空間向量基本定理

課時作業(yè)(二)空間向量基本定理一、選擇題1．下列命題中正確的個數(shù)是()①若a與b共線，b與c共線，則a與c共線．②向量a，b，c共面，即它們所在的直線共面．③如果三個向量a，b，c不共面，那么對于空間任意一個向量p存在有序實數(shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.④若a，b是兩個不共線的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，則{a，b，c}構成空間的一個基底．A．0B．1C．2D．32．已知向量{a，b，c}是空間的一個基底，p＝a＋b，q＝a－b，一定可以與向量p，q構成空間的另一個基底的是()A．aB．bC．cD．無法確定3.如圖所示，空間四邊形OABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，點M在OA上，且eq\o(OM,\s\up6(→))＝2eq\o(MA,\s\up6(→))，N為BC中點，則eq\o(MN,\s\up6(→))等于()\f(1,2)a－eq\f(2,3)b＋eq\f(1,2)cB．－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(2,3)c\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,2)c4．對空間任一點O和不共線三點A、B、C，能得到P，A，B，C四點共面的是()\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))\o(OP,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))D．以上皆錯二、填空題5．下列命題是真命題的是________(填序號)．①若A，B，C，D在一條直線上，則eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))是共線向量；②若A，B，C，D不在一條直線上，則eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))不是共線向量；③若向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))是共線向量，則A，B，C，D四點必在一條直線上；④若向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))是共線向量，則A，B，C三點必在一條直線上．6．已知空間的一個基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m與n共線，則x＝________，y＝________.7.如圖，點M為OA的中點，{eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))}為空間的一個基底，eq\o(DM,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))＋zeq\o(OD,\s\up6(→))，則有序實數(shù)組(x，y，z)＝________.三、解答題8．已知{e1，e2，e3}是空間的一個基底，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝e1＋2e2－e3，eq\o(OB,\s\up6(→))＝－3e1＋e2＋2e3，eq\o(OC,\s\up6(→))＝e1＋e2－e3，試判斷{eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))}能否作為空間的一個基底．9.如圖所示，在平行六面體ABCD－A′B′C′D′中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA′,\s\up6(→))＝c，P是CA′的中點，M是CD′的中點，N是C′D′的中點，點Q在CA′上，且CQQA′＝41，用基底{a，b，c}表示以下向量：(1)eq\o(AP,\s\up6(→))；(2)eq\o(AM,\s\up6(→))；(3)eq\o(AN,\s\up6(→))；(4)eq\o(AQ,\s\up6(→)).[尖子生題庫]10.如圖，空間四邊形ABCD中，點G為△BCD的重心，E，F(xiàn)，H分別為邊CD，AD和BC的中點，則eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))的化簡結果為()\o(AF,\s\up6(→))\o(AH,\s\up6(→))\o(AE,\s\up6(→))\o(CF,\s\up6(→))課時作業(yè)(二)空間向量基本定理1．解析：①中當b＝0時，a與c不一定共線，故①錯誤；②中a，b，c共面時，它們所在的直線平行于同一平面不一定在同一平面內，故②錯誤；③正確；④不對，a，b不共線．當c＝λa＋μb時，a，b，c共面．答案：B2．解析：∵a＝eq\f(1,2)p＋eq\f(1,2)q，∴a與p，q共面，∵b＝eq\f(1,2)p－eq\f(1,2)q，∴b與p，q共面，∵不存在λ，μ，使c＝λp＋μq，∴c與p，q不共面，故{c，p，q}可作為空間的一個基底，故選C.答案：C3．解析：eq\o(MN,\s\up12(→))＝eq\o(ON,\s\up12(→))－eq\o(OM,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up12(→))＋eq\o(OC,\s\up12(→)))－eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)(b＋c)－eq\f(2,3)a＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.答案：B4．解析：∵eq\o(OP,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up12(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up12(→))，∴3eq\o(OP,\s\up12(→))＝eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(OB,\s\up12(→))＋eq\o(OC,\s\up12(→))，∴eq\o(OP,\s\up12(→))－eq\o(OA,\s\up12(→))＝(eq\o(OB,\s\up12(→))－eq\o(OP,\s\up12(→)))＋(eq\o(OC,\s\up12(→))－eq\o(OP,\s\up12(→)))∴eq\o(AP,\s\up12(→))＝eq\o(PB,\s\up12(→))＋eq\o(PC,\s\up12(→))，∴eq\o(PA,\s\up12(→))＝－eq\o(PB,\s\up12(→))－eq\o(PC,\s\up12(→))，∴P，A，B，C四點共面．