高考文科數(shù)學分類解析圓錐曲線

...wd......wd......wd...2013年高考數(shù)學〔文科〕分類解析專題9：圓錐曲線一、選擇題1．〔2013年高考湖北卷〔文〕〕,那么雙曲線:與:的〔〕A．實軸長相等 B．虛軸長相等 C．離心率相等 D．焦距相等【答案】【解析】此題考察雙曲線的方程以及的計算。雙曲線中，，所以，離心率為。中，，所以。所以兩個雙曲線有一樣的焦距，選D.2．〔2013年高考四川卷〔文9〕〕從橢圓上一點向軸作垂線,垂足恰為左焦點,是橢圓與軸正半軸的交點,是橢圓與軸正半軸的交點,且(是坐標原點),那么該橢圓的離心率是〔〕A．B．C．D．【答案】C【解析】由得，點在橢圓上，代入橢圓的方程，得，因為AB∥OP，所以，，，所以，，選C.3．〔2013年高考課標Ⅱ卷〔文10〕〕設拋物線的焦點為，直線過且與交于，兩點。假設，那么的方程為〔〕〔A〕或〔B〕或〔C〕或〔D〕或【答案】C【解析】拋物線y2=4x的焦點坐標為〔1，0〕，準線方程為x=-1，設A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，那么因為|AF|=3|BF|，所以x1+1=3〔x2+1〕，所以x1=3x2+2。因為|y1|=3|y2|，x1=9x2，所以x1=3，x2=，當x1=3時，，所以此時，假設，那么,此時,此時直線方程為。假設，那么,此時,此時直線方程為。所以的方程是或，選C.4．〔2013年高考課標Ⅰ卷〔文8〕〕為坐標原點,為拋物線的焦點,為上一點,假設,那么的面積為〔〕A．B．C．D．【答案】C【解析】拋物線的焦點,準線方程為。因為，所以，即，所以,即。所以的面積為，選C.【規(guī)律總結】與拋物線有關的試題，更多的是考察拋物線的定義，利用到焦點的距離和到準線的距離相等，實現(xiàn)轉化。5．〔2013年高考課標Ⅰ卷〔文4〕〕雙曲線的離心率為,那么的漸近線方程為〔〕A．B．C．D．【答案】C【解析】雙曲線的離心率為，即，所以。即，所以，即，所以。所以雙曲線的漸近線為，選C.6．〔2013年高考福建卷〔文〕〕雙曲線的頂點到其漸近線的距離等于〔〕A．B．C．1 D．【答案】B【解析】此題考察的是雙曲線的性質．因為雙曲線的兩個頂點到兩條漸近線的距離都相等，故可取雙曲線的一個頂點為，取一條漸近線為，所以點到直線的距離為．7．〔2013年高考廣東卷〔文〕〕中心在原點的橢圓C的右焦點為,離心率等于,那么C的方程是〔〕A．B．C．D．【答案】D【解析】由橢圓C的右焦點為，可知，又離心率等于，所以，解得，所以，即橢圓的方程為，選D.8．〔2013年高考四川卷〔文5〕〕拋物線的焦點到直線的距離是〔〕A．B．C．D．【答案】D【解析】的焦點為(2,0)，到的距離為，選D.【知識拓展】拋物線的焦點弦：拋物線的過焦點的弦，假設，那么，弦長．同樣可得拋物線，類似的性質．9．〔2013年高考課標Ⅱ卷〔文5〕〕設橢圓的左、右焦點分別為，是上的點，，，那么的離心率為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】D【解析】因為,所以。又，所以，即橢圓的離心率為，選D.10．〔2013年高考大綱卷〔文8〕〕且垂直于軸的直線交于且那么的方程為〔〕A．B．C．D．【答案】C【解析】設橢圓方程為，那么，①當時，，所以，②解①②得，.故所求的方程為，選C.11．〔2013年高考遼寧卷〔文11〕〕橢圓的左焦點為F兩點,連接了,假設,那么的離心率為〔〕A．B．C．D．【答案】B【解析】由余弦定理，AF=6，所以，又，所以,選B.12．〔2013年高考重慶卷〔文10〕〕設雙曲線的中心為點,假設有且只有一對相較于點、所成的角為的直線和,使,其中、和、分別是這對直線與雙曲線的交點,那么該雙曲線的離心率的取值范圍是zhangwlx〔〕A．B．C．D．【答案】A【解析】此題考察雙曲線的性質與方程。因為,所以根據(jù)對稱性可知，直線,關于軸對稱，因為直線,所成的角為。所以直線的傾斜角為或，即斜率為或，要使直線與雙曲線相交，那么雙曲線漸近線的斜率，當時，，所以，，即，所以。