【高三理科數(shù)學第一輪復習】第十章-第3節(jié)-變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計案例

第3節(jié)變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計案例最新考綱1.會作兩個有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點圖，會利用散點圖認識變量間的相關(guān)關(guān)系；2.了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程(線性回歸方程系數(shù)公式不要求記憶)；3.了解獨立性檢驗(只要求2×2列聯(lián)表)的基本思想、方法及其簡單應用；4.了解回歸分析的基本思想、方法及其簡單應用.知

識

梳

理1.相關(guān)關(guān)系與回歸分析回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法；判斷相關(guān)性的常用統(tǒng)計圖是：___________；統(tǒng)計量有相關(guān)系數(shù)與相關(guān)指數(shù).(1)在散點圖中，點散布在從___________到___________的區(qū)域，對于兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān).(2)在散點圖中，點散布在從___________到___________的區(qū)域，兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為負相關(guān).(3)如果散點圖中點的分布從整體上看大致在___________附近，稱兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系.散點圖左下角右上角左上角右下角一條直線2.線性回歸方程距離的平方和斜率3.回歸分析相關(guān)關(guān)系正相關(guān)負相關(guān)越強r的絕對值越接近于0，表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系.通常|r|大于______時，認為兩個變量有很強的線性相關(guān)性.0.754.獨立性檢驗(1)利用隨機變量K2來判斷“兩個分類變量__________”的方法稱為獨立性檢驗.(2)列聯(lián)表：列出的兩個分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表.假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(2×2列聯(lián)表)為

y1y2總計x1ab__________x2cdc＋d總計a＋c__________a＋b＋c＋d則隨機變量K2＝_______________________，其中n＝____________為樣本容量.有關(guān)系a＋bb＋da＋b＋c＋d[微點提醒]基

礎(chǔ)

自

測1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)“名師出高徒”可以解釋為教師的教學水平與學生的水平成正相關(guān)關(guān)系.(

)(3)因為由任何一組觀測值都可以求得一個線性回歸方程，所以沒有必要進行相關(guān)性檢驗.(

)(4)事件X，Y關(guān)系越密切，則由觀測數(shù)據(jù)計算得到的K2的觀測值越大.(

)答案

(1)√

(2)√

(3)×

(4)√2.(選修2－3P91探究改編)為調(diào)查中學生近視情況，測得某校男生150名中有80名近視，在140名女生中有70名近視.在檢驗這些學生眼睛近視是否與性別有關(guān)時，用下列哪種方法最有說服力(

) A.回歸分析

B.均值與方差 C.獨立性檢驗

D.概率

解析

“近視”與“性別”是兩類變量，其是否有關(guān)，應用獨立性檢驗判斷.

答案

C3.(選修2－3P85講解改編)兩個變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個不同模型，它們的相關(guān)指數(shù)R2如下，其中擬合效果最好的模型是(

) A.模型1的相關(guān)指數(shù)R2為0.98 B.模型2的相關(guān)指數(shù)R2為0.80 C.模型3的相關(guān)指數(shù)R2為0.50 D.模型4的相關(guān)指數(shù)R2為0.25

解析在兩個變量y與x的回歸模型中，它們的相關(guān)指數(shù)R2越近于1，模擬效果越好，在四個選項中A的相關(guān)指數(shù)最大，所以擬合效果最好的是模型1.

答案

A4.(2019·焦作模擬)已知變量x和y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：x34567y2.5344.56答案C5.(2015·全國Ⅱ卷)根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫年排放量(單位：萬噸)柱形圖，以下結(jié)論不正確的是(

)A.逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著B.2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效C.2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢D.2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)解析對于A選項，由圖知從2007年到2008年二氧化硫排放量下降得最多，故A正確.對于B選項，由圖知，由2006年到2007年矩形高度明顯下降，因此B正確.對于C選項，由圖知從2006年以后除2011年稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以C正確.由圖知2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份負相關(guān)，D不正確.答案D6.(2019·丹東教學質(zhì)量監(jiān)測)某校為了研究學生的性別和對待某一活動的態(tài)度(支持與不支持)的關(guān)系，運用2×2列聯(lián)表進行獨立性檢驗，經(jīng)計算K2＝6.705，則所得到的統(tǒng)計學結(jié)論是：有________的把握認為“學生性別與支持該活動沒有關(guān)系”(

)A.99.9% B.99%

C.1% D.0.1%解析因為6.635<6.705<10.828，因此有1%的把握認為“學生性別與支持該活動沒有關(guān)系”，故選C.答案CP(K2≥k0)0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828考點一相關(guān)關(guān)系的判斷【例1】(1)觀察下列各圖形，其中兩個變量x，y具有相關(guān)關(guān)系的圖是(

)A.①②

B.①④

C.③④

D.②③(2)甲、乙、丙、丁四位同學各自對A，B兩變量的線性相關(guān)性做試驗，并用回歸分析方法分別求得相關(guān)系數(shù)r與殘差平方和m如下表：

