【優(yōu)化方案】高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第5章§5.3等比數(shù)列精品課件 理 北師大

§5.3等比數(shù)列

§5.3等比數(shù)列考點(diǎn)探究·挑戰(zhàn)高考考向瞭望·把脈高考雙基研習(xí)·面對(duì)高考雙基研習(xí)?面對(duì)高考基礎(chǔ)梳理1．等比數(shù)列的相關(guān)概念及公式相關(guān)名詞等比數(shù)列{an}的相關(guān)概念及公式定義如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于__________，那么這個(gè)數(shù)列叫作等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫作等比數(shù)列的公比．同一個(gè)常數(shù)相關(guān)名詞等比數(shù)列{an}的相關(guān)概念及公式通項(xiàng)公式an＝_______等比中項(xiàng)如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使得a，G，b成________，那么稱G為a、b的等比中項(xiàng)，且有G＝________.前n項(xiàng)和公式

Sn＝

a1qn－1等比數(shù)列思考感悟1．b2＝ac是a，b，c成等比數(shù)列的什么條件？提示：b2＝ac是a，b，c成等比數(shù)列的必要不充分條件，因?yàn)楫?dāng)b＝0，a，c至少有一個(gè)為零時(shí)，b2＝ac成立，但a，b，c不成等比，反之，若a，b，c成等比，則必有b2＝ac.2．等比數(shù)列的性質(zhì)(1)等比數(shù)列{an}滿足________________時(shí)，{an}是遞增數(shù)列；滿足_________________時(shí)，{an}是遞減數(shù)列．(2)有窮等比數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)的積____．特別地，若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，還等于______的平方．(3)對(duì)任意正整數(shù)m、n、p、q，若m＋n＝p＋q，則___________.特別地，若m＋n＝2p，則________.相等中間項(xiàng)am·an＝ap·aq思考感悟2．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＝aqn＋b(a，b∈R)，{an}是等比數(shù)列，則a，b滿足的條件是什么？課前熱身1．在等比數(shù)列{an}中，a5＝3，則a3·a7等于(

)A．3

B．6C．9 D．18答案：C2．(2011年南陽(yáng)調(diào)研)設(shè)a1＝2，數(shù)列{an＋1}是以3為公比的等比數(shù)列，則a4的值為(

