【高三理科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)】第八章-第1節(jié)-空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖

第1節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖最新考綱1.認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)；2.能畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡(jiǎn)易組合)的三視圖，能識(shí)別上述三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出它們的直觀圖；3.會(huì)用平行投影方法畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式.知

識(shí)

梳

理1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征 (1)多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱(chēng)棱柱棱錐棱臺(tái)圖形底面互相________且________多邊形互相__________且__________側(cè)棱_____________相交于________，但不一定相等延長(zhǎng)線交于________側(cè)面形狀_______________________________________平行全等平行相似平行且相等一點(diǎn)一點(diǎn)平行四邊形三角形梯形(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱(chēng)圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形母線互相平行且相等，_______于底面相交于_______延長(zhǎng)線交于______

軸截面全等的_______全等的_____________全等的________________側(cè)面展開(kāi)圖_____________________

垂直一點(diǎn)一點(diǎn)矩形等腰三角形等腰梯形圓矩形扇形扇環(huán)2.直觀圖空間幾何體的直觀圖常用________畫(huà)法來(lái)畫(huà)，其規(guī)則是：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為_(kāi)____________，z′軸與x′軸、y′軸所在平面________.(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別__________坐標(biāo)軸.平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度________，平行于y軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉?lái)的________.斜二測(cè)45°(或135°)垂直平行于不變一半3.三視圖(1)幾何體的三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖，分別是從幾何體的_______方、正左方、_______方觀察幾何體畫(huà)出的輪廓線.(2)三視圖的畫(huà)法①基本要求：長(zhǎng)對(duì)正，_______，寬相等.②在畫(huà)三視圖時(shí)，重疊的線只畫(huà)一條，擋住的線要畫(huà)成虛線.正前正上高平齊[微點(diǎn)提醒]1.常見(jiàn)旋轉(zhuǎn)體的三視圖 (1)球的三視圖都是半徑相等的圓. (2)水平放置的圓錐的正視圖和側(cè)視圖均為全等的等腰三角形. (3)水平放置的圓臺(tái)的正視圖和側(cè)視圖均為全等的等腰梯形. (4)水平放置的圓柱的正視圖和側(cè)視圖均為全等的矩形.2.在繪制三視圖時(shí)，分界線和可見(jiàn)輪廓線都用實(shí)線畫(huà)出，被遮擋的部分的輪廓線用虛線表示出來(lái)，即“眼見(jiàn)為實(shí)、不見(jiàn)為虛”.在三視圖的判斷與識(shí)別中要特別注意其中的虛線.基

礎(chǔ)

自

測(cè)1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.(

)(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.(

)(3)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的∠A時(shí)，若∠A的兩邊分別平行于x軸和y軸，且∠A＝90°，則在直觀圖中，∠A＝45°.(

)(4)正方體、球、圓錐各自的三視圖中，三視圖均相同.(

)解析(1)反例：由兩個(gè)平行六面體上下組合在一起的圖形滿足條件，但不是棱柱.(2)反例：如圖所示的圖形滿足條件但不是棱錐.(3)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的∠A時(shí)，把x，y軸畫(huà)成相交成45°或135°，平行于x軸的線段還平行于x軸，平行于y軸的線段還平行于y軸，所以∠A也可能為135°.(4)球的三視圖均相同，而圓錐的正視圖和側(cè)視圖相同，且為等腰三角形，

其俯視圖為圓心和圓，正方體的三視圖不一定相同.答案(1)×

(2)×

(3)×

(4)×2.(必修2P10B1改編)如圖，長(zhǎng)方體ABCD－A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′.剩下的幾何體是(

)A.棱臺(tái)

B.四棱柱C.五棱柱

D.六棱柱解析由幾何體的結(jié)構(gòu)特征，剩下的幾何體為五棱柱.答案

C3.(必修2P21A4改編)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的矩形的直觀圖，則直觀圖的面積與原矩形的面積之比為(

)答案D4.(2019·濟(jì)寧一中月考)如圖為某個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)三視圖可以判斷這個(gè)幾何體為(

)A.圓錐 B.三棱椎

C.三棱柱 D.三棱臺(tái)答案C5.(2018·全國(guó)Ⅲ卷)中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來(lái).構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭.若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是(

)解析由題意知，在咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件中，從俯視方向看，榫頭看不見(jiàn)，所以是虛線，結(jié)合榫頭的位置知選A.答案

A6.(2018·衡水月考)如圖所示，圖①②③是圖④表示的幾何體的三視圖，其中圖①是________，圖②是________，圖③是________(寫(xiě)出視圖名稱(chēng)).解析觀察幾何體的結(jié)構(gòu)特征，不難發(fā)現(xiàn)其下層長(zhǎng)為兩個(gè)小長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬為兩個(gè)小長(zhǎng)方體的寬，高為兩個(gè)小長(zhǎng)方體的高.所以正視圖應(yīng)為①，側(cè)視圖為②，俯視圖為③.答案

正視圖側(cè)視圖俯視圖考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征【例1】(1)給出下列命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；②直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；③棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長(zhǎng)一定相等.其中正確命題的個(gè)數(shù)是(

