【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】2011屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6知識(shí)塊第4講簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃課件 北師大版

【考綱下載】1.會(huì)從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組．2．了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組．3．會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一些簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃問(wèn)題，并能加以解決.第4講簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃1．二元一次不等式表示平面區(qū)域(1)Ax＋By＋C>0(<0)在平面直角坐標(biāo)系中表示直線l：Ax＋By＋C＝0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域，直線l應(yīng)畫(huà)成

．(2)Ax＋By＋C≥0(≤0)表示直線l：Ax＋By＋C＝0某一側(cè)(含邊界直線)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域，直線l應(yīng)畫(huà)成

．虛線實(shí)線2．線性規(guī)劃的有關(guān)概念名稱(chēng)意義線性約束條件由關(guān)于x，y的

組成的不等式組目標(biāo)函數(shù)欲達(dá)到

所涉及變量x，y的解析式線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的

解析式可行解滿足

的解(x，y)可行域由所有

組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得

或

的可行解線性規(guī)劃問(wèn)題求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的

的問(wèn)題一次不等式最大值或最小值一次函數(shù)線性約束條件可行解最大值最小值最大值或最小值提示：(1)目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解一般在區(qū)域的某個(gè)頂點(diǎn)處取得，但也有可能是區(qū)域的某一邊界或區(qū)域內(nèi)的某一點(diǎn)．(2)最優(yōu)解可能是一個(gè)、多個(gè)、無(wú)數(shù)個(gè)．1．下面給出的四個(gè)點(diǎn)中，位于

表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)是(

)

A．(0,2)B．(－2,0)C．(0，－2)D．(2,0)解析：滿足條件

的點(diǎn)都在圖中陰影部分．由圖可知C選項(xiàng)滿足要求．答案：C2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，滿足不等式組

的點(diǎn)(x，y)的集合用陰影表示為下列圖中的(

)解析：若0<x<1，當(dāng)y>0時(shí)，要使|y|≥|x|，則y≥x；當(dāng)y<0時(shí)，要使|y|≥|x|，則y≤－x；若－1<x<0，當(dāng)y>0時(shí)，要使|y|≥|x|，則y≥－x；當(dāng)y<0時(shí)，要使|y|≥|x|，則y≤x.故選C.答案：C3．已知變量x、y滿足條件

，則x＋y的最小值是(

)

A．4B．3C．2D．1解析：在直角坐標(biāo)平面內(nèi)畫(huà)出不等式組

所表示的平面區(qū)域，作出

直線x＋y＝0，平移該直線，注意觀察當(dāng)直線平移到經(jīng)過(guò)該平面區(qū)域內(nèi)怎樣的點(diǎn)時(shí)，相應(yīng)直線在x軸上的截距最?。Y(jié)合圖形不難得知，當(dāng)平移到經(jīng)過(guò)該平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(1,1)時(shí)，相應(yīng)直線在x軸上的截距最小，即此時(shí)x＋y取得最小值，最小值等于2.答案：C4．(2009·安徽卷)不等式

組所表示的平面區(qū)域的面積等于

．解析：不等式組所表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是

，(0,4)，(1,1)，所以三角形的面積

答案：求線性平面區(qū)域的面積可以先根據(jù)不等式組畫(huà)出相應(yīng)的平面區(qū)域，再求出相應(yīng)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)圖形的特點(diǎn)解決問(wèn)題．若圖形是不規(guī)則的多邊形，一般是劃分為幾個(gè)三角形分別求面積再相加．在劃分時(shí)盡量多構(gòu)造直角三角形，這樣可以降低運(yùn)算難度．

【例1】

(2009·浙江寧波十校聯(lián)考)已知點(diǎn)M(a，b)在由不等式組

確定的平面區(qū)域內(nèi)，則點(diǎn)N(a＋b，a－b)所在平面區(qū)域的面積是_____．思維點(diǎn)撥：可以設(shè)m＝a＋b，n＝a－b，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于m、n的線性約束條件，根據(jù)畫(huà)出的圖形求面積．解析：由題意得：

，設(shè)

