目標規(guī)劃-第10章

目標規(guī)劃_第10章目標規(guī)劃(Goalprogramming)目標規(guī)劃的數(shù)學模型目標規(guī)劃的圖解法目標規(guī)劃的單純形法目標規(guī)劃是在線性規(guī)劃的基礎(chǔ)上，為適應經(jīng)濟管理中多目標決策的需要而逐步發(fā)展起來的一個分支。例一、某廠計劃在下一個生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知資料如表所示。試制定生產(chǎn)計劃，使獲得的利潤最大？同時，根據(jù)市場預測，甲的銷路不是太好，應盡可能少生產(chǎn)；乙的銷路較好，可以擴大生產(chǎn)。試建立此問題的數(shù)學模型。12070單件利潤3000103設備臺時200054煤炭360049鋼材資源限制乙甲單位產(chǎn)品資源消耗一、目標規(guī)劃模型設：甲產(chǎn)品x1

，乙產(chǎn)品x2

一般有：maxZ=70x1

+120x29x1+4x2≤36004x1+5x2≤20003x1+10x2≤3000

x1，

x2≥0同時：maxZ1=70x1

+120x2minZ2=x1maxZ3=x29x1+4x2≤36004x1+5x2≤20003x1+10x2≤3000

x1，

x2≥0顯然，這是一個多目標規(guī)劃問題。如何將多目標轉(zhuǎn)化為單目標如何表示不同目標的主次如何求解若在上例中提出下列要求：

1、完成或超額完成利潤指標50000元；2、產(chǎn)品甲不超過200件，產(chǎn)品乙不低于250件；3、現(xiàn)有鋼材3600噸必須用完。2、產(chǎn)品甲不超過200件，產(chǎn)品乙不低于250件；3、3600噸鋼材必須用完目標值：預先給定的某個目標的一個期望值e。實現(xiàn)值或決策值：當決策變量xj

被求出以后，目標函數(shù)的對應值。偏差變量（事先無法確定的未知數(shù)）：實現(xiàn)值和目標值之間的差異,記為d。正偏差變量：實現(xiàn)值超過目標值的部分，記為d＋。負偏差變量：實現(xiàn)值未達到目標值的部分，記為d－。1、目標值和偏差變量通過引入目標值和偏差變量，使上述三個要求變成相應的約束條件，即目標約束。目標約束是目標規(guī)劃中特有的，是軟約束。當完成或超額完成規(guī)定的指標則表示：d＋≥0,d－＝0當未完成規(guī)定的指標則表示：d＋＝0,d－≥0當恰好完成指標時則表示：d＋＝0,d－＝0∴d＋×d－

＝0成立。引入了目標值和正、負偏差變量后，就對某一問題有了新的限制，即目標約束。在一次決策中，實現(xiàn)值不可能既超過目標值又未達到目標值，故有d＋×d－

＝0,并規(guī)定d＋≥0,d－≥02、目標約束和絕對約束

絕對約束：必須嚴格滿足的等式或不等式約束。如線性規(guī)劃中的所有約束條件都是絕對約束，有一個不滿足就無可行解。所以，絕對約束是硬約束。目標約束（軟約束）絕對約束（硬約束）

目標函數(shù)是一個使總偏差量為最小的目標函數(shù)，記為 minZ=f（d＋、d－）。一般說來，有以下三種情況，但只能出現(xiàn)其中之一：3、目標函數(shù)⑴要求恰好達到規(guī)定的目標值，即正、負偏差變量要盡可能小，則minZ=f（d＋＋d－）。⑵要求不超過目標值，即允許達不到目標值，也就是正偏差變量盡可能小，則minZ=f（d＋）。⑶要求不低于目標值，即超過量不限，也就是負偏差變量盡可能小，則minZ=f（d－）。對于由絕對約束轉(zhuǎn)化而來的目標函數(shù)，也照上述處理即可。優(yōu)先因子Pk

是將決策目標按其重要程度排序并表示出來。P1>>P2>>…>>Pk>>Pk+1>>…>>PK，k=1.2…K。權(quán)系數(shù)ωk區(qū)別具有相同優(yōu)先因子的兩個目標的差別，決策者可視具體情況而定。對于這種解來說，前面的目標可以保證實現(xiàn)或部分實現(xiàn)，而后面的目標就不一定能保證實現(xiàn)或部分實現(xiàn)，有些可能就不能實現(xiàn)。4、優(yōu)先因子（優(yōu)先等級）與優(yōu)先權(quán)系數(shù)5、滿意解（具有層次意義的解）對于上例中的目標：1、完成或超額完成利潤指標50000元；2、產(chǎn)品甲不超過200件，產(chǎn)品乙不低于250件；3、現(xiàn)有鋼材3600噸必須用完。若實現(xiàn)值沒有達到目標，則存在偏差，希望按目標先后盡可能使偏差最小。偏差目標2有兩個要求，且具有相同的優(yōu)先因子，因此需要確定權(quán)系數(shù)。本題可用單件利潤比作為權(quán)系數(shù)即70:120，化簡為7:12。目標規(guī)劃模型為：例：某廠生產(chǎn)Ⅰ、Ⅱ兩種產(chǎn)品，有關(guān)數(shù)據(jù)如表所示。試求獲利最大的生產(chǎn)方案。ⅠⅡ限量原材料2111設備(臺時)1210單件利潤810要求考慮：1、產(chǎn)品Ⅱ的產(chǎn)量不低于產(chǎn)品Ⅰ的產(chǎn)量；2、充分利用設備有效臺時，不加班；3、利潤不小于56元。設：I、II產(chǎn)品產(chǎn)量分別為x1

