奧賽天天練(填三階幻方)

《奧賽天天練》第講《巧填幻方》。概念：如果一個(gè)n×n矩陣（教材中表現(xiàn)為方格圖）的每行，每列及兩條對(duì)角線的元素之和都相等，且這些元素都是從到n×n的自然數(shù)，這樣的矩陣就稱為n幻方有關(guān)幻方問(wèn)題的研究在我國(guó)已流傳了兩千多年這是一類形式獨(dú)特的填數(shù)字問(wèn)題。本講主要介紹比較簡(jiǎn)單的三階幻方的填寫(xiě)，三階幻方就n=3時(shí)的幻方。三階幻的填法：三階幻方傳說(shuō)最早出現(xiàn)在夏禹時(shí)代的“洛書(shū)”，在北周的甄彎注《數(shù)術(shù)記遺》一書(shū)中記有三階幻方的填法九宮者，二為肩，八為足，左右三，戴九一，五中央。三階幻的構(gòu)造方法我國(guó)南宋時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家輝是最早系統(tǒng)研究幻方的數(shù)學(xué)家。他曾將幻方命名為“縱橫圖”(階幻方也叫絡(luò)書(shū)或九宮圖)給出了三階、四階幻方構(gòu)造方法的說(shuō)明階以上幻方輝只畫(huà)出圖形而未留下作法但他所畫(huà)的五階六階乃至十階幻方全都準(zhǔn)確無(wú)誤輝在《續(xù)古摘奇算法》中，總結(jié)出了三階幻方構(gòu)造的方法“九子斜，上下對(duì)易左右相，四維挺出?！彼际牵合劝裭九個(gè)數(shù)依次斜排（如下圖一），再把上l9數(shù)對(duì)調(diào)（如下圖二），左73數(shù)對(duì)調(diào)（如下圖三），最后把四面的2、4、6向外面挺出（如下圖四），這樣就構(gòu)造了一個(gè)三階幻方。199424249757357868681911圖一