，則N(m，n)，∴線性約束條件轉(zhuǎn)化為：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系mOn，可行域如圖中陰影部分所示，則所求面積S=4.答案：4線性目標(biāo)函數(shù)求最值的步驟為：1．作圖——畫(huà)出約束條件(不等式(組))確定的平面區(qū)域和目標(biāo)函數(shù)所表 示的平行直線系中過(guò)原點(diǎn)的直線l；2．平移——將l平行移動(dòng)至最優(yōu)解所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置；3．求值——解有關(guān)方程組求出最優(yōu)點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入目標(biāo)函數(shù)，求出目 標(biāo)函數(shù)的最值．【例2】

已知實(shí)數(shù)x，y滿足

，則目標(biāo)函數(shù)z＝x－y的最大值為_(kāi)___．思維點(diǎn)撥：先作出可行域，然后作出與直線x－y＝0平行的直線，通過(guò)平移，在可行域內(nèi)找到最優(yōu)解，從而求出最大值．

解析：先畫(huà)出約束條件的可行域，如圖所示：經(jīng)分析可知z=x-y在A點(diǎn)取得最大值． =x-y=4-1=3.

答案：3拓展2：將本例中條件“”改為“，且如果目標(biāo)函數(shù)z＝x－y的最小值為－1”，則實(shí)數(shù)m等于(

)

A．7B．5C．4D．3

解析：畫(huà)出x，y滿足的可行域，可得直線y＝2x－1與直線x＋y＝m的交點(diǎn)使目標(biāo)函數(shù)z＝x－y取得最小值，故解解得m＝5.答案：B近幾年有關(guān)線性規(guī)劃的高考試題中，相當(dāng)一部分試題是結(jié)合其他知識(shí)點(diǎn)的綜合題，在作出平面區(qū)域后要善于利用幾何意義解決一些特殊函數(shù)的最值問(wèn)題．【例3】實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組

.求z＝x2＋y2的最大值和最小值．思維點(diǎn)撥：畫(huà)出可行域后，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離的平方問(wèn)題．解：

畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示．陰影部分即點(diǎn)(x，y)所在區(qū)域，目標(biāo)函數(shù)z=x2+y2表示點(diǎn)(x，y)到點(diǎn)(0,0)距離的平方．因此z的最小值為點(diǎn)(0,0)到直線x+2y-3=0的距離的平方．得P(5,6)．z的最大值為點(diǎn)O到點(diǎn)P的距離的平方．∴zmax＝(5－0)2＋(6－0)2＝61.變式3：若實(shí)數(shù)x、y滿足

，則的取值范圍是(

)A．(0,2)B．(0,2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)解析：作出x，y滿足的可行域，如圖中陰影部分，它是以A(0,1)，B(1,2)，C(0,2)為頂點(diǎn)圍成的三角形(不包含邊AC)，設(shè)P(x，y)為可行域內(nèi)任一點(diǎn)，則直線PO的斜率kPO=，由數(shù)形結(jié)合得，kPO=2是的最小值，故的取值范圍是[2，+∞)．答案：D在線性規(guī)劃的實(shí)際問(wèn)題中，主要掌握兩種類(lèi)型：一是給定一定數(shù)量的人力、物力資源，問(wèn)怎樣運(yùn)用這些資源能使完成的任務(wù)量最大，收到的效益最大；二是給定一項(xiàng)任務(wù)，問(wèn)怎樣統(tǒng)籌安排，能使完成的這項(xiàng)任務(wù)耗費(fèi)的人力、物力資源最?。?/p>

【例4】

某公司有60萬(wàn)元資金，計(jì)劃投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，按要求對(duì)項(xiàng) 目甲的投資不小于對(duì)項(xiàng)目乙投資的倍，且對(duì)每個(gè)項(xiàng)目的投資不能低 于5萬(wàn)元，對(duì)項(xiàng)目甲每投資1萬(wàn)元可獲得0.4萬(wàn)元的利潤(rùn)，對(duì)項(xiàng)目乙每 投資1萬(wàn)元可獲得0.6萬(wàn)元的利潤(rùn)，該公司正確規(guī)劃投資后，在這兩 個(gè)項(xiàng)目上共可獲得的最大利潤(rùn)為(

