對高中數(shù)學新課程中立體幾何部分若干問題的思考

摘

中”張勁松要幾A關(guān)詞年4月教育部正式頒布實施《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》（以下簡稱《標準》）。依據(jù)《標準》編寫的《普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學》于004年季開始在山東、廣東、海南、寧夏進行實驗2005秋季又擴大到江蘇，到2006年季，福建、浙江、安徽、遼寧、天津加入。目前共有十?。▍^(qū)、直轄市）使用《普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學》。這次高中數(shù)學課程改革比較突的特點是在“構(gòu)建共同基礎，提供發(fā)展平臺”的前提下，“提供多樣課程，適應個性選擇”“強調(diào)本質(zhì)”“注意提高學生的數(shù)學思維能力”“發(fā)展學生的數(shù)學應用意識等具做法是課程內(nèi)容分為諸多模塊和專題，突出數(shù)學教科書的“數(shù)學味”，注重從現(xiàn)實情境引入數(shù)學知識，用數(shù)學處理具體的實際問題等等。實事求是地講《標準》設計的理念和路都是非常好的，作為《標準》最主要的載體——教材在實驗過程中，有很多積極的評價。但也存在不少問題，比較突出的是《標準》把“內(nèi)容與要求”合在一起寫。雖然表述容易，但有些內(nèi)容不明確，教還是不教，難以把握，彈性很大。具體到教材的編寫，不同版本的教材存在一定的差異。/8本文依《標準的要求編《普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學A版的思考，結(jié)合教材實驗的實際情況以及實驗教師的反映地闡述對高中數(shù)學新課程體幾何”部分若干問題的思考。希望對教師教學和學生學習有一定的幫助。一“體何部到包哪內(nèi)？“立體幾何”是高中數(shù)學非常經(jīng)典的內(nèi)容?；仡櫳蟼€世紀九十年代以后開始的近二十年的高中數(shù)學課程改革，1997年，“立體幾何”部分單獨成冊《立體幾何》，與《代數(shù)》（上冊）同時開設，在高一兩個學期完成，《立體幾何》約57課時1997年，《全日制普通高級中學數(shù)學教學大綱》把“立體幾何”部分的內(nèi)容縮為一章“直線、平面、簡單幾何體”，再加上“研究性學習課題

多面體歐拉定理的發(fā)現(xiàn)”，共39課時翻看《全日制中學數(shù)學教學大綱（高中部分）》（修訂本）和《全日制普通高級中學數(shù)學教學大綱》，其教學內(nèi)容和具體要求（或教學目標）都是分開表述，學什么，達到什么目標，比較清晰?！稑藴省钒选傲Ⅲw幾何”部分的內(nèi)容，放在數(shù)學“立體幾何初步”、選修2-1“空間向量與立體幾何”，以及系列3和系列4的部專題中，如“選修3-3

球面上的幾何”中等等，而且必修課程和選修課程分的比較開。由于選修系1（望在人文社科學等方面發(fā)展）學生只學習數(shù)學2中的“立體幾何初步”，選修系2的生學習“空間向量與立體幾何以們?yōu)橹袛?shù)學新課程中立體幾何部分包括數(shù)學2中立體幾何初步”和選修中“空向量與立體幾何”，它們共30課時（）中學課中立幾”分教內(nèi)是是去“線平、單何”容真集單從課時上看，容易產(chǎn)生這種印象：高中數(shù)學新課程中“立體幾何”部分的教學內(nèi)容是過去“直線、平面、簡單幾何體”內(nèi)容的真子集。實際是這種情況嗎？答案是否定的。從《標準》和《普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學2》A版（以下簡稱《數(shù)學2》看高數(shù)學新課程“立體幾何部分新增加了一些內(nèi)容行投影中心投影三視圖。