【學(xué)海導(dǎo)航】高三數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí) 4.6 三角函數(shù)的應(yīng)用課件

第四章三角函數(shù)14.6

三角函數(shù)的應(yīng)用考點(diǎn)搜索●與三角函數(shù)圖象有關(guān)的應(yīng)用題●設(shè)角為參數(shù)，利用三角函數(shù)有關(guān)知識(shí)求最值高考猜想實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題往往與解三角形有關(guān)，單純以純?nèi)呛瘮?shù)作為背景的題不多見(jiàn).2

三角函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的特點(diǎn)和處理方法1.三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用是指用三角函數(shù)理論解答生產(chǎn)、科研和日常生活中的實(shí)際問(wèn)題.2.三角函數(shù)應(yīng)用題的特點(diǎn)是：①實(shí)際問(wèn)題的意義反映在三角形中的邊、角關(guān)系上;②引進(jìn)角為參數(shù)，利用三角函數(shù)的有關(guān)公式進(jìn)行推理，解決最優(yōu)化問(wèn)題.3.解決三角函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題和解決一般應(yīng)用性問(wèn)題一樣，先建模，再討論變量的性質(zhì)，最后作出結(jié)論并回答問(wèn)題.3設(shè)實(shí)數(shù)x,y,m,n滿足：m2+n2=a,x2+y2=b(a,b是正常數(shù)且a≠b),那么mx+ny的最大值是()

解：因?yàn)閷?shí)數(shù)x,y,m,n滿足：m2+n2=a,x2+y2=b(a,b是正常數(shù)且a≠b)，

所以可設(shè)4則mx+ny=所以mx+ny的最大值是.故選B.5

2002年在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)，會(huì)標(biāo)是以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的.弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形(如圖).如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為θ，那么cos2θ的值等于________.6解：設(shè)直角三角形的短邊為x，則解得x=3，所以則7如圖，單擺從某點(diǎn)開(kāi)始來(lái)回?cái)[動(dòng)，離開(kāi)平衡位置O的距離s厘米和時(shí)間t秒的函數(shù)關(guān)系為那么單擺來(lái)回?cái)[動(dòng)一次所需的時(shí)間為_(kāi)___秒.

解：由條件知周期8

1.已知某海濱浴場(chǎng)的海浪高度y(米)是時(shí)間t(0≤t≤24，單位：小時(shí))的函數(shù)，記作y=f(t).下表是某日各時(shí)的浪高數(shù)據(jù)：經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期觀測(cè)，y=f(t)的曲線可近似地看成是函數(shù)y=Acosωt+b的圖象.題型1與三角函數(shù)圖象有關(guān)的應(yīng)用題t(時(shí))03691215182124y(米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.59(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)y=Acosωt+b的最小正周期T、振幅A及函數(shù)表達(dá)式;(2)依據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度高于1米時(shí)才對(duì)沖浪愛(ài)好者開(kāi)放.請(qǐng)根據(jù)(1)的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的上午8：00時(shí)至晚上20：00時(shí)之間，有多少時(shí)間可供沖浪愛(ài)好者進(jìn)行運(yùn)動(dòng)?