當時，有，即，所以，即，即，所以綜上，即雙曲線離心率的范圍時，選A.13．〔2013年高考大綱卷〔文12〕〕拋物線與點,過的焦點且斜率為的直線與交于兩點,假設,那么〔〕A．B．C．D．【答案】D【解析】的焦點為(2,0)，所以，所以，即，，.又設，，，，即，所以，，解得，應選D.14．〔2013年高考北京卷〔文7〕〕雙曲線的離心率大于的充分必要條件是 〔〕A．B．C．D．【答案】C【解析】，，，，那么.15．〔2013年上海高考數(shù)學試題〔文科18〕〕記橢圓圍成的區(qū)域(含邊界)為,當點分別在上時,的最大值分別是,那么〔〕A．0 B．C．2 D．【答案】D【解析】選D16．〔2013年高考江西卷〔文9〕〕點A(2,0),拋物線C:x2=4y的焦點為F,射線FA與拋物線C相交于點M,與其準線相交于點N,那么|FM|:|MN|=〔〕A．2:5B．1:2 C．1:5D【答案】C【解析】此題考察拋物線的定義及應用。拋物線的焦點坐標為，準線方程為，過點M，做準線的垂線，交準線于B。那么，所以設射線的傾斜角為，那么，即，所以，所以|FM|：|MN|，選C。17．〔2013年高考山東卷〔文11〕〕拋物線的焦點與雙曲線的右焦點的連線交于第一象限的點M,假設在點M處的切線平行于的一條漸近線,那么= 〔〕A．B．C．D．【答案】D【解析】由題設知：拋物線的焦點F，雙曲線的焦點F2(2,0)，所以直線FF2：.由得，即，雙曲線C2的漸近線方程為，又由得，解得，所以，故.18．〔2013年高考浙江卷〔文9〕〕如圖F1.F2是橢圓C1:eq\f(x2,4)+y2=1與雙曲線C2的公共焦點〔〕A．B分別是C1.C2在第二.四象限的公共點,假設四邊形AF1BF2為矩形,那么C2的離心率是〔第9題圖〕 〔〕〔第9題圖〕A．eq\r(,2)B．eq\r(,3)C．eq\f(3,2)D．eq\f(eq\r(,6),2)【答案】D．【解析】由得設雙曲線實半軸為，由橢圓及雙曲線的定義和得到,解得，。所以雙曲線的離心率為，所以選D二、填空題19．〔2013年高考湖南〔文14〕〕設F1,F2是雙曲線C,(a>0,b>0)的兩個焦點.假設在C上存在一點P.使PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,那么C的離心率為___________.【答案】【解析】此題考察雙曲線的方程和性質。不妨設點P位于雙曲線的右支上,因為，PF1⊥PF2，所以。由雙曲線的定義可知，，即，所以，即C的離心率為。20．〔2013年高考卷〔文11〕〕雙曲線的離心率為________.【答案】【解析】21．〔2013年高考遼寧卷〔文15〕〕為雙曲線的左焦點,為上的點,假設的長等于虛軸長的2倍,點在線段上,那么的周長為____________.【答案】44【解析】兩式相加，所以并利用雙曲線的定義得，所以周長為.22．〔2013年上海高考數(shù)學試題〔文科12〕〕設是橢圓的長軸,點在上,且.假設,,那么的兩個焦點之間的距離為_______.【答案】【解析】，代入橢圓的標準方程得。23．〔2013年高考北京卷〔文9〕〕假設拋物線的焦點坐標為(1,0)那么=____;準線方程為_____.【答案】2,【解析】由題意，那么.24．〔2013年高考福建卷〔文〕〕橢圓的左、右焦點分別為,焦距為.假設直線與橢圓的一個交點滿足,那么該橢圓的離心率等于__________【答案】【解析】此題考察的是圓錐曲線的離心率．由題意可知，中，，所以有，整理得，故答案為．25．〔2013年高考天津卷〔文11〕〕拋物線的準線過雙曲線的一個焦點,且雙曲線的離心率為2,那么該雙曲線的方程為______.【答案】【解析】拋物線的準線方程為，因為雙曲線的一個焦點在準線上，所以，即，且雙曲線的焦點在軸上。又雙曲線的離心率為2，即，解得，所以，所以雙曲線的方程為。三、解答題26．〔2013年高考浙江卷〔文〕〕拋物線C的頂點為O(0,0),焦點F(0,1)(Ⅰ)求拋物線C的方程;(Ⅱ)過點F作直線交拋物線C于A.B兩點.假設直線AO.BO分別交直線l:y=x-2于M.N兩點,求|MN|的最小值.