這些內(nèi)容與義務教育階段“空間與圖形”中的“視圖與投影”緊密銜，而“直線、平面、簡單幾何體沒有這部分內(nèi)容增加這部分內(nèi)容的主要目的是進一步認識空間圖形過/8視圖以及空間幾何體與其三視圖互相轉(zhuǎn)化空間圖形有比較完整的認識養(yǎng)發(fā)展學生的空間想象能力、幾何直觀能力，更全面地把空間幾何。投影是視圖的基礎，投影分為平行投影和中心投影。立體幾何中研究的圖形都是平行投影下的圖形心投影在日常生活中非常普遍不高立體幾何究主要內(nèi)容。有了投影，才有視圖。除了“平行投影、中心投影，三視圖”的內(nèi)容外，他容是“直線、平面、簡單幾何體”的真子集。（）中學課中立幾”分教內(nèi)結(jié)合《標準》的學習和教科書的編寫，概括一下，高中數(shù)學新課程中“立體幾何”部分的教學內(nèi)容：．空間幾何體棱柱。棱錐。棱臺。圓柱。圓錐。圓臺。球。柱體、錐體、臺體、球體的簡單組合體。簡單空間圖（長方體球圓柱圓錐棱柱等的簡易組合的三視圖。斜二測畫法。簡單空間圖形的直觀圖。平行投影下的空間圖形。中心投影下的空間圖形。球、棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓錐、圓的表面積和體積。．點、直線、平面之間的位置關(guān)系平面及其基本性質(zhì)。平行直線。對應邊分別平行的角。異面直線所成的角。直線和平面平行的判定與性質(zhì)。直線和平面垂直的判定和性質(zhì)。點到平面的距離。斜線在平面上的射影。直線和平面所成的角。三垂線定理及其逆定理。平面與平面平行的判定與性質(zhì)。二面角及其平面角。平面與平面垂直的判定與性質(zhì)。．空間向量與立體幾何空間向量及其加法、減法與數(shù)乘運算?？臻g向量基本定理?？臻g向量的正交分解。/8空間向量的坐標表示。空間向量的加法、減法與數(shù)乘運算的坐標表示?？臻g向量的數(shù)量積?？臻g向量數(shù)量積的坐標表示。直線的方向向量。平面的法向量（）于角距《標準》在選修“間向量與立體幾何”中明確提出：“能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計算問題，體會向量方法在研究幾何問題中的作用。”。角度是“立體幾何”中的一種度量。異面直線所成的角、直線與平面所成的角、平面與平面所成的角等內(nèi)容在“點、直線、平面之間的位置關(guān)系”必須介紹，穿插在相關(guān)內(nèi)容之中，盡管在“點、直線、平面之間的位置關(guān)系”中沒有明確提到。距離是“立體幾何”中的另一種度量。點到直線的距離、點到平面的距離、平行直線之間的距離異直線之間的離直與平面之間的距離平與平面之間的距離的本質(zhì)是兩點之間的距離點間的距離是以這兩點為起點和終點的向量的?；蜷L度空間中的距離問題就轉(zhuǎn)化為向量的模或長度問題。可見，用空間向量及其運算，特別是數(shù)量積運算，是處理夾角和距離問題的首選方法。（）于三線理其定”很多教師都說，整個高中立體幾何就是“三垂線定理”。盡管說得過分些，但從另外一個角度說明，“三垂線定理”在整個高中“立體幾何”中的地位和作用。確實，“三垂線定理是整個立體幾何內(nèi)容的個典型代表在整個立體幾何知識的樞紐位置綜合了很多知識內(nèi)容：直線與直線線與平面平與平面的垂和平。在數(shù)學“直、平之間的位置關(guān)系”中雖然沒有明確提到“三垂線定理”，但在選2“間向量與立體幾何中提“用向量方法明有關(guān)線位置關(guān)系的一些定包括三垂線定理。按照這種提法材中必須明確提三線定理生應該知道這個定理于放《數(shù)學2》中，還是放在《選修2》中，則是另外一個問題。實際上，考慮到目前“點、直線、平面之間的位置關(guān)系”一章僅有10課時而且直線與平面、平面與平面平行和垂直的判定定理僅僅要求歸納得出，在《數(shù)學2中沒有嚴格的證明。