結構力學課件 ch10課件

基本要求熟練掌握熟練掌握單自由度體系的自由振動和簡諧荷載作用下的強迫振動、兩個自由度體系的自由振動及主振型的正交性。掌握計算頻率的近似法、阻尼對振動的影響。了解一般荷載作用下結構的動力反映（杜哈梅積分）、無限自由度體系的自由振動。第十章結構動力計算基礎Structuremagnificationcomputing操作提示：⑴單擊左鍵，一步步地查看信息。⑵左鍵單擊藍字下劃線進入超級鏈接或彈出解釋信息框。⑶黃底藍字圓角矩形框是解釋信息。點擊解釋信息框，該框消失。⑷為返回到引用該頁的引用頁，正常順序播放時不要點擊。操作提示點擊進入本章知識結構.導航動力計算的特點和動力自由度單自由度體系的自由振動動力計算特點、動荷載分類、動力自由度剛度法、柔度法，頻率計算及其特性單自由度體系的強迫振動阻尼對振動的影響兩個自由度體系的自由振動阻尼對頻率的影響、阻尼對自由振動的振幅的影響、阻尼對強迫振動的動力系數(shù)的影響。動力系數(shù)、動力響應計算一般方法和比例算法、共振的概念、杜哈梅積分。用剛度法和柔度法計算頻率、主振型，頻率、主振型的特性，主振型正交性兩個自由度體系在簡諧荷載下的強迫振動柔度法、剛度法，動位移幅值、動內力幅值計算，吸振器的概念。1.結構動力計算的特點和內容動荷載(dynamicload)與靜荷載(staticload)的區(qū)別動荷載：大小、方向或位置隨時間而變，靜荷載：大小、方向或位置不隨時間而變，而且變得很快?；蜃兊煤苈?。衡量荷載變化快慢的標準還有結構的自振頻率。動力計算與靜力計算的區(qū)別

兩者都是建立平衡方程，但動力計算，利用動靜法，建立的是形式上的平衡方程。力系中包含了慣性力，考慮的是瞬間平衡，荷載和內力都是時間的函數(shù)。建立的方程是微分方程。動力計算的內容研究結構在動荷載作用下的動力反應的計算原理和方法。涉及內外兩方面的因素：

結構的動力特性：自振頻率、阻尼、振型。(自由振動)

荷載的變化規(guī)律及其動力反應。(強迫振動)§10-1動力計算的特點和動力自由度FP(t)tFP(t)

t簡諧荷載(harmonicload)一般周期荷載(periodicload)⑵沖擊荷載：短時內劇增或劇減。⑶隨機荷載：(非確定性荷載)荷載在將來任一時刻的數(shù)值無法事先確定。（如地震荷載、風荷載）FP(t)ttrFP突加荷載(Suddenlyappliedconstantload)FP(t)ttrFP爆炸荷載2.動荷載分類按其變化規(guī)律及其作用特點可分為：⑴周期荷載：隨時間作周期性變化(轉動電機的偏心力)。動力計算概述

P(t)t隨即荷載(randomload)FP(t)I3.動力計算中體系的自由度(degreesoffreedom)確定運動過程中任意時刻全部質量的位置所需獨立幾何參數(shù)的個數(shù)稱為體系的振動自由度。質量都是連續(xù)分布的，結構都是無限自由度的。常作簡化。

⑴集中質量法(methodoflumpedmass)

