【走向高考】高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 133不等式選講課件（北師大）

知識(shí)梳理1．不等式的性質(zhì)：性質(zhì)1如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.性質(zhì)2如果a＞b，b＞c，那么

.性質(zhì)3如果a＞b，那么

.推論如果a＞b，c＞d，那么

.a＞ca＋c＞b＋ca＋c＞b＋d性質(zhì)4如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0那么

.推論1如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么

.推論2如果a＞b＞0，那么

.推論3如果a＞b＞0，那么

．a(chǎn)c＜bcac＞bda2＞b2an＞bn(n為正整數(shù))2．絕對(duì)值不等式：設(shè)a是任意一個(gè)實(shí)數(shù)，在數(shù)軸上|a|表示

，|x－a|的幾何意義是

的距離．定理：對(duì)任意實(shí)數(shù)a和b，有

3．平均值不等式：定理1對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b有a2＋b2≥

(上式當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，取“＝”號(hào))．實(shí)數(shù)a對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)O的距離實(shí)數(shù)x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與實(shí)數(shù)a對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間|a＋b|≤|a|＋|b|2aba＝b(2)分析法從所要證明的結(jié)論入手向已知條件反推直至達(dá)到已知條件為止，這種證法稱為分析法，即“執(zhí)果索因”的證明方法．(3)綜合法從已知條件出發(fā)，利用不等式的性質(zhì)(或已知證明過(guò)的不等式)，推出了所要證明的結(jié)論，即“由因?qū)す钡姆椒ǎ@種證明不等式的方法稱為綜合法．(4)放縮法通過(guò)縮小(或放大)分式的分母(或分子)，或通過(guò)放大(或縮小)被減式(或減式)來(lái)證明不等式，這種證明不等式的方法稱為放縮法．(5)反證法：通過(guò)證明命題結(jié)論的否定不能成立，來(lái)肯定命題結(jié)論一定成立，其證明的步驟是：①作出否定結(jié)論的假設(shè)；②進(jìn)行推理導(dǎo)出矛盾；③否定假設(shè)肯定結(jié)論5．柯西不等式定理1對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，c，d，有(a2＋b2)(c2＋d2)≥

