章建躍數(shù)學教育之取勢明道優(yōu)術(shù)

數(shù)學教育之取勢明道優(yōu)術(shù)人民教育出版社章建躍zhangjy@一、數(shù)學的育人功能在哪里？數(shù)學在基礎(chǔ)教育課程體系中的特殊地位，在于它是發(fā)展學生的智力、培養(yǎng)邏輯思維能力的主要學科。數(shù)學學科的最大用處是育人，它在培養(yǎng)學生的幾何直觀能力、運算能力、邏輯推理能力、數(shù)據(jù)處理能力，以及鍛煉學生的心智、培育理性精神上都是不可替代的。二、如何發(fā)揮數(shù)學的育人功能？從數(shù)學和數(shù)學教育的內(nèi)部尋找。教學中，要以數(shù)學地認識問題和解決問題為核心任務(wù)，以數(shù)學知識的發(fā)生發(fā)展過程和理解數(shù)學知識的心理過程為基本線索，為學生構(gòu)建前后一致邏輯連貫的學習過程，使他們在掌握數(shù)學知識的過程中學會思考?！叭荨⒚鞯?、優(yōu)術(shù)”兼顧

數(shù)學教育才能如愿成功！取勢、明道、優(yōu)術(shù)就是“明確方向，把握規(guī)律，辦事有方”。做事首先應(yīng)看清方向，方向不對則越努力就越壞事，“大勢所趨”、“順勢而為”，這就是取勢；其次，“道”就是事物發(fā)展的規(guī)律性，把握好規(guī)律，按規(guī)律辦事，才能保證事業(yè)成功；第三，“術(shù)”是做事的策略和方法，做任何事情都要有好的方法，這樣才能提高辦事的效率，確保辦事質(zhì)量。目前的問題是：只追求“術(shù)”，把數(shù)學搞成解題術(shù)——注重雕蟲小技，而忘卻了數(shù)學的根本。三、取勢“勢”是方向，“取勢”是“順勢而為”?！爸虚L期規(guī)劃綱要”的頒布標志著我國課程改革進入了新階段。十八大和十八屆三中全會提出了教育的立德樹人根本任務(wù)，要求進一步提升綜合育人水平，更好地促進學生全面發(fā)展、健康成長。教育部最近發(fā)布了《全面深化課程改革落實立德樹人根本任務(wù)的意見》，提出“大力弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，把培育和踐行社會主義核心價值觀融入國民教育全過程”的新要求。落實在數(shù)學教育中回歸數(shù)學教育的本來面目，發(fā)揮數(shù)學的內(nèi)在力量，實現(xiàn)數(shù)學育人的目標，這就是大勢所趨。具體而言，就是要為學生的終生發(fā)展考慮，著眼于學生的長期利益，充分挖掘數(shù)學所蘊含的價值觀資源，以培育學生的理性精神、發(fā)展學生的邏輯思維能力為核心，使學生在掌握數(shù)學知識、學會數(shù)學思考的過程中，成為善于認識問題、解決問題的人才。四、明道明即明白、懂得，道即規(guī)律、原則。明數(shù)學教學之道，歸根到底是“理解數(shù)學，理解學生，理解教學”。要明白“數(shù)學之道”，懂得數(shù)學研究的“基本套路”。要理解“思維之道”，知道學生數(shù)學思維的一般規(guī)律。例