圖二

圖三

圖四三階幻方的填法不是唯一的矩陣的第一行與第三行對(duì)調(diào)或第一列與第三列對(duì)調(diào)，可以得出4種填法，將其中的任意一種填法旋90°，又可以得到另外的4填法例如，將上面圖四的第一列與第三列對(duì)調(diào)，就可以得出前面口訣中的填法。三階幻方的構(gòu)造原理：通常我們把幻方中每行個(gè)數(shù)的和稱為幻方的幻和，幻方正中心的那個(gè)數(shù)叫做中心數(shù)中心數(shù)也就是這個(gè)數(shù)的中位數(shù)從到這9數(shù)的和為：…8+9=45；則三階幻方每個(gè)數(shù)字之和即幻和為：=15。到這9個(gè)數(shù)中，和的3數(shù)，只能是、9+4+2、8+6+1、、7+6+2、7+5+3、6+5+4。因此每行、每列、每條對(duì)角線上個(gè)數(shù)只能是其中某個(gè)算式中的3個(gè)數(shù)。仔細(xì)分析九宮格經(jīng)過(guò)中心數(shù)的有一行、一列和兩條對(duì)角線，即這個(gè)數(shù)必須在4不同的算式中出現(xiàn)在上面的算式中只有符合要求。同理經(jīng)過(guò)九宮格四個(gè)角上的數(shù)字都有一行、一列和一條對(duì)角線，即四個(gè)角上的數(shù)字必須同時(shí)個(gè)不同的算式中出現(xiàn)，只有2、6、8符合要求。先填好中心數(shù)和四個(gè)角上數(shù)字，再完成其它填空，就完成幻方填寫(xiě)了。在教學(xué)時(shí)可引導(dǎo)孩子發(fā)現(xiàn)三階幻方中數(shù)字有趣的排列順序如四個(gè)偶數(shù)在四角從某個(gè)方向看奇偶數(shù)的是按大小有序排列的等等讓孩子在了解構(gòu)造方法的基礎(chǔ)上熟記簡(jiǎn)單三階幻方的填法口訣寫(xiě)三階幻方的個(gè)數(shù)論如何變化，只要將它們按大小的順序排列編號(hào)，均可按口訣“對(duì)號(hào)入座”完成填空；理解并掌握幻方中的兩個(gè)公式：幻和＝中心數(shù)；幻和＝總數(shù)可以在已知幻和的情況下，先求出中心數(shù)，或在已知中心數(shù)的情況下，先求出幻和，以便繼續(xù)求出其它的數(shù)讓孩子初步了解幻方的構(gòu)造原理這種推理方法在學(xué)習(xí)其它問(wèn)題時(shí)可以遷移使用?！秺W賽天練》第講，模訓(xùn)練，習(xí)【題目：將下面左邊方格中的9個(gè)填入右邊幻方中，使每一行、每一列條對(duì)角線中的三個(gè)數(shù)相加的和相等?！窘馕觯航夥ㄒ话堰@九個(gè)數(shù)按從小到大的順序依次編號(hào)，1、3號(hào)為“6”，4、5、6號(hào)為8”、8、9號(hào)為10”。按口訣：九宮者，二四為肩，六八為足，左七右三，戴九履一，五居中央。對(duì)號(hào)入座，如下圖可以填好表格。解法二這個(gè)三階幻方的幻和為10+8+6=24；中心數(shù)為24÷3=8。如上圖：首先可以填好中心數(shù)8。因?yàn)榛煤蜑?，任意行列如果有個(gè)，3個(gè)數(shù)的和必定小于24所以任意行列不可能有個(gè)6，根據(jù)這點(diǎn)，第二步可以確定個(gè)6位置，保證任26不同行不同列，不在同一條對(duì)角線上三步根據(jù)已填好的四個(gè)數(shù)，及幻和為，可以完成余下的填空?！秺W賽天練》第講，鞏訓(xùn)練，題【題目：將9連續(xù)自然數(shù)填入的方格使每一橫行每一豎行及兩條對(duì)角線的3數(shù)之和都等于60。【解析：由已知條件可知，這個(gè)幻方，幻和為中心數(shù)為：所以這9個(gè)連續(xù)的自然數(shù)為：、17、19、20、21、22、23、24。把這九個(gè)數(shù)按從小到大的順序依次編號(hào)，按口訣對(duì)號(hào)入座，可完成表格。如下圖：《奧賽天練》第講，鞏訓(xùn)練，題【題目：下圖中，要使每一行，每一列，兩條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)的和都是27，B，，E，F(xiàn)，G應(yīng)各是多少？【解析：由題意可知幻和為中心數(shù)為27÷3=9所以等于填好中心數(shù)后，根據(jù)幻和，可以用蠶食的方法依次求出其它方格里的數(shù)：；G=27-5-12=10；A=27-10-9=8；B=27-8-5=14；F=27-9-14=4。答案略?！秺W賽天練》第講，拓提高，題【題目：在下面一個(gè)三階幻方中已填入了一個(gè)數(shù)，請(qǐng)?jiān)谄渌鼈€(gè)空格填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使得9方格是9個(gè)連續(xù)自然數(shù)?！窘馕觯河梢阎獥l件可知這個(gè)幻方的中心數(shù)為所以這個(gè)連續(xù)的自然數(shù)為8、9、10、11、12、13、14、15、16。把這九個(gè)數(shù)按從小到大的順序依次編號(hào)，按口訣對(duì)號(hào)入座，可完成表格。如下圖：《奧賽天練》第講，拓提高，題【題目：在下面兩個(gè)圖形中的空格填入不大于互不相同的自然數(shù)（其中已各填好一個(gè)數(shù)），使每一橫行、每一豎行及兩條對(duì)角線的個(gè)數(shù)之和都等于?！窘馕觯河深}意可知，幻和為，中心數(shù)為：如下圖，可以分別填好兩個(gè)方格圖中的一條對(duì)角線。因?yàn)橹行臄?shù)是，經(jīng)過(guò)中心數(shù)每一組另外兩個(gè)數(shù)必須一個(gè)大于10個(gè)小于所以兩個(gè)方格圖中剩下個(gè)數(shù)中有個(gè)數(shù)大于且不大于15題目左圖中，大于的數(shù)可能是、13、14、15，數(shù)字如果和同行列，，8重復(fù)出現(xiàn)與題意不符；如果數(shù)1412行列，14+12+4=30，而必須出現(xiàn)，與題意不符。所以，左圖于的三個(gè)數(shù)只能是11、13，剩下的3個(gè)數(shù)是：9、7、5通過(guò)嘗試檢驗(yàn)、或“對(duì)號(hào)入座”可以完成表格，如上圖一。同理，題目右圖于的數(shù)可能是、12、13、15，數(shù)字如果和同行列，12+6+12=30，12重復(fù)出現(xiàn)與題意不符；如果數(shù)字12與14行列，12+14+4=30，而4+10+16=30，必須出現(xiàn)16，與題意不符。所以，右圖于三個(gè)數(shù)只能是11、13