【答案】解:(Ⅰ)由可得拋物線的方程為:,且,所以拋物線方程是:;(Ⅱ)設,所以所以的方程是:,由,同理由所以①設,由,且,代入①得到:,設,① 當時,所以此時的最小值是;② 當時,,所以此時的最小值是,此時,;綜上所述:的最小值是;27．〔2013年高考山東卷〔文〕〕在平面直角坐標系中,橢圓C的中心在原點O,焦點在軸上,短軸長為2,離心率為(I)求橢圓C的方程(II)A,B為橢圓C上滿足的面積為的任意兩點,E為線段AB的中點,射線OE交橢圓C與點P,設,求實數(shù)的值.【答案】將代入橢圓方程,得28．〔2013年高考廣東卷〔文〕〕拋物線的頂點為原點,其焦點到直線的距離為.設為直線上的點,過點作拋物線的兩條切線,其中為切點.(1)求拋物線的方程;(2)當點為直線上的定點時,求直線的方程;(3)當點在直線上移動時,求的最小值.【答案】(1)依題意,解得(負根舍去)拋物線的方程為;(2)設點,,,由,即得.∴拋物線在點處的切線的方程為,即.∵,∴.∵點在切線上,∴.①同理,.②綜合①、②得,點的坐標都滿足方程.∵經(jīng)過兩點的直線是唯一的,∴直線的方程為,即;(3)由拋物線的定義可知,所以聯(lián)立,消去得,當時,取得最小值為29．〔2013年上海高考數(shù)學試題〔文科〕〕此題共有3個小題.第1小題總分值3分,第2小題總分值6分,第3小題總分值9分. 如圖,雙曲線:,曲線:.是平面內一點,假設存在過點的直線與、都有公共點,那么稱為“型點〞.(1)在正確證明的左焦點是“型點〞時,要使用一條過該焦點的直線,試寫出一條這樣的直線的方程(不要求驗證);(2)設直線與有公共點,求證,進而證明原點不是“型點;(3)求證:圓內的點都不是“型點〞.【答案】30．〔2013年高考福建卷〔文〕〕如圖,在拋物線的焦點為,準線與軸的交點為.點在拋物線上,以為圓心為半徑作圓,設圓與準線的交于不同的兩點.(1)假設點的縱坐標為2,求;(2)假設,求圓的半徑.【答案】解:(Ⅰ)拋物線的準線的方程為,由點的縱坐標為,得點的坐標為所以點到準線的距離,又.所以.(Ⅱ)設,那么圓的方程為,即.由,得設,,那么:由,得所以,解得,此時所以圓心的坐標為或從而,,即圓的半徑為31．〔2013年高考北京卷〔文〕〕直線():相交于,兩點,是坐標原點(1)當點的坐標為,且四邊形為菱形時,求的長.(2)當點在上且不是的頂點時,證明四邊形不可能為菱形.【答案】解:(I)因為四邊形OABC為菱形,所以AC與OB相互垂直平分.所以可設,代入橢圓方程得,即.所以|AC|=.(II)假設四邊形OABC為菱形.因為點B不是的頂點,且AC⊥OB,所以.由,消去并整理得.設A,C,那么,.所以AC的中點為M(,).因為M為AC和OB的交點,且,,所以直線OB的斜率為.因為,所以AC與OB不垂直.所以OABC不是菱形,與假設矛盾.所以當點B不是W的頂點時,四邊形OABC不可能是菱形.32．〔2013年高考課標Ⅰ卷〔文〕〕圓,圓,動圓與圓外切并且與圓內切,圓心的軌跡為曲線.(Ⅰ)求的方程;(Ⅱ)是與圓,圓都相切的一條直線,與曲線交于,兩點,當圓的半徑最長是,求.請考生在第(22)、(23)、(24)三題中任選一題作答.注意:只能做所選定的題目.如果多做,那么按所做的第一個題目計分,作答時請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑.【答案】解:由得圓M的圓心為M(-1,0),半徑;圓N的圓心為N(1,0),半徑.設知P的圓心為P(x,y),半徑為R.(I) 因為圓P與圓M外切并且與圓N內切,所以.有橢圓的定義可知,曲線C是以M,N為左.右焦點,長半軸長為2,短半軸長為的橢圓(左定點除外),其方程為.(II) 對于曲線C上任意一點,由于,所以R2,當且僅當圓P的圓心為(2,0)時,R=2,所以當圓P的半徑最長時,其方程為;假設l的傾斜角為90°,那么l與y軸重合,可得.假設l的傾斜角不為90°,那么知l不平行于x軸,設l與x軸的交點為Q,那么,可求得Q(-4,0),所以可設l:y=k(x+4).由l于圓M相切得,解得k=±.當k=時,將y=x+代入,并整理得,解得.當k=.綜上,.33．