幾何研究的“基本套路”背景——定義——表示——分類——性質(zhì)（判定）——特例——聯(lián)系和應(yīng)用如何獲得數(shù)學研究對象？（從具體事例中抽象出“基本圖形”）如何分類？分類標準從哪里來？從哪些角度展開研究？（幾何學是研究物體的形狀、大小和位置關(guān)系的科學。）如何展開對幾何體結(jié)構(gòu)特征的研究？如何構(gòu)建“點、直線、平面的位置關(guān)系”的研究線索？為什么把“平行”“垂直”兩種位置關(guān)系作為研究的主題？——它們反映了空間的本質(zhì)，是研究物體的形狀、大小和位置關(guān)系的基礎(chǔ)。什么叫性質(zhì)？性質(zhì)是指事物所具有的本質(zhì)，即事物內(nèi)部穩(wěn)定的聯(lián)系。問題：這里的“事物內(nèi)部”指什么？“穩(wěn)定的聯(lián)系”是怎么表現(xiàn)的？到底怎樣才能發(fā)現(xiàn)這種“聯(lián)系”？從三角形的“內(nèi)角和為180°”、“兩邊之和大于第三邊”、“大邊對大角”、“等邊對等角”等你想到了什么？“內(nèi)部”可以是“三角形的組成要素”，“穩(wěn)定的聯(lián)系”是指“三角形要素之間確定的關(guān)系”。幾何對象組成要素之間確定的關(guān)系就是性質(zhì)。從“外角等于不相鄰兩內(nèi)角的和”、“三條高交于一點”、“等腰三角形三線合一”等又想到了什么？把外角、高、中線、角平分線等叫做三角形的相關(guān)要素，這些“相關(guān)要素”也可以看成是“三角形的內(nèi)部”。要素、相關(guān)要素之間確定的關(guān)系也是性質(zhì)。從兩條直線平行，“同位角相等”、“內(nèi)錯角相等”以及“同旁內(nèi)角互補”，我們又能想到什么？這時的“性質(zhì)”是借助“第三條直線”，與“兩條平行線”構(gòu)成一些角，然后看由兩條直線平行這一位置關(guān)系所決定的這些角之間有什么確定的關(guān)系。研究兩個幾何事物的某種位置關(guān)系下具有什么性質(zhì)，就是探索這種位置關(guān)系下的兩個幾何事物與其他幾何事物之間所形成的確定的關(guān)系。幾何體結(jié)構(gòu)特征的研究棱柱要素、相關(guān)要素：面、棱、頂點、面對角線、體對角線、高……要素、相關(guān)要素之間的關(guān)系：面與面、棱與棱、面與棱……特例：長方體——正方體，平行六面體……直線與平面平行的性質(zhì)位置關(guān)系：直線l

∥平面α；其他事物：直線、平面；命題：（1）如果

a∥l，那么a

∥α

；（2）如果

a

∥α

，那么a

∥l；（3）如果a

⊥l，那么a⊥α；（4）如果a⊥α，那么a⊥

l；（5）如果β∥l，那么β∥α；（6）如果β∥α，那么β∥l；（7）如果β⊥l，那么β⊥α；（8）如果

β⊥

α

，那么β

⊥l。（9）與“公理”相聯(lián)系，直線l與平面α

內(nèi)任意一點A確定一個平面β

，α

∩

β=m

，那么

m∥l；（10）l∥α

，所以l∩α=Φ。如果m在α

內(nèi)，則或者m∥l，或者m與l是異面直線。（11）直線m與直線l異面，則過直線m有且只有一個平面與直線l平行。（12）l∥α，β∩γ=l，α∩β=l1，α∩γ=l2，那么l1∥l2。培養(yǎng)學生的系統(tǒng)思維把認識對象作為系統(tǒng)，從系統(tǒng)和要素、要素和要素、系統(tǒng)和環(huán)境的相互聯(lián)系及相互作用中綜合地考察認識對象的一種思維方法……系統(tǒng)思維能極大地簡化人們對事物的認知。系統(tǒng)思維給我們帶來整體觀、全局觀，具備系統(tǒng)思維是邏輯抽象能力強的集中表現(xiàn)。每一個數(shù)學概念都可看成一個小系統(tǒng)。研究數(shù)學對象的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)定義——表示——分類（以要素為標準）——性質(zhì)（要素、相關(guān)要素的相互關(guān)系）——特例（性質(zhì)和判定）——聯(lián)系（應(yīng)用）；定性研究（平直性、對稱性等）——定量研究（角、距離、面積、體積等等）。數(shù)學實踐活動中，只要緊緊抓住這一結(jié)構(gòu)，再通過橫向或縱向的類比與聯(lián)系，引導學生去認識和把握具體數(shù)學對象的要素和功能的關(guān)系，就能使他們建立起研究數(shù)學對象的結(jié)構(gòu)，并形成完整的認識。培養(yǎng)系統(tǒng)思維，使學生養(yǎng)成全面思考問題的習慣，避免“見木不見林”，進而使他們在面對數(shù)學問題時，能把解題目標、實現(xiàn)目標的過程、解題過程的優(yōu)化以及對問題的拓展、深化等作為一個整體進行研究。這樣，“使學生學會思考，成為善于認識和解決問題的人才”就能落在實處。學生的數(shù)學思維之道數(shù)學教學還要掌握學生的“思維之道”，按學生的認知規(guī)律教學。例如，“數(shù)列”的學習應(yīng)該按照這種“認知的規(guī)律”，為學生構(gòu)建一個研究“一列數(shù)”的“基本套路”，使學生經(jīng)歷研究一個數(shù)學對象的基本過程，提高發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力，培養(yǎng)認識和解決問題的能力。等差數(shù)列的理解與教學數(shù)列的概念和表示——注意從函數(shù)的研究中得到啟發(fā)；等差數(shù)列：概念、表示（通項公式）、性質(zhì)（等差中項等），等差數(shù)列的“原型”就是自然數(shù)列{n}；等差數(shù)列的前n項和公式：從概念和性質(zhì)中推出的自然結(jié)果；應(yīng)用——作為知識的聯(lián)結(jié)點。等差數(shù)列的概念和通項公式如何教概念？問題：觀察下列數(shù)列，你有什么發(fā)現(xiàn)？（1）0，5，10，15，……；（2）5.5，7.5，9.5，11.5，……；（3）0，2.5，5.0，7.5，……追問：是相鄰兩項的差嗎？從第二項起……這個過程存在哪些問題？為什么？如何改進？問題：沒有“如何思考”的引導，源于：（1）對概念理解不到位——“等差”是由運算引發(fā)的！等差數(shù)列是一類特殊的數(shù)列，“考察特例”是一種“基本套路”；（2）對教材不理解——教材是這樣開頭的：初中學了實數(shù)及其運算、性質(zhì)?，F(xiàn)在我們面對一列數(shù)（數(shù)列），能不能也像研究實數(shù)一樣，研究它的項與項的關(guān)系、運算和性質(zhì)呢？我們先從一些特殊的數(shù)列入手；（3）對學生不理解——這些數(shù)列的共同特征不只是“等差”，沒有從關(guān)系、運算等作必要引導，學生的觀察沒有方向。如何教通項公式？什么叫“通項公式”？——研究一個數(shù)學對象的“基本套路”是：獲得對象（下定義）—表示對象—研究性質(zhì)—建立與相關(guān)知識的聯(lián)系?！巴椆健薄炔顢?shù)列的一種表示，就像函數(shù)的解析式一樣，要回答的是“第n項an與序號n的關(guān)系”。“求通項公式”——從定義出發(fā)。等差數(shù)列的性質(zhì)運算中出現(xiàn)的規(guī)律性——有了運算，數(shù)的力量無限。最簡單的等差數(shù)列：三項——“等差中項”；如何看“等差中項”？——平均數(shù)！當m+n=p+q時，am+an=ap+aq