)A．80 B．81C．54 D．53答案：A3．(2010年高考重慶卷)在等比數(shù)列{an}中，a2010＝8a2007，則公比q的值為(

)A．2 B．3C．4 D．8答案：A4．(教材習(xí)題改編)設(shè){an}是等比數(shù)列，a1＝2，a8＝256，則a2＋a3＝________.答案：125．若數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an＋1＝2an(n∈N＋)，則Sn＝________.答案：2n－1考點(diǎn)探究?挑戰(zhàn)高考考點(diǎn)突破考點(diǎn)一等比數(shù)列的判定及證明例1(2009年高考全全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)設(shè)bn＝an＋1－2an，證明：：數(shù)列{bn}是等比數(shù)數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公公式．【思路點(diǎn)撥撥】本題第(1)問(wèn)將an＋2＝Sn＋2－Sn＋1代入可以以得到an的遞推式式，再由由bn＝an＋1－2an代入即證證；第(2)問(wèn)將bn的通項(xiàng)公公式代入入bn＝an＋1－2an，可得an的遞推式，再再依照題型模模式求解即可可．【解】(1)證明：由已知知有a1＋a2＝4a1＋2，解得a2＝3a1＋2＝5，故b1＝a2－2a1＝3，又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－(4an＋2)＝4an＋1－4an，于是an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，即bn＋1＝2bn.因此數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列．．考點(diǎn)二等比數(shù)列中基本量的計(jì)算等比數(shù)列基本本量的計(jì)算是是等比數(shù)列中中的一類基本本問(wèn)題，解決決此類問(wèn)題的的關(guān)鍵是熟練練掌握等比數(shù)數(shù)列的有關(guān)公公式，并靈活活運(yùn)用，在運(yùn)運(yùn)算過(guò)程中，，還應(yīng)善于運(yùn)運(yùn)用整體代換換思想簡(jiǎn)化運(yùn)運(yùn)算的過(guò)程．．尤其要注意意的是，在使使用等比數(shù)列列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，，應(yīng)根據(jù)公比比q的情況進(jìn)行分分類討論．例2(1)(2010年高考江西卷卷)等比數(shù)列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5>a2，則an＝()A．(－2)n－1B．－(－2)n－1C．(－2)nD．－(－2)n(2)(2010年高考遼寧卷卷)設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，則公比q＝()A．3B．4C．5D．6【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意，建建立關(guān)于首項(xiàng)項(xiàng)a1和公比q的方程組求解解．【答案】(1)A(2)B(3)B【名師點(diǎn)評(píng)】等比數(shù)列中有有五個(gè)量a1、n、q、an、Sn，一般可以“知三求二”，通過(guò)列方程程(組)求解．變式訓(xùn)練1數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，數(shù)列{an·an＋1}是公比為q(q>0)的等比數(shù)列．．(1)求使anan＋1＋an＋1an＋2>an＋2an＋3(n∈N＋)成立的q的取值范圍；；(2)若bn＝a2n－1＋a2n(n∈N＋)，求{bn}的通項(xiàng)公式．．考點(diǎn)三等比數(shù)列的前n項(xiàng)和及其性質(zhì)等比數(shù)列的性性質(zhì)可以分為為三類：一是是通項(xiàng)公式的的變形，二是是等比中項(xiàng)的的變形，三是是前n項(xiàng)和公式的變變形，根據(jù)題題目條件，認(rèn)認(rèn)真分析，發(fā)發(fā)現(xiàn)具體的變變化特征即可可找出解決問(wèn)問(wèn)題的突破口口．例3(2011年南陽(yáng)調(diào)研)在等比數(shù)列{an}中，a1最小，且a1＋an＝66，a2·an－1＝128，前前n項(xiàng)和和Sn＝126，(1)求公公比比q；(2)求n.【思路路點(diǎn)點(diǎn)撥撥】根據(jù)據(jù)等等比比數(shù)數(shù)列列的的性性質(zhì)質(zhì)，，a2·an－1＝a1·an，由由此此可可得得關(guān)關(guān)于于a1、an的方方程程，，結(jié)結(jié)合合Sn＝126可求求得得q和n.考點(diǎn)四等比數(shù)列的綜合問(wèn)題在解解決決等等差差、、等等比比數(shù)數(shù)列列的的綜綜合合題題時(shí)時(shí)，，重重點(diǎn)點(diǎn)在在于于讀讀懂懂題題意意，，而而正正確確利利用用等等差差、、等等比比數(shù)數(shù)列列的的定定義義、、通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式及及前前n項(xiàng)和和公公式式是是解解決決問(wèn)問(wèn)題題的的關(guān)關(guān)鍵鍵．．例4【思路路點(diǎn)點(diǎn)撥撥】對(duì)于于(1)，根根據(jù)據(jù)an與Sn的關(guān)關(guān)系系可可求求得得k的值值，，從從而而得得到到{an}的通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式；；對(duì)對(duì)于于(2)，可可先先求求出出{bn}的通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式，，然然后后用用錯(cuò)錯(cuò)位位相相減減法法求求出出Tn，再再結(jié)結(jié)合合Tn的單單調(diào)調(diào)性性證證明明不不等等式式．．