【學(xué)海導(dǎo)航】高考數(shù)學(xué)第1輪總復(fù)習(xí) 全國統(tǒng)編教材 6.3不等式的證明（第3課時）課件 理

第六章不等式不等式的證明第講3（第三課時）1題型6用反證法證不等式1.已知a、b、c∈(0，1)，求證：(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不能同時大于.證法1：假設(shè)三式同時大于，即有(1-a)b＞，(1-b)c＞，(1-c)a＞,三式同向相乘，得(1-a)a(1-b)b(1-c)c＞.2又(1-a)a≤()2=，同理，(1-b)b≤，(1-c)c≤，所以(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤，因此與假設(shè)矛盾，故結(jié)論正確.

證法2：假設(shè)三式同時大于.

因為0＜a＜1，所以1-a＞0，3點評：證明有關(guān)“至少”“最多”“唯一”或含有其他否定詞的命題，可采用反證法.反證法的證題步驟是：反設(shè)——推理——導(dǎo)出矛盾(得出結(jié)論).所以同理，都大于.

三式相加得＞，矛盾.

故假設(shè)不成立，從而原命題成立.

4已知a,b,c∈R,求證：a2-2c,b2-2a,c2-2b三個式子中至少有一個不小于-1.

證明：假設(shè)三式都同時小于-1，即a2-2c＜-1，b2-2a＜-1，c2-2b＜-1，三式相加，

得a2-2c+b2-2a+c2-2b＜-3，

所以a2-2c+b2-2a+c2-2b+3＜0，

即有(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2＜0，

這與(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2≥0，矛盾.

故結(jié)論成立.5題型7用換元證不等式2.已知a、b∈R，a2+b2≤4，求證：|3a2-8ab-3b2|≤20.

證明：因為a、b∈R，a2+b2≤4，所以可設(shè)a=rcosθ,b=rsinθ,其中0≤r≤2，所以|3a2-8ab-3b2|=r2|3cos2θ-4sin2θ|=r2|5cos(2θ+arctan)|≤5r2≤20.

所以原不等式成立.6點評：換元法一般有代數(shù)式的整體換元、三角換元等換元方式.換元時要注意新變元的取值范圍，以及換元后的式子的意義.常用的換元有：若x2+y2=a2，可設(shè)x=acosθ，y=asinθ；若可設(shè)x=acosθ，y=bsinθ；若x2+y2≤1，可設(shè)x=rcosθ，y=rsinθ(0≤r≤1).7已知1≤x2+y2≤2，求證：≤x2-xy+y2≤3.

證明:設(shè)x=rcosθ,y=rsinθ,且1≤r≤2,θ∈R,則

由-1≤sin2θ≤1，得≤1-sin2θ≤.

又1≤r2≤2，所以≤r2(1-sin2θ)≤3，即≤x2-xy+y2≤3.83.求證：

證明：令x∈R，則yx2+yx+y=x2-x+1.

于是(y-1)x2+(y+1)x+y-1=0.①(1)若y=1，則x=0，符合題意；

(2)若y≠1,則①式是關(guān)于x的一元二次方程.題型8判別式法證不等式9由x∈R，知Δ=(y+1)2-4(y-1)2≥0，解得≤y≤3且y≠1.

綜合(1)(2)，得≤y≤3，即點評：與二次式有關(guān)的不等式證明，可通過構(gòu)造二次方程，然后利用方程有實數(shù)解的充要條件得出式子的取值范圍，就是所要證明的不等式.10求證證：：證明明：：令則yx2-(y+1)x+y+1=0，①①(1)當y=0時，，得得x=1，符符合合題題意意；；(2)當y≠0時，，則則①①式式是是關(guān)關(guān)于于x的一一元元二二次次方方程程.由x∈R，得得Δ=(y+1)2-4y(y+1)≥≥0，解得得-1≤≤y≤,且y≠0.綜合合(1)(2),得-1≤≤y≤,所以以11已知知函函數(shù)數(shù)f(x)=ln(x+1)-x，若若x＞-1，證證明明:≤ln(x+1)≤≤x.證明明：：令f′(x)=0，得得x=0.當x∈(-1，0)時，，f′(x)＞0;當x∈(0，+∞∞)時，，f′(x)＜0.題型型不不等等式式與與函函數(shù)數(shù)的的綜綜合合應(yīng)應(yīng)用用12所以以f(x)在區(qū)區(qū)間間(-1，0)上是是增增函函數(shù)數(shù)，，在區(qū)區(qū)間間(0，+∞∞)上是是減減函函數(shù)數(shù).所以以當當x＞-1時，，f(x)≤≤f(0)=0，即ln(x+1)-x≤0，故故ln(x+1)≤≤x.令則令g′′(x)=0，得得x=0.當x∈(-1，0)時，，g′(x)＜0;當x∈(0，+∞∞)時，，g′′(x)＞0.13所以以g(x)在(-1，0)上是是減減函函數(shù)數(shù)，，在(0，+∞∞)上是是增增函函數(shù)數(shù)，，故當當x＞-1時，，g(x)≥≥g(0)=0，即故故綜上上知知，，141.在已已知知中中如如果果出出現(xiàn)現(xiàn)兩兩數(shù)數(shù)相相加加等等于于一一個個正正常常數(shù)數(shù)，，可可聯(lián)聯(lián)想想到到公公式式sin2α+cos2α=1，進進行行三三角角換換元元.2.含有有字字母母的的不不等等式式證證明明