；……前n項和公式的教學設(shè)計作為自然數(shù)列性質(zhì)的自然延伸、一般化——將a1=1，d=1一般化。如何看1+2+3+…+n=

？有多種角度：“平均數(shù)”，不同數(shù)求和化歸為相同數(shù)求和，等；“平均數(shù)”本質(zhì)上是等差數(shù)列的性質(zhì)：am+an=ap+aq

，當m+n=p+q時——這是“倒序求和”技巧的源頭。教科書的設(shè)計思路總體思想：希望學生領(lǐng)悟到“倒序求和”技巧的來源。問題1高斯是如何求出1+2+…+100的？問題2如果從數(shù)列的角度看，你認為他利用了數(shù)列1，2，3，……的什么特性？問題3你能用高斯的方法求1+2+…+101嗎？問題4如何用高斯的方法求1+2+…+n？追問：能否避免奇偶討論？問題5一般地，設(shè)公差為d的等差數(shù)列{an}，你能求出Sn=a1+a2+…+an嗎？（什么叫求Sn？）回到概念去，回到基本性質(zhì)去——返璞歸真，至精至簡，以簡馭繁，大巧若拙?！暗剐蚯蠛汀笔堑裣x小技！加強認識和解決問題方法的教學如何獲得研究對象；構(gòu)建研究數(shù)學對象的基本線索；發(fā)現(xiàn)和提出值得研究的具體問題；掌握研究問題的基本方法。例解析幾何課程的整體設(shè)計思路1．“課標”對解析幾何內(nèi)容的安排坐標法為核心，依“直線與方程——圓與方程——圓錐曲線與方程——極坐標系與參數(shù)方程”螺旋上升地展開內(nèi)容。解析幾何是方法論——代數(shù)方法研究幾何。直線與圓——基礎(chǔ)，強調(diào)與平面幾何研究方法的比較，坐標法的體驗。圓錐曲線——體現(xiàn)坐標法的威力（有限接觸）坐標系與參數(shù)方程——充分展示坐標法的綜合性：坐標系的多樣性、曲線方程的多樣性、聯(lián)系方式的多樣性等。局限：缺少直觀形象支撐（數(shù)缺形時少直觀）——《幾何證明選講》中用綜合法進行了研究。2．坐標法為核心，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想形式上：“三步曲”；經(jīng)歷用坐標法解決問題的完整過程：先用平面幾何眼光觀察，再用坐標法解決。平面直角坐標系中的點，可以討論哪些問題？一點的坐標；兩個點之間的距離；三個點——定比分點；等。直線與方程的結(jié)構(gòu)在平面直角坐標系中，確定直線位置的幾何要素——平面幾何是”兩點確定一條直線”；這里要發(fā)揮直角坐標系的力量，因此引入傾斜角和斜率的概念。斜率：概念、公式（不同條件下的不同形式）、性質(zhì)（特例、關(guān)系）直線的方程：“一點和一個方向，或兩點，唯一確定一條直線”的代數(shù)化。求解的過程是“同一事物的兩種表示等價”。從哪些角度討論直線方程？不同的條件下的不同形式——可以問學生：你認為可以從哪些角度確定一條直線？與直線相關(guān)的幾何問題有哪些？如何利用直線方程進行討論？——平面幾何的經(jīng)驗，討論“相交線與平行線”，“相交線”中有交點坐標、交角、點到直線的距離等，特例是垂直；“平行線”中，平行的條件，平行線間的距離。還可以討論哪些問題？二元一次不等式表示平面區(qū)域如何提出問題？如何獲得猜想？從具體到抽象、從特殊到一般——強調(diào)歸納的過程。直角坐標系中，方程x－y－6=0的解為坐標的點在直線l上；同時，直線l上的點的坐標都是方程x－y－6=0的解——由此你能提出什么新問題？(x0,y0)不在直線l上，則x0－y0－6≠0——x0－y0－6＞0或x0－y0－6＜0。坐標平面被直線x－y－6=0分成三個部分，它們與x－y－6＞0，x－y－6=0，x－y－6＜0有什么關(guān)系呢？任意取點，代入，找規(guī)律——發(fā)現(xiàn)“同側(cè)同號”。如何證明“同側(cè)同號”點P0(x0,y0)在直線Ax+By+C=0的“左上方”、“右下方”如何用數(shù)量關(guān)系表達？y