答案：B5．解析：①為真命題，A，B，C，D在一條直線上，向量eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(CD,\s\up12(→))的方向相同或相反，因此eq\o(AB,\s\up12(→))與eq\o(CD,\s\up12(→))是共線向量；②為假命題，A，B，C，D不在一條直線上，則eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(CD,\s\up12(→))的方向不確定，不能判斷eq\o(AB,\s\up12(→))與eq\o(CD,\s\up12(→))是否為共線向量；③為假命題，因為eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(CD,\s\up12(→))兩個向量所在的直線可能沒有公共點，所以A，B，C，D四點不一定在一條直線上；④為真命題，因為eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(AC,\s\up12(→))兩個向量所在的直線有公共點A，且eq\o(AB,\s\up12(→))與eq\o(AC,\s\up12(→))是共線向量，所以A，B，C三點共線．故填①④.答案：①④6．解析：因為m與n共線，所以存在實數(shù)λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝λx，,－1＝λy，,1＝λ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1)).答案：1－17．解析：eq\o(DM,\s\up12(→))＝eq\o(OM,\s\up12(→))－eq\o(OD,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up12(→))－eq\o(OD,\s\up12(→))，所以有序實數(shù)組(x，y，z)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，－1)).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，－1))8．解析：假設eq\o(OA,\s\up12(→))，eq\o(OB,\s\up12(→))，eq\o(OC,\s\up12(→))共面，由向量共面的充要條件知，存在實數(shù)x，y，使得eq\o(OA,\s\up12(→))＝xeq\o(OB,\s\up12(→))＋yeq\o(OC,\s\up12(→))成立，即e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.因為{e1，e2，e3}是空間的一個基底，所以e1，e2，e3不共面，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3x＋y＝1，,x＋y＝2，,2x－y＝－1，))此方程組無解．即不存在實數(shù)x，y，使得eq\o(OA,\s\up12(→))＝xeq\o(OB,\s\up12(→))＋yeq\o(OC,\s\up12(→))成立，所以eq\o(OA,\s\up12(→))，eq\o(OB,\s\up12(→))，eq\o(OC,\s\up12(→))不共面．故{eq\o(OA,\s\up12(→))，eq\o(OB,\s\up12(→))，eq\o(OC,\s\up12(→))}能作為空間的一個基底．9．解析：連接AC，AD′，AC′(圖略)．(1)eq\o(AP,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\o(AA′,\s\up12(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AD,\s\up12(→))＋eq\o(AA′,\s\up12(→)))＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)．(2)eq\o(AM,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\o(AD′,\s\up12(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up12(→))＋2eq\o(AD,\s\up12(→))＋eq\o(AA′,\s\up12(→)))＝eq\f(1,2)a＋b＋eq\f(1,2)c.(3)eq\o(AN,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC′,\s\up12(→))＋eq\o(AD′,\s\up12(→)))＝eq\f(1,2)[(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AD,\s\up12(→))＋eq\o(AA′,\s\up12(→)))＋(eq\o(AD,\s\up12(→))＋eq\o(AA′,\s\up12(→)))]＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up12(→))＋2eq\o(AD,\s\up12(→))＋2eq\o(AA′,\s\up12(→)))＝eq\f(1,2)a＋b＋c.(4)eq\o(AQ,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\o(CQ,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\f(4,5)(eq\o(AA′,\s\up12(→))－eq\o(AC,\s\up12(→)))＝eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\f(4,5)eq\o(AA′,\s\up12(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AD,\s\up12(→))＋eq\f(4,5)eq\o(AA′,\s\up12(→))＝eq\f(1,5)a＋eq\f(1,5)b＋eq\f(4,5)c.10．解析：∵G是△BCD的重心，∴|eq\o(GE,\s\up12(→))|＝eq\f(1,3)|eq\o(BE,\s\up12(→))|，∴eq\o(GE,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up12(→)).又eq\o(EF,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\u