把質量集中為幾個質點，將一個無限自由度的問題簡化成有限自由度問題。I2Im+am柱廠房排架水平振動時的計算簡圖動力計算概述單自由度體系(singledegreeoffreedomsystem)mm>>m梁三個自由度體系m動力計算概述水平振動時的計算體系多自由度體系構架式基礎頂板簡化成剛性塊θ(t)v(t)u(t)三個自由度復雜體系可通過加支桿限制質量運動的辦法確定體系的自由度。三個自由度為滿足位移邊界條件的已知函數(shù),稱為形狀函數(shù),a1,a2,…,an為待定的參數(shù)(廣義坐標)。xy(x)⑵廣義坐標法(generalizedcoordinate)將無限自由度體系化成有限自由度體系的另一種方法是假設振動曲線：煙囪底部的位移條件：于是近似設變形曲線為:n個自由度體系簡支梁的位移條件：y(0)=0,y(l)=0于是近似設變形曲線為:n個自由度體系∞動力計算概述幾點注意：⑴對于具有集中質量的體系，其自由度數(shù)并不一定等于集中質量數(shù)，可能比它多，也可能比它少。⑵體系的自由度與其超靜定次數(shù)無關。⑶體系的自由度數(shù)目決定了結構動力計算的精度。⑷在幾何構造分析中所說的自由度是剛體系的運動自由度，動力計算中討論的自由度是變形體系中質量的運動自由度。一個質點兩個自由度兩個質點一個自由度動力計算概述單自由度體系動力分析的重要性①具有實際應用價值，或進行初步的估算。②是多自由度體系動力分析的基礎。自由振動(freevibration)：振動過程中沒有干擾力作用，振動是由初始位移或初始速度或兩者共同影響下所引起的?！?0-2單自由度體系的自由振動單自由度體系動力分析的重要性①具有實際應用價值，或進行初步的估算。②多自由度體系動力分析的基礎。自由振動(freevibration)：振動過程中沒有干擾力作用，振動是由初始位移或初始速度或兩者共同影響下所引起的。1.自由振動微分方程的建立（不計阻尼）（依據(jù)達朗伯原理）m⑴剛度法(stiffnessmethod)(D’Alember’sprinciple)y(t)l0kmkyky(t)剛度法從質點受力平衡的角度建立自由振動微分方程。彈簧的剛度系數(shù)k=柱頂有單位水平位移是在柱頂所需施加的水平力?！?0-2單自由度體系的自由振動⑵柔度法(flexibilitymethod)：

從體系的位移協(xié)調角度建立的自由振動微分方程。取體系為研究對象，加慣性力：δmky(t)柔度系數(shù)δ等于柱頂有單位水平力時產生的柱頂水平位移。2.自由振動微分方程的解y0－y0Ty(t)ty(t)tv0/ω－v0/ωtTa－a單自由度體系的自由振動δF=11k振幅:Amplitudeofvibration初始相位角:initialphaseangle3.結構的自振周期和自振頻率(naturalperiodandnaturalfrequency.)是周期函數(shù),且周期是頻率(frequency)是每秒鐘內的振動次數(shù)。圓頻率(circular

frequency)

是2π秒內的振動次數(shù)。無阻尼自由振動是簡諧振動，振動一次需要的時間。單自由度體系的自由振動自振周期計算公式的幾種形式圓頻率計算公式的幾種形式其中d—柔度系數(shù)，它表示在質點上沿振動方向加單位荷載使質點沿振動方向所產生的位移。k—剛度系數(shù)，使質點沿振動方向發(fā)生單位位移時，須在質點上沿振動方向施加的力。Δst=Wd

—在質點上沿振動方向施加數(shù)值為W的荷載時質點沿振動方向所產生的位移。計算時可根據(jù)體系的具體情況，視d、k、Dst

三者中哪一個最便于計算來選用。W是質點的重力單自由度體系的自由振動用于各質點慣性力共線的單自由度體系。δF=11k自振周期計算公式的幾種形式：圓頻率計算公式的幾種形式：一些重要性質：⑴自振頻率（周期）與且只與結構的質量和結構的剛度有關，是結構的固有特性，也稱為固有周期（固有頻率）。⑵自振頻率與質量的平方根成反比，質量越大，頻率越小(周期越大)；自振頻率與剛度的平方根成正比，剛度越大，頻率于大（周期越?。?；要改變結構的自振周期，只有從改變結構的質量或剛度著手。單自由度體系的自由振動用于各質點慣性力共線的單自由度體系。P=1l/2例1：圖示三根單跨梁，EI=常數(shù)，在梁中點有集中質量m，不考慮梁的質量，試比較三者的自振頻率。FP=1l/4FP=15l/323l/16P=1l/2FP=1l/8l/8l/8⑵求頻率：據(jù)此可得：ω1:ω2:

