【走向高考】高三數(shù)學一輪復習 133不等式選講課件（北師大）

知識梳理1．不等式的性質(zhì)：性質(zhì)1如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.性質(zhì)2如果a＞b，b＞c，那么

.性質(zhì)3如果a＞b，那么

.推論如果a＞b，c＞d，那么

.a＞ca＋c＞b＋ca＋c＞b＋d性質(zhì)4如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0那么

.推論1如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么

.推論2如果a＞b＞0，那么

.推論3如果a＞b＞0，那么

．a(chǎn)c＜bcac＞bda2＞b2an＞bn(n為正整數(shù))2．絕對值不等式：設(shè)a是任意一個實數(shù)，在數(shù)軸上|a|表示

，|x－a|的幾何意義是

的距離．定理：對任意實數(shù)a和b，有

3．平均值不等式：定理1對任意實數(shù)a，b有a2＋b2≥

(上式當且僅當

時，取“＝”號)．實數(shù)a對應的點與原點O的距離實數(shù)x對應的點與實數(shù)a對應的點之間|a＋b|≤|a|＋|b|2aba＝b(2)分析法從所要證明的結(jié)論入手向已知條件反推直至達到已知條件為止，這種證法稱為分析法，即“執(zhí)果索因”的證明方法．(3)綜合法從已知條件出發(fā)，利用不等式的性質(zhì)(或已知證明過的不等式)，推出了所要證明的結(jié)論，即“由因?qū)す钡姆椒?，這種證明不等式的方法稱為綜合法．(4)放縮法通過縮小(或放大)分式的分母(或分子)，或通過放大(或縮小)被減式(或減式)來證明不等式，這種證明不等式的方法稱為放縮法．(5)反證法：通過證明命題結(jié)論的否定不能成立，來肯定命題結(jié)論一定成立，其證明的步驟是：①作出否定結(jié)論的假設(shè)；②進行推理導出矛盾；③否定假設(shè)肯定結(jié)論5．柯西不等式定理1對任意實數(shù)a，b，c，d，有(a2＋b2)(c2＋d2)≥