【失誤誤點(diǎn)點(diǎn)評(píng)評(píng)】本題題易易弄弄不不清清“錯(cuò)位位相相減減”的項(xiàng)項(xiàng)數(shù)數(shù)而而致致使使解解答答錯(cuò)錯(cuò)誤誤．．解：：(1)因?yàn)闉閷?duì)對(duì)任任意意的的n∈N＋，點(diǎn)點(diǎn)(n，Sn)均在在函函數(shù)數(shù)y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均為為常常數(shù)數(shù))的圖圖像像上上．．所所以以得得Sn＝bn＋r，當(dāng)n＝1時(shí)，，a1＝S1＝b＋r，當(dāng)n≥2時(shí)，，an＝Sn－Sn－1＝bn＋r－(bn－1＋r)＝bn－bn－1＝(b－1)bn－1，又因因?yàn)闉閧an}為等等比比數(shù)數(shù)列列，，所所以以r＝－－1，公公比比為為b，所所以以an＝(b－1)bn－1，方法法感感悟悟方法法技技巧巧2．方方程程觀觀點(diǎn)點(diǎn)以以及及基基本本量量(首項(xiàng)項(xiàng)和和公公比比a1，q)思想想仍仍然然是是求求解解等等比比數(shù)數(shù)列列問(wèn)問(wèn)題題的的基基本本方方法法：：在在a1，q，n，an，Sn五個(gè)個(gè)量量中中，，知知三三求求二二．．(如例例2)3．等等比比數(shù)數(shù)列列的的性性質(zhì)質(zhì)是是等等比比數(shù)數(shù)列列的的定定義義、、通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式以以及及前前n項(xiàng)和和公公式式等等基基礎(chǔ)礎(chǔ)知知識(shí)識(shí)的的推推廣廣與與變變形形，，熟熟練練掌掌握握和和靈靈活活應(yīng)應(yīng)用用這這些些性性質(zhì)質(zhì)可可以以有有效效、、方方便便、、快快捷捷地地解解決決許許多多等等比比數(shù)數(shù)列列問(wèn)問(wèn)題題．．(如例例3)4．解解決決等等比比數(shù)數(shù)列列的的綜綜合合問(wèn)問(wèn)題題時(shí)時(shí)，，首首先先要要深深刻刻理理解解等等比比數(shù)數(shù)列列的的定定義義，，能能夠夠用用定定義義法法或或等等比比中中項(xiàng)項(xiàng)法法判判斷斷或或證證明明一一個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)列列是是等等比比數(shù)數(shù)列列；；其其次次要要熟熟練練掌掌握握等等比比數(shù)數(shù)列列的的通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式與與前前n項(xiàng)和和公公式式，，能能夠夠用用基基本本量量方方法法和和等等比比數(shù)數(shù)列列的的性性質(zhì)質(zhì)解解決決有有關(guān)關(guān)問(wèn)問(wèn)題題．．(如例例4)5．Sn＋m＝Sn＋qnSm.失誤誤防防范范1．把把等等比比數(shù)數(shù)列列與與等等差差數(shù)數(shù)列列的的概概念念和和性性質(zhì)質(zhì)進(jìn)進(jìn)行行類類比比，，可可以以加加深深理理解解，，提提高高記記憶憶效效率率．．注注意意三三點(diǎn)點(diǎn)：：(1)等比比數(shù)數(shù)列列的的任任何何一一項(xiàng)項(xiàng)都都不不能能為為0，公公比比也也不不為為0；(2)等比比數(shù)數(shù)列列前前n項(xiàng)和和公公式式在在q＝1和q≠1的情情況況下下是是不不同同的的；；(3)等比比數(shù)數(shù)列列可可看看作作是是比比等等差差數(shù)數(shù)列列高高一一級(jí)級(jí)的的運(yùn)運(yùn)算算，，一般般等等差差數(shù)數(shù)列列中中的的“和”、“差”、“積”形式式類類比比到到等等比比數(shù)數(shù)列列中中就就變變成成“積”、“商”、“冪”的形形式式．．2．由由an＋1＝qan，q≠0，并并不不能能立立即即斷斷言言{an}為等等比比數(shù)數(shù)列列，，還還要要驗(yàn)驗(yàn)證證a1≠0.考情分析考向瞭望?把脈高考等比比數(shù)數(shù)列列是是每每年年高高考考必必考考的的知知識(shí)識(shí)點(diǎn)點(diǎn)之之一一，，考考查查重重點(diǎn)點(diǎn)是是等等比比數(shù)數(shù)列列的的定定義義、、通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式、、性性質(zhì)質(zhì)、、前前n項(xiàng)和和公公式式，，題題型型既既有有選選擇擇題題、、填填空空題題，，也也有有解解答答題題，，難難度度中中等等偏偏高高．．客客觀觀題題主主要要考考查查對(duì)對(duì)基基本本運(yùn)運(yùn)算算，，基基本本概概念念的掌掌握握程程度度；；主主觀觀題題考考查查較較為為全全面面，，在在考考查查基基本本運(yùn)運(yùn)算算，，基基本本概概念念的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)上上，，又又注注重重考考查查函函數(shù)數(shù)與與方方程程、、等等價(jià)價(jià)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化等等思思想想方方法法．．預(yù)測(cè)2012年高考考，等等比數(shù)數(shù)列的的定義義、性性質(zhì)、、通項(xiàng)項(xiàng)公式式、前前n項(xiàng)和公公式仍仍是考考查重重點(diǎn)，，應(yīng)特特別重重視等等比數(shù)數(shù)列性性質(zhì)的的應(yīng)用用．規(guī)范解解答例(本題滿滿分12分)(2010年高考考四川川卷)已知等等差數(shù)數(shù)列{an}的前3項(xiàng)和為為6，前8項(xiàng)和為為－4.(1)求數(shù)列列{an}的通項(xiàng)項(xiàng)公式式；