ω3=1:1.512:2結構約束越強,其剛度越大,剛度越大,其自振動頻率也越大。單自由度體系的自由振動l/2l/2l/2l/2l/2l/2mmm解：⑴求dl/2l/2ml/2l/2kACBFQCAFQCB例2：用求剛度系數(shù)法求圖示梁的頻率。EI=常數(shù)，在梁中點有集中質量m，不考慮梁的質量。1解：⑴求k單自由度體系的自由振動⑵求頻率：例3：求圖示剛架的自振頻率。不計柱的質量。EIEIEI1=∞mlh13EI/h26EI/h26EI/h2k12EI/h33EI/h3解：⑴求kM單自由度體系的自由振動⑵求頻率：h1θ解法1：求kMBA=kh=MBCk解法2：求δ例4：求圖示剛架的自振頻率。不計柱的質量。1δ單自由度體系的自由振動I=∞EIBAClhmI=∞EIACBlEImk11kkk1對于靜定結構一般計算柔度系數(shù)方便。如果振動體系沿振動方向發(fā)生單位位移時，所有剛結點都不發(fā)生轉動(如剛性橫梁的剛架)計算剛度系數(shù)方便。一端鉸結一端鉸接的桿的側移剛度為：注意：兩端剛結的桿的側移剛度為：解：求剛度系數(shù)例5：求圖示梁的自振頻率。不計梁的質量。單自由度體系的自由振動1111k1l/32l/3m解：⑴求梁在質點處的剛度系數(shù)k11例6：求圖示梁的自振頻率。不計梁的質量。⑵求體系的剛度系數(shù)kk

1單自由度體系的自由振動⑶求頻率

強迫振動(forcedvibration)結構在荷載作用下的振動。FP(t)強迫振動的微分方程§10-3單自由度體系的強迫振動my(t)l0kmkyky(t)FP(t)FP(t)彈簧的剛度系數(shù)k=柱頂有單位水平位移時在柱頂所需施加的水平力。二階常系數(shù)非齊次微分方程，其通解有兩部分組成：①齊次解：②特解：依據(jù)荷載情況具體確定特解。取質點平衡1.簡諧荷載(harmonicload)：特解

：最大靜位移yst是把荷載幅值當作靜荷載作用時結構所產生的位移.通解:設t=0時的初始位移和初始速度均為零，則：過渡階段：振動開始兩種振動同時存在的階段；平穩(wěn)階段：后來只按荷載頻率振動階段。(由于阻尼的存在)按自振頻率振動按荷載頻率振動單自由度體系的強迫振動

重要的特性：當q/w→0時,b→1，荷載頻率＜＜結構的自振頻率時（如

q≤0.2w）,可作靜荷載處理。0<q/w<1時,

b

>1，位移與荷載同向，隨q/w增大β增大。當q/w

→1時,b→∞，振幅會無限增大，稱為“共振”。通常把0.75<q/w<1.25稱為共振區(qū)。平穩(wěn)階段：最大動位移(振幅)為：動力系數(shù)(magnificationfactor)共振(resonance)當q/w>1時,b

<0，位移與荷載反向，β的絕對值隨q/w

的增大而減小。當q/w

>>1，

b

→0，結構幾乎無反映。只在靜力平衡位置作微小振動。單自由度體系的強迫振動1023123當0<

q/w

<1時，動力效應

靜力效應，位移與荷載

向；當q/w

接近1時，動力效應

靜力效應；當1<<q/w

時，動力效應

靜力效應，位移與荷載

向。>>><<同反動荷載：荷載幅值引起的靜位移β動力系數(shù)位移、慣性力、動荷載同頻率同相位同時達到幅值。

q/w<1時,

與荷載同向。

1<q/w時,

與荷載反向。當動荷載與質點慣性力共線時兩者可合成為一個力。結構在一個力作用下，不論此力如何變化，各截面的內力和位移都按同一比例變化，可采用統(tǒng)一的動力系數(shù)。先求動荷載幅值引起的靜位移、靜內力及動力系數(shù)b，將靜位移、靜內力乘以b即得動位移和動內力的幅值。（比例算法）無阻尼單自由度體系簡諧荷載下的動力反應計算動位移：慣性力：例7：電機質量m=123kg，轉速n=1200r/min，離心力FP=40N

。梁的E=2.06×105MPa

，I=78cm4

,不計梁的質量和阻尼，求梁的最大動位移及最大動力彎矩。解：①求ω,θ②求b1mFPsinqt

力長度應力單位NmmMPaNmPa③求ystmax

,Mstmax1mFP④求ydmax

,Mdmax⑤求ymax

,Mmax1mW例8：有一長l=4m簡支梁(I28b)，慣性矩I=7480cm4，截面系數(shù)W=534cm3，E=2.1×105MPa。在跨中點有重G=35kN電動機，轉速n=500r/min。轉動時產生離心力FP=10kN，其豎向分量為FPsinθt。忽略梁的質量，試求強迫振動的動力系數(shù)和最大撓度和最大正應力。解：①求自振頻率和荷載頻率