〔2013年高考陜西卷〔文〕〕動點M(x,y)到直線l:x=4的距離是它到點N(1,0)的距離的2倍.(Ⅰ)求動點M的軌跡C的方程;(Ⅱ)過點P(0,3)的直線m與軌跡C交于A,B兩點.假設A是PB的中點,求直線m的斜率.【答案】解:(Ⅰ)點M(x,y)到直線x=4的距離,是到點N(1,0)的距離的2倍,那么.所以,動點M的軌跡為橢圓,方程為(Ⅱ)P(0,3),設橢圓經(jīng)檢驗直線m不經(jīng)過這2點,即直線m斜率k存在..聯(lián)立橢圓和直線方程,整理得:所以,直線m的斜率34．〔2013年高考大綱卷〔文〕〕雙曲線離心率為直線(I)求;(II)證明:成等比數(shù)列【答案】(Ⅰ)由題設知,即,故.所以C的方程為.將y=2代入上式,求得,.由題設知,,解得,.所以.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,C的方程為.①由題意可設的方程為,,代入①并化簡得,.設,,那么,,,.于是,由得,,即.故,解得,從而.由于,,故,.因而,所以、、成等比數(shù)列.35．〔2013年高考天津卷〔文〕〕設橢圓的左焦點為F,離心率為,過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為.(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)設A,B分別為橢圓的左右頂點,過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C,D兩點.假設,求k的值.【答案】36．〔2013年高考遼寧卷〔文〕〕如圖,拋物線,點在拋物線上,過作的切線,切點為(為原點時,重合于),切線的斜率為.(I)求的值;(II)當在上運動時,求線段中點的軌跡方程.【答案】37．〔2013年高考課標Ⅱ卷〔文〕〕在平面直角坐標系中，圓在軸上截得線段長為，在軸上截得線段長為?！并瘛城髨A心的軌跡方程；〔Ⅱ〕假設點到直線的距離為，求圓的方程?！敬鸢浮?8．〔2013年高考湖北卷〔文〕〕如圖,橢圓與的中心在坐標原點,長軸均為且在軸上,短軸長分別為,,過原點且不與軸重合的直線與,的四個交點按縱坐標從大到小依次為A,B,C,D.記,△和△的面積分別為和.(Ⅰ)當直線與軸重合時,假設,求的值;(Ⅱ)當變化時,是否存在與坐標軸不重合的直線l,使得?并說明理由.第22題圖第22題圖2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(湖北卷【答案】依題意可設橢圓和的方程分別為:,:.其中,(Ⅰ)解法1:如圖1,假設直線與軸重合,即直線的方程為,那么,,所以.在C1和C2的方程中分別令,可得,,,于是.假設,那么,化簡得.由,可解得.故當直線與軸重合時,假設,那么.解法2:如圖1,假設直線與軸重合,那么,;,.所以.假設,那么,化簡得.由,可解得.故當直線與軸重合時,假設,那么.第22題解答圖1第22題解答圖1第22題解答圖2(Ⅱ)解法1:如圖2,假設存在與坐標軸不重合的直線l,使得.根據(jù)對稱性,不妨設直線:,點,到直線的距離分別為,,那么因為,,所以.又,,所以,即.由對稱性可知,所以,,于是.①將的方程分別與C1,C2的方程聯(lián)立,可求得,.根據(jù)對稱性可知,,于是.②從而由①和②式可得.③令,那么由,可得,于是由③可解得.因為,所以.于是③式關于有解,當且僅當,等價于.由,可解得,即,由,解得,所以當時,不存在與坐標軸不重合的直線l,使得;當時,存在與坐標軸不重合的直線l使得.解法2:如圖2,假設存在與坐標軸不重合的直線l,使得.根據(jù)對稱性,不妨設直線:,點,到直線的距離分別為,,那么因為,,所以.又,,所以.因為,所以.由點,分別在C1,C2上,可得,,兩式相減可得,依題意,所以.所以由上式解得.因為,所以由,可解得.從而,解得,所以當時,不存在與坐標軸不重合的直線l,使得;當時,存在與坐標軸不重合的直線l使得.39．〔2013年高考重慶卷〔文〕〕(本小題總分值12分,(Ⅰ)小問4