，當(dāng)向量(a，b)與向量(c，d)共線時(shí)，等號(hào)成立．定理2設(shè)a1，a2，…，an與b1，b2，…，bn是兩組實(shí)數(shù)，則有(a12＋a22＋…an2)(b12＋b22＋…＋bn2)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，當(dāng)向量(a1，a2，…an)與向量(b1，b2，…，bn)共線時(shí)“＝”成立．推論：設(shè)a1，a2，a3，b1，b2，b3是兩組實(shí)數(shù)，則有(a12＋a22＋a32)(b12＋b22＋b32)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2當(dāng)向量(a1，a2，a3)與向量(b1，b2，b3)共線時(shí)“＝”成立。(ac＋bd)26．．排排序序不不等等式式定理理1設(shè)設(shè)a，b和c，d都是是實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)，，如如果果a≥b，c≥d，那那么么ac＋bd≥，當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)a＝b(或或c＝d)，，時(shí)時(shí)取取““＝＝””號(hào)號(hào)．．定理理2(排排序序不不等等式式)設(shè)設(shè)有有兩兩個(gè)個(gè)有有序序?qū)崒?shí)數(shù)數(shù)組組a1≥a2≥……≥≥an及b1≥b2≥……≥≥bn，則(順順序序和和)a1b1＋a2b2＋……＋＋anbn≥(亂亂序序和和)a1bj1＋a2bj2＋……＋＋anbjn≥(逆逆序序和和)a1bn＋a2bn－1＋……＋＋anb1.ad＋bc其中中j1，j2，……jn是1,2，，……，，n的任任一一排排列列方方式式．．上上式式當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)a1＝a2＝……＝＝an(或或b1＝b2＝……＝＝bn)時(shí)時(shí)取取““＝＝””號(hào)號(hào)．．7．貝努努利利不不等等式式：：對(duì)任任何何實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)x≥－－1和和任任何何正正整整數(shù)數(shù)n，有有(1＋＋x)n≥1＋＋nx[例例1]解解不不等等式式|x＋2|＋＋|x－1|<4.[分分析析](1)根根據(jù)據(jù)絕絕對(duì)對(duì)值值的的意意義義，，分分區(qū)區(qū)間間分分別別去去掉掉絕絕對(duì)對(duì)值值符符號(hào)號(hào)，，解解不不等等式式．．(2)根根據(jù)據(jù)絕絕對(duì)對(duì)值值的的幾幾何何意意義義．．[解解析析]|x＋2|＝＝0和和|x－1|＝＝0的的根根分分別別是是－－2和和1，，把把實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)軸軸分分為為三三個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)間間：：(－－∞∞，，－－2]，，(－－2,1)，，[1，，＋＋∞∞)．．在這這三三個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)間間上上|x＋2|＋＋|x－1|有有不不同同的的解解析析表表達(dá)達(dá)式式，，它它們們構(gòu)構(gòu)成成了了三三個(gè)個(gè)不不等等式式組組．．[點(diǎn)點(diǎn)評(píng)評(píng)](1)解解這這類類絕絕對(duì)對(duì)值值符符號(hào)號(hào)內(nèi)內(nèi)是是一一次次式式的的不不等等式式，，其其一一般般步步驟驟是是：：①令每每個(gè)個(gè)絕絕對(duì)對(duì)值值符符號(hào)號(hào)里里的的一一次次式式為為零零，，并并求求出出相相應(yīng)應(yīng)的的根根；；②把這這些些根根由由小小到到大大排排序序，，并并把把實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)集集分分為為若若干干個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)間間；；③由所所分分區(qū)區(qū)間間去去掉掉絕絕對(duì)對(duì)值值符符號(hào)號(hào)組組成成若若干干個(gè)個(gè)不不等等式式，，解解這這些些不不等等式式，，求求出出它它們們的的解解集集；；④取這這些些不不等等式式的的解解集集的的并并集集就就是是原原不不等等式式的的解解集集．．對(duì)于于形形如如|x－a|＋＋|x－b|>c或|x－a|＋＋|x－b|<c的不不等等式式，，利利用用不不等等式式的的幾幾何何意意義義或或者者畫(huà)畫(huà)出出左左、、右右兩兩邊邊函函數(shù)數(shù)的的圖圖像像去去解解不不等等式式，，更更為為直直觀觀、、簡(jiǎn)簡(jiǎn)捷捷，，這這又又一一次次體體現(xiàn)現(xiàn)了了數(shù)數(shù)形形結(jié)結(jié)合合思思想想方方法法的的優(yōu)優(yōu)越越性性！！解不不等等式式|x＋3|＋＋|x－3|>8.[解解析析]解法法1：：由由代代數(shù)數(shù)式式|x＋3|、、|x－3|知知，，－－3和和3把把實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)集集分分為為三三個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)間間：：x<－－3，，－－3≤≤x<3，，x≥3.當(dāng)x<－－3時(shí)時(shí)，，－－x－3－－x＋3>8，，即即x<－－4，，此此時(shí)時(shí)不不等等式式的的解解集集為為x<－－4.①當(dāng)－－3≤x<3時(shí)時(shí)，，x＋3－－x＋3>8，此此時(shí)不等式無(wú)無(wú)解．②當(dāng)x≥3時(shí)，x＋3＋x－3>8，即即x>4，此時(shí)不不等式的解集集為x>4.③?、佗冖凼降牟⒓迷坏仁降慕饨饧癁閧x|x<－4或x>4}．解法2：不等等式|x＋3|＋|x－3|>8表表示數(shù)軸上與與A(－3)，B(3)兩點(diǎn)距距離之和大于于8的點(diǎn)，而而A、B兩點(diǎn)距離為6.因此線段段AB上每一點(diǎn)到A、B的距離之和都都等于6.