①求動力系數(shù)175.6MPaI22b3570cm4357039.739.71.3552.3/57.4=0.91共振區(qū)內325149.2單自由度體系的強迫振動采用較小截面的梁既可避免共振，又能獲得較好的經濟效益。比例算法只適用于單自由度體系當動荷載與質點慣性力共線的情況。對于動荷載與質點慣性力不共線的單自由度體系，以及多自由度體系，均不能采用這一方法。位移、慣性力、動荷載同頻率同相位同時達到幅值。

θ/ω<1時,

與荷載同向。1<θ/ω時,

與荷載反向。無阻尼單自由度體系簡諧荷載下的動力反應計算①當動荷載與質點慣性力共線時用比例算法：先求動荷載幅值引起的靜位移、靜內力及動力系數(shù)β，將靜位移、靜內力乘以β即得動位移和動內力的幅值。②當動荷載與質點慣性力不共線時用一般方法：由于結構的彈性內力與位移成正比，所以位移達到幅值時內力也達到幅值。將荷載幅值和慣性力幅值加在結構上，按一般靜力學方法求解。1l/8l/4例9求圖示簡支梁當時，質點的動位移幅值和動彎矩幅值（不計梁的自重和阻尼）。

解：①求ω②求yst和振幅aEIl/4l/4l/2mFP3FPl/16FP質點振幅為，與荷載同向。0.34FPl0.43FPl彎矩幅值圖③求動力效應慣性力幅值為,與荷載反向。FPFImax=1.22FPFPFImax=2.25FP彎矩幅值圖0.094FPl0.428FPl2.一般荷載一般荷載作用下的動力反應可利用瞬時沖量的動力反應來推導。⑴瞬時沖量的動力反應設體系在t=0時靜止，然后有瞬時沖量S作用。FP(t)tFP瞬時沖量S引起的振動可視為由初始條件引起的自由振動。由動量定理：Δtτtt't'單自由度體系的強迫振動在t=τ時有瞬時沖量作用⑵任意荷載FP(t)的動力反應FP(t)tττ時刻的微分沖量對t瞬時(t>τ)引起的動力反應:初始靜止狀態(tài)的單自由度體系在任意荷載作用下的位移公式:(Duhamel積分)初始位移y0和初始速度v0不為零時在任意荷載作用下的位移公式:t單自由度體系的強迫振動⑶幾種荷載的動力反應①突加荷載FP(t)tFPysty(t)ωt0π2π3π質點圍繞靜力平衡位置作簡諧振動代入Duhamel積分公式單自由度體系的強迫振動②短時荷載FP(t)tu階段Ⅰ(0<t<u)：與突加荷載相同，階段Ⅱ(t>u)：無荷載，以t=u時的位移和速度為初始條件作自由振動?；蛘咧苯佑蒁uhamel積分作：單自由度體系的強迫振動FP另解：短時荷載可認為由兩個突加荷載疊加而成。當0<t<u當t

>u單自由度體系的強迫振動突加荷載1突加荷載2短時荷載最大動反應當

u>0.5T

時最大動位移發(fā)生在階段Ⅰ當

u<0.5T

時最大動位移發(fā)生在階段Ⅱb=2β1/611/22動力系數(shù)反應譜(β與T和μ之間的關系曲線)單自由度體系的強迫振動③線性漸增荷載FP0tr這種荷載引起的動力反應同樣可由Duhamel積分得到:對于這種線性漸增荷載，其動力反應與升載時間的長短有很大的關系。其動力系數(shù)的反應譜如下：單自由度體系的強迫振動P(t)t01.02.03.04.01.41.21.01.61.82.0βtrFP0動力系數(shù)反應譜(spectrumofmagnificationfactor)動力系數(shù)b介于1與2之間。如果升載很短tr<T/4，則b接近于2，即相當于突加荷載情況。如果升載很長tr>4T，則b接近于1，即相當于靜荷載情況。常取外包虛線作為設計的依據(jù)。單自由度體系的強迫振動ty鋼筋混凝土樓板自由振動試驗曲線因為在振幅位置結構的變形速度為零（動能=0），故在振幅位置的變形勢能就代表體系全部機械能。振幅隨時間減小，變形隨時間減小，應變能（全部機械能）隨時間減小。這表明在振動過程中能量在損耗。

