AB⊥CD.方法技巧巧1．這部分分內(nèi)容知知識多，，準確理理解，熟熟練掌握握定義、、判定定定理、性性質(zhì)定理理并能夠夠進行三三種語言言的轉(zhuǎn)換換是關(guān)鍵鍵．2．直線與與平面垂垂直的判判定方法法①定義法法：直線線與平面面內(nèi)任一一直線垂垂直．方法感悟②判定定定理法：：要證一一條直線線與一個個平面垂垂直，只只要證這這條直線線和這個個平面內(nèi)內(nèi)兩條相相交直線線垂直即即可．③面面垂垂直的性性質(zhì)：如如果兩個個平面垂垂直，那那么在一一個平面面內(nèi)垂直直于交線線的直線線垂直于于另一個個平面．．3．轉(zhuǎn)化思思想的應(yīng)應(yīng)用：線線線、線線面、面面面的垂垂直關(guān)系系可以相相互轉(zhuǎn)化化：失誤防范范1．在觀察察空間幾幾何體圖圖形時，，線線、、線面的的垂直““位置””觀察錯錯誤，沒沒有合理理地推導(dǎo)導(dǎo)，只憑憑主觀猜猜想造成成結(jié)論錯錯誤．2．在某些些題目中中，所給給的邊角角數(shù)量較較多，這這類題應(yīng)應(yīng)主要由由數(shù)量如如勾股定定理、等等腰等，，構(gòu)造出出垂直關(guān)關(guān)系，易易忽視數(shù)數(shù)量對垂垂直的影影響．考向瞭望·把脈高考考情分析從近幾年年的江蘇蘇高考試試題來看看，線面面垂直的的判定與與性質(zhì)是是高考的的重點和和熱點，，其題型型既有填填空題，，也有解解答題，，難度中中等偏高高．預(yù)測2012年江蘇高高考考查查的可能能性仍然然較大，，要求學(xué)學(xué)生有較較強的空空間想象象力，邏邏輯推理理能力以以及分析析問題解解決問題題的能力力．(本題滿分分14分)如圖，已已知PA垂直于矩矩形ABCD所在的平平面，M、N分別是AB、PC的中點，，若∠PDA＝45°，求證：：MN⊥平面PCD.規(guī)范解答例∴EN綊AM，∴四邊形AMNE為平行四四邊形．．∴MN∥AE.∵PA⊥平面ABCD，∠PDA＝45°，∴△PAD為等腰直直角三角角形.7分∴AE⊥PD.又∵CD⊥AD，CD⊥PA，∴CD⊥平面PAD，而AE?平面PAD，∴CD⊥AE.10分又CD∩PD＝D，∴AE⊥平面PCD.∴MN⊥平面PCD.14分【名師點評】本題主要考考直線面垂垂直的判定定與性質(zhì)的的應(yīng)用，理理清關(guān)系，，合理轉(zhuǎn)化化，對空間間想象力，，推理論證證能力要求求較高．1．已知m、n是兩條不同同直線，α，β是兩個不同同平面，有有下列4個命題：①若m∥n，n?α，則m∥α；②若m⊥n，m⊥α，n?α，則n∥α；③若α⊥β，m⊥α，n⊥β，則m⊥n；④若m，n是異面直線線，m?α，n?β，m∥β，則n∥α.其中正確的的命題序號號是________．名師預(yù)測解析：根據(jù)空間線線面、面面面平行與垂垂直的判定定與性質(zhì)定定理可知正正確的命題題序號是②②③.答案：②③③2．在正三棱棱錐P－ABC中，D，E分別是AB，BC的中點，有有下列三個個結(jié)論：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE.則所有正確確結(jié)論的序序號是________．解析：如圖，設(shè)P在面ABC內(nèi)射影為O，則O為正△ABC的中心．①可證AC⊥面PBO，∴AC⊥PB；②AC∥DE，可得AC∥面PDE；③BA與DE不垂直，故故AB與平面PDE不垂直