P(x0,y0)·

O

x獲得證明思路的關(guān)鍵對解析幾何的基本思想（坐標法）的理解深度；對“先用平面幾何眼光觀察，再用代數(shù)方法解決”的認識；在直角坐標系中，幾何方位的代數(shù)化——以坐標軸為基準，用不等式表示“上下左右”的關(guān)系。所以，歸根到底是對直角坐標系、點的坐標等概念的認識和應(yīng)用。五、優(yōu)術(shù)“術(shù)”的基本解釋是方法、技藝，如技術(shù)、藝術(shù)、學術(shù)、戰(zhàn)術(shù)、心術(shù)等，是知識、經(jīng)驗、技術(shù)、方法、手段等的集合體，也是解決問題的流程和策略?！靶g(shù)”是“明道”后轉(zhuǎn)化而來的具體操作方法，是可以提高辦事效果和效率的技巧?！皟?yōu)術(shù)”即提升方法、技藝的水平，積累實用的策略，總結(jié)經(jīng)驗并從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律（經(jīng)驗之中有規(guī)律）等等。例如何“解三角形”教學設(shè)計中，加強思想方法、解決問題的策略等方面的思考：如何發(fā)現(xiàn)問題；從定性到定量地研究問題；將新問題化歸為舊問題；從知識的相互聯(lián)系性思考問題；等等。如何研究一個數(shù)學對象（問題）數(shù)學中，往往是在定性研究問題后，希望得到定量的結(jié)果。一個三角形有六個要素，由全等三角形的“基本事實”——SSS，SAS，ASA，你能提出什么新的問題？六個要素中，只要知道三個（其中至少有一個是邊），三角形就唯一確定。也就是說，其余三個要素可以由這三個要素唯一確定。從定量角度，由這三個要素可以求出其余三個要素。解直角三角形問題的引出關(guān)于解一般三角形對于“解三角形”，你會哪些知識？——會解直角三角形，對于一般三角形，只有“內(nèi)角和定理”。給定兩邊一夾角，求其他邊、角——化歸為直角三角形。還有沒有其他方法？——從知識的聯(lián)系性出發(fā)，與解三角形相關(guān)的知識還有哪些？怎么用？你還能提出哪些問題？對于一個確定的三角形，其外接圓是唯一確定的，因此外接圓的半徑可以用三角形的邊、角來表示。怎樣用三角形的邊、角來表示它的外接圓半徑？對于一個確定的三角形，它的高、中線、角平分線、面積等都是唯一確定的，怎樣用三角形的邊、角來表示它們的度量？研究性學習課題——“解三角形”一個三角形包含的各種幾何量，如三邊的邊長、三個內(nèi)角的度數(shù)、面積、外徑、內(nèi)徑、高、中線長、角平分線長等，這是三角形這個整體中的各種要素。對它們之間存在的各種函數(shù)關(guān)系的研究中，可以體現(xiàn)出