)A.0 B.1 C.2 D.3(2)給出下列命題：①棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形；②在四棱柱中，若兩個(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；③存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體；④棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn).其中正確命題的序號(hào)是________.解析

(1)①不一定，只有當(dāng)這兩點(diǎn)的連線平行于軸時(shí)才是母線；②不一定，當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，如圖所示，它是由兩個(gè)同底圓錐組成的幾何體；③錯(cuò)誤，棱臺(tái)的上、下底面相似且是對(duì)應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，但是側(cè)棱長(zhǎng)不一定相等.(2)①不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等；②正確，因?yàn)閮蓚€(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；③正確，如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中的三棱錐C1－ABC，四個(gè)面都是直角三角形；④正確，由棱臺(tái)的概念可知.答案

(1)A

(2)②③④規(guī)律方法

1.關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征辨析關(guān)鍵是緊扣各種空間幾何體的概念，要善于通過(guò)舉反例對(duì)概念進(jìn)行辨析，即要說(shuō)明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，只需舉一個(gè)反例.2.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的有關(guān)元素都集中在軸截面上，解題時(shí)要注意用好軸截面中各元素的關(guān)系.3.既然棱(圓)臺(tái)是由棱(圓)錐定義的，所以在解決棱(圓)臺(tái)問(wèn)題時(shí)，要注意“還臺(tái)為錐”的解題策略.【訓(xùn)練1】

下列命題正確的是(

)A.兩個(gè)面平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)B.兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)C.以直角梯形的一條直角腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)D.用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形解析如圖所示，可排除A，B選項(xiàng).只有截面與圓柱的母線平行或垂直，則截得的截面為矩形或圓，否則為橢圓或橢圓的一部分.答案C考點(diǎn)二空間幾何體的三視圖

多維探究角度1由空間幾何體的直觀圖判斷三視圖【例2－1】

(2018·黃山一模)將正方體(如圖(1)所示)截去兩個(gè)三棱錐，得到如圖(2)所示的幾何體，則該幾何體的側(cè)視圖為(

)解析截去兩個(gè)三棱錐后的幾何體的側(cè)視圖可以看見(jiàn)的實(shí)線段為AD1，AD，DD1，D1B1，AB1，而線段B1C被遮住，在側(cè)視圖中為虛線，所以側(cè)視圖為選項(xiàng)B中的圖形.答案B角度2由三視圖判斷幾何體【例2－2】(1)如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實(shí)線畫(huà)出的是一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體是(

)A.三棱錐

B.三棱柱C.四棱錐

D.四棱柱(2)(2018·全國(guó)Ⅰ卷)某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如圖.圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)N在側(cè)視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為(

)解析(1)由題知，該幾何體的三視圖為一個(gè)三角形、兩個(gè)四邊形，經(jīng)分析可知該幾何體為三棱柱.答案(1)B

(2)B規(guī)律方法

1.由直觀圖確定三視圖，一要根據(jù)三視圖的含義及畫(huà)法和擺放規(guī)則確認(rèn).二要熟悉常見(jiàn)幾何體的三視圖.2.由三視圖還原到直觀圖的思路(1)根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面.(2)根據(jù)正視圖或側(cè)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實(shí)線和虛線所對(duì)應(yīng)的棱、面的位置.(3)確定幾何體的直觀圖形狀.【訓(xùn)練2】(1)(2018·北京卷)某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為(

)A.1

B.2 C.3 D.4(2)(2019·惠州模擬)如圖，在底面邊長(zhǎng)為1，高為2的正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)P是平面A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn)，則三棱錐P－BCD的正視圖與側(cè)視圖的面積之和為(

)A.1

B.2 C.3

D.4解析(1)在正方體中作出該幾何體的直觀圖，記為四棱錐P－ABCD，如圖，由圖可知在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為3，故選C.(2)設(shè)點(diǎn)P在平面A1ADD1的射影為P′，在平面C1CDD1的射影為P″，如圖所示.∴三棱錐P－BCD的正視圖與側(cè)視圖分別為△P′AD與△P″CD，答案(1)C

(2)B考點(diǎn)三空間幾何體的直觀圖【例3】

已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，那么△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為(

)解析如圖①②所示的實(shí)際圖形和直觀圖.答案D規(guī)律方法

1.畫(huà)幾何體的直觀圖一般采用斜二測(cè)畫(huà)法，其規(guī)則可以用“斜”(兩坐標(biāo)軸成45°或135°)和“二測(cè)”(平行于y軸的線段長(zhǎng)度減半，平行于x軸和z軸的線段長(zhǎng)度不變)來(lái)掌握.【訓(xùn)練3】

如果一個(gè)水平放置的圖形的斜二測(cè)直觀圖是一個(gè)底角為45°，腰和上底均為1的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是(

)解析恢復(fù)后的原圖形為一直角梯形，答案A[思維升華]1.畫(huà)三視圖的三個(gè)原則： (1)畫(huà)法規(guī)則：“長(zhǎng)對(duì)正，寬相等，高平齊”. (2)擺放規(guī)則：側(cè)