)A．36萬(wàn)元

B．31.2萬(wàn)元C．30.4萬(wàn)元

D．24萬(wàn)元解析：設(shè)對(duì)甲項(xiàng)目投資x萬(wàn)元，對(duì)乙項(xiàng)目投資y萬(wàn)元，獲得總利潤(rùn)為z萬(wàn)元，則z＝0.4x＋0.6y，且作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示，作直線l0：0.4x+0.6y=0，并將l0向上平移，過(guò)點(diǎn)C時(shí)z取得最大值，即=0.4×24+0.6×36=31.2(萬(wàn)元)．答案：B【方法規(guī)律】1．直線把平面分成的每一個(gè)區(qū)域內(nèi)所有點(diǎn)的坐標(biāo)各同時(shí)滿足一個(gè)不等式，確定不等式Ax＋By＋C>0(<0，≤0，≥0)表示直線Ax＋By＋C＝0的哪一側(cè)區(qū)域，常用下列的方法確定：先由等式定直線，然后在直線的某一側(cè)任取(x0，y0)，把它的坐標(biāo)代入Ax＋By＋C>0，若不等式成立，則和(x0，y0)同側(cè)的點(diǎn)都滿足不等式，從而平面區(qū)域被找到，否則，直線的另一區(qū)域?yàn)椴坏仁紸x＋By＋C>0所表示的區(qū)域．2．在線性約束條件下，當(dāng)b>0時(shí)，求目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by＋c的最小值或最大 值的求解程序?yàn)椋?(1)作出可行域； (2)作出直線l0：ax＋by＝0； (3)確定l0的平移方向，依可行域判斷取得最優(yōu)解的點(diǎn)； (4)解相關(guān)方程組，求出最優(yōu)解，從而得出目標(biāo)函數(shù)的最小值或最大值．3．目標(biāo)函數(shù)非線性時(shí)，注意目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，如斜率，距離等．

4．線性規(guī)劃應(yīng)用題建模的思路：一般以“資源——產(chǎn)品——收益”為主線；設(shè)元時(shí)將產(chǎn)品數(shù)量設(shè)為x、y，將收益多少設(shè)為z，資源數(shù)量為常數(shù)a、b、c等．這樣z與x、y之間的關(guān)系就是目標(biāo)函數(shù)；而x、y與a、b、c等之間的關(guān)系就是約束條件.【高考真題】(2009·山東卷)某公司租賃甲、乙兩種設(shè)備生產(chǎn)A、B兩類(lèi)產(chǎn)品，甲種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類(lèi)產(chǎn)品5件和B類(lèi)產(chǎn)品10件，乙種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類(lèi)產(chǎn)品6件和B類(lèi)產(chǎn)品20件．已知設(shè)備甲每天的租賃費(fèi)為200元，設(shè)備乙每天的租賃費(fèi)為300元．現(xiàn)該公司至少要生產(chǎn)A類(lèi)產(chǎn)品50件，B類(lèi)產(chǎn)品140件，所需租賃費(fèi)最少為_(kāi)_______元．【規(guī)范解答】解析：設(shè)租賃甲、乙兩種設(shè)備各x、y臺(tái)，則目標(biāo)函數(shù)z＝200x＋300y，畫(huà)出可行域知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)(4,5)處取得最小值，故目標(biāo)函數(shù)的最小值為2300，故填2300.答案：2300【探究與研究】這類(lèi)實(shí)際應(yīng)用型的線性規(guī)劃問(wèn)題是教材重點(diǎn)講解的，各個(gè)版本教材上類(lèi)似例題很多，本題來(lái)源于課本的基礎(chǔ)題．如人教A版必修5第三章第三節(jié)的例題4等．此類(lèi)題目在備考中不需要作太多的深挖，以課本為綱即可．1．找不到主要變量；2．列錯(cuò)可行域和目標(biāo)函數(shù)；3．求解模型時(shí)計(jì)算出錯(cuò)．本題也可以通過(guò)下面的途徑解決：設(shè)u＝5x＋6y，v＝10x＋20y，

代入目標(biāo)函數(shù)z＝200x＋300y＝100u－