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文檔簡介

5.4一階電路:三要素法

對一階電路方程

y(t)+ay(t)=f(t)(t≥0)

其解一般由穩(wěn)態(tài)響應與瞬態(tài)響應組成,對直流或階躍信號而言,其穩(wěn)態(tài)解為常數(shù),所以

三要素公式

(t

≥0)

令t=0+,則起始值y(0+)=y()+K

從而K=y(0+)

y()

故得一般公式:(三要素:y()、y(0+)、)對電壓響應和電流響應可分別表示為三要素的求法

y(0+):換路前,求初始狀態(tài)uC(0)或iL(0)定uC(0+)或iL(0+);用電壓源uC(0+)和電流源iL(0+)分別代替電容和電感,則可求其他元件的起始值。y():換路后,作t

的等效電路:電容開路可定uC(),電感短路可定iL()。繼而可定其他y()。:換路后,除電容和電感外,將電路等效為戴維寧電路或諾頓電路(圖5-31)。則時間常數(shù)

=R0C(對RC電路)(對RL電路)圖5-31求時間常數(shù)的最簡電路

如圖5-32所示電路,已知R1=3Ω,R2=6Ω,C=1F,

US=18V,t<0時電路已處于穩(wěn)態(tài)。試對t≥0+求響應uC(t)和i(t)。圖5-32

(1)求uC(0+)。首先在t=0_的電路上,即開關未合上時,求uC(0-)。由于t=0_時電路已穩(wěn)定,電容上充電電流為零,電容相當于開路,故其兩端電壓uC(0-)=US=18V,由換路定律,得(2)求uC(∞)。當開關合上后,電路再達穩(wěn)定時,C又相當于開路,如圖5-32(b)所示,此時C兩端的開路電壓取決于R2上的分壓,即(3)求τ。換路后,即合上開關,斷開電容C,得到二端子電阻網(wǎng)絡,如圖5-32(b)所示??傻么骶S寧等效電阻故時間常數(shù)所以,根據(jù)三要素公式得其波形如圖5-33(a)所示。圖5-33(4)求i(t)。因為t≥0+時,

uC(t)的變化即R2上電壓的變化,故有注意:i(t)的時間常數(shù)仍為2s。

例如圖5-34所示電路,已知t<0時電路已處于穩(wěn)態(tài)。試對t

≥0+

求響應uL(t)和uC(t)。圖5-34

t<0時,可得

對電容回路,用三要素法:

uC(0+)=uC(0)=9VuC()=10V1=R0C=21s=2s

所以(t

≥0)

對含電感的一階電路,用iL(0+)=3A的電流源替代電感,在t=0+

的電路上可求得

uL(0+)=1V

uL()=0

故有

uL(t)=et(t≥0)

結論:用三要素法可同時確定完全響應(電壓或電流)。

例如圖5-35(a)所示電路,為直流發(fā)電機的勵磁繞組電路模型。已知繞組電阻R=20Ω,電感L=20H,外加額定電壓U=200V,試求:1)當開關S閉合后勵磁電流i的變化規(guī)律和電流達到10A穩(wěn)態(tài)值所需要的時間。

2)如果先將電壓提高到250V,在3s后再調到200V,問勵磁電流達到額定值所需的時間。圖5-35解

(1)根據(jù)三要素法可得零狀態(tài)響應電流為其中電壓U=200V,τ=L/R=20/20=1s。故有當電流達到10A時所需時間應為5

τ

,即t=5s。(2)若提高電壓到250V,則電流可表示為當電流i’達到10A時所需時間t’應滿足解得t‘=1n5=1.6s,顯然比額定電壓為200V時要快得多。微分電路

圖5-36微分電路及響應

由圖5-36(a),有

u1(t)=uC+u2

若u2

0,則u1

uC

實際輸出:由三要素法

又u2(T)=U1

<<T時)則

如果輸入信號周期變化,則有如下波形:u1(t)圖5-37uR(t)uC(t),較小uC(t),較大積分電路

圖5-38積分電路及響應

由圖5-38(a),有

uS(t)=uR+uC

實際輸出:

>>T,uC(T)=U0

若uC

0,則uS

uR,

(t

≥T)

例確定RC分壓器的階躍響應u2(t)。圖5-39

解已知uC1(0)=uC2(0)=0,由KVL,在t=0+

u1(0+)+u2(0+)=A(1)

由電荷守恒原理,應有

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