振動過程中引起能量損耗的因素稱為阻尼。振幅位置的應變能（全部機械能）在減小§10-4阻尼對振動的影響忽略阻尼影響時所得結果

能不能

反映實際結構的振動規(guī)律。大體上忽略阻尼的振動規(guī)律考慮阻尼的振動規(guī)律結構的自振頻率是結構的固有特性，阻尼對頻率影響很小。簡諧荷載作用下有可能出現(xiàn)共振。自由振動的振幅永不衰減。自由振動的振幅逐漸衰減。共振時的振幅趨于無窮大。共振時的振幅較大但為有限值。產生阻尼的原因：結構與支承之間的外摩擦；材料之間的內摩擦；周圍介質的阻力。阻尼力的確定：總與質點速度反向;大小與質點速度有如下關系：①與質點速度成正比（比較常用，稱為粘滯阻尼力）。②與質點速度平方成正比（如質點在流體中運動受到的阻力）。③與質點速度無關（如摩擦力）。粘滯阻尼力的分析比較簡單，(因為Fc(t)=－cy).其他阻尼力也可化為等效粘滯阻尼力來分析。單自由度體系的強迫振動考慮阻尼的振動模型kyFP(t)動平衡方程：1.有阻尼的自由振動(阻尼比dampingratio）設解為：特征方程為：(characteristicequation)⑴ξ<1（低阻尼）情況..kFP(t)ymcy引入初始條件確定積分常數(shù)后為：單自由度體系的強迫振動ae-ξωtty低阻尼y-t曲線無阻尼y-t曲線①阻尼對自振頻率的影響.當ξ<0.2，則0.96<ωr/ω<1在工程結構問題中，0.01<ξ<0.1可近似取ty計算結構的自振頻率可以不考慮阻尼的影響.單自由度體系的強迫振動②阻尼對振幅的影響。振幅隨時間衰減,相鄰兩個振幅的比振幅按等比級數(shù)遞減。稱為振幅的對數(shù)遞減率.(logarithmicdecrement)

設yk和yk+n是相隔n個周期的兩個振幅則:經過一個周期后，相鄰兩振幅yk和yk+1的比值的對數(shù)為:工程中常用此方法測定阻尼單自由度體系的強迫振動舉例⑵ξ=1（臨界阻尼）情況tyy0θ0這條曲線仍具有衰減性，但不具有波動性.ξ=1的阻尼常數(shù)稱為臨界阻尼常數(shù)cr(criticaldampingcoefficient),（振與不振的分界點）的解為：引入初始條件后為：⑶ξ>1（強阻尼）情況特征方程的特征值為：體系不出現(xiàn)振動現(xiàn)象，實際問題中很少遇到，不討論。單自由度體系的強迫振動EI=∞m例10：圖示結構的質量m均集中在橫梁處。在FP=9.8kN作用下，測得側移A0=0.5cm，然后突然卸載使結構發(fā)生水平自由振動。再測得周期T=1.5s及一個周期后的側移A1=0.4cm。求結構的阻尼比ξ和阻尼系數(shù)c。9.8kN解：單自由度體系的強迫振動返回2.有阻尼受迫振動kyFP(t)..kFP(t)ymcy動平衡方程：⑴簡諧荷載：

FP(t)=FPsinθt設特解為：代入微分方程，整理后得：荷載幅值引起的靜力位移單自由度體系的強迫振動方程的解仍然由齊次解（具有頻率ωr的自由振動）和特解（具有頻率θ的純強迫振動）組成。由于阻尼的作用，頻率為ωr的自由振動將逐漸衰減而最后消失，只有頻率為θ的純強迫振動不衰減，這部分振動成為平穩(wěn)振動。4.03.02.01.001.02.03.0βθ/ωξ=0ξ=0.1ξ=0.2ξ=0.3ξ=0.5ξ=1.0幾點討論：①ξ對b的影響與q/w有關。隨ξ增大b曲線漸趨平緩。特別是在q/w