我們認為，“三垂線定理”放在《選修2-1》中比較合適，而且要求了解其內(nèi)容，并用向量方法證明，不要求運用此定理證明有關(guān)的命題。有了“三垂線定理”，“三垂線定理的逆定理”也就順理成章了，無非是斜線與斜線在平面內(nèi)的射影的位互了一下。/8在教材實驗過程中，教師非常關(guān)注“三垂線定理及其逆定理”的教學。一方面是它在過去整個高中“立體幾何”中的地位和作用；另一方面，它也是過去高考的核心內(nèi)容，目前的高考試卷中，如果是用綜合法處理的“立體幾何”方面的大題，于“三垂線定理及其逆定理”的。但是，隨著空間向量及其運算引入“立體幾何”內(nèi)容中，用空間向量及其運算的向量方（坐標方法處有關(guān)垂直和平行問題成為一種普適的方法，三線定理及其逆定理綜方法退其次中數(shù)學新課程中強調(diào)用空間向量及其運算處理立體幾何中的角度、距離，淡化綜合方法處理角度問題和距離問題。（）于目前《標準》只要求認識球的結(jié)構(gòu)特征，了解球的表面積和體積的計算公式（不要求記憶）。由于在系列3中的“選修球面的幾何”專門講述涉及球以及球面的幾何，因此現(xiàn)在新課程“立體幾何部分不涉及球面上距離等內(nèi)容球的表面積和體積公式也不要求推導，教學時一定不要增加這方面的內(nèi)容。二怎把這分教要？由于《標準》把“內(nèi)容與要求”合在一起寫，對教學要求的把握相對來說，容易一些。但在教材編寫和教材實驗中，也存在不少問題。（）柱棱、臺些間何要到么度按照《標準》的要求，教材首先通過實物模型、計算機軟件觀察大量空間圖形，認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征。結(jié)構(gòu)特征是這些空間幾何體的本質(zhì)特征，我們需要抽象概括出這些空間幾何體的概念棱柱為例抽出它的本質(zhì)特征后要不要講斜棱柱、直棱柱、正棱柱以及棱柱的一些性質(zhì)？由于《標準》在選2“間向量與立體幾何”中有“參考案例”例1，例1中確提出“直三棱柱……”，所以必須講。至于放到哪部分內(nèi)容中下我們談到結(jié)體系時，會詳細闡述錐也有類似的問題，正棱錐怎么講？在何處講？（）于視與何觀力空想能視圖和投影是《全日制義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）》新增的內(nèi)容，作為與初中數(shù)學課程內(nèi)容的銜接，“空間幾何體”包括視圖和投影的內(nèi)容。要求到什么程度？1．三視圖是不是要求到“長對、高平齊、寬相等”？與初中階段的相關(guān)內(nèi)容如何銜接？/82．對于平行投影和中心投影下視圖與直觀圖，如果只是“通過觀察用兩種方法（平行投影與中心投影）畫出的視圖直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式?！保遣皇且筇土?？3．如果不明確給出直棱柱、正柱、斜棱柱等的概念，棱柱的三視圖能否講清楚？因為棱柱的三視圖涉及棱柱的高概念。增加三視圖的有關(guān)內(nèi)容，對于進步培養(yǎng)學生的空間想象能力和幾何直觀能力具有重要的促進作用。過去的“立體幾”內(nèi)容相對來說，這方面比較薄弱。三視圖的有關(guān)內(nèi)容在一定程度上改善了這種狀形既需要直觀地感覺需思辨地論證們學生能夠畫出空間幾何體的三視圖和觀圖從幾何體的直觀圖畫出它的三視圖視圖畫出它的直觀圖等等。使得生能通過“實物模型—三視圖—直觀圖”樣一個相互轉(zhuǎn)化的過程認識空間幾何體活動是培養(yǎng)學生空間想象能力的有效途徑，立體何的教學目標加全面基于以上原因，我們認為，教師學生應該知正圖、側(cè)視圖、俯視圖的“擺放”位置，以長齊寬等”的要求尺寸線體怎么畫不作嚴格要求。