，當向量(a，b)與向量(c，d)共線時，等號成立．定理2設(shè)a1，a2，…，an與b1，b2，…，bn是兩組實數(shù)，則有(a12＋a22＋…an2)(b12＋b22＋…＋bn2)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，當向量(a1，a2，…an)與向量(b1，b2，…，bn)共線時“＝”成立．推論：設(shè)a1，a2，a3，b1，b2，b3是兩組實數(shù)，則有(a12＋a22＋a32)(b12＋b22＋b32)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2當向量(a1，a2，a3)與向量(b1，b2，b3)共線時“＝”成立。(ac＋bd)26．．排排序序不不等等式式定理理1設(shè)設(shè)a，b和c，d都是是實實數(shù)數(shù)，，如如果果a≥b，c≥d，那那么么ac＋bd≥，當當且且僅僅當當a＝b(或或c＝d)，，時時取取““＝＝””號號．．定理理2(排排序序不不等等式式)設(shè)設(shè)有有兩兩個個有有序序?qū)崒崝?shù)數(shù)組組a1≥a2≥……≥≥an及b1≥b2≥……≥≥bn，則(順順序序和和)a1b1＋a2b2＋……＋＋anbn≥(亂亂序序和和)a1bj1＋a2bj2＋……＋＋anbjn≥(逆逆序序和和)a1bn＋a2bn－1＋……＋＋anb1.ad＋bc其中中j1，j2，……jn是1,2，，……，，n的任任一一排排列列方方式式．．上上式式當當且且僅僅當當a1＝a2＝……＝＝an(或或b1＝b2＝……＝＝bn)時時取取““＝＝””號號．．7．貝努努利利不不等等式式：：對任任何何實實數(shù)數(shù)x≥－－1和和任任何何正正整整數(shù)數(shù)n，有有(1＋＋x)n≥1＋＋nx[例例1]解解不不等等式式|x＋2|＋＋|x－1|<4.[分分析析](1)根根據(jù)據(jù)絕絕對對值值的的意意義義，，分分區(qū)區(qū)間間分分別別去去掉掉絕絕對對值值符符號號，，解解不不等等式式．．(2)根根據(jù)據(jù)絕絕對對值值的的幾幾何何意意義義．．[解解析析]|x＋2|＝＝0和和|x－1|＝＝0的的根根分分別別是是－－2和和1，，把把實實數(shù)數(shù)軸軸分分為為三三個個區(qū)區(qū)間間：：(－－∞∞，，－－2]，，(－－2,1)，，[1，，＋＋∞∞)．．在這這三三個個區(qū)區(qū)間間上上|x＋2|＋＋|x－1|有有不不同同的的解解析析表表達達式式，，它它們們構(gòu)構(gòu)成成了了三三個個不不等等式式組組．．[點點評評](1)解解這這類類絕絕對對值值符符號號內(nèi)內(nèi)是是一一次次式式的的不不等等式式，，其其一一般般步步驟驟是是：：①令每每個個絕絕對對值值符符號號里里的的一一次次式式為為零零，，并并求求出出相相應應的的根根；；②把這這些些根根由由小小到到大大排排序序，，并并把把實實數(shù)數(shù)集集分分為為若若干干個個區(qū)區(qū)間間；；③由所所分分區(qū)區(qū)間間去去掉掉絕絕對對值值符符號號組組成成若若干干個個不不等等式式，，解解這這些些不不等等式式，，求求出出它它們們的的解解集集；；④取這這些些不不等等式式的的解解集集的的并并集集就就是是原原不不等等式式的的解解集集．．對于于形形如如|x－a|＋＋|x－b|>c或|x－a|＋＋|x－b|<c的不不等等式式，，利利用用不不等等式式的的幾幾何何意意義義或或者者畫畫出出左左、、右右兩兩邊邊函函數(shù)數(shù)的的圖圖像像去去解解不不等等式式，，更更為為直直觀觀、、簡簡捷捷，，這這又又一一次次體體現(xiàn)現(xiàn)了了數(shù)數(shù)形形結(jié)結(jié)合合思思想想方方法法的的優(yōu)優(yōu)越越性性！！解不不等等式式|x＋3|＋＋|x－3|>8.[解解析析]解法法1：：由由代代數(shù)數(shù)式式|x＋3|、、|x－3|知知，，－－3和和3把把實實數(shù)數(shù)集集分分為為三三個個區(qū)區(qū)間間：：x<－－3，，－－3≤≤x<3，，x≥3.當x<－－3時時，，－－x－3－－x＋3>8，，即即x<－－4，，此此時時不不等等式式的的解解集集為為x<－－4.①當－－3≤x<3時時，，x＋3－－x＋3>8，此此時不等式無無解．②當x≥3時，x＋3＋x－3>8，即即x>4，此時不不等式的解集集為x>4.③?、佗冖凼降牟⒓迷坏仁降慕饨饧癁閧x|x<－4或x>4}．解法2：不等等式|x＋3|＋|x－3|>8表表示數(shù)軸上與與A(－3)，B(3)兩點距距離之和大于于8的點，而而A、B兩點距離為6.因此線段段AB上每一點到A、B的距離之和都都等于6.如圖所示，要要找到與A，B距離之和為8的點，只需需由點B向右移1個單單位(這時距距離之和增加加2個單位)，即移到點點B1(4)，或由由點A向左移1個單單位，即移到到點A1(－4)．可以看出，數(shù)數(shù)軸上點B1(4)向右的的點或者點A1(－4)向左左的點到A、B兩點的距離之之和均大于8.∴原不等式的解解集為{x|x<－4或x>4}.[分析]開口向上的二二次函數(shù)在閉閉區(qū)間[－1,1]上的的最大值，只只能在端點－－1,1處取取到．