=1附近ξ對

b的影響最為顯著。②q=w即共振時，xb21=共振時忽略阻尼時b=∞，考慮阻尼時b

=很大的有限值。在0.75<q/w

<1.25(共振區(qū))內，阻尼大大地減小了強迫振動的位移，阻尼不容忽略。

在共振區(qū)之外阻尼對b的影響較小，可按無阻尼計算。單自由度體系的強迫振動當q<<w時,

a→0°。體系振動得很慢，荷載可作靜

荷載處理。慣性力FI、阻尼力Fc較小，荷載FP主要由

彈性力Fe平衡

(FP與Fe反向)，F(xiàn)e與y反向，所以FP與y

同步。當q>>w時,a→180°。體系振動得很快，F(xiàn)I很大，F(xiàn)I、Fc相對較

小，F(xiàn)P主要由FI平衡，

FI與y同向，所以

y與FP反向。②ξ對相位差α的影響與θ/ω有關。SFP(t)當q=w，a→90°，共振Fe與FI平衡，有無阻尼均如此，F(xiàn)c與FP平衡。由此可見：共振時（q=w），彈性力與慣性力剛好互相平衡,有無阻尼均如此。動荷載恰與阻尼力平衡，故運動呈現(xiàn)穩(wěn)態(tài)，不會出現(xiàn)位移為無窮大的情況。而在無阻尼強迫振動時，因不存在阻尼力來平衡動荷載，才出現(xiàn)位移為無限大的現(xiàn)象。單自由度體系的強迫振動③彈性動內力幅值的計算。一般方法：由于結構的彈性內力與位移成正比，所以位移達到幅值，內力也達到幅值。將位移達到幅值時刻的荷載值和慣性力值加在結構上，按一般靜力學方法求解。慣性力與位移同時達到幅值。荷載與位移無阻尼時同時達到幅值。有阻尼時位移總滯后荷載一個相位角a

。比例算法：無阻尼單自由度體系且荷載作用在振動質點上

(動荷載與慣性力共線)時，產生振幅a的外力值為:這意味著，動內力和動位移幅值是荷載幅值FP產生的靜內力和靜位移的b倍。注意：位移達幅值時，速度為零，故阻尼力為零，計算時不必考慮阻尼力。單自由度體系的強迫振動例11：圖示機器與基礎總重量W=60kN，基礎下土壤的抗壓剛度系數(shù)為cz=0.6N/cm3=0.6×103kN/m3，基礎底面積

A=20m2。試求機器連同基礎作豎向振動時①自振頻率。②機器運轉產生FPsinqt,FP=20kN，轉速為400r/min。求振幅及地基最大壓力。③如考慮阻尼，阻尼比ξ=0.5，求振幅及地基最大壓力。解:

①讓振動質量向下發(fā)生單位位移需施加的力為：

k=czA=0.6×103×20

=12×103kN/m單自由度體系的強迫振動W②求荷載頻率求動力系數(shù)豎向振動振幅地基最大壓力③求動力系數(shù)豎向振動振幅地基最大壓力單自由度體系的強迫振動共振區(qū)，阻尼的影響不容忽視?、朴凶枘釙r的杜哈梅積分（ξ<1）FP(t)tFP在t=0時瞬時沖量dS=FPdt=v0m引起的振動可視為由初始條件v0=FPdt/m，

y0=0引起的自由振動：dtτtt't'在t=τ時有瞬時沖量作用。將荷載FP

(t)的加載過程看作一系列瞬時沖量，

dS=FP

(τ)

dτ引起的動力反應為：總反應：有阻尼的杜哈梅積分在計算地震作用的動力反應時有用。單自由度體系的強迫振動⑶突加荷載FP0低阻尼y-t曲線無阻尼y-t曲線ysty(t)ωt0π2π3π4π5πy(t)ωt0π2π3π4π5π靜力平衡位置具有阻尼的體系在突加荷載作用下，最初所引起的最大位移接近于靜位移yst=FP0/mω2的2倍,然后逐漸衰減，最后停留在靜力平衡位置。單自由度體系的強迫振動兩個自由度體系是最簡單的多自由度體系.但能清楚地反映多自由度體系動力特征的計算特點。建立多自由度體系運動方程的方法有：剛度法：建立力的平衡方程。柔度法：建立位移協(xié)調方程。實際工程中，很多問題可以簡化為單自由度體系計算，也有很多結構的振動問題不能按單自由度體系計算。如多層房屋的側向振動，不等高排架的振動，柔性較大的高聳結構在地震作用下的振動等，都應按多自由度體系計算?！?0-5兩個自由度體系的自由振動m2mmmm各有其適用范圍。y1(t)y2(t)1.剛度法r2r1y1(t)y2(t)r2r1質點動平衡方程由質點動平衡方程建立自由振動微分方程。兩個自由度體系的自由振動乘y1(t)k11k21乘y2(t)k12k2211=+解質點動平衡方程