甲乙丙丁r0.820.780.690.85m106115124103則哪位同學的試驗結(jié)果體現(xiàn)A，B兩變量有更強的線性相關(guān)性(

)A.甲

B.乙

C.丙

D.丁解析(1)由散點圖知③中的點都分布在一條直線附近.④中的點都分布在一條曲線附近，所以③④中的兩個變量具有相關(guān)關(guān)系.(2)在驗證兩個變量之間的線性相關(guān)關(guān)系時，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1，相關(guān)性越強，在四個選項中只有丁的相關(guān)系數(shù)最大；殘差平方和越小，相關(guān)性越強，只有丁的殘差平方和最小，綜上可知丁的試驗結(jié)果體現(xiàn)了A，B兩變量有更強的線性相關(guān)性.答案(1)C

(2)D【訓練1】(1)已知變量x和y滿足關(guān)系y＝－0.1x＋1，變量y與z正相關(guān).下列結(jié)論中正確的是(

) A.x與y正相關(guān)，x與z負相關(guān) B.x與y正相關(guān)，x與z正相關(guān) C.x與y負相關(guān)，x與z負相關(guān) D.x與y負相關(guān)，x與z正相關(guān)(2)x和y的散點圖如圖所示，則下列說法中所有正確命題的序號為________.解析(1)由y＝－0.1x＋1，知x與y負相關(guān)，即y隨x的增大而減小，又y與z正相關(guān)，所以z隨y的增大而增大，減小而減小，所以z隨x的增大而減小，x與z負相關(guān).答案(1)C

(2)①②考點二線性回歸方程及應用【例2】

(2018·日照調(diào)研)某地隨著經(jīng)濟的發(fā)展，居民收入逐年增長，下表是該地一建設(shè)銀行連續(xù)五年的儲蓄存款(年底余額)，如下表1：年份x20132014201520162017儲蓄存款y(千億元)567810表1為了研究計算的方便，工作人員將上表的數(shù)據(jù)進行了處理，t＝x－2012，z＝y(tǒng)－5得到下表2：時間代號t12345z01235表2(1)求z關(guān)于t的線性回歸方程；(2)通過(1)中的方程，求出y關(guān)于x的回歸方程；(3)用所求回歸方程預測到2022年年底，該地儲蓄存款額可達多少？所以預測到2022年年底，該地儲蓄存款額可達15.6千億元.【訓練2】

(2018·全國Ⅱ卷)如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y(單位：億元)的折線圖.(2)利用模型②得到的預測值更可靠.理由如下：(ⅰ)從折線圖可以看出，2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應的點沒有隨機散布在直線y＝－30.4＋13.5t上下，這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的趨勢.2010年相對2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應的點位于一條直線的附近，這說明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，(ⅱ)從計算結(jié)果看，相對于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型①得到的預測值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預測值的增幅比較合理，說明利用模型②得到的預測值更可靠.以上給出了2種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分.考點三獨立性檢驗【例3】

(2019·湖南長沙雅禮中學、河南省實驗中學聯(lián)考)環(huán)境問題是當今世界共同關(guān)注的問題，我國環(huán)?？偩指鶕?jù)空氣污染指數(shù)PM2.5濃度，制定了空氣質(zhì)量標準：空氣污染指數(shù)(0，50](50，100](100，150](150，200](200，300](300，＋∞)空氣質(zhì)量等級優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴重污染某市政府為了打造美麗城市，節(jié)能減排，從2010年開始考察了連續(xù)六年11月份的空氣污染指數(shù)，繪制了頻率分布直方圖，經(jīng)過分析研究，決定從2016年11月1日起在空氣質(zhì)量重度污染和嚴重污染的日子對機動車輛限號出行，即車牌尾號為單號的車輛單號出行，車牌尾號為雙號的車輛雙號出行(尾號是字母的，前13個視為單號，后13個視為雙號).王先生有一輛車，若11月份被限行的概率為0.05.(1)求頻率分布直方圖中m的值；(2)若按分層抽樣的方法，從空氣質(zhì)量良好與中度污染的天氣中抽取6天，再從這6天中隨機抽取2天，求至少有一天空氣質(zhì)量是中度污染的概率；(3)該市環(huán)保局為了調(diào)查汽車尾氣排放對空氣質(zhì)量的影響，對限行兩年來的11月份共60天的空氣質(zhì)量進行統(tǒng)計，其結(jié)果如下表：空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴重污染天數(shù)112711731根據(jù)限行前6年180天與限行后60天的數(shù)據(jù)，計算并填寫2×2列聯(lián)表，并回答是否有90%的把握認為空氣質(zhì)量的優(yōu)良與汽車尾氣的排放有關(guān).

空氣質(zhì)量優(yōu)、良空氣質(zhì)量污染總計限行前

限行后

總計

參考數(shù)據(jù)：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.005k02.0722.7063.8415.0246.6357.879解(1)因為限行分單雙號，王先生的車被限行的概率為0.05，所以空氣重度污染和嚴重污染的概率應為0.05×2＝0.1，由頻率分布直方圖可知(0.004＋0.006＋0.005＋m)×50＋0.1＝1，解得m＝0.003.(2)因為空氣質(zhì)量良好與中度污染的天氣的概率之比為0.3∶0.15＝2∶1，按分層抽樣的方法從中抽取6天，則空氣質(zhì)量良好的天氣被抽取的有4天，記作A1，A2，A3，A4，空氣中度污染的天氣被抽取的有2天，記作B1，B2，從這6天中隨機抽取2天，所包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，A4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)，共15個，記事件A為“至少有一天空氣質(zhì)量是中度污染”，則事件A所包含的