，x2

目標規(guī)劃模型：目標規(guī)劃模型的一般形式目標規(guī)劃建模步驟2、根據(jù)要研究的問題所提出的各目標與條件，確定目標值，列出目標約束與絕對約束；5、對同一優(yōu)先等級中的各偏差變量，若需要可按其重要程度的不同，賦予相應的權(quán)系數(shù)。4、給各目標賦予相應的優(yōu)先因子Pk（k=1.2…K）。3、可根據(jù)決策者的需要，將某些或全部絕對約束轉(zhuǎn)化為目標約束。這時只需要給絕對約束加上負偏差變量和減去正偏差變量即可。1、假設決策變量；6、根據(jù)決策者的要求，按下列情況之一構(gòu)造一個由優(yōu)先因子和權(quán)系數(shù)相對應的偏差變量組成的、要求實現(xiàn)極小化的目標函數(shù)，即達成函數(shù)。⑴.恰好達到目標值，取。⑵.不希望低于目標值，取。⑶.不希望超過目標值，取。圖解法同樣適用兩個變量的目標規(guī)劃問題，但其操作簡單，原理一目了然。同時，也有助于理解一般目標規(guī)劃的求解原理和過程。圖解法解題步驟如下：1、確定各約束條件的可行域，即將所有約束條件（包括目標約束和絕對約束，暫不考慮正負偏差變量）在坐標平面上表示出來；2、在目標約束所代表的邊界線上，用箭頭標出正、負偏差變量值增大的方向；目標規(guī)劃的圖解法3、求滿足最高優(yōu)先等級目標的解；4、轉(zhuǎn)到下一個優(yōu)先等級的目標，再不破壞所有較高優(yōu)先等級目標的前提下，求出該優(yōu)先等級目標的解；5、重復4，直到所有優(yōu)先等級的目標都已審查完畢為止；6、確定最優(yōu)解或滿意解。例：用圖解法求解目標規(guī)劃問題012345678123456⑶⑴x2

x1⑵BC

B(0.6250,4.6875)C(0,5.2083)，B、C線段上的所有點均是該問題的解（無窮多最優(yōu)解）。練習：用圖解法求解下列目標規(guī)劃問題⑷⑴⑶⑵結(jié)論：有無窮多最優(yōu)解。C（2，4）D（10/3，10/3）CD例：已知一個生產(chǎn)計劃的線性規(guī)劃模型為其中目標函數(shù)為總利潤，x1,x2為產(chǎn)品A、B產(chǎn)量?，F(xiàn)有下列目標：1、要求總利潤必須超過2500元；2、考慮產(chǎn)品受市場影響，為避免積壓，A、B的生產(chǎn)量不超過60件和100件；3、由于甲資源供應比較緊張，不要超過現(xiàn)有量140。試建立目標規(guī)劃模型，并用單純形法求解。P1P3P2目標規(guī)劃的單純形法Cj00P100P302.5P20P2CBXBbx1x2P1250030121－1000000014021001－100000601000001－1000100010000001－1σkjP1

-2500－30－1201000000P2

000000002.501P3

00000010000θ=min｛2500/30,140/2,60/1｝=60,故為換出變量。目標函數(shù)系數(shù)和檢驗數(shù)豎著排列σ

=2.5P2-（0*P1+0*0-1*0+0*0）=2.5P2,將2.5填P2行。Cj

00P100P302.5P20P2CBXBbx1x2P17000121－100－30300002001001－1－22000x1601000001－1000100010000001－1σkjP1

－7000－12010030－3000P2

000000002.501P3

00000010000θ=min｛700/30,20/2,－,－｝=10,故為換出變量。σ

=2.5P2-（30P1+2*0-1*0+0*0）=2.5P2-30P1Cj

00P100P302.5P20P2CBXBbx1x2P14000-31-1-151500002.5P21001/2001/2-1/2-11000x17011/2001/2-1/200000100010000001-1σkjP1

-400030115-150000P2

-250-5/400-5/45/45/2001P3

00000010000θ=min｛400/15,－,－,－｝=10,故為換出變量。σ

=0-（-15P1+2.5P2/2+1/2*0+0*0）=15P1-2.5P2/2Cj

00P100P302.5P20P2CBXBbx1x2P380/30-1/51/15-1/15-1100002.5P270/302/51/30-1/3000-11000x1250/312/51/30-1/300000000100010000001－1σkjP1