兩個自由度體系的自由振動設：展開是ω2的二次方程，解得ω2兩個根為：這兩個根都是正根為了得到Y1、Y2的非零解，應使系數(shù)行列式等于零。頻率方程兩個自由度體系有兩個自振頻率。特點:①兩質點具有相同的頻率和相同的相位角。②兩質點的位移隨時間變化，但兩者的比值始終保持不變y1(t)/y2(t)=Y1/Y2=常數(shù)。這種結構位移形狀保持不變的振動形式稱為主振型或振型。證明幾點注意：

①自振頻率個數(shù)=自由度數(shù).②每個自振頻率相應一個主振型。主振型是多自由度體系能夠按單自由度體系振動時所具有的特定形式.③自振頻率和主振型是體系本身的固有特性。只與體系本身的剛度系數(shù)及其質量分布情形有關。位移幅值方程兩個自由度體系的自由振動求主振型：因為D=0，不能求出Y1和Y2的值只能求出其比值（即主振型）。與ω1相應第一振型與ω2相應第一振型振型階數(shù)振動方向②故矩陣[k]為正定矩陣。矩陣[k]為正定矩陣的充分必要條件是：它的行列式的順序主子式全部大于零。因此有所以

于是得到ω2的兩個根均為正根。兩個自由度體系的自由振動①將根號內的式子變形成所以ω2

的兩個根均為

實根。返回k11例12：質量集中在樓層上m1、m2，層間側移剛度為k1、k2。求剛架水平振動時的自振頻率和振型。m2m1k2k1k211解：求剛度系數(shù)：k22k121①當m1=m2=m,k1=k2=k，

兩個自由度體系的自由振動計算頻率返回求主振型第一主振型：Y21=1.618Y11=1第一主振型第二主振型：第二主振型Y22=－0.618Y11=1

Yij為正時表示質量mi的運動方向與計算剛度系數(shù)時置于其上的單位位移方向相同，為負時，表示與單位位移方向相反。兩個自由度體系的自由振動②當m1=nm2,k1=nk2，k11=(1+n)k2，k12=－k2，k22=k2求頻率：求振型：如n=90時當上部質量和剛度很小時，頂部位移很大。（鞭梢效應）第一振型：第二振型：建筑物頂部的小閣樓、女兒墻、建筑物立面有較大的收進或為了加大建筑空間而在頂部減少剪力墻等,都可能使結構少數(shù)層剛度和質量突然變小，加劇地震作用下的鞭稍效應。兩個自由度體系的自由振動例13：試求圖示結構的自振頻率；如初始條件為Y10=0.02m,Y20=－0.00473m，初速為零，體系作何種振動。①求剛度系數(shù)②代入頻率計算公式11兩個自由度體系的自由振動m2=m2體系按第二振型振動③求主振型④初始條件為Y10=0.02m,Y20=－0.00473m,初速為零，體系的振動情況。兩個自由度體系的自由振動根據(jù)質點的動位移等于各質點慣性力共同作用下產生的靜位移，建立自由振動微分方程。12.柔度法1結構的柔度系數(shù)δij

物理意義是：在第j

個位移方向加單位力時產生的第i個方向上的位移。兩個自由度體系的自由振動y2(t)y1(t)δ11δ21δ22δ12質點位移方程代入微分方程質點慣性力幅值其中：λ=1/ω2兩個自由度體系的自由振動解質點位移方程

設特點:①兩質點具有相同的頻率和相同的相位角.②兩質點的位移隨時間變化，但兩者的比值始終保持不變y1(t)/y2(t)=Y1/Y2=常數(shù)。這種結構位移形狀保持不變的振動形式稱為主振型或振型