故M≥|f(1)|或M≥|f(－1)|.[解析](1)∵M≥|f(－1)|＝＝|1－a＋b|，M≥|f(1)|＝|1＋a＋b|，2M≥|1－a＋b|＋|1＋a＋b|≥|(1－a＋b)＋(1＋a＋b)|＝2|1＋b|，∴M≥|1＋b|.(2)依題意意，M≥|f(－1)|，，M≥|f(0)|，M≥|f(1)|.又|f(－1)|＝＝|1－a＋b|，|f(1)|＝|1＋a＋b|，|f(0)|＝|b|.∴4M≥|f(－1)|＋＋2|f(0)|＋|f(1)|＝|1－a＋b|＋2|b|＋|1＋a＋b|≥|(1－a＋b)－2b＋(1＋a＋b)|＝2.[點評]對于含有絕對對值的不等式式的證明常用用途徑有二：：一是去掉絕絕對值符號，，即利用絕對對值的定義和和|x|<a?－a<x<a(a>0)，|x|>a?x>a或x<－a(a>0)去掉絕絕對值符號；；二是利用含含絕對值的不不等式性質(zhì)(||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|)來證明．．[例3]若若0<x<1，試比較較|loga(1－x)|與|loga(1＋x)|的大小(a>0且a≠1)．[分析]利用作差比較較法或作商比比較法均可證證明本例．[解析]證法一：(作作差比較法)因為0<x<1，所以0<1－x<1,1＋x>1,0<1－x2<1.當a>1時，因為為|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝－loga(1－x)－loga(1＋x)＝－loga(1－x2)>0，所以|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.當0<a<1時，|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝loga(1－x)＋loga(1＋x)＝loga(1－x2)>0，所以|loga(1－－x)|>|loga(1＋＋x)|.綜上所所述，，|loga(1－－x)|>|loga(1＋＋x)|.[點評評]本題考考查了了絕對對值的的概念念，分分類整整合的的思想想方法法，對對數(shù)的的運算算，式式子的的變形形，靈靈巧而而精致致，深深化了了作差差比較較和作作商比比較這這兩種種基本本方法法．(1)作差差法的的一般般步驟驟是““作差差—變變形——判斷斷符號號”．其中變變形是是作差差法的的關(guān)鍵鍵，配配方和和因式式分解解是常常用的的變形形手段段，為為了便便于判判斷“差式”的符號號，常常將“差式”變形為為一個個常數(shù)數(shù)、一一個常常數(shù)與與幾個個平方方和或或幾個個因式式的積積的形形式，，當所所得的的“差式”是某個個字母母的二二次三三項式式時，，則常常用判判別式式法判判斷符符號．．(2)作商商法的的一般般步驟驟為““作商商—變變形——判斷斷商與與數(shù)1的大大小關(guān)關(guān)系”．(3)一般般地，，證冪冪、指指數(shù)不不等式式，常常用作作商法法，證證對數(shù)數(shù)不等等式，，常用用作差差法．．當“差”或“商”式中含含有字字母時時，一一般需需對字字母的的取值值進行行分類類討論論．[例4]已已知知a、b、c>0，，求證證：a3＋b3＋c3≥(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．[分析析]不等式式中的的a、b、c有對稱稱轉(zhuǎn)換換關(guān)系系，所所以從從基本本的不不等式式定理理入手手，先先考慮慮兩個個正數(shù)數(shù)的平平均數(shù)數(shù)定理理，再再據(jù)不不等式式性質(zhì)質(zhì)推導導出證證明的的結(jié)論論．[解析析]∵a2＋b2≥2ab，∴(a2＋b2)(a＋b)≥2ab(a＋b)．∴a3＋b3＋a2b＋ab2≥2a2b＋2ab2.∴a3＋b3≥a2b＋ab2.同理：：b3＋c3≥b2c＋bc2，a3＋c3≥a2c＋ac2.將三式式相加加得2(a3＋b3＋c3)≥a2b＋ab2＋b2c＋bc2＋a2c＋ac2.∴3(a3＋b3＋c3)≥(a3＋a2b＋a2c)＋(b3＋b2a＋b2c)＋(c3＋c2a＋c2b)＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)．∴a3＋b3＋c3≥(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．[點評評]本題是是利用用綜合合法證證明不不等式式．用用綜合合法證證明不不等式式時，，應注注意觀觀察不不等式式的結(jié)結(jié)構(gòu)特特點，，選擇擇恰當當?shù)囊岩阎牡牟坏鹊仁阶髯鳛橐酪罁?jù)，，其中中基本本不等等式是是最常常用的的．已知x，y，z∈R，若x4＋y4＋z4＝1，，求證證：：x2＋y2＋z2≤1．放放縮法法多借借助于于一個個或多多個中中間量量進行行放大大或縮縮小．．如欲欲證A≥B，需通通過B≤B1，B1≤B2，…，，Bn≤A(或A≥A1，A1≥A2，…≥≥An≥B)，再再利用用傳遞遞性達達到證證明的的目的的．2．含含絕對對值的的不等等式(1)含絕絕對值值不等等式的的證明明，除除了綜綜合運運用前前面所所講的的不等等式的的證明明方法法之外外，還還要注注意““絕對對值””這一一特殊殊屬性性的處處理方方