這部分內(nèi)容是初中“投影與視圖的基礎上的發(fā)展。一個現(xiàn)實情況是空何體8個課的容量，留給“空間幾何體的三視圖和直觀圖有2個課時間容無法展開想說的很清楚沖破2個課限制，這顯然違背《標準》的要求。因，很多內(nèi)容“點到為止”，要求不高，像上面提到點在平面的射影幾何體的高行影中投下視和觀幾個問題須提到，但要求較低。（三）關(guān)于推理論證的要求從必修課程·數(shù)學、課程列2·修2-1的內(nèi)容與要求”看，“立體幾何”部分推理論證的要求有所變化關(guān)直線面置系一定定理用向量方法加以證明經(jīng)典的“立體幾何養(yǎng)學生的空間想象能力和幾何直觀能力外強調(diào)推理論證能力推證能力在最突出的位置整義務教育階段對幾何的推理論證能力的要求有所降低教階相接高數(shù)新程面的教學要求有很大變化。6/8是不是《標準》對幾何推理論證的要求降低了呢？對“立體幾何”部分的教學要求降低了呢？這種看法有一定的片面性。從《準》和整套教材看，不難發(fā)現(xiàn)，在“立體幾何”中對于推理論證的要求不是一步到位，而是分階段、分層次、多角度的：對空間幾何體的認識，先直觀感受、操作確認，不做任何推理論證的要求。以長方體為載體（包括其他的實物模型、身邊的實際例子等）對圖形（模型）進行觀察、實驗和說理，引入合情推理。嚴格的推理論證，如選修課程系2·修中關(guān)直線與平面、平面與平面平行和垂直的判定定理的證明。在修課程系列2·選修2-1中空間向量與立體幾何”中引入空間向量，用空間向量處理平行、垂直、距離和夾角等問題。幾何的現(xiàn)實性與論理性是幾何的兩個方面幾里得公理體系把幾何與邏輯結(jié)合起來，幾何就與演繹推理結(jié)下了不解之緣久以來幾何學就成為訓練邏輯推理的素材主的東西去理解客觀世界，把握客觀世界，以期對客觀世界有更理性的認識。從幾何推理的角度來看，既有合情推理，又有演繹推理，而且從數(shù)學自身發(fā)展的過程來看即演繹推理也并非幾何獨有廣泛存在于數(shù)學的各個分支中近幾十年的國際數(shù)學教育改革對幾何推理的要求發(fā)生了一些變化當化演繹推理多地強調(diào)從具體情境或前提出發(fā)進合情推理從純強調(diào)幾何的邏輯推理向更全面地體現(xiàn)幾何的教育價值，特別是幾何在發(fā)展學生空間觀念，以及觀察、操作、試驗、探索、合情推理等“過程性”方面的教育價值。立體幾何初步特別注意，使學生經(jīng)歷從特殊到一般體到抽象的過程逐認識直線與平面、平與平面的位置關(guān)系，在推理過程中滲透公理化思想言必有據(jù)的理性思維精神。/8（四）關(guān)于幾何模型的作用與價值《標準》中多次提到“數(shù)學模型”一詞，目的是進一步加強數(shù)學與現(xiàn)實世界的聯(lián)系。數(shù)學模型是把實際問題用數(shù)學語言抽象概括，再從數(shù)學角度來反映或近似地反映實際問題時，所得出的關(guān)于實際問題的描述學模型的形式是多樣的，它們可以是幾何圖形可以是方程式、函數(shù)解析式等等。實際問題越復雜，相應的數(shù)學模型也越復雜。從形狀的角度反映現(xiàn)實世界的物體時，經(jīng)過抽象得到的空間幾何體就是現(xiàn)實世界物體的幾何模型于體幾何學習知識內(nèi)容與學生的聯(lián)系非常密切間何體是很多物體的幾何模型，這些模型可以描述現(xiàn)實世界中的許多物體們直觀、具體，對培養(yǎng)學生的幾何直觀能力有很大的幫助?？臻g幾何體，特別是長方體，其中的棱與棱、棱與面、面與面之間的位置關(guān)系研究直線與直線線與平面面與平面位置關(guān)系的直觀載體習，一方面要引導學生從生活實際出發(fā)學習的知識與周圍的實物聯(lián)系起來另一方面要引導學生經(jīng)歷從現(xiàn)實的生活抽象空間圖形的過程重探索空間圖形的位置關(guān)系歸納概它們的