主振型的位移幅值是體系由此主振型慣性力幅值所引起的靜力位移。Y11Y21Y12Y22位移幅值方程為一關于λ的二次方程。解出λ的兩個根：頻率方程頻率頻率數(shù)目=自由度數(shù)目位移幅值方程其中：λ=1/ω2Y1，Y2不能全為零。求主振型：因為D=0，不能求出Y1和Y2的值只能求出其比值（即主振型）。第一主振型第二主振型主振型的數(shù)目=自由度數(shù)目。因固有振動的特解是簡諧振動，所以位移和慣性力同時達到幅值。主振型恰好為相應慣性力幅值產生的靜力位移。應用功的互等定理：因為ω1≠ω2第一正交關系3.主振型的正交性(orthogonalityofnormalmodes)m1m2Y11Y21m1m2Y12Y22在振動過程中，某一主振型的慣性力不會在其他主振型上做功。即它的能量不會轉移到其他主振型上，也不會引起其他主振型的振動。故各個主振型能單獨存在而不互相干擾。兩個自由度體系的自由振動例14：求簡支梁的自振頻率和主振型。解：⑴求柔度系數(shù)⑵求得頻率：⑶主振型：l/3l/3l/311mm兩個自由度體系的自由振動例14：求簡支梁的自振頻率和主振型。l/3l/3l/3mml/3另解：如果結構本身和質量分布都是對稱的，則主振型不是對稱就是反對稱。故可取半邊結構計算：1對稱情況：l/91反對稱情況：對稱主振型：反對稱主振型：比較兩個頻率，較小的為第一頻率。驗證主振型正交性：兩個自由度體系的自由振動例15：計算體系的自振頻率和振型。并驗證主振型的正交性。llmEIEI

1

1ll①求柔度系數(shù)②代頻率計算公式求頻率兩個自由度體系的自由振動③代振型公式求振型10.414第一振型第一振型12.414

Yij為正時表示質量mi的運動方向與計算柔度系數(shù)時置于其上的單位力方向相同，為負時，表示與單位力方向相反。④驗證主振型正交性兩個自由度體系的自由振動例16：求圖示集中質量體系的自振頻率(各桿EI為常數(shù))。mlll1

1l/2l/2l⑵代入頻率方程解：⑴求柔度系數(shù)1l/2lmllm/2lm/2lEI/2l對稱振型反對稱振型

1例16：求圖示集中質量體系的自振頻率(各桿EI為常數(shù))。另解：利用對稱性。

11.柔度法§10-6兩個自由度體系在簡諧荷載下的強迫振動⑴建立振動微分方程因為荷載頻率在共振區(qū)之外時，阻尼影響很??；在共振區(qū)之內時，計不計阻尼，都能反映共振現(xiàn)象。故忽略阻尼。并設各簡諧荷載的頻率相同、相位相同。ΔiP荷載幅值產生的質點i靜位移m1m2tFPqsiny1y211FP通解=齊次解()＋特解()自由振動強迫振動⑵動位移的解答及討論由于阻尼平穩(wěn)振動n個自由度體系，存在n

個可能的共振點。⑶純強迫振動解答設為：代入：⑷對振幅解答的討論兩個自由度體系在簡諧荷載下的受迫振動?=0⑸動內力幅值的計算

荷載、位移、慣性力同頻率、同相位、同時達到最大。位移達到最大值時，內力也達到最大值。于是，可將動荷載和慣性力的幅值作為靜荷載作用于結構，用靜力法求解?；颍河蒠1，Y2值可求得位移和慣性力。慣性力的幅值為：由位移幅值方程得到求慣性力幅值的方程（直接求慣性力幅值）兩個自由度體系在簡諧荷載下的受迫振動位移慣性力荷載例17：簡支梁EI=常數(shù),θ=0.75ω1。求動位移和動彎矩幅值。解：①求柔度系數(shù)兩個自由度體系在簡諧荷載下的受迫振動②MP圖，求Δ1P,Δ2PtFPqsinl/4l/4l/2mm11FP③計算位移幅值④計算慣性力幅值兩個自由度體系在簡諧荷載下的受迫振動11FP⑤計算動內力I1=0.6808FPFP

I2=0.6051FP1.4119FP

0.2689FP0.8740FPFQd

圖0.3530FPl0.2180FPlMd

圖⑥比較動力系數(shù)因此，