如圖所示，要要找到與A，B距離之和為8的點(diǎn)，只需需由點(diǎn)B向右移1個(gè)單單位(這時(shí)距距離之和增加加2個(gè)單位)，即移到點(diǎn)點(diǎn)B1(4)，或由由點(diǎn)A向左移1個(gè)單單位，即移到到點(diǎn)A1(－4)．可以看出，數(shù)數(shù)軸上點(diǎn)B1(4)向右的的點(diǎn)或者點(diǎn)A1(－4)向左左的點(diǎn)到A、B兩點(diǎn)的距離之之和均大于8.∴原不等式的解解集為{x|x<－4或x>4}.[分析]開(kāi)口向上的二二次函數(shù)在閉閉區(qū)間[－1,1]上的的最大值，只只能在端點(diǎn)－－1,1處取取到．故M≥|f(1)|或M≥|f(－1)|.[解析](1)∵M(jìn)≥|f(－1)|＝＝|1－a＋b|，M≥|f(1)|＝|1＋a＋b|，2M≥|1－a＋b|＋|1＋a＋b|≥|(1－a＋b)＋(1＋a＋b)|＝2|1＋b|，∴M≥|1＋b|.(2)依題意意，M≥|f(－1)|，，M≥|f(0)|，M≥|f(1)|.又|f(－1)|＝＝|1－a＋b|，|f(1)|＝|1＋a＋b|，|f(0)|＝|b|.∴4M≥|f(－1)|＋＋2|f(0)|＋|f(1)|＝|1－a＋b|＋2|b|＋|1＋a＋b|≥|(1－a＋b)－2b＋(1＋a＋b)|＝2.[點(diǎn)評(píng)]對(duì)于含有絕對(duì)對(duì)值的不等式式的證明常用用途徑有二：：一是去掉絕絕對(duì)值符號(hào)，，即利用絕對(duì)對(duì)值的定義和和|x|<a?－a<x<a(a>0)，|x|>a?x>a或x<－a(a>0)去掉絕絕對(duì)值符號(hào)；；二是利用含含絕對(duì)值的不不等式性質(zhì)(||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|)來(lái)證明．．[例3]若若0<x<1，試比較較|loga(1－x)|與|loga(1＋x)|的大小(a>0且a≠1)．[分析]利用作差比較較法或作商比比較法均可證證明本例．[解析]證法一：(作作差比較法)因?yàn)?<x<1，所以0<1－x<1,1＋x>1,0<1－x2<1.當(dāng)a>1時(shí)，因?yàn)闉閨loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝－loga(1－x)－loga(1＋x)＝－loga(1－x2)>0，所以|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.當(dāng)0<a<1時(shí)，|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝loga(1－x)＋loga(1＋x)＝loga(1－x2)>0，所以|loga(1－－x)|>|loga(1＋＋x)|.綜上所所述，，|loga(1－－x)|>|loga(1＋＋x)|.[點(diǎn)評(píng)評(píng)]本題考考查了了絕對(duì)對(duì)值的的概念念，分分類整整合的的思想想方法法，對(duì)對(duì)數(shù)的的運(yùn)算算，式式子的的變形形，靈靈巧而而精致致，深深化了了作差差比較較和作作商比比較這這兩種種基本本方法法．(1)作差差法的的一般般步驟驟是““作差差—變變形——判斷斷符號(hào)號(hào)”．其中變變形是是作差差法的的關(guān)鍵鍵，配配方和和因式式分解解是常常用的的變形形手段段，為為了便便于判判斷“差式”的符號(hào)號(hào)，常常將“差式”變形為為一個(gè)個(gè)常數(shù)數(shù)、一一個(gè)常常數(shù)與與幾個(gè)個(gè)平方方和或或幾個(gè)個(gè)因式式的積積的形形式，，當(dāng)所所得的的“差式”是某個(gè)個(gè)字母母的二二次三三項(xiàng)式式時(shí)，，則常常用判判別式式法判判斷符符號(hào)．．(2)作商商法的的一般般步驟驟為““作商商—變變形——判斷斷商與與數(shù)1的大大小關(guān)關(guān)系”．(3)一般般地，，證冪冪、指指數(shù)不不等式式，常常用作作商法法，證證對(duì)數(shù)數(shù)不等等式，，常用用作差差法．．當(dāng)“差”或“商”式中含含有字字母時(shí)時(shí)，一一般需需對(duì)字字母的的取值值進(jìn)行行分類類討論論．[例4]已已知知a、b、c>0，，求證證：a3＋b3＋c3≥(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．[分析析]不等式式中的的a、b、c有對(duì)稱稱轉(zhuǎn)換換關(guān)系系，所所以從從基本本的不不等式式定理理入手手，先先考慮慮兩個(gè)個(gè)正數(shù)數(shù)的平平均數(shù)數(shù)定理理，再再據(jù)不不等式式性質(zhì)質(zhì)推導(dǎo)導(dǎo)出證證明的的結(jié)論論．[解析析]∵a2＋b2≥2ab，∴(a2＋b2)(a＋b)≥2ab(a＋b)．∴a3＋b3＋a2b＋ab2≥2a2b＋2ab2.∴a3＋b3≥a2b＋ab2.同理：：b3＋c3≥b2c＋bc2，a3＋c3≥a2c＋ac2.將三式式相加加得2(a3＋b3＋c3)≥a2b＋ab2＋b2c＋bc2＋a2c＋ac2.∴3(a3＋b3＋c3)≥(a3＋a2b＋a2c)＋(b3＋b2a＋b2c)＋(c3＋c2a＋c2b)＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)．∴a3＋b3＋c3≥(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．[點(diǎn)評(píng)評(píng)]本題是是利用用綜合合法證證明不不等式式．用用綜合合法證證明不不等式式時(shí)，，應(yīng)注注意觀觀察不不等式式的結(jié)結(jié)構(gòu)特特點(diǎn)，，選擇擇恰當(dāng)當(dāng)?shù)囊岩阎牡牟坏鹊仁阶髯鳛橐酪罁?jù)，，其中中基本本不等等式是是最常常用的的．已知x，y，z∈R，若x4＋y4＋z4＝1，，求證證：：x2＋y2＋z2≤1．放放縮法法多借借助于于一個(gè)個(gè)或多多個(gè)中中間量量進(jìn)行行放大大或縮縮?。缬CA≥B，需通通過(guò)B≤B1，B1≤B2，…，，Bn≤A(或A≥A1，A1≥A2，…≥≥An≥B)，再再利用用傳遞遞性達(dá)達(dá)到證證明的的目的的．2．含含絕對(duì)對(duì)值的的不等等式(1)含絕絕對(duì)值值不等等式的的證明明，除除了綜綜合運(yùn)運(yùn)用前前面所所講的的不等等式的的證明明方法法之外外，還還要注注意““絕對(duì)對(duì)值””這一一特殊殊屬性性的處處理方方