00010000000P2

-175/30-1-1/121/12002/5001P3

-80/301/5-1/151/15100000θ=min｛－,350/6,1250/6,100/1｝=75,故為換出變量。Cj

00P100P302.5P20P2CBXBbx1x2P3115/3001/12-1/12-11-1/21/2000x2175/3011/12-1/1200-5/25/2000x160100000-11000125/300-1/121/12005/2-5/21－1σkjP1

00010000000P2

000000005/201P3

-115/300-1/121/12101/2-1/200表中P3行有負檢驗數(shù)，說明P3級目標沒有實現(xiàn)，但已無法改進，得到滿意解

x1＝60，x2＝175/3，＝115/3，＝125/3。

結(jié)果分析：計算結(jié)果表明，工廠應生產(chǎn)A產(chǎn)品60件，B產(chǎn)品175/3件，2500元的利潤目標剛好達到。＝125/3，表明產(chǎn)品B比最高限額少125/3件，滿足要求。＝115/3表明甲資源超過庫存115/3公斤，該目標沒有達到。即甲資源多消耗115/3公斤，剛好實現(xiàn)2500元的利潤目標。而按現(xiàn)有消耗水平和資源庫存量，無法實現(xiàn)利潤目標?？煽紤]如下措施：降低A、B產(chǎn)品對甲資源的消耗量，以滿足現(xiàn)有甲資源庫存量的目標；或改變P3級目標值，增加甲資源115/3公斤。若很難實現(xiàn)上述措施，則需改變現(xiàn)有目標的優(yōu)先等級，以取得可行的滿意解果。1、要求總利潤必須超過2500元；2、考慮產(chǎn)品受市場影響，為避免積壓，A、B的生產(chǎn)量不超過60件和100件；3、由于甲資源供應比較緊張，不要超過現(xiàn)有量140。1、建立初始單純形表。一般假定初始解在原點，即以約束條件中的所有負偏差變量或松弛變量為初始基變量，按目標優(yōu)先等級從左至右分別計算出各列的檢驗數(shù)，填入表的下半部。2、檢驗是否為滿意解。判別準則如下：⑴.首先檢查b列中的αk

(k=1.2…K)是否全部為零？如果全部為零，則表示目標均已全部達到，獲得滿意解，停止計算轉(zhuǎn)到第6步；否則轉(zhuǎn)入⑵。

（二）、單純形法的計算步驟⑵.如果某一個αk

>0。說明第k個優(yōu)先等級的目標尚未達到,必須檢查Pk行的檢驗數(shù)σkj(j=1.2…n+2m).若Pk這一行某些負檢驗數(shù)的同列上面（較高優(yōu)先等級）沒有正檢驗數(shù)，說明未得到滿意解，應繼續(xù)改進，轉(zhuǎn)到第3步；若Pk這一行全部負檢驗數(shù)的同列上面（較高優(yōu)先等級）都有正檢驗數(shù)，說明目標雖沒達到，但已不能改進，故得滿意解，轉(zhuǎn)到第6步。3、確定進基變量。在Pk行，從那些上面沒有正檢驗數(shù)的負檢驗數(shù)中，選絕對值最大者，對應的變量xs就是進基變量。若Pk行中有幾個相同的絕對值最大者，則依次比較它們各列下部的檢驗數(shù)，取其絕對值最大的負檢驗數(shù)的所在列的xs為進基變量。假如仍無法確定，則選最左邊的變量（變量下標小者）為進基變量。4、確定出基變量其方法同線性規(guī)劃，即依據(jù)最小比值法則故確定xr為出基變量，ers為主元素。若有幾個相同的行可供選擇時，選最上面那一行所對應得變量為xr。5、旋轉(zhuǎn)變換（變量迭代）。以主元素進行變換，得到新的單純形表，獲得一組新解，返回到第2步。6、對求得的解進行分析若計算結(jié)果滿意，停止運算；若不滿意，需修改模型，即調(diào)整目標優(yōu)先等級和權(quán)系數(shù)，或者改變目標值，重新進行第1步。練習：用單純形法求解下列目標規(guī)劃問題Cj

000P1

P2

P2P3

00CBXBbx1x2

x3

001－11－100000P21012001－1000P3

5681000001－100

x3

11210000001σkjP1

0000100000P2

－10－1－20002000P3

－56－8－100000010θ=min｛－,10/2,56/10,11/1｝=5,故為換出變量。Cj

000P1

P2

P2P3

00CBXBbx1x2

x3

023/201－11/2-1/20000x251/21001/2-1/2000P3

63000-551－100

x3

63/2000-1/21/2001σkjP1

0000100000P2

0000011000P3

－6－30005-5010θ=min｛4/3,10,6/3,12/3｝=2,故為換出變量。Cj

000P1

P2

P2P3

00CBXBbx1x2

x3

02001－13-3-1/21/200x2401004/3-4/3-1/61/600x121000-5/35/31/3-1/300

x3

300002-2-1/21/21σ