2021-2022學年金學導航大聯(lián)考高三第三次模擬考試數(shù)學試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.命題“”的否定為()A. B.C. D.2.已知集合,,則集合子集的個數(shù)為()A. B. C. D.3.射線測厚技術原理公式為,其中分別為射線穿過被測物前后的強度,是自然對數(shù)的底數(shù),為被測物厚度,為被測物的密度,是被測物對射線的吸收系數(shù).工業(yè)上通常用镅241()低能射線測量鋼板的厚度.若這種射線對鋼板的半價層厚度為0.8,鋼的密度為7.6,則這種射線的吸收系數(shù)為()(注:半價層厚度是指將已知射線強度減弱為一半的某種物質厚度,,結果精確到0.001)A.0.110 B.0.112 C. D.4.函數(shù)(或)的圖象大致是()A. B. C. D.5.如圖所示,已知雙曲線的右焦點為,雙曲線的右支上一點,它關于原點的對稱點為,滿足,且,則雙曲線的離心率是().A. B. C. D.6.已知函數(shù),若則()A.f(a)<f(b)<f(c) B.f(b)<f(c)<f(a)C.f(a)<f(c)<f(b) D.f(c)<f(b)<f(a)7.一艘海輪從A處出發(fā),以每小時24海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行,30分鐘后到達B處,在C處有一座燈塔,海輪在A處觀察燈塔,其方向是南偏東70°,在B處觀察燈塔,其方向是北偏東65°,那么B,C兩點間的距離是()A.6海里 B.6海里 C.8海里 D.8海里8.函數(shù)滿足對任意都有成立,且函數(shù)的圖象關于點對稱,,則的值為()A.0 B.2 C.4 D.19.函數(shù)的圖象大致是()A. B.C. D.10.等腰直角三角形BCD與等邊三角形ABD中,,,現(xiàn)將沿BD折起,則當直線AD與平面BCD所成角為時,直線AC與平面ABD所成角的正弦值為()A. B. C. D.11.點是單位圓上不同的三點,線段與線段交于圓內一點M,若,則的最小值為()A. B. C. D.12.已知實數(shù)滿足約束條件,則的最小值為()A.-5 B.2 C.7 D.11二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù),則不等式的解集為____________.14.曲線在點處的切線方程為________.15.在中,、的坐標分別為,,且滿足,為坐標原點,若點的坐標為,則的取值范圍為__________.16.集合,,若是平面上正八邊形的頂點所構成的集合,則下列說法正確的為________①的值可以為2;②的值可以為;③的值可以為;三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在直角坐標系中,以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為,曲線的極坐標方程為.(1)求曲線的直角坐標方程和曲線的參數(shù)方程;(2)設曲線與曲線在第二象限的交點為,曲線與軸的交點為,點,求的周長的最大值.18.(12分)已知函數(shù)的導函數(shù)的兩個零點為和.(1)求的單調區(qū)間;(2)若的極小值為,求在區(qū)間上的最大值.19.(12分)已知拋物線C:x24py(p為大于2的質數(shù))的焦點為F,過點F且斜率為k(k0)的直線交C于A,B兩點,線段AB的垂直平分線交y軸于點E,拋物線C在點A,B處的切線相交于點G.記四邊形AEBG的面積為S.(1)求點G的軌跡方程;(2)當點G的橫坐標為整數(shù)時,S是否為整數(shù)?若是,請求出所有滿足條件的S的值;若不是,請說明理由.20.(12分)如圖,在四棱錐中,側面為等邊三角形,且垂直于底面,,分別是的中點.(1)證明:平面平面;(2)已知點在棱上且,求直線與平面所成角的余弦值.21.(12分)已知△ABC的兩個頂點A,B的坐標分別為(,0),(,0),圓E是△ABC的內切圓,在邊AC,BC,AB上的切點分別為P,Q,R,|CP|=2,動點C的軌跡為曲線G.(1)求曲線G的方程;(2)設直線l與曲線G交于M,N兩點,點D在曲線G上,是坐標原點,判斷四邊形OMDN的面積是否為定值?若為定值,求出該定值;如果不是,請說明理由.22.(10分)在直角坐標系中,以為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系.曲線的極坐標方程為:,曲線的參數(shù)方程為其中,為參數(shù),為常數(shù).(1)寫出與的直角坐標方程;(2)在什么范圍內取值時,與有交點.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】

套用命題的否定形式即可.【詳解】命題“”的否定為“”,所以命題“”的否定為“”.故選:C【點睛】本題考查全稱命題的否定,屬于基礎題.2.B【解析】

首先求出,再根據(jù)含有個元素的集合有個子集,計算可得.【詳解】解:,,,子集的個數(shù)為.故選:.【點睛】考查列舉法、描述法的定義,以及交集的運算,集合子集個數(shù)的計算公式,屬于基礎題.3.C【解析】