解：(1)由表中數(shù)據(jù)知，周期T=12，則由t=0，y=1.5，得A+b=1.5，①由t=3，y=1.0，得b=1.0.②10由t=3，y=1.0，得b=1.0.②所以A=0.5，b=1，所以振幅幅為12，所以(2)由題知，當(dāng)當(dāng)y＞1時(shí)才可對(duì)沖沖浪愛(ài)好者者開(kāi)放.所以所所以所以即12k-3＜t＜12k+3(k∈Z).③因?yàn)?≤t≤24,故可令③中中的k分別為0,1,2,11得0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24.故在規(guī)定時(shí)時(shí)間上午8：00至晚晚上上20：00之間間，，有有6個(gè)小小時(shí)時(shí)時(shí)時(shí)間間可可供供沖沖浪浪愛(ài)愛(ài)好好者者運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)，，即即上上午午9：00至下下午午15：00.點(diǎn)評(píng)評(píng)：：解決決實(shí)實(shí)際際應(yīng)應(yīng)用用題題的的關(guān)關(guān)鍵鍵在在于于建建立立數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)模模型型.若建建模模已已確確定定時(shí)時(shí)，，就就化化為為常常規(guī)規(guī)問(wèn)問(wèn)題題，，再再選選擇擇合合適適的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)方方法法求求解解.如本本題題第第(2)問(wèn)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為相相應(yīng)應(yīng)的的不不等等式式進(jìn)進(jìn)行行解解決決.12以一一年年為為一一個(gè)個(gè)周周期期調(diào)調(diào)查查某某商商品品出出廠廠價(jià)價(jià)格格及及該該商商品品在在商商店店銷銷售售價(jià)價(jià)格格時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)：：該該商商品品的的出出廠廠價(jià)價(jià)格格是是在在6元基基礎(chǔ)礎(chǔ)上上按按月月份份隨隨正正弦弦曲曲線線波波動(dòng)動(dòng)的的.已知知2月份份出出廠廠價(jià)價(jià)格格最最高高為為8元，，8月份份出出廠廠價(jià)價(jià)格格最最低低為為4元.而該該商商品品在在商商店店內(nèi)內(nèi)的的銷銷售售價(jià)價(jià)格格是是在在10元基基礎(chǔ)礎(chǔ)上上按按月月份份也也是是隨隨正正弦弦曲曲線線波波動(dòng)動(dòng)的的，，并并已已知知5月份銷售價(jià)最最高為12元，11月份銷售價(jià)最最低為8元.假設(shè)某商店每每月購(gòu)進(jìn)這種種商品m件，且當(dāng)月能能售完，請(qǐng)估估計(jì)哪幾個(gè)月月每件盈利可可超過(guò)6元？并說(shuō)明理理由.13解：由條件可得：：出廠價(jià)格函函數(shù)為銷售價(jià)格函數(shù)數(shù)為則單價(jià)利潤(rùn)函函數(shù)y=y2-y114所以，由得即所以3＜2x-7＜9，即5＜x＜8.又因?yàn)閤∈N*，所以x=6，7.答：6月、7月這兩個(gè)月每每件盈利超過(guò)過(guò)6元.152.水渠橫斷面為為等腰梯形，，如圖所示，，渠道深為h，梯形面積為為S.為了使渠道的的滲水量達(dá)到到最小，應(yīng)使使梯形兩腰及及下底之和達(dá)達(dá)到最小，此此時(shí)下底角α應(yīng)是多大？題型2反映在三角形形或四邊形中中的實(shí)際問(wèn)題題16解：設(shè)CD=a,則所以則則設(shè)兩腰與下底底之和為l，則因?yàn)镾，h均為常量，欲欲求l的最小值，只只需求出的的最小小值.17令則則ksinα+cosα=2，可化為其中因?yàn)?＜sin(α+φ)≤1，所以所所以k2≥3，故kmin=3，此時(shí)所所以18點(diǎn)評(píng)：與多邊形有關(guān)關(guān)的實(shí)際問(wèn)題題，一般是轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為三角形形中的問(wèn)題，，然后利用三三角形的邊角角關(guān)系式轉(zhuǎn)化化為角的問(wèn)題題，如設(shè)角參參數(shù)，再利用用三角函數(shù)的的性質(zhì)解決所所求問(wèn)題.19某島嶼觀測(cè)站站C在海岸邊燈塔塔A的南偏西20°的方向上.航船B在燈塔A南偏東40°的方向上向海海岸燈塔A處航行，在C處先測(cè)得B離C的距離是31海里，當(dāng)航船船B航行了20海里后，到達(dá)達(dá)D處，此時(shí)C、D間的距距離為為21千米，，問(wèn)這這人還還需走走多少少海里里到達(dá)達(dá)海岸岸邊燈燈塔A處？解：根據(jù)題題意得得右圖圖，其中BC=31千米,BD=20千米,CD=21千米,∠CAB=60°.20設(shè)∠ACD=α，∠CDB=β.在△CDB中，由由余弦弦定理理得：：所以在△ACD中，由由正弦弦定理理得：：所以此此人還還需走走15千米到到達(dá)海海岸邊邊燈塔塔A處.213.如圖,ABCD是一邊邊長(zhǎng)為100m的正方方形地地皮,其中AST是一半半徑為為90m的扇形小山山，其其余部部分都都是平平地.一開(kāi)發(fā)商商想在平平地上建建一個(gè)矩形停車車場(chǎng)，使使矩形的的一個(gè)頂頂點(diǎn)P在ST上，相鄰鄰兩邊CQ、CR落在正方方形的邊邊BC、CD上.求矩形停車場(chǎng)場(chǎng)PQCR面積的最最大值和和最小值值.題型3引進(jìn)角為為參數(shù)解解決最優(yōu)優(yōu)化問(wèn)題題(22解：連結(jié)AP,設(shè)∠PAB=θ(0°≤≤θ≤90°°),延長(zhǎng)RP交AB于M,則AM=90cosθ,MP=90sinθ,所以PQ=MB=100-90cosθ，PR=MR-MP=100-90sinθ.所以S矩形PQCR=PQ·PR=(100-90cosθ)(100-90sinθ)=10000-9000(sinθ+cosθ)+8100sinθcosθ.23令t=sinθ+cosθ(1≤t≤2)，則所以S矩形PQCR=故當(dāng)t=時(shí)，S矩形PQCR有最小值值950m2;當(dāng)t=時(shí),S矩形PQCR有最大值值(14050-9000)m2.點(diǎn)評(píng)：與多邊形形有關(guān)的的最值問(wèn)問(wèn)題，常常常構(gòu)造造以角為為變量的的三角函函數(shù)，然然后利用用求三角角函數(shù)的的最值方方法求得得實(shí)際問(wèn)問(wèn)題的解解，同時(shí)時(shí)，注意意變量取取值的實(shí)實(shí)際意義義及范圍圍.24如圖，在在直徑為為1的圓O中，作一一個(gè)關(guān)于于圓心對(duì)對(duì)稱、鄰鄰邊互相相垂直的的十字形形，其中中y＞x＞0.求當(dāng)θ為何值時(shí)時(shí)，十字字形的面面積最大大？最大大面積是是多少？？25解：設(shè)十字形形的面積積為S，則其中所以，當(dāng)當(dāng)s