根據(jù)題意知,,代入公式,求出即可.【詳解】由題意可得,因為,所以,即.所以這種射線的吸收系數(shù)為.故選:C【點睛】本題主要考查知識的遷移能力,把數(shù)學知識與物理知識相融合;重點考查指數(shù)型函數(shù),利用指數(shù)的相關性質來研究指數(shù)型函數(shù)的性質,以及解指數(shù)型方程;屬于中檔題.4.A【解析】

確定函數(shù)的奇偶性,排除兩個選項,再求時的函數(shù)值,再排除一個,得正確選項.【詳解】分析知,函數(shù)(或)為偶函數(shù),所以圖象關于軸對稱,排除B,C,當時,,排除D,故選:A.【點睛】本題考查由函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象,解題時可通過研究函數(shù)的性質,如奇偶性、單調性、對稱性等,研究特殊的函數(shù)的值、函數(shù)值的正負,以及函數(shù)值的變化趨勢,排除錯誤選項,得正確結論.5.C【解析】

易得,,又,平方計算即可得到答案.【詳解】設雙曲線C的左焦點為E,易得為平行四邊形,所以,又,故,,,所以,即,故離心率為.故選:C.【點睛】本題考查求雙曲線離心率的問題,關鍵是建立的方程或不等關系,是一道中檔題.6.C【解析】

利用導數(shù)求得在上遞增,結合與圖象,判斷出的大小關系,由此比較出的大小關系.【詳解】因為,所以在上單調遞增;在同一坐標系中作與圖象,,可得,故.故選:C【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,考查利用函數(shù)的單調性比較大小,考查數(shù)形結合的數(shù)學思想方法,屬于中檔題.7.A【解析】

先根據(jù)給的條件求出三角形ABC的三個內角,再結合AB可求,應用正弦定理即可求解.【詳解】由題意可知:∠BAC=70°﹣40°=30°.∠ACD=110°,∴∠ACB=110°﹣65°=45°,∴∠ABC=180°﹣30°﹣45°=105°.又AB=24×0.5=12.在△ABC中,由正弦定理得,即,∴.故選:A.【點睛】本題考查正弦定理的實際應用,關鍵是將給的角度、線段長度轉化為三角形的邊角關系,利用正余弦定理求解.屬于中檔題.8.C【解析】

根據(jù)函數(shù)的圖象關于點對稱可得為奇函數(shù),結合可得是周期為4的周期函數(shù),利用及可得所求的值.【詳解】因為函數(shù)的圖象關于點對稱,所以的圖象關于原點對稱,所以為上的奇函數(shù).由可得,故,故是周期為4的周期函數(shù).因為,所以.因為,故,所以.故選:C.【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和周期性,一般地,如果上的函數(shù)滿足,那么是周期為的周期函數(shù),本題屬于中檔題.9.C【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性可排除AB選項;結合特殊值,即可排除D選項.【詳解】∵,,∴函數(shù)為奇函數(shù),∴排除選項A,B;又∵當時,,故選:C.【點睛】本題考查了依據(jù)函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象,注意奇偶性及特殊值的用法,屬于基礎題.10.A【解析】

設E為BD中點,連接AE、CE,過A作于點O,連接DO,得到即為直線AD與平面BCD所成角的平面角,根據(jù)題中條件求得相應的量,分析得到即為直線AC與平面ABD所成角,進而求得其正弦值,得到結果.【詳解】設E為BD中點,連接AE、CE,由題可知,,所以平面,過A作于點O,連接DO,則平面,所以即為直線AD與平面BCD所成角的平面角,所以,可得,在中可得,又,即點O與點C重合,此時有平面,過C作與點F,又,所以,所以平面,從而角即為直線AC與平面ABD所成角,,故選:A.【點睛】該題考查的是有關平面圖形翻折問題,涉及到的知識點有線面角的正弦值的求解,在解題的過程中,注意空間角的平面角的定義,屬于中檔題目.11.D【解析】

由題意得,再利用基本不等式即可求解.【詳解】將平方得,(當且僅當時等號成立),,的最小值為,故選:D.【點睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的應用,考查基本不等式的應用,屬于中檔題.12.A【解析】

根據(jù)約束條件畫出可行域,再將目標函數(shù)化成斜截式,找到截距的最小值.【詳解】由約束條件,畫出可行域如圖變?yōu)闉樾甭蕿?3的一簇平行線,為在軸的截距,最小的時候為過點的時候,解得所以,此時故選A項【點睛】本題考查線性規(guī)劃求一次相加的目標函數(shù),屬于常規(guī)題型,是簡單題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

,,分類討論即可.【詳解】由已知,,,若,則或解得或,所以不等式的解集為.故答案為:【點睛】本題考查分段函數(shù)的應用,涉及到解一元二次不等式,考查學生的計算能力,是一道中檔題.14.【解析】

求導,得到和,利用點斜式即可求得結果.【詳解】由于,,所以,由點斜式可得切線方程為.故答案為:.【點睛】本題考查利用導數(shù)的幾何意義求切線方程,屬基礎題.15.【解析】

由正弦定理可得點在曲線上,設,則,將代入可得,利用二次函數(shù)的性質可得范圍.【詳解】解:由正弦定理得,則點在曲線上,設,則,,又,,因為,則,即的取值范圍為.故答案為:.【點睛】本題考查雙曲線的定義,考查向量數(shù)量積的坐標運算,考查學生計算能力,有一定的綜合性,但難度不大.16.②③【解析】

根據(jù)對稱性,只需研究第一象限的情況,計算:,得到,,得到答案.【詳解】如圖所示:根據(jù)對稱性,只需研究第一象限的情況,集合:,故,即或,集合:,是平面上正八邊形的頂點所構成的集合,故所在的直線的傾斜角為,,故:,解得,此時,,此時.故答案為:②③.【點睛】本題考查了根據(jù)集合的交集求參數(shù),意在考查學生的計算能力和轉化能力,利用對稱性是解題的關鍵.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)曲線的直角坐標方程為,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)(2)【解析】

(1)將代入,可得,所以曲線的直角坐標方程為.由可得,將,代入上式,可得,整理可得,所以曲線的參數(shù)方程為為參數(shù).(2)由題可設,,,所以,,,所以,因為,所以,所以當,即時,l取得最大值為,所以的周長的最大值為.18.(1)單調遞增區(qū)間是,單調遞減區(qū)間是和;(2)最大值是.【解析】

(1)求得,由題意可知和是函數(shù)的兩個零點,根據(jù)函數(shù)的符號變化可得出的符號變化,進而可得出函數(shù)的單調遞增區(qū)間和遞減區(qū)間;(2)由(1)中的結論知,函數(shù)的極小值為,進而得出,解出、、的值,然后利用導數(shù)可求得函數(shù)在區(qū)間上的最大值.【詳解】(1),令,因為,所以的零點就是的零點,且與符號相同.又因為,所以當時,,即;當或時,,即.所以,函數(shù)的單調遞增區(qū)間是,單調遞減區(qū)間是和;(2)由(1)知,是的極小值點,所以有,解得,,,所以.因為函數(shù)的單調遞增區(qū)間是,單調遞減區(qū)間是和.所以為函數(shù)的極大值,故在區(qū)間上的最大值取和中的最大者,而,所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值是.【點睛】本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間與最值,考查計算能力,屬于中等題.19.(1)(2)當G點橫坐標為整數(shù)時,S不是整數(shù).【解析】

(1)先求解導數(shù),得出切線方程,聯(lián)立方程得出交點G的軌跡方程;(2)先求解弦長,再分別求解點到直線的距離,表示出四邊形的面積,結合點G的橫坐標為整數(shù)進行判斷.【詳解】(1)設,則,拋物線C的方程可化為,則,所以曲線C在點A處的切線方程為,在點B處的切線方程為,因為兩切線均過點G,所以,所以A,B兩點均在直線上,所以直線AB的方程為,又因為直線AB過點F(0,p),所以,即G點軌跡方程為;(2)設點G(,),由(1)可知,直線AB的方程為,即,將直線AB的方程與拋物線聯(lián)立,,整理得,所以,,解得,因為直線AB的斜率,所以,且,線段AB的中點為M,所以直線EM的方程為:,所以E點坐標為(0,),直線AB的方程整理得,則G到AB的距離,則E到AB的距離,所以,設,因為p是質數(shù),且為整數(shù),所以或,當時,,是無理數(shù),不符題意,當時,,因為當時,,即是無理數(shù),所以不符題意,當時,是無理數(shù),不符題意,綜上,當G點橫坐標為整數(shù)時,S不是整數(shù).【點睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關系,拋物線中的切線問題通常借助導數(shù)來求解,四邊形的面積問題一般轉化為三角形的面積和問題,表示出面積的表達式是求解的關鍵,側重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).20.(1)證明見解析;(2).【解析】

(1)由平面幾何知識可得出四邊形是平行四邊形,可得面,再由面面平行的判定可證得面面平行;(2)由(1)可知,兩兩垂直,故建立空間直角坐標系,可求得面PAB的法向量,再運用線面角的向量求法,可求得直線與平面所成角的余弦值.【詳解】(1),,又,,,而、分別是、的中點,,故面,又且,故四邊形是平行四邊形,面,又,是面內的兩條相交直線,故面面.(2)由(1)可知,兩兩垂直,故建系如圖所示,則,,,,設是平面PAB的法向量,,令,則,,直線NE與平面所成角的余弦值為.【點睛】本題考查空間的面面平行的判定,以及線面角的空間向量的求解方法,屬于中檔題.21.(1).(2)四邊形OMDN的面積是定值,其定值為.【解析】

(1)根據(jù)三角形內切圓的性質證得,由此判斷出點的軌跡為橢圓,并由此求得曲線的方程.(2)將直線的斜率分成不存在或存在兩種情況,求出平行四邊形的面積,兩種情況下四邊